2007年全国高考数学(理科)试卷(全国卷Ⅰ)(解析版)

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2007年高考全国卷1(理科数学)

2007年高考全国卷1(理科数学)

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α=A .15B .15-C .513D .513-2.设a 是实数,且1i1i 2a +++是实数,则a = A .12 B .1 C .32 D .23.已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与bA .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向4.已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0)-,(4,0),则双曲线方程为A .221412x y -= B .221124x y -= C .221106x y -= D .221610x y -= 5.设,a b R ∈,集合{}1,,{0,,}ba b a b a+=,则b a -=A .1B .1-C .2D .2- 6.下面给出的四个点中,到直线10x y -+=的距离为2,且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是A .(1,1)B .(1,1)-C .(1,1)--D .(1,1)- 7.如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面 直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A .15B .25C DA 1B 1C 1D 1C .35D .458.设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =A B .2 C . D .49.()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件10.21()n x x -的展开式中,常数项为15,则n =A .3B .4C .5D .611.抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF ∆的面积是A .4B ...812.函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是 A .2(,)33ππ B .()62ππ, C .(0)3π, D .()66ππ-,二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答) 14.函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称,则()f x = .15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比为 .16.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 18.(本小题满分12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件A :“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率()P A ;(Ⅱ)求η的分布列及期望E η. 19.(本小题满分12分)四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥;(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.20.(本小题满分12分) 设函数()e e x x f x -=-.(Ⅰ)证明:()f x 的导数()2f x '≥;(Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. 21.(本小题满分12分)DBCA S已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于B D ,两点,过2F 的直线交椭圆于A C ,两点,且AC BD ⊥,垂足为P .(Ⅰ)设P 点的坐标为00()x y ,,证明:2200132x y +<; (Ⅱ)求四边形ABCD 的面积的最小值. 22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 中12a =,11)(2)n n a a +=+,1,2,3,n =.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 中12b =,13423n n n b b b ++=+,1,2,3,n =,43n n b a -<≤,1,2,3,n =.2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题: (1)D (2)B (3)A (4)A (5)C (6)C(7)D(8)D(9)B(10)D(11)C(12)A二、填空题:(13)36 (14)3()x x ∈R(15)13(16)三、解答题: (17)解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336A πππ<+<,所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭.3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以,cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭,. (18)解:(Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=,()1()10.2160.784P A P A =-=-=.(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.(200)(1)0.4P P ηξ====,(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=(元). (19)解法一:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =,又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥, 由三垂线定理,得SA BC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC∥,故SA AD ⊥,由AD BC ==SA =AO =1SO =,SD =. SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ,得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ,由于D SAB S ABD V V --=,得121133h S SO S=, 解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α,则sin 11h SD α===. 所以,直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11. 解法二:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥平面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =.又45ABC =∠,AOB △为等腰直角三角形,AO OB ⊥.如图,以O 为坐标原点,OA 为x0)A ,,(0B ,(0C ,,(001)S ,,(2,(0CB =,0SA CB =,所以SA BC ⊥.(Ⅱ)取AB 中点E ,0E ⎫⎪⎪⎝⎭,连结SE ,取SE 中点G ,连结OG ,1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,. 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,,,122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,,(AB =. 0SE OG =,0AB OG =,OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ,AB 垂直.所以OG ⊥平面SAB ,OG 与DS 的夹角记为α,SD 与平面SAB 所成的角记为β,则α与β互余.D ,(DS =.22cos OG DS OG DSα==sin β=,所以,直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11. (20)解:(Ⅰ)()f x 的导数()e e x x f x -'=+. 由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (Ⅱ)令()()g x f x ax =-,则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-,(ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20x xg x a a -'=+->-≥故()g x 在(0)+,∞上为增函数,所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为1x =,此时,若1(0)x x ∈,,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以,1(0)x x ∈,时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞,. (21)证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距1c ==,由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上,故2201x y +=, 所以,222200021132222y x y x ++=<≤. (Ⅱ)(ⅰ)当BD 的斜率k 存在且0k ≠时,BD 的方程为(1)y k x =+,代入椭圆方程22132x y +=,并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=. 设11()B x y ,,22()D x y ,,则2122632k x x k +=-+,21223632k x x k -=+2212221(1)()4BD x x kx x x x ⎡=-=++-=⎣;因为AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为1k-,所以,2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+. 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥. 当21k =时,上式取等号.(ⅱ)当BD 的斜率0k =或斜率不存在时,四边形ABCD 的面积4S =.综上,四边形ABCD 的面积的最小值为9625.(22)解: (Ⅰ)由题设:11)(2)n n aa +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=.所以,数列{n a 是首项为21的等比数列,1)n n a =,即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦,123n =,,,…. (Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当1n =2<,112b a ==,所以11b a <≤,结论成立.(ⅱ)假设当n k =43k k b a -<≤,也即430k k b a -<. 当1n k =+时,13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+,又1323k b <=-+, 所以1(322)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说,当1n k =+时,结论成立.43n n b a -<≤,123n =,,,….。

2007年高考数学卷(全国卷Ⅰ.理)含详解

2007年高考数学卷(全国卷Ⅰ.理)含详解

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 参考公式:如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=,,,…,一、选择题(1)α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α=( ) A .15 B .15- C .513 D .513-(2)设a 是实数,且1i1i 2a +++是实数,则a =( ) A .12 B .1 C .32D .2(3)已知向量(56)=-,a ,(65)=,b ,则a 与b ( ) A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向(4)已知双曲线的离心率为2,焦点是(40)-,,(40),,则双曲线方程为( ) A .221412x y -= B .221124x y -= C .221106x y -= D .221610x y -=(5)设a b ∈R ,,集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭,,,,,则b a -=( ) A .1B .1-C .2D .2-(6)下面给出的四个点中,到直线10x y -+=的距离为2,且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩,表示的平面区域内的点是( ) A .(11),B .(11)-,C .(11)--,D .(11)-,(7)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )A .15B .25C .35D .45(8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ,上的最大值与最小值之差为12,则a =( ) AB .2C.D .4(9)()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件(10)21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为15,则n =( )A .3B .4C .5D .6(11)抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF △的面积是( ) A .4B.C.D .8(12)函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是( ) A .233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C .03π⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,第Ⅱ卷注意事项:AB1B1A1D1C CD1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.3.本卷共10题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上.(13)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答) (14)函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称,则()f x = .(15)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比为 . (16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分) 设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. (18)(本小题满分12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A :“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率()P A ; (Ⅱ)求η的分布列及期望E η.(19)(本小题满分12分)四棱锥S ABCD -中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠,2AB =,BC =SA SB =(Ⅰ)证明SA BC ⊥;(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.(20)(本小题满分12分) 设函数()e e xxf x -=-.(Ⅰ)证明:()f x 的导数()2f x '≥;(Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. (21)(本小题满分12分)已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于B D ,两点,过2F 的直线交椭圆于A C ,两点,且AC BD ⊥,垂足为P .(Ⅰ)设P 点的坐标为00()x y ,,证明:2200132x y +<; (Ⅱ)求四边形ABCD 的面积的最小值.(22)(本小题满分12分)已知数列{}n a 中12a =,11)(2)n n a a +=+,123n =,,,…. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 中12b =,13423n n n b b b ++=+,123n =,,,…,43n n b a -<≤,123n =,,,….2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题: (1)D (2)B (3)A (4)A (5)C (6)C (7)D (8)D (9)B(10)D (11)C (12)A二、填空题:(13)36(14)3()xx ∈R(15)13(16)三、解答题: (17)解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336A πππ<+<,所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭.由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以,cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭,. (18)解:(Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=,()1()10.2160.784P A P A =-=-=.(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.(200)(1)0.4P P ηξ====,(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=(元).(19)解法一:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =,又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥,由三垂线定理,得SA BC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC∥, 故SA AD ⊥,由AD BC ==SA =AO =1SO =,SD =.SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ,得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ,由于D SAB S ABD V V --=,得121133h S SO S =, 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α,则sin h SD α===所以,直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11. 解法二:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥平面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =.又45ABC =∠,AOB △为等腰直角三角形,AO OB ⊥. 如图,以O 为坐标原点,OA 为x0)A ,,(0B ,(0C -,,(001)S ,,,(2,(0CB =,0SA CB =,所以SA BC ⊥.(Ⅱ)取AB 中点E ,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,连结SE ,取SE 中点G ,连结OG ,1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,. 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭,,1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭,(AB =. 0SE OG =,0AB OG =,OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ,AB 垂直.所以OG ⊥平面SAB ,OG 与DS 的夹角记为α,SD 与平面SAB 所成的角记为β,则α与β互余.D ,(DS =.22cos 11OG DS OG DSα==sin β=,所以,直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11. (20)解:(Ⅰ)()f x 的导数()e e xxf x -'=+.由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (Ⅱ)令()()g x f x ax =-,则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-,(ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20xxg x a a -'=+->-≥,故()g x 在(0)+,∞上为增函数,所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为1ln x =,此时,若1(0)x x ∈,,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以,1(0)x x ∈,时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞,. (21)证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距1c ==,由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上,故22001x y +=,所以,222200021132222y x y x ++=<≤. (Ⅱ)(ⅰ)当BD 的斜率k 存在且0k ≠时,BD 的方程为(1)y k x =+,代入椭圆方程22132x y +=,并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=. 设11()B x y ,,22()D x y ,,则2122632k x x k +=-+,21223632k x x k -=+2221222121)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+;因为AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为1k-,所以,2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥. 当21k =时,上式取等号.(ⅱ)当BD 的斜率0k =或斜率不存在时,四边形ABCD的面积4S =.综上,四边形ABCD 的面积的最小值为9625. (22)解:(Ⅰ)由题设:11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=.所以,数列{n a 是首项为21的等比数列,1)n n a =,即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦,123n =,,,…. (Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当1n =2<,112b a ==,所以11b a <≤,结论成立.(ⅱ)假设当n k =43k k b a -<≤, 也即430k k b a -<. 当1n k =+时,13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+,又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说,当1n k =+时,结论成立.43n n b a -<≤,123n =,,,….2007年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 参考公式:如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=,,,…,一、选择题(1)α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α=( ) A .15B .15-C .513D .513-(2)设a 是实数,且1i1i 2a +++是实数,则a =( ) A .12B .1C .32D .2【解析】1i (1)1i 111i 22222a a i a a i +-++-+=+=++,∵1i1i 2a +++是实数,∴102a -=,解得a =1.选B .(3)已知向量(56)=-,a ,(65)=,b ,则a 与b ( ) A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向【解析】由a ·b =0,得a 与b 垂直,选A .(4)已知双曲线的离心率为2,焦点是(40)-,,(4,0),则双曲线方程为( )A .221412x y -=B .221124x y -=C .221106x y -=D .221610x y -=【解析】由2ca=及焦点是(40)-,,(4,0),得4c =,2a =,24a =,∴22212b c a =-=,∴双曲线方程为221412x y -=.故选A .(5)设a b ∈R ,,集合{}1{0}b a b a b a+=,,,,,则b a -=( )A .1B .-1C .2D .-2【解析】由{}1{0}b a b a b a+=,,,,知0a b +=或0a =.若0a =则ba无意义,故只有0a b +=,1b =(若1ba=,这与0a b +=矛盾),∴1a =-,2b a -=.故选C .(6)下面给出的四个点中,到直线10x y -+=,且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩,表示的平面区域内的点是( )A .(11),B .(11)-,C .(11)--,D .(11)-,【解析】逐一检查,选C .(7)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( D )A .15B .25C .35D .45111||||5AD A B =1A 所成角的余弦值为45,选D .(8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ,上的最大值与最小值之差为12,则a =( )(9)()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( )A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件【解析】若“()f x ,()g x 均为偶函数”则()()f x f x -=,()()g x g x -=当然有()()h x h x -=;反之则未必,故选B .(10)21()n x x-的展开式中,常数项为15,则n =( )A 1D 1 C 1B 1AD CBA (综合法)(坐标法)A 1C 1 B 1AD CB第(7)题D 1A .3B .4C .5D .6【解析】21()n x x-的展开式的通项公式为(22)()(23)1r n rr r n r r n n T C x x C x---+==,若常数项为15,令23015rnn r C -=⎧⎪⎨=⎪⎩,64n r =⎧⎨=⎩,选D . (11)抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF △的面积是( C)(12)函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是( ) A .2()33ππ,B .()62ππ,C .(0)3π,D .()66ππ-,()0x >,则第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.3.本卷共10题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上.(13)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 36 种.(用数字作答) 【解析】填36.从班委会5名成员中选出3名,共35A 种;其中甲、乙之一担任文娱委员的1224A A 种,则不同的选法共有35A -1224A A =36种.(14)函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称,则()f x = .【解析】()f x =3()xx ∈R .(15)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比AC1A A 0(16)题。

2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)word--完整版

2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)word--完整版
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(四川.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(四川.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(浙江.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖南.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖南.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含答案
2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)--完整版
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅰ.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅰ.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.文)含答案
宁夏和海南都是新课标教材,使用的是同一套数学题。
பைடு நூலகம் 四川省蓬安中学校 张万建 整理 zwjozwj@
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.理) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.文) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江苏卷不分文理)含答案
注:使用全国卷Ⅰ的省份:河北 河南 山西 广西 ;
使用全国卷Ⅱ的省份:吉林 黑龙江 云南 贵州 新疆 青海 甘肃 内蒙 西藏

2007年山东高考数学理科试题及答案详解

2007年山东高考数学理科试题及答案详解

AB∥DC .
D1
(Ⅰ)设 E 是 DC 的中点,求证: D1E ∥平面 A1BD1 ; A1
B1
C1
(Ⅱ)求二面角 A1 BD C1 的余弦值.
(20)(本小题满分 12 分)
D
E C
A
B
如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲
船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船
(Ⅲ)记“先后两次出现的点数有中 5”为事件 D ,“方程 x2 bx c 0 有实数”为事件 E ,
由上面分析得
P(D) 11 , P(D E) 7 ,
36
36
P(E D) P(D E) 7 . P(D) 11
(19)(本小题满分 12 分)
解法一:
(Ⅰ)连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,
间直角坐标系,不妨设 DA 1,则 D(0,00,) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,2,2) ,A1(1,0,2) ,


DA1 (1,0,2) , DB (1,1,0) ,
z
设 n (x,y,z) 为平面 A1BD 的一个法向量.
D1
C1

(Ⅰ)当 b 1 时,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性; 2
(Ⅱ)求函数 f (x) 的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数 n
,不等式
ln

1 n
1

1 n2

1 n3
都成立.
2007 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学参考答案

2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)答案与解析

2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)答案与解析

2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.应选D.【解答】解:S={x|2x+1>0}={x|x>﹣},T={x|3x﹣5<0}={x|x<},则S∩T=,故选D.2.应选B.【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1,得到余弦的值,又由角在第四象限,确定符号.【解答】解:∵α是第四象限角,∴sinα=,故选B.3.应选A.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.应选A.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.应选C.【解答】解;根据题意,甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,有C42种,乙、丙各选修3门,有C43•C43种,则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种,故选C.6.应选C.【解答】解:将四个点的坐标分别代入不等式组,解可得,满足条件的是(0,﹣2),故选C.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.应选D.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.应选B.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B10.应选D.【解答】解:函数y=2cos2x=1+cos2x,由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ,解得﹣π+kπ≤x≤kπ,k为整数,∴k=1即有它的一个单调增区是,故选D.【点评】利用同角三角函数间的关系式、诱导公式、二倍角公式可以化简三角函数式,化简的标准:第一,尽量使函数种类最少,次数最低,而且尽量化成积的形式;第二,能求出值的要求出值;在化简三角函数时,应注意“1”的代换,1=sin2α+cos2α,1=tanα•cotα等,对于函数种类较多的式子,化简时,常用“切化弦法”,遇到象本题高次数的要用二倍角公式降幂.【解答】解:若y=x3+x,则y′|x=1=2,即曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0,﹣),围成的三角形面积为,故选A.12.应选C.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.0.25【解答】解:从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为P==0.25.故答案为:0.2514.3x(x∈R)【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.【解答】解:正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的球心恰好是底面ABCD的中心,球的半径是1,体积为.故答案为:16.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为三、解答题(共6小题,满分80分)17.(10分)【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)根据余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7.所以,.18.(12分)【解答】解:(Ⅰ)记A表示事件:“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,则表示事件:“3位顾客中无人采用一次性付款”.P()=(1﹣0.6)3=0.064,.(Ⅱ)记B表示事件:“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”.B0表示事件:“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”.B1表示事件:“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.则B=B0+B1.P(B0)=0.63=0.216,P(B1)=C31×0.62×0.4=0.432.P(B)=P(B0+B1)=P(B0)+P(B1)=0.216+0.432=0.648.19.(12分)【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(12分)【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=6x2+6ax+3b,因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f'(1)=0,f'(2)=0.即解得a=﹣3,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3﹣9x2+12x+8c,f'(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2).当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f'(x)>0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<﹣1或c>9,因此c的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).21.(12分)【解答】解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则依题意有q>0且解得d=2,q=2.所以a n=1+(n﹣1)d=2n﹣1,b n=q n﹣1=2n﹣1.(Ⅱ),,①S n=,②①﹣②得S n=1+2(++…+)﹣,则===.22.(12分)【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.。

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C. D.2.(4分)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.23.(4分)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(4分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A. B. C. D.5.(4分)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣26.(4分)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)7.(4分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.(4分)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A. B.2 C.D.49.(4分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(4分)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3 B.4 C.5 D.611.(4分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.812.(4分)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B. C.D.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答)14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.15.(5分)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.16.(5分)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.18.(12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.19.(14分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(14分)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.21.(14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.22.(16分)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C. D.【分析】根据tanα=,sin2α+cos2α=1,即可得答案.【解答】解:∵α是第四象限角,=,sin2α+cos2α=1,∴sinα=﹣.故选D.2.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.2【分析】复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.【解答】解.设a是实数,=是实数,则a=1,故选B.3.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A. B. C. D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2【分析】根据题意,集合,注意到后面集合中有元素0,由集合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得a+b=0,进而分析可得a、b的值,计算可得答案.【解答】解:根据题意,集合,又∵a≠0,∴a+b=0,即a=﹣b,∴,b=1;故a=﹣1,b=1,则b﹣a=2,故选C.6.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点,我们可以将答案中的四个点逐一代入验证,不难得到结论.【解答】解.给出的四个点中,(1,1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1)三点到直线x﹣y+1=0的距离都为,但∵,仅有(﹣1,﹣1)点位于表示的平面区域内故选C7.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA 1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A. B.2 C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=log a x是单调递增函数,最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1,所以log a2a﹣log a a=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.(4分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B10.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.【解答】解:的展开式中,常数项为15,则,所以n可以被3整除,当n=3时,C31=3≠15,当n=6时,C62=15,故选项为D11.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK ⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.12.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B. C.D.【分析】化简函数为关于cosx的二次函数,然后换元,分别求出单调区间判定选项的正误.【解答】解.函数=cos2x﹣cosx﹣1,原函数看作g(t)=t2﹣t﹣1,t=cosx,对于g(t)=t2﹣t﹣1,当时,g(t)为减函数,当时,g(t)为增函数,当时,t=cosx减函数,且,∴原函数此时是单调增,故选A二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有36种.(用数字作答)【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题,先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,写出即可.【解答】解.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种.14.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x >0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=3x(x∈R).【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为2.【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高,从而得出等腰直角三角形DEF的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可.【解答】解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴斜边EF的长为2.故答案为:2.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.【分析】(1)先利用正弦定理求得sinB的值,进而求得B.(2)把(1)中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理,进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)===.由△ABC为锐角三角形知,0<A<,0<﹣A<,∴<A<,,所以.由此有<,所以,cosA+sinC的取值范围为(,).18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.【分析】(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,根据对立事件的概率公式得到结果.(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率,写出变量的分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”,∴.(Ⅱ)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=1﹣P(η=200)﹣P(η=250)=1﹣0.4﹣0.4=0.2.∴η的分布列为∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).19.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,通过证明,推出SA⊥BC.(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)先求出f(x)的导函数,利用a+b≥2当且仅当a=b 时取等号.得到f'(x)≥2;(Ⅱ)把不等式变形令g(x)=f(x)﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点,在x≥0上求出a的取值范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的导数f'(x)=e x+e﹣x.由于,故f'(x)≥2.(当且仅当x=0时,等号成立).(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣ax,则g'(x)=f'(x)﹣a=e x+e﹣x﹣a,(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g'(x)=e x+e﹣x﹣a>2﹣a≥0,故g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.(ⅱ)若a>2,方程g'(x)=0的正根为,此时,若x∈(0,x1),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾.综上,满足条件的a的取值范围是(﹣∞,2].21.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C 两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.22.(16分)(2007•全国卷Ⅰ)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…【分析】(Ⅰ)先对进行整理可得到,即数列是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列的通项公式可得到,进而得到.(Ⅱ)用数学归纳法证明.当n=1时可得到b1=a1=2满足条件,然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=,进而可得证.【解答】解:(Ⅰ)由题设:==,.所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,即a n的通项公式为,n=1,2,3,.(Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当n=1时,因,b 1=a1=2,所以,结论成立.(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即,也即.当n=k+1时,==,又,所以=.也就是说,当n=k+1时,结论成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)知,n=1,2,3,.。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学(理科)试卷参考答案

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2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I )数学(理科)试卷参考答案一、选择题: 1.D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.D 8.D9.B10.D11.C12.A二、填空题: 13.3614.3()xx ∈R15.1316.三、解答题: 17.解:(Ⅰ)由a=2bsinA ,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =。

(Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=。

2336A πππ<+<,所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭。

3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以,cosA+sinC的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,。

18.解:(Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。

知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=,()1()10.2160.784P A P A =-=-=。

(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元。

(200)(1)0.4P P ηξ====,(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=。

η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯=240(元)。

19.解法一:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD 。

因为SA=SB ,所以AO=BO ,又45ABC=∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO⊥, 由三垂线定理,得SA BC ⊥。

(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013大纲全国,理1)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b ∈B },则M 中元素的个数为( ).A .3B .4C .5D .62.(2013大纲全国,理2)3=( ).A .-8B .8C .-8iD .8i3.(2013大纲全国,理3)已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( ).A .-4B .-3C .-2D .-14.(2013大纲全国,理4)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ).A .(-1,1)B .11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C .(-1,0) D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.(2013大纲全国,理5)函数f (x )=21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x >0)的反函数f -1(x )=( ). A .121x -(x >0) B .121x-(x≠0) C .2x -1(x ∈R) D .2x -1(x >0)6.(2013大纲全国,理6)已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0,a 2=43-,则{a n }的前10项和等于( ). A .-6(1-3-10) B .19(1-310) C .3(1-3-10) D .3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x )8(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ).A .56B .84C .112D .1688.(2013大纲全国,理8)椭圆C :22=143x y +的左、右顶点分别为A 1,A 2,点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA 1斜率的取值范围是( ).A .13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.(2013大纲全国,理9)若函数f (x )=x 2+ax +1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ). A .[-1,0] B .[-1,+∞) C .[0,3] D .[3,+∞)10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ).A .23 B.3 C.3 D .1311.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C :y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若0MA MB ⋅=,则k =( ).A .12 B.2 CD .212.(2013大纲全国,理12)已知函数f (x )=cos x sin 2x ,下列结论中错误的是( ).A .y =f(x)的图像关于点(π,0)中心对称B .y =f(x)的图像关于直线π=2x 对称C .f(x)的最大值为2 D .f(x)既是奇函数,又是周期函数二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知α是第三象限角,sin α=13-,则cot α=__________. 14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种.(用数字作答)15.(2013大纲全国,理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y =a (x +1)与D 有公共点,则a 的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,OK =32,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O 的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=22a ,且S 1,S 2,S 4成等比数列,求{a n }的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,(a +b +c )(a -b +c )=ac . (1)求B ; (2)若sin A sin C=14,求C .19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.(1)证明:PB⊥CD;(2)求二面角A-PD-C的大小.20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C:2222=1x ya b(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++,证明:a2n-a n+14n>ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:B解析:由题意知x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素.故选B. 2. 答案:A解析:323=13=8-.故选A.3. 答案:B解析:由(m +n )⊥(m -n )⇒|m |2-|n |2=0⇒(λ+1)2+1-[(λ+2)2+4]=0⇒λ=-3.故选B. 4. 答案:B解析:由题意知-1<2x +1<0,则-1<x <12-.故选B. 5. 答案:A解析:由题意知11+x=2y⇒x =121y -(y >0),因此f -1(x )=121x -(x >0).故选A. 6. 答案:C解析:∵3a n +1+a n =0,∴a n +1=13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列.∵a 2=43-,∴a 1=4. ∴S 10=101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=3(1-3-10).故选C.7.答案:D解析:因为(1+x )8的展开式中x 2的系数为28C ,(1+y )4的展开式中y 2的系数为24C ,所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8. 答案:B解析:设P 点坐标为(x 0,y 0),则2200=143x y +, 2002PA y k x =-,1002PA y k x =+,于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k =-. ∵2PA k ∈[-2,-1], ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9. 答案:D解析:由条件知f ′(x )=2x +a -21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数,∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10. 答案:A解析:如下图,连结AC 交BD 于点O ,连结C 1O ,过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ,∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角.设AA 1=2AB =2,则=2AC OC,1C O =由等面积法,得C 1O ·CH =OC ·CC 12CH , ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC =223==13HC DC .故选A.11. 答案:D解析:由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y =k (x -2),将其代入y 2=8x ,得k 2x 2-4(k2+2)x +4k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2242k k (+),x 1x 2=4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=,∴(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=0. ∴(x 1+2)(x 2+2)+(y 1-2)(y 2-2)=0, 即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.④ 由①②③④解得k =2.故选D. 12. 答案:C解析:由题意知f (x )=2cos 2x ·sin x =2(1-sin 2x )sin x . 令t =sin x ,t ∈[-1,1], 则g (t )=2(1-t 2)t =2t -2t 3. 令g ′(t )=2-6t 2=0,得=t ±. 当t =±1时,函数值为0;当t =;当t =.∴g (t )max ,即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:解析:由题意知cos α=3==-.故cot α=cos sin αα14.答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有44A 种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有25A 种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种).15.答案:1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. ∵直线y =a (x +1)过定点C (-1,0),由图并结合题意可知12BC k =,k AC =4,∴要使直线y =a (x +1)与平面区域D 有公共点, 则12≤a ≤4. 16.答案:16π解析:如下图,设MN 为两圆的公共弦,E 为MN 的中点, 则OE ⊥MN ,KE ⊥MN ,结合题意可知∠OEK =60°.又MN =R ,∴△OMN 为正三角形.∴OE =2R .又OK ⊥EK ,∴32=OE ·sin 60°=22R ⋅∴R =2.∴S =4πR 2=16π.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:设{a n }的公差为d .由S 3=22a 得3a 2=22a ,故a 2=0或a 2=3. 由S 1,S 2,S 4成等比数列得22S =S 1S 4. 又S 1=a 2-d ,S 2=2a 2-d ,S 4=4a 2+2d , 故(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ).若a 2=0,则d 2=-2d 2,所以d =0,此时S n =0,不合题意; 若a 2=3,则(6-d )2=(3-d )(12+2d ),解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或a n =2n -1. 18.解:(1)因为(a +b +c )(a -b +c )=ac ,所以a 2+c 2-b 2=-ac .由余弦定理得cos B =222122a cb ac +-=-, 因此B =120°.(2)由(1)知A +C =60°,所以cos(A -C )=cos A cos C +sin A sin C =cos A cos C -sin A sin C +2sin A sin C =cos(A +C )+2sin A sin C=11+2242⨯=, 故A -C =30°或A -C =-30°, 因此C =15°或C =45°. 19.(1)证明:取BC 的中点E ,连结DE ,则ABED 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O .连结OA ,OB ,OD ,OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA =PB =PD , 所以OA =OB =OD ,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE ⊥BD ,从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点,所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一:由(1)知CD ⊥PB ,CD ⊥PO ,PB ∩PO =P ,故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ,所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ,PC 的中点G ,连结FG ,则FG ∥CD ,FG ⊥PD .连结AF ,由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD .所以∠AFG 为二面角A -PD -C 的平面角.连结AG ,EG ,则EG ∥PB .又PB ⊥AE ,所以EG ⊥AE .设AB =2,则AE =,EG =12PB =1,故AG 3.在△AFG 中,FG =12CD =,AF =AG =3,所以cos ∠AFG =22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A -PD -C 的大小为π-解法二:由(1)知,OE ,OB ,OP 两两垂直.以O 为坐标原点,OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设|AB |=2,则A (,0,0),D (0,,0),C (,0),P (0,0).PC =(,),PD =(0,,).AP =,0),AD =,,0).设平面PCD 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则n 1·PC =(x ,y ,z )·(,)=0,n 1·PD =(x ,y ,z )·(0,,)=0,可得2x -y -z =0,y +z =0.取y =-1,得x =0,z =1,故n 1=(0,-1,1).设平面PAD 的法向量为n 2=(m ,p ,q ),则n 2·AP =(m ,p ,q ,0)=0,n 2·AD =(m ,p ,q ,,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1).于是cos〈n1,n2〉=1212||||3=-·n nn n.由于〈n1,n2〉等于二面角A-PD-C的平面角,所以二面角A-PD-C的大小为π-20.解:(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”.则A=A1·A2.P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)·P(A3)=18,P(X=2)=P(1B·B3)=P(1B)P(B3)=14,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1151848--=,EX=0·P(X=0)+1·P(X=1)+2·P(X=2)=98.21.(1)解:由题设知ca=3,即222a ba+=9,故b2=8a2.所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得x=由题设知,=a2=1.所以a=1,b=(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①由题意可设l的方程为y=k(x-3),k(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=2268kk-,x1·x2=22988kk+-.于是|AF1|=-(3x1+1),|BF1|3x2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=23 -.故226283kk=--,解得k2=45,从而x1·x2=199-.由于|AF2|=1-3x1,|BF2|3x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(1)解:由已知f(0)=0,f′(x)=22121x xxλλ(-)-(+),f′(0)=0.若12λ<,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.若12λ≥,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.综上,λ的最小值是12.(2)证明:令12λ=.由(1)知,当x>0时,f(x)<0,即2ln(1) 22x xxx(+)>++.取1xk=,则211>ln21k kk k k++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ =2121211ln 21n n k n k n k k k k k --==++>(+)∑∑ =ln 2n -ln n =ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A ={x |x 2-2x >0},B ={x |-5<x <5},则( ).A .A ∩B = B .A ∪B =RC .B ⊆AD .A ⊆B2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z 满足(3-4i)z =|4+3i|,则z 的虚部为( ).A .-4B .45-C .4 D .45 3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为52,则C 的渐近线方程为( ).A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x± D .y =±x 5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).A .500π3cm3B .866π3cm3C .1372π3cm3D .2048π3cm37.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =( ).A .3B .4C .5D .68.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m 为正整数,(x +y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x +y )2m +1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a =7b ,则m =( ).A .5B .6C .7D .8 10.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E :2222=1x y a b+(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ).A .22=14536x y +B .22=13627x y +C .22=12718x y +D .22=1189x y +11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f (x )=220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,,,若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( ).A .(-∞,0]B .(-∞,1]C .[-2,1]D .[-2,0]12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n =1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1=2n n c a +,c n +1=2n n b a +,则( ). A .{Sn}为递减数列 B .{Sn}为递增数列C .{S2n -1}为递增数列,{S2n}为递减数列D .{S2n -1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t =__________.14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+,则{an}的通项公式是an=_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(2013课标全国Ⅰ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(2013课标全国Ⅰ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲:已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.答案:B解析:∵x (x -2)>0,∴x <0或x >2.∴集合A 与B 可用图象表示为:由图象可以看出A ∪B =R ,故选B.2.答案:D解析:∵(3-4i)z =|4+3i|, ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45,选D. 3.答案:C 解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.4.答案:C解析:∵c e a ==,∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2=4b 2,1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5.答案:A解析:若t ∈[-1,1),则执行s =3t ,故s ∈[-3,3).若t ∈[1,3],则执行s =4t -t 2,其对称轴为t =2.故当t =2时,s 取得最大值4.当t =1或3时,s 取得最小值3,则s ∈[3,4].综上可知,输出的s ∈[-3,4].故选A.6.答案:A解析:设球半径为R ,由题可知R ,R -2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图.BC =2,BA =4,OB =R -2,OA =R ,由R 2=(R -2)2+42,得R =5, 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3),故选A. 7.答案:C解析:∵S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,∴a m =S m -S m -1=0-(-2)=2,a m +1=S m +1-S m =3-0=3.∴d =a m +1-a m =3-2=1.∵S m =ma 1+12m m (-)×1=0,∴112m a -=-. 又∵a m +1=a 1+m ×1=3,∴132m m --+=. ∴m =5.故选C.8.答案:A 解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r =2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr 2×4×12+4×2×2=8π+16.故选A. 9.答案:B解析:由题意可知,a =2C m m ,b =21C m m +,又∵13a =7b ,∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+),即132171m m +=+.解得m =6.故选B. 10.答案:D解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵A ,B 在椭圆上, ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①-②,得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+, 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-), ∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2, 而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-,∴221=2b a . 又∵a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11.答案:D解析:由y =|f (x )|的图象知:①当x >0时,y =ax 只有a ≤0时,才能满足|f (x )|≥ax ,可排除B ,C.②当x ≤0时,y =|f (x )|=|-x 2+2x |=x 2-2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2-2x ≥ax .当x =0时,不等式为0≥0成立.当x <0时,不等式等价于x -2≤a .∵x -2<-2,∴a ≥-2.综上可知:a ∈[-2,0].12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:∵c =t a +(1-t )b ,∴b ·c =t a ·b +(1-t )|b |2.又∵|a |=|b |=1,且a 与b 夹角为60°,b ⊥c ,∴0=t |a ||b |cos 60°+(1-t ),0=12t +1-t . ∴t =2.14.答案:(-2)n -1 解析:∵2133n n S a =+,① ∴当n ≥2时,112133n n S a --=+.② ①-②,得12233n n n a a a -=-, 即1n n a a -=-2. ∵a 1=S 1=12133a +, ∴a 1=1. ∴{a n }是以1为首项,-2为公比的等比数列,a n =(-2)n -1. 15.答案:5- 解析:f (x )=sin x -2cos xx x ⎫⎪⎭, 令cos αsin α=则f (x )α+x ),当x =2k π+π2-α(k ∈Z )时,sin(α+x )有最大值1,f (x ) 即θ=2k π+π2-α(k ∈Z ),所以cos θ=πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α=5=-. 16.答案:16解析:∵函数f (x )的图像关于直线x =-2对称,∴f (x )满足f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3),即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )=-x 4-8x 3-14x 2+8x +15.由f ′(x )=-4x 3-24x 2-28x +8=0,得x 1=-2x 2=-2,x 3=-2易知,f (x )在(-∞,-2上为增函数,在(-2,-2)上为减函数,在(-2,-2)上为增函数,在(-2∴f (-2=[1-(-22][(-2)2+8(-2+15]=(-8--=80-64=16.f (-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.f (-2=[1-(-22][(-22+8(-2)+15]=(-8++=80-64=16.故f (x )的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)由已知得∠PBC =60°,所以∠PBA =30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=11732cos 30424+-︒=. 故PA=2. (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α.在△PBA中,由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-,cos α=4sin α.所以tan α=4,即tan ∠PBA=4. 18. (1)证明:取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B .因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)解:由(1)知OC ⊥AB ,OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,交线为AB ,所以OC ⊥平面AA 1B 1B ,故OA ,OA 1,OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,|OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz . 由题设知A (1,0,0),A 1(0,0),C (0,0,B (-1,0,0).则BC =(1,0,1BB =1AA =(-10),1AC =(0,. 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n =,1,-1).故cos 〈n ,1AC 〉=11A CA C⋅n n =. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件A ,依题意有A =(A 1B 1)∪(A 2B 2),且A 1B 1与A 2B 2互斥,所以P (A )=P (A 1B 1)+P (A 2B 2)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 2|A 2)=41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800,并且 P (X =400)=41111161616--=,P (X =500)=116,P (X =800)=14. 所以X 的分布列为EX =1111400+500+80016164⨯⨯⨯=506.25. 20. 解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y +(x ≠-2). (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM |-|PN |=2R -2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R =2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x -2)2+y 2=4.若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB |=若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP R QM r =,可求得Q (-4,0),所以可设l :y =k (x +4).由l 与圆M,解得k=4±. 当k=4时,将4y x =代入22=143x y +, 并整理得7x 2+8x -8=0,解得x 1,2=47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当k =时,由图形的对称性可知|AB |=187. 综上,|AB |=|AB |=187. 21. 解:(1)由已知得f (0)=2,g (0)=2,f ′(0)=4,g ′(0)=4.而f ′(x )=2x +a ,g ′(x )=e x (cx +d +c ),故b =2,d =2,a =4,d +c =4.从而a =4,b =2,c =2,d =2.(2)由(1)知,f (x )=x 2+4x +2,g (x )=2e x (x +1).设函数F (x )=kg (x )-f (x )=2k e x (x +1)-x 2-4x -2,则F ′(x )=2k e x (x +2)-2x -4=2(x +2)(k e x-1).由题设可得F (0)≥0,即k ≥1.令F ′(x )=0得x 1=-ln k ,x 2=-2.①若1≤k <e 2,则-2<x 1≤0.从而当x ∈(-2,x 1)时,F ′(x )<0;当x ∈(x 1,+∞)时,F ′(x )>0.即F (x )在(-2,x 1)单调递减,在(x 1,+∞)单调递增.故F (x )在[-2,+∞)的最小值为F (x 1).而F (x 1)=2x 1+2-21x -4x 1-2=-x 1(x 1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2k e-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=2.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23.解:(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24.解:(1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3.所以x ≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立. 故2a -≥a -2,即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ).A .{0,1,2}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,2,3}D .{0,1,2,3} 2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ).A .-1+iB .-1-IC .1+iD .1-i3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ).A .13B .13-C .19D .19-4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,lα,l β,则( ).A .α∥β且l ∥αB .α⊥β且l ⊥βC .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a =( ).A .-4B .-3C .-2D .-16.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N =10,那么输出的S =( ).A .1111+2310+++B .1111+2!3!10!+++C .1111+2311+++D .1111+2!3!11!+++7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ). 8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( ).A .c >b >aB .b >c >aC .a >c >bD .a >b >c9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a >0,x ,y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z =2x +y 的最小值为1,则a =( ).A.14 B.12 C.1 D.210.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ).A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x12.(2013课标全国Ⅱ,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ).A.(0,1) B.1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C.1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。

2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)

2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理科)注意事项:1. 答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(选择题)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设复数)2)(1(++i mi 是纯虚数,则m =( )A .1=mB .1-=mC .2=mD .21-=m2.已知命题:p “若b a =,则||||b a =”,则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.要完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;② 从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的方法依次为( )A .①简单随机抽样调查,②系统抽样B .①分层抽样,②简单随机抽样C .①系统抽样,② 分层抽样D .①② 都用分层抽样4.如图,一个几何体的三视图都是边长为1的正方形,那么这个几何体的体积为( ) A .32 B .31 C .32 D .15.关于函数函数=)(x f 1)sin 3(cos cos 2-+x x x ,以下结论正确的是( )A .)(x f 的最小正周期是π,在区间),(12512ππ-是增函数 B .)(x f 的最小正周期是π2,最大值是2 C .)(x f 的最小正周期是π,最大值是3D .)(x f 的最小正周期是π,在区间),(612ππ-是增函数6.某人欲购铅笔和圆珠笔共若干只,已知铅笔1元一只,圆珠笔2元一只.要求铅笔不超 过2只,圆珠笔不超过2只,但铅笔和圆珠笔总数不少于2只,则支出最少和最多的钱数 分别是( )A .2元,6元B .2元,5元C .3元,6元D . 3元,5元 7.已知F 1 、F 2分别是双曲线1by ax 2222=-(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ) A .2 B . 3 C . 4D . 58.函数xxx y sin 2sin 3cos 42---=的最大值是( )A .37- B .3- C .37 D . 1第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9—12题)9.已知集合}0|){(≥+-=m y x y x A ,,集合}1|){(22≤+=y x y x B ,.若φ=B A ,则实数m 的取值范围是____________. 10.关于函数⎩⎨⎧≤≤-≤<-=11cos 41)(x x x x x f ,,的流程图如下,现输入区间][b a ,,则输出的区间是____________.11.函数3)12(2--+=x a ax y 在区间[23-,2]上的最大值是3,则实数a =____________.12.设平面上n 个圆周最多把平面分成)(n f 片(平面区域),则=)2(f ____________,=)(n f ____________.(1≥n ,n 是自然数) (二)选做题(13—15题,考生只能从中选做两题) 13.(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为θθθ(,sin 41c os 4⎩⎨⎧+=+=y a x 是参数,0>a ),若曲线C 与直线0543=-+y x 只有一个交点,则实数a 的值是____________.14.(不等式选讲选做题)设函数2)(--=a x x f ,若不等式)(x f <1的解)4,2()0,2( -∈x ,则实数a =____________.15.(几何证明选讲选做题)如右图,已知PB 是⊙O 的 切线,A 是切点,D 是弧AC 上一点,若︒=∠70BAC , 则_______=∠ADC .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)如图所示,正在亚丁湾执行护航任务的某导弹护卫舰,突然收到一艘商船的求救信号,紧急前往相关海域.到达相关海域O 处后发现,在南偏西20、5海里外的洋面M 处有一条海盗船,它正以每小时20海里的速度向南偏东40的方向逃窜.某导弹护卫舰当即施放载有突击队员的快艇进行拦截,快艇以每小时30海里的速度向南偏东θ的方向全速追击.请问:快艇能否追上海盗船?如果能追上,请求出)40sin(+θ的值;如果未能追上,请说明理由.(假设海面上风平浪静、海盗船逃窜的航向不变、快艇运转正常无故障等)NM17.(本小题满分12分)某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润,事件A 为“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”. (Ⅰ)求事件A 的概率()P A ; (Ⅱ)求η的分布列及期望E η.18.(本小题满分13分)如图,已知直四棱柱ABCD-1111D C B A 的底面是边长为2、Q1A 1CA∠ADC=120的菱形,Q 是侧棱1DD (1DD >22)延长线上的一点,过点Q 、1A 、1C 作菱形截面Q 1A P 1C 交侧棱1BB 于点P .设截面Q 1A P 1C 的面积为1S ,四面体P C A B 111-的三侧面111C A B ∆、11PC B ∆、P A B 11∆面积的和为2S ,21S S S -=. (Ⅰ)证明:QP AC ⊥;(Ⅱ) 当S 取得最小值时,求cos ∠11QC A 的值.19.(本小题满分14分)在直角坐标平面内,定点 )0,1(-F 、)0,1('F ,动点M,满足条件22||||'=+MF MF .(Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)过点F 的直线交曲线C 交于A,B 两点,求以AB 为直径的圆的方程,并判定这个圆与直线2-=x 的位置关系.20.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和,求⋅n T21.(本小题满分14分)理科函数()326f x x x =-的定义域为[]2,t -,设()()2,f m f t n -==,)(x f '是)(x f 的导数.(Ⅰ)求证:n m ≥ ;(Ⅱ)确定t 的范围使函数()f x 在[]2,t -上是单调函数; (Ⅲ)求证:对于任意的2t >-,总存在()02,x t ∈-,满足()'02n m f x t -=+;并确定这样的0x 的个数.【答案及详细解析】一、选择题:本大题理科共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

<1 的解集为( )
A.{x|0<x<1}∪{x|x>1}
A.
B.
C.
D.
A.
B.2
C.
D.3
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)(x﹣y)10 的展开式中,x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于 . 14.(5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=81,则 a2+a5+a8= . 15.(5 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此
球的表面积等于 .
16.(5 分)若
,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为 .
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三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)
20.(12 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ .
17.(10 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a2﹣c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC, (1)设 bn= ,求数列{bn}的通项公式;
6.(5 分)设 、 、 是单位向量,且
,则

的最小值为( )
,则| |=( )
A.﹣2
B. ﹣2
C.﹣1
D.1﹣
7.(5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的 中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( )
(I)求甲获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 的分布列及数学期望.

2007年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

2007年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1.sin 210= ( ) A .32B .32-C .12D .12-2.函数sin y x =的一个单调增区间是( )A .ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭,B .3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭,C .3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭,D .32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭,3.设复数z 满足12ii z+=,则z =( ) A .2i -+B .2i --C .2i -D .2i +4.下列四个数中最大的是( ) A .2(ln 2)B .ln(ln 2)C .ln 2D .ln 25.在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若123AD DB CD CA CB λ==+,,则λ=( )A .23B .13C .13-D .23-6.不等式2104x x ->-的解集是( ) A .(21)-, B .(2)+∞, C .(21)(2)-+∞ ,, D .(2)(1)-∞-+∞ ,,7.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于( ) A .64B .104C .22D .328.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A .3B .2C .1D .129.把函数e x y =的图像按向量(23)=,a 平移,得到()y f x =的图像,则()f x =( ) A .3e 2x -+B .3e 2x +-C .2e 3x -+D .2e 3x +-10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( ) A .40种B .60种C .100种D .120种11.设12F F ,分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ∠= 且123AF AF =,则双曲线的离心率为( ) A .52B .102C .152D .512.设F 为抛物线24y x =的焦点,A B C ,,为该抛物线上三点,若FA FB FC ++=0,则FA FB FC ++= ( )A .9B .6C .4D .3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 .(用数字作答)14.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>,.若ξ在(01),内取值的概率为0.4,则ξ在(02),内取值的概率为 .15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2. 16.已知数列的通项52n a n =-+,其前n 项和为n S ,则2limnn S n ∞=→ . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在ABC△中,已知内角Aπ=3,边23BC=.设内角B x=,周长为y.(1)求函数()y f x=的解析式和定义域;(2)求y的最大值.18.(本小题满分12分)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数,求ξ的分布列.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥S ABCD-中,底面A B C D为正方形,侧棱SD⊥底面A B C D E F,,分别为AB SC,的中点.(1)证明EF∥平面SAD;(2)设2SD DC=,求二面角A EF D--的大小.A EB CF SD20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切. (1)求圆O 的方程;(2)圆O 与x 轴相交于A B ,两点,圆内的动点P 使PA PO PB ,,成等比数列,求PA PB的取值范围.21.(本小题满分12分)设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==,,,,,,…. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设32n n n b a a =-,证明1n n b b +<,其中n 为正整数.22.(本小题满分12分) 已知函数3()f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程;(2)设0a >,如果过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<<.2007年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)数学(理)试题答案解析: 一、选择题 1.答案:D解析:sin2100 =1sin 302-︒=-,选D 。

2007年高考数学卷(四川.理)含详解

2007年高考数学卷(四川.理)含详解

2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到10页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一.选择题: (1)复数211i ii +-+的值是 (A )0 (B)1 (C)-1 (D)1(2)函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)2211lim 21x x x x →-=-- (A )0 (B)1 (C)21 (D)32 (4)如图,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论错误..的是 (A )BD ∥平面CB 1D 1 (B )AC 1⊥BD(C )AC 1⊥平面CB 1D 1 (D )异面直线AD 与CB 1角为60° (5)如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是 (A )364 (B )362 (C )62 (D )32(6)设球O 的半径是1,A 、B 、C 是球面上三点,已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π,且三面角B -OA -C 的大小为3π,则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是 (A )67π (B )45π (C )34π (D )23π(7)设A {a ,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为(A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a(8)已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ,则|AB |等于(A )3 (B )4 (C )23 (D )24(9)某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为(A )36万元 (B )31.2万元 (C )30.4万元 (D )24万元 (10)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有(A )288个 (B )240个 (C )144个 (D )126个 (11)如图,l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线,l 1与l 2间的距离是1, l 2与l 3间的距离是2,正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上, 则△ABC 的边长是(A )32(B )364 (C )4173 (D )3212 (12)已知一组抛物线1212++=bx ax y ,其中a 为2,4,6,8中任取的一个数,b 为1,3,5,7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是(A )121 (B )607 (C )256 (D )255二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上.(13)若函数f (x )=e -(m -u )2 (c 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数,则m +u = .(14)如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1, 则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .(15)已知⊙O 的方程是x 2+y 2-2=0, ⊙O ’的方程是x 2+y 2-8x +10=0,由动点P 向⊙O 和 ⊙O ’所引的切线长相等,则动点P 的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题:①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数,在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 (写出所言 )三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值.(Ⅱ)求β.(18)(本小题满分12分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率; (Ⅱ)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求该商家拒收这批产品的概率.(19)(本小题满分12分)如图,PCBM 是直角梯形,∠PCB =90°,PM ∥BC ,PM =1,BC =2,又AC =1,∠ACB =120°,AB ⊥PC ,直线AM 与直线PC 所成的角为60°. (Ⅰ)求证:平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角B AC M --的大小; (Ⅲ)求三棱锥MAC P -的体积.(20)(本小题满分12分)设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. (Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求1PF ·2PF 的最大值和最小值;(Ⅱ)设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.已知函数42)(+=x x f ,设曲线)(x f y =在点()处的切线与x 轴线发点()()其中xn 为实数(21)(本小题满分12分)(22)(本小题满分14分)设函数),1,(11)(N x n N n n x f n∈∈⎪⎭⎫⎝⎛+= 且.(Ⅰ)当x =6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +>);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an <∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛+nk k 111<n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学参考答案一.选择题:本题考察基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分(1) A (2) C (3) D (4) D (5) A (6) C (7) A (8) C (9) B (10) B (11) D (12) B 二.填空题:本题考察基础知识和基本运算,每小题4分,满分16分 (13)1 (14)6π(15)32x = (16)① ④三.解答题:(17)本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力。

2007年高考真题试卷全国卷Ⅰ数学理科参考答案

2007年高考真题试卷全国卷Ⅰ数学理科参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题: (1)D (2)B (3)A (4)A (5)C (6)C (7)D (8)D (9)B(10)D(11)C(12)A二、填空题:(13)36(14)3()x x ∈R(15)13(16)三、解答题: (17)解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336A πππ<+<,所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以,cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭,. (18)解:(Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=,()1()10.2160.784P A P A =-=-=.(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.(200)(1)0.4P P ηξ====,(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=(元).(19)解法一:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =,又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥,由三垂线定理,得SA BC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC∥,故SA AD ⊥,由AD BC ==,SA =AO 1SO =,SD =.SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ,得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ,由于D SAB S ABD V V --=,得121133h S SO S =, 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α,则sin h SD α===. 所以,直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11. 解法二:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥平面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =.又45ABC =∠,AOB △为等腰直角三角形,AO OB ⊥. 如图,以O 为坐标原点,OA 为x0)A ,,(0B ,(0C ,(001)S ,,,(2,(0CB =,0SA CB =,所以SA BC ⊥.(Ⅱ)取AB 中点E ,022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,连结SE ,取SE 中点G ,连结OG ,1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,. 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,,,122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,,(AB =. 0SE OG =,0AB OG =,OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ,AB 垂直.所以OG ⊥平面SAB ,OG 与DS 的夹角记为α,SD 与平面SAB 所成的角记为β,则α与β互余.D ,(DS =. 22cos 11OG DS OG DSα==,sin 11β= 所以,直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11. (20)解:(Ⅰ)()f x 的导数()e e x xf x -'=+.由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (Ⅱ)令()()g x f x ax =-,则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-,(ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e20xxg x a a -'=+->-≥,故()g x 在(0)+,∞上为增函数, 所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =,此时,若1(0)x x ∈,,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以,1(0)x x ∈,时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞,. (21)证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距1c ==,由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上,故22001x y +=, 所以,222200021132222y x y x ++=<≤. (Ⅱ)(ⅰ)当BD 的斜率k 存在且0k ≠时,BD 的方程为(1)y k x =+,代入椭圆方程22132x y +=,并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=. 设11()B x y ,,22()D x y ,,则2122632k x x k +=-+,21223632k x x k -=+ 22212221221)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+;因为AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为1k-,所以,221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+. 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥. 当21k =时,上式取等号.(ⅱ)当BD 的斜率0k =或斜率不存在时,四边形ABCD 的面积4S =.综上,四边形ABCD 的面积的最小值为9625. (22)解:(Ⅰ)由题设:11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=.所以,数列{n a -是首项为21的等比数列,1)n n a ,即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦,123n =,,,…. (Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当1n=2,112b a ==,所以11b a <≤,结论成立.(ⅱ)假设当n k =43k k b a -≤, 也即430k k b a -< 当1n k =+时,13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+,又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说,当1n k =+时,结论成立.43n n b a -<≤,123n =,,,….。

2007年四川高考理科数学试卷及答案解析版

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普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理全解全析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1、复数311i i i++-的值是( ) (A )0(B )1(C )1-(D )i解析:选A .23331(1)201(1)(1)2i i ii i i i i i i i +++=+=+=-=--+.本题考查复数的代数运算.2、函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是( )解析:选C .注意 1(1)()22x x g x -+--==的图象是由2x y -=的图象右移1而得.本题考查函数图象的平移法则.3、2211lim 21x x x x →-=--( ) (A )0 (B )1 (C )12 (D )23解析:选D .本题考查00型的极限.原式11(1)(1)12lim lim (1)(21)213x x x x x x x x →→+-+===-++或原式122lim 413x x x →==-.4、如图,1111ABCD A BC D -为正方体,下面结论错误..的是( )(A )//BD 平面11CB D (B )1AC BD ⊥ (C )1AC ⊥平面11CB D(D )异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒解析:选D .显然异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒.5、如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是( )(A )3 (B )3(C ) (D )解析:选A .由点P 到双曲线右焦点的距离是2知P 在双曲线右支上.又由双曲线的第二定义知点P ,双曲线的右准线方程是x =P 到y .6、设球O 的半径是1,A 、B 、C 是球面上三点,已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π,且二面角B OAC --的大小是3π,则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是( )(A )76π(B )54π (C )43π (D )32π 解析:选C .42323d AB BC CA ππππ=++=++=.本题考查球面距离.7、设(,1)A a ,(2,)B b ,(4,5)C 为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为( )(A )453a b -= (B )543a b -= (C )4514a b += (D )5414a b +=解析:选A .由OA 与OB 在OC 方向上的投影相同,可得:OA OC OB OC ⋅=⋅即 4585a b +=+,453a b -=.8、已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ,则AB 等于( )(A )3 (B )4 (C ) (D )解析:选C .设直线AB 的方程为y x b =+,由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩,进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+,又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =,∴220x x +-=,由弦长公式可求出AB ==关系.自本题起运算量增大.9、某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( )(A )36万元 (B )31.2万元 (C )30.4万元 (D )24万元解析:选B .对甲项目投资24万元,对乙项目投资36万元,可获最大利润31.2万元.因为对乙项目投资获利较大,故在投资规划要求内(对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍)尽可能多地安排资金投资于乙项目,即对项目甲的投资等于对项目乙投资的32倍时可获最大利润.这是最优解法.也可用线性规划的通法求解.注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现.10、用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有( )(A )288个 (B )240个 (C )144个 (D )126个解析:选B .对个位是0和个位不是0两类情形分类计数;对每一类情形按“个位-最高位-中间三位”分步计数:①个位是0并且比20000大的五位偶数有341496A ⨯⨯=个;②个位不是0并且比20000大的五位偶数有3423144A ⨯⨯=个;故共有96144240+=个.本题考查两个基本原理,是典型的源于教材的题目.11、如图,1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线,1l 与2l 间的距离是1,2l 与3l 间的距离是2,正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上,则⊿ABC 的边长是( )(A ) (B )364(C (D )3 解析:选D .过点C作2l 的垂线4l ,以2l 、4l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系.设(,1)A a 、(,0)B b 、(0,2)C -,由A B B C==知2222()149a b b a -+=+=+=边长,检验A :222()14912a b b a -+=+=+=,无解;检验B :22232()1493a b b a -+=+=+=,无解;检验D :22228()1493a b b a -+=+=+=,正确.本题是把关题.在基础中考能力,在综合中考能力,在应用中考能力,在新型题中考能力全占全了.是一道精彩的好题.可惜区分度太小.12、已知一组抛物线2112y ax bx =++,其中a 为2、4、6、8中任取的一个数,b 为1、3、5、7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是( )(A )112 (B )760 (C )625 (D )516解析:选B .这一组抛物线共4416⨯=条,从中任意抽取两条,共有216120C =种不同的方法.它们在与直线1x =交点处的切线的斜率1'|x k y a b ===+.若5a b +=,有两种情形,从中取出两条,有22C 种取法;若7a b +=,有三种情形,从中取出两条,有23C 种取法;若9a b +=,有四种情形,从中取出两条,有24C 种取法;若11a b +=,有三种情形,从中取出两条,有23C 种取法;若13a b +=,有两种情形,从中取出两条,有22C 种取法.由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有222222343214C C C C C ++++=种,故所求概率为760.本题是把关题. 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分;把答案填在题中的横线上.13、若函数2()()x f x e μ--=(e 是自然对数的底数)的最大值是m ,且()f x 是偶函数,则m μ+=________. 解析:1m =,0n =,∴1m μ+=.14、在正三棱柱111ABC A B C -1,则1BC 与侧面11ACC A 所成的角是____________解析:1BC =B 到平面11ACC A ,∴1sin 2θ=,30θ=︒.15、已知O 的方程是2220x y +-=,'O 的方程是228100x y x +-+=,由动点P 向O 和'O 所引的切线长相等,则动点P 的轨迹方程是__________________解析:O :圆心(0,0)O ,半径r ='O :圆心'(4,0)O ,半径'r =(,)P x y ,由切线长相等得222x y +-=22810x y x +-+,32x =. 16、下面有5个命题:①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈.③在同一坐标系中,函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点.④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象.⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数.其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号)解析:①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-,正确;②错误;③sin y x =,tan y x =和y x =在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.三.解答题: (17)已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值.(Ⅱ)求β. 本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力。

全国统一高考数学练习卷及含答案 (1)

全国统一高考数学练习卷及含答案  (1)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(满分150分,考试时间120分钟)一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直,则a 与b 的夹角是()A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内,另一个点在平面α外,则直线l 与平面α的位置关系()A.l ⊂αB.l ⊄αC.l ∥αD.以上都不正确3、两个平面若有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22,那么它的通项公式是()A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是()A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M ()A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为()(A)60%(B)30%(C)10%(D)50%8.如图,在正方形ABCD 中,E、F、G、H 是各边中点,O 是正方形中心,在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中,以其中三个点为顶点作三角形,在这些三角形中,互不全等的三角形共有()A.6个B.7个C.8个D.9个9.如图,正四面体ABCD 中,E 为AB 中点,F 为CD 的中点,则异面直线EF 与SA 所成的角为()A.90°B.60°C.45°D.30°10.如图,正三棱柱111C B A ABC -中,AB=1AA ,则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为()A.22B.515C.46D.3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上,则实数m 的值为()A.0B.23C.2D.312.已知椭圆22221a y x =+(a>0)与A(2,1),B(4,3)为端点的线段没有公共点,则a 的取值范围是()A.2230<<a B.2230<<a 或282>aC.223<a 或282>a D.282223<<a 二、填空题(共4小题,每小题5分;共计20分)1.方程log2|x|=x2-2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子,它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点,从每个顶点都引出3条棱,各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个,形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内,有两个半径也为6的球面,两球的球心距为13,若作一个平面与两个球都相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数;②f(x)关于直线x=1对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题:(满分70分)1.如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A ,)4B π,4C 3π,(2,)D π,弧 AB , BC , CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,2π,(1,)π,曲线1M 是弧 AB ,曲线2M 是弧 BC ,曲线3M 是弧CD .(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=.(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立,证明:3a ≤-或1a ≥-.3.在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.4.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(Ⅰ)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(Ⅱ)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.5、如图,在三棱锥P ABC -中,⊿PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90º(Ⅰ)证明:AB⊥PC(Ⅱ)若4PC =,且平面PAC ⊥平面PBC ,求三棱锥P ABC -体积。

2007年福建高考理科数学试卷及答案详解(文字版)

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2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(福建卷及详解)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数21(1i)+等于( ) A .12B .12-C .1i 2D .1i 2-解析:=.2.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =+,则5S 等于( )A .1B .56C .16D .130解析:=,所以,选B.3.已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<,,且()A B =R R ð,则实数a 的取值范围是( ) A .1a ≤B .1a <C .2a ≥D .2a >解析:或,因为,所以,选C.4.对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( )A .若=0a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若22=a b ,则=a b 或-a =bD .若a b =a c ,则b =c 解析:时也有,故A 不正确;同理C 不正确;由得不到b=c ,如为零向量或与b 、c 垂直时,选B.5.已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π,则该函数的图象( ) A .关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭,对称B .关于直线x π=4对称 C .关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭,对称D .关于直线x π=3对称由函数的最小正周期为得,由得,对称点为(,0)(),当k=1时为(,0),选A.6.以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( ) A .221090x y x +-+= B .2210160x y x +-+= C .2210160x y x +++=D .221090x y x +++=右焦点即圆心为(5,0),一渐近线方程为,即,,圆方程为,即A :,选A.7.已知()f x 为R 上的减函数,则满足1(1)f f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是( ) A .(11)-,B .(01),C .(10)(01)- ,, D .(1)(1)-∞-+∞ ,,由已知得解得或,选C.8.已知m n ,为两条不同的直线,αβ,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A .m n m n ααββαβ⊂⊂⇒,,∥,∥∥ B .m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥,,∥C .m m n n αα⇒⊥,⊥∥D .n m n m αα⇒∥,⊥⊥A 中m 、n 少相交条件,不正确;B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行,不正确;C 中n 可以在内,不正确,选D.9.把21(1)(1)(1)nx x x +++++++ 展开成关于x 的多项式,其各项系数和为n a ,则21lim1n n na a ∞-+→等于( )A .14B .12C .1D .2令=1得=1+2+22+……+2n=,,选D.10.顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中,1AB AA '==,则A C ,两点间的球面距离为( ) A .π4B .π2CD正四棱柱的对角线为球的直径,由得R=1,AC=,所以∠AOC=(其中O 为球心)A 、C 两点间的球面距离为,选B.11.已知对任意实数x ,有()()()(f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()f x g x ''>>,,则0x <时( )A .()0()0f x g x ''>>,B .()0()0f x g x ''><,C .()0()0f x g x ''<>,D .()0()0f x g x ''<<,由已知为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;为偶函数,在对称区间的单调性相反,时,递增,当时,递增,; 递减, ,选B.12.如图,三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==,,;,,,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )A .37 B .47C .114D .1314从中任取三个数共有种取法,没有同行、同列的取法有,至少有两个数位于同行或同列的概率是,选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.13.已知实数x y ,满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥,≤,≤≤,则2z x y =-的取值范围是________.画出可行域知在(-1,3)取得最小值-5,在(5,3)取得最大值7,范围是[-5,7].14.已知正方形ABCD ,则以A B ,为焦点,且过C D ,两点的椭圆的离心率为______.设c=1,则.15.两封信随机投入A BC ,,三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= .ξ的取值有0,1,2,,所以E ξ=111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭16.中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件: (1)自反性:对于任意a A ∈,都有a a -;(2)对称性:对于a b A ∈,,若a b -,则有b a -;(3)传递性:对于a b c A ∈,,,若a b -,b c -,则有a c -. 则称“-”是集合A 的一个等价关系.例如:“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立).请你再列出三个等价关系:______.解析:.答案不唯一,如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 在ABC △中,1tan 4A =,3tan 5B =. (Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若ABC △ 解析: (Ⅰ),.又,.(Ⅱ),边最大,即.又,角最小,边为最小边.由且,得.由得:.所以,最小边18.(本小题满分12分)如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点.(Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离. 解析: (Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.正三棱柱中,平面平面, 平面.连结,在正方形中,分别为的中点,,.在正方形中,,平面.(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得ABCD1A1C1B平面.,为二面角的平面角.在中,由等面积法可求得,又,.所以二面角的大小为.(Ⅲ)中,,.在正三棱柱中,到平面的距离为.设点到平面的距离为.由得,.点到平面的距离为.(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.在正三棱柱中,平面平面,平面.取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.,,,.平面.(Ⅱ)设平面的法向量为,.,令得为平面的一个法向量.由(Ⅰ)知平面,为平面的法向量.,二面角的大小为.(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,.点到平面的距离19.(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a 元(35a ≤≤)的管理费,预计当每件产品的售价为x 元(911x ≤≤)时,一年的销售量为2(12)x -万件.(Ⅰ)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式;(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L 最大,并求出L 的最大值()Q a . 解:(Ⅰ)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为:2(3)(12)[911]L x a x x =---∈,,.(Ⅱ)2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823)x a x =-+-.令0L '=得263x a =+或12x =(不合题意,舍去). 35a ≤≤,2288633a ∴+≤≤.在263x a =+两侧L '的值由正变负.所以(1)当28693a +<≤即932a <≤时,2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-.(2)当2289633a +≤≤即952a ≤≤时, 23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩, ≤,, ≤≤ 答:若932a <≤,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L 最大,最大值()9(6)Q a a =-(万元);若952a ≤≤,则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时,分公司一年的利润L 最大,最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(万元).20. (2007年福建理20)如图,已知点F (1,0),直线l :=-1,P 为平面上的动点,过P 作直线l 的垂线,垂足为点Q ,且.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点,交直线l 于点M ,已知,,求的值.解析: (Ⅰ)设点,则,由得: ,化简得.(Ⅱ)设直线的方程为: .设,,又,联立方程组,消去得:,,故由,得:,,整理得:,,.(Ⅰ)由得:,,,.所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.(Ⅱ)由已知,,得.则:.…………①过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,则有:.…………②由①②得:,即.21.(本小题满分12分)等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+, (Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ; (Ⅱ)设()nn S b n n*=∈N ,求证:数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(Ⅰ)由已知得,,故.(Ⅱ)由(Ⅰ)得.假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则.即.,.与矛盾.所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.22.(本小题满分14分) 已知函数()e x f x kx x =-∈R ,(Ⅰ)若e k =,试确定函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若0k >,且对于任意x ∈R ,()0f x >恒成立,试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)设函数()()()F x f x f x =+-,求证:12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N .解析: (Ⅰ)由得,所以.由得,故的单调递增区间是, 由得,故的单调递减区间是.(Ⅱ)由可知是偶函数. 于是对任意成立等价于对任意成立.由得.①当时,. 此时在上单调递增. 故,符合题意.②当时,.当变化时的变化情况如下表:由此可得,在上,.依题意,,又.综合①,②得,实数的取值范围是.(Ⅲ),,,由此得,故.。

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C.D.2.(4分)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.23.(4分)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(4分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.5.(4分)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣26.(4分)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1) B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)7.(4分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.(4分)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.49.(4分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(4分)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3 B.4 C.5 D.611.(4分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.812.(4分)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B.C.D.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答)14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.15.(5分)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.16.(5分)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.18.(12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.19.(14分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(14分)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.21.(14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.22.(16分)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C.D.【分析】根据tanα=,sin2α+cos2α=1,即可得答案.【解答】解:∵α是第四象限角,=,sin2α+cos2α=1,∴sinα=﹣.故选D.2.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.2【分析】复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.【解答】解.设a是实数,=是实数,则a=1,故选B.3.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b ﹣a=()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2【分析】根据题意,集合,注意到后面集合中有元素0,由集合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得a+b=0,进而分析可得a、b 的值,计算可得答案.【解答】解:根据题意,集合,又∵a≠0,∴a+b=0,即a=﹣b,∴,b=1;故a=﹣1,b=1,则b﹣a=2,故选C.6.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1) B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点,我们可以将答案中的四个点逐一代入验证,不难得到结论.【解答】解.给出的四个点中,(1,1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1)三点到直线x ﹣y+1=0的距离都为,但∵,仅有(﹣1,﹣1)点位于表示的平面区域内故选C7.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=log a x是单调递增函数,最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1,所以log a2a﹣log a a=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.(4分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g (x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g (x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B10.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.【解答】解:的展开式中,常数项为15,则,所以n可以被3整除,当n=3时,C31=3≠15,当n=6时,C62=15,故选项为D11.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.12.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B.C.D.【分析】化简函数为关于cosx的二次函数,然后换元,分别求出单调区间判定选项的正误.【解答】解.函数=cos2x﹣cosx﹣1,原函数看作g(t)=t2﹣t﹣1,t=cosx,对于g(t)=t2﹣t﹣1,当时,g(t)为减函数,当时,g(t)为增函数,当时,t=cosx减函数,且,∴原函数此时是单调增,故选A二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有36种.(用数字作答)【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题,先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,写出即可.【解答】解.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种.14.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=3x(x∈R).【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x 对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为2.【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高,从而得出等腰直角三角形DEF的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可.【解答】解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴斜边EF的长为2.故答案为:2.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.【分析】(1)先利用正弦定理求得sinB的值,进而求得B.(2)把(1)中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理,进而根据A 的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)===.由△ABC为锐角三角形知,0<A<,0<﹣A<,∴<A<,,所以.由此有<,所以,cosA+sinC的取值范围为(,).18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.【分析】(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,根据对立事件的概率公式得到结果.(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率,写出变量的分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”,∴.(Ⅱ)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=1﹣P(η=200)﹣P(η=250)=1﹣0.4﹣0.4=0.2.∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).19.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,通过证明,推出SA⊥BC.(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC 的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)先求出f(x)的导函数,利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号.得到f'(x)≥2;(Ⅱ)把不等式变形令g(x)=f(x)﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点,在x ≥0上求出a的取值范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的导数f'(x)=e x+e﹣x.由于,故f'(x)≥2.(当且仅当x=0时,等号成立).(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣ax,则g'(x)=f'(x)﹣a=e x+e﹣x﹣a,(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g'(x)=e x+e﹣x﹣a>2﹣a≥0,故g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.(ⅱ)若a>2,方程g'(x)=0的正根为,此时,若x∈(0,x1),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax 相矛盾.综上,满足条件的a的取值范围是(﹣∞,2].21.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.22.(16分)(2007•全国卷Ⅰ)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…【分析】(Ⅰ)先对进行整理可得到,即数列是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列的通项公式可得到,进而得到.(Ⅱ)用数学归纳法证明.当n=1时可得到b1=a1=2满足条件,然后假设当n=k 时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=,进而可得证.【解答】解:(Ⅰ)由题设:==,.所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,即a n的通项公式为,n=1,2,3,.(Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当n=1时,因,b1=a1=2,所以,结论成立.(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即,也即.当n=k+1时,==,又,所以=.也就是说,当n=k+1时,结论成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)知,n=1,2,3,.。

2007年高考数学(理)真题(Word版)――全国2卷(试题+答案解析)

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2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学(理)试题(必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷(选择题)本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.参考公式:如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径,P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么V=,n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P n(k)=C P k(1-P)n-k一、选择题1.()A.B.C.D.2.函数的一个单调增区间是()A.B.C.D.3.设复数满足,则()A.B.C.D.4.下列四个数中最大的是()A.B.C.D.5.在中,已知是边上一点,若,则()A.B.C.D.6.不等式的解集是()A.B.C.D.7.已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值等于()A.B.C.D.8.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3 B.2 C.1 D.9.把函数的图像按向量平移,得到的图像,则()A.B.C.D.10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有()A.40种B.60种C.100种D.120种11.设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.12.设为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若,则()A.9 B.6 C.4 D.3第Ⅱ卷(非选择题)本卷共10题,共90分二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中常数项为.(用数字作答)14.在某项测量中,测量结果服从正态分布.若在内取值的概率为0.4,则在内取值的概率为.15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为cm.16.已知数列的通项,其前项和为,则 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在中,已知内角,边.设内角,周长为.(1)求函数的解析式和定义域;(2)求的最大值.18.(本小题满分12分)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率. (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率;(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,表示取出的2件产品中二等品的件数,求的分布列.19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面分别为的中点. (1)证明平面; (2)设,求二面角的大小.20.(本小题满分12分) 在直角坐标系中,以为圆心的圆与直线相切.(1)求圆的方程; (2)圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,求的取值范围.AEBCFSD21.(本小题满分12分)设数列的首项.(1)求的通项公式;(2)设,证明,其中为正整数.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.答案解析一、选择题 1.答案:D 解析:sin2100 =,选D 。

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题目(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C.D.2.(4分)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1C.D.23.(4分)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(4分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.5.(4分)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=()A.1B.﹣1C.2D.﹣26.(4分)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)7.(4分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.(4分)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2C.D.49.(4分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(4分)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3B.4C.5D.611.(4分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4B.C.D.812.(4分)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B.C.D.二、填空题目(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答)14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.15.(5分)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.16.(5分)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.18.(12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.19.(14分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(14分)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.21.(14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.22.(16分)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题目(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C.D.【分析】根据tanα=,sin2α+cos2α=1,即可得答案.【解答】解:∵α是第四象限角,=,sin2α+cos2α=1,∴sinα=﹣.故选D.2.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1C.D.2【分析】复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.【解答】解.设a是实数,=是实数,则a=1,故选B.3.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b ﹣a=()A.1B.﹣1C.2D.﹣2【分析】根据题意,集合,注意到后面集合中有元素0,由集合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得a+b=0,进而分析可得a、b的值,计算可得答案.【解答】解:根据题意,集合,又∵a≠0,∴a+b=0,即a=﹣b,∴,b=1;故a=﹣1,b=1,则b﹣a=2,故选C.6.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点,我们可以将答案中的四个点逐一代入验证,不难得到结论.【解答】解.给出的四个点中,(1,1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1)三点到直线x﹣y+1=0的距离都为,但∵,仅有(﹣1,﹣1)点位于表示的平面区域内故选C7.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=log a x是单调递增函数,最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1,所以log a2a﹣log a a=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.(4分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g (x)均不是偶函数”,故选B10.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3B.4C.5D.6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.【解答】解:的展开式中,常数项为15,则,所以n可以被3整除,当n=3时,C31=3≠15,当n=6时,C62=15,故选项为D11.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A (3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.12.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B.C.D.【分析】化简函数为关于cosx的二次函数,然后换元,分别求出单调区间判定选项的正误.【解答】解.函数=cos2x﹣cosx﹣1,原函数看作g(t)=t2﹣t﹣1,t=cosx,对于g(t)=t2﹣t﹣1,当时,g(t)为减函数,当时,g(t)为增函数,当时,t=cosx减函数,且,∴原函数此时是单调增,故选A二、填空题目(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有36种.(用数字作答)【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题,先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,写出即可.【解答】解.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种.14.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=3x(x∈R).【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为2.【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高,从而得出等腰直角三角形DEF的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可.【解答】解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴斜边EF的长为2.故答案为:2.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.【分析】(1)先利用正弦定理求得sinB的值,进而求得B.(2)把(1)中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理,进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)===.由△ABC为锐角三角形知,0<A<,0<﹣A<,∴<A<,,所以.由此有<,所以,cosA+sinC的取值范围为(,).18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.【分析】(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,根据对立事件的概率公式得到结果.(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率,写出变量的分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”,∴.(Ⅱ)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=1﹣P(η=200)﹣P(η=250)=1﹣0.4﹣0.4=0.2.∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).19.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x 轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,通过证明,推出SA⊥BC.(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)先求出f(x)的导函数,利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号.得到f'(x)≥2;(Ⅱ)把不等式变形令g(x)=f(x)﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点,在x≥0上求出a的取值范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的导数f'(x)=e x+e﹣x.由于,故f'(x)≥2.(当且仅当x=0时,等号成立).(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣ax,则g'(x)=f'(x)﹣a=e x+e﹣x﹣a,(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g'(x)=e x+e﹣x﹣a>2﹣a≥0,故g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.(ⅱ)若a>2,方程g'(x)=0的正根为,此时,若x∈(0,x1),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾.综上,满足条件的a的取值范围是(﹣∞,2].21.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.22.(16分)(2007•全国卷Ⅰ)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…【分析】(Ⅰ)先对进行整理可得到,即数列是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列的通项公式可得到,进而得到.(Ⅱ)用数学归纳法证明.当n=1时可得到b1=a1=2满足条件,然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=,进而可得证.【解答】解:(Ⅰ)由题设:==,.所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,即a n的通项公式为,n=1,2,3,.(Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当n=1时,因,b1=a1=2,所以,结论成立.(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即,也即.当n=k+1时,==,又,所以=.也就是说,当n=k+1时,结论成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)知,n=1,2,3,.参与本试卷答题和审题的老师有:wsj1012;qiss;wkqd;danbo7801;豫汝王世崇;minqi5;wdlxh;wdnah;涨停;zhwsd;yhx01248;sllwyn;zlzhan (排名不分先后)菁优网2017年2月4日祝福语祝你马到成功,万事顺意!。

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2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C.D.2.(4分)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.23.(4分)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(4分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.5.(4分)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣26.(4分)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1) B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)7.(4分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.(4分)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.49.(4分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(4分)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3 B.4 C.5 D.611.(4分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.812.(4分)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B.C.D.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答)14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.15.(5分)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.16.(5分)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.18.(12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.19.(14分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(14分)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.21.(14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.22.(16分)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,,则sinα=()A.B.C.D.【分析】根据tanα=,sin2α+cos2α=1,即可得答案.【解答】解:∵α是第四象限角,=,sin2α+cos2α=1,∴sinα=﹣.故选D.2.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.2【分析】复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.【解答】解.设a是实数,=是实数,则a=1,故选B.3.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A.4.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.B.C.D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A.5.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b ﹣a=()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2【分析】根据题意,集合,注意到后面集合中有元素0,由集合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得a+b=0,进而分析可得a、b 的值,计算可得答案.【解答】解:根据题意,集合,又∵a≠0,∴a+b=0,即a=﹣b,∴,b=1;故a=﹣1,b=1,则b﹣a=2,故选C.6.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是()A.(1,1) B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点,我们可以将答案中的四个点逐一代入验证,不难得到结论.【解答】解.给出的四个点中,(1,1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1)三点到直线x ﹣y+1=0的距离都为,但∵,仅有(﹣1,﹣1)点位于表示的平面区域内故选C7.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.8.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=()A.B.2 C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=log a x是单调递增函数,最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1,所以log a2a﹣log a a=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a,log a a,∴log a2a﹣log a a=,∴,a=4,故选D9.(4分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g (x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g (x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B10.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.【解答】解:的展开式中,常数项为15,则,所以n可以被3整除,当n=3时,C31=3≠15,当n=6时,C62=15,故选项为D11.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4 B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C.12.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是()A.B.C.D.【分析】化简函数为关于cosx的二次函数,然后换元,分别求出单调区间判定选项的正误.【解答】解.函数=cos2x﹣cosx﹣1,原函数看作g(t)=t2﹣t﹣1,t=cosx,对于g(t)=t2﹣t﹣1,当时,g(t)为减函数,当时,g(t)为增函数,当时,t=cosx减函数,且,∴原函数此时是单调增,故选A二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有36种.(用数字作答)【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题,先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,写出即可.【解答】解.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种.14.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=3x(x∈R).【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x 对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R)15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为2.【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高,从而得出等腰直角三角形DEF的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可.【解答】解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴斜边EF的长为2.故答案为:2.三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.【分析】(1)先利用正弦定理求得sinB的值,进而求得B.(2)把(1)中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理,进而根据A 的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)===.由△ABC为锐角三角形知,0<A<,0<﹣A<,∴<A<,,所以.由此有<,所以,cosA+sinC的取值范围为(,).18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.【分析】(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,根据对立事件的概率公式得到结果.(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率,写出变量的分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”,∴.(Ⅱ)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=1﹣P(η=200)﹣P(η=250)=1﹣0.4﹣0.4=0.2.∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).19.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,通过证明,推出SA⊥BC.(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC 的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为.20.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=e x﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)先求出f(x)的导函数,利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号.得到f'(x)≥2;(Ⅱ)把不等式变形令g(x)=f(x)﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点,在x ≥0上求出a的取值范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的导数f'(x)=e x+e﹣x.由于,故f'(x)≥2.(当且仅当x=0时,等号成立).(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣ax,则g'(x)=f'(x)﹣a=e x+e﹣x﹣a,(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g'(x)=e x+e﹣x﹣a>2﹣a≥0,故g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.(ⅱ)若a>2,方程g'(x)=0的正根为,此时,若x∈(0,x1),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax 相矛盾.综上,满足条件的a的取值范围是(﹣∞,2].21.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F 1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.22.(16分)(2007•全国卷Ⅰ)已知数列{a n}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…【分析】(Ⅰ)先对进行整理可得到,即数列是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列的通项公式可得到,进而得到.(Ⅱ)用数学归纳法证明.当n=1时可得到b1=a1=2满足条件,然后假设当n=k 时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=,进而可得证.【解答】解:(Ⅰ)由题设:==,.所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,即a n的通项公式为,n=1,2,3,.(Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当n=1时,因,b 1=a1=2,所以,结论成立.(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即,也即.当n=k+1时,==,又,以所也就是说,当n=k+1时,结论成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)知,n=1,2,3,.。

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