拉盖尔-高斯光束及其轨道角动量
光子角动量及其应用前景
计算可以得到每个光子所带的轨道角动量是 lh ，当光是圆偏振的时候，每个光子的总角动
量是 (l ± 1)h 。因为 LG 模具有明确的角动量，他在量子信息存储、微米粒子的光学导引、
光学马达和激光囚禁与操控等方面有广阔的应用前景，并且可以作为光学导管、光学镊子 和光学扳手（光学螺旋钳）。LG 模的一个重要特征是具有是螺旋相位波前[21], 绕光束传播
角动量的高斯-厄米光束（Hermite-Gaussian，HG 光束）经过一对柱面透镜变换后可以转换 为具有轨道角动量的 LG 光束[2]。本文就光场角动量的基本概念、LG 模的基本特点及产生 方法、轨道角动量的应用前景作简单介绍。
2. 电磁场中的角动量
电磁场是一种物质形态，在空间是连续分布的，它具有能量、线动量和角动量。这些 量是守恒量，这种守恒性可以由密度和密度流的连续性方程来体现。电磁场中的角动量密
J =L+S
（7）
其中
-2-
（8a） (8b)
∑ ∫ L = ε 0
d
V
3rE⊥
j
(r
×
∇
)A⊥
j
,
j
∫ S = ε 0
d
V
3
rE
⊥
× A⊥,
这里的 ⊥ 符号表示场的横向成分（任何场 F 的横向成分满足 ∇ ⋅ F⊥ = 0 ），因为 L 和 S 是矢
（12）
[ ( ) ] [ ( ) ] u
LG nm
(r,φ
,
z
)
=
C LG nm
(1
w)exp − ik
涡旋光束的简介
Science and Technology &Innovation ┃科技与创新2019年第23期·7·文章编号：2095－6835（2019）23－0007－03涡旋光束的简介＊徐文君，牛素俭，塔西买提·玉苏甫（新疆师范大学物理与电子工程学院，新疆乌鲁木齐830054）摘要：涡旋光束已经在原子、光学、材料科学、生物医学等众多领域展现出巨大的潜力和前景。
涡旋光束的波阵面既不是平面，也不是球面，而是像旋涡状，具有奇异性。
涡旋光束可通过多种方法获得，且有较高的光束质量，为涡旋光束的应用奠定了基础。
其中，利用螺旋相位板可得到涡旋光束的直接输出，这种方法可以得到单一模式的涡旋光束输出，而且可以利用中红外光学参量振荡器得到中红外波段的涡旋光束，其具有波长连续可调谐、能量较高、转换效率高等优点，因此应用前景较为广泛。
关键词：涡旋光束；螺旋相位板；光学参量振荡器；中红外涡旋光束中图分类号：O43文献标识码：A DOI ：10.15913/ki.kjycx.2019.23.0031涡旋光束的研究背景及应用自然界中普遍存在着涡旋现象，如大气涡旋、水涡旋等。
光学涡旋是指一种特殊的光场，其具有螺旋相位波前或相位奇点，相位分布中含有exp （ilθ）项，θ为旋转方位角，l 为整数，被称为拓扑荷数。
有关涡旋光的研究，最早可追溯到两个世纪之前，但是激光产生以后才逐渐有了较为清晰的认识。
所谓涡旋光束，就是具有连续螺旋状相位的光束，即光束的波阵面既不是平面，也不是球面，而是旋涡状，具有奇异性。
涡旋光束具有柱对称的传播性质，其光束的涡旋中心是一个暗核，而且在传播过程中也保持中心光强为0。
涡旋光束的相位波前成螺旋形分布，且其绕着涡旋中心旋转，由于相位波前的旋转，光波携带了轨道角动量。
ALLEN 等人[1]在1992年首次通过Maxwell 公式推导出了在近轴传播的条件下具有相位结构的拉盖尔-高斯光束，其显著特征是每个光子携带的轨道角动量为，在这个螺旋相位的中心具有奇异性，因此在此处的相位是不确定的，且场振幅在此处也消失了，因此在光束的中心形成了一个暗核。
轨道角动量模式识别方法综述
轨道角动量模式识别方法综述冯文艳;付栋之;王云龙;张沛【摘要】光子轨道角动量具有涡旋和高维特性,在经典和量子领域有巨大应用潜力,目前在光学系统中有多种轨道角动量识别方法,常见的方法有以下8种:干涉仪法、镜像干涉法、平面波干涉法、角双缝干涉法、三角孔衍射法、计算全息光栅法、光学几何变换法和旋转多普勒效应法.本文详细介绍了8种方法的实验原理、实验装置、实验结果及现阶段的研究成果.【期刊名称】《物理实验》【年(卷),期】2019(039)002【总页数】12页(P1-12)【关键词】拉盖尔-高斯模式;轨道角动量;分束器;干涉;衍射【作者】冯文艳;付栋之;王云龙;张沛【作者单位】西安交通大学陕西省量子信息与光电量子器件重点实验室大学物理国家级实验教学示范中心 ,陕西西安710049;西安交通大学陕西省量子信息与光电量子器件重点实验室大学物理国家级实验教学示范中心 ,陕西西安710049;西安交通大学陕西省量子信息与光电量子器件重点实验室大学物理国家级实验教学示范中心 ,陕西西安710049;西安交通大学陕西省量子信息与光电量子器件重点实验室大学物理国家级实验教学示范中心 ,陕西西安710049【正文语种】中文【中图分类】O431.2光子除了具有自旋角动量外还具有轨道角动量. 1909年，在爱因斯坦的光量子理论[1]提出几年之后，Poynting发现了光子具有自旋角动量[2]，然而，直到1992年光子的轨道角动量才被Allen等人发现，而且揭示了拉盖尔-高斯模式的角向指数l和光子的轨道角动量之间存在对应关系[3]. 光子的自旋角动量和偏振有关，若1束光是圆偏振光，则光束中每个光子都携带了σħ的自旋角动量. 由于电磁场的横波性，σ只能取±1，分别对应于左旋圆偏振和右旋圆偏振. 这2个态是量子力学中自旋算符的本征态, 因此光的自旋角动量态(偏振态)是二维量子态. 光子的轨道角动量和复电场相位有关，轨道角动量来源于绕传播方向的相位波前. 携带轨道角动量lħ的涡旋光束具有螺旋形等相位面，螺旋相位项为exp (ilφ)，l为轨道角动量量子数，其正负代表旋转方向不同，φ是角坐标[3]. 由于波前是螺旋形等相位面，这会导致在传播轴上有相位奇点，即横向光强分布的中心是暗点. 由于l可以是任意整数，所以光子有无数个轨道角动量正交本征态，即光子轨道角动量具有高维特性.光子轨道角动量的发现，除了让人们更进一步理解光的本质外，还拓展了光的应用范围，有着十分重要的科学意义和应用价值. 近年来, 科学家在量子信息的研究中发现高维量子态相比于二维量子态体现出更加特殊和优越的性质, 如在基础量子理论的验证方面，高维量子体系相比于二维量子体系更大程度地违背了贝尔不等式[4-5]，这使得寻找高维量子态很有必要，而光子轨道角动量具有高维特性. 由于光子又是很好的量子系统和信息载体，近年来基于光子轨道角动量的高维量子态的研究，引起了人们的广泛兴趣[6-7]. 目前，由于光子轨道角动量的涡旋特性和高维特性，轨道角动量模式被应用在多个领域中，如光镊[8-9]、显微操作[10-11]、探测旋转微粒或旋转物体的角速度[12-13]、量子信息[14-15]、量子计算[16-19]、光通信[20-21]和量子密码学[22]等. 对光子轨道角动量的区分显得尤为重要，如在量子信息处理中，若利用光子轨道角动量进行编码信息，最后解码信息时，必然要求对光子轨道角动量进行识别. 目前已有多种探测轨道角动量模式的方法，本文针对目前在光学系统中已有的对轨道角动量模式识别的方法以分类的方式给予综述. 具有螺旋相位结构最常见的形式之一是拉盖尔-高斯模式. 拉盖尔-高斯模式是在傍轴近似条件下波动方程在柱坐标系下的解. 拉盖尔-高斯模式有2个指数，其中角向指数l与螺旋相位有关，径向指数p与拉盖尔多项式控制的振幅变化有关. 角向指数l也被称为轨道角动量量子数或轨道角动量拓扑荷，携带轨道角动量的光束也被称为涡旋光束. 本文以拉盖尔-高斯模式为例来阐述识别轨道角动量模式的方法.1 干涉仪法Padgett等人提出利用两臂加入Dove棱镜的 Mach-Zehnder干涉仪来测量拉盖尔-高斯模式的轨道角动量量子数l[23]. 其中一臂的Dove棱镜是旋转的，另一臂的Dove 棱镜是静止的，如图1所示. SPP为螺旋相位板；HWP为半波片；PBS 为偏振分束器；M为反射镜. 当Dove棱镜沿长轴方向旋转α/2时，经过Dove棱镜的光束将被旋转α. 当携带轨道角动量lħ的拉盖尔-高斯光束经过图1中的Mach-Zehnder干涉仪时，两臂间将产生Δφ= lα的相位差，当旋转的Dove棱镜旋转1周时，在探测端口将产生明暗交替变化的干涉图样. 在入射不同拉盖尔-高斯模式的情况下，干涉图样的光强随旋转角α的变化如图2所示，α/2表示Dove棱镜的旋转角，α表示拉盖尔-高斯光束的旋转角. 干涉图样光强变化的周期等于入射的拉盖尔-高斯光束的轨道角动量量子数l的大小，因此，通过测量干涉图样光强的变化周期就可以得到入射的拉盖尔-高斯模式的轨道角动量量子数l.图1 两臂插有Dove棱镜的Mach-Zehnder干涉仪(a)l=0 (b)l=1(c)l=2 (d)l=3图2 携带不同轨道角动量的拉盖尔-高斯模式入射Mach-Zehnder 干涉仪得到的干涉图样的光强随旋转角α的变化2002年，Leach等人提出基于Mach-Zehnder干涉仪在单光子水平下有效区分不同轨道角动量模式的方法[24]. 如图3所示(图中BS为分束器； DP为Dove棱镜)，在 Mach-Zehnder干涉仪一臂中插入无旋转的 Dove棱镜，另一臂中插入旋转角度为α/2的 Dove 棱镜，这将会在通过两臂的涡旋光束中引起依赖于轨道角动量量子数l的相位差Δφ=lα. 对于l和α特定的组合，不同的拉盖尔-高斯模式将会在不同的端口出现干涉相长或干涉相消. 例如，当α=π时，即其中一臂的Dove棱镜被旋转α/2=π/2时，奇数和偶数l将分别被分离在端口A1和B1. 理论上，N个轨道角动量模式可以通过级联N-1个Mach-Zehnder干涉仪进行分离，在每一级中旋转的Dove棱镜的旋转角度不同，原理图如图4所示. 此方法可以在单光子水平下探测轨道角动量模式，但是，对于测量多个轨道角动量模式，需要级联多个Mach-Zehnder干涉仪，这对目前现有的技术来说是很大的挑战.图3 两臂中插入Dove棱镜的Mach-Zehnder干涉仪图4 级联3级干涉仪分离8个轨道角动量模式的原理图(从l=0到l=7，第1级、第2级和第3级光束旋转的角度分别为π,π/2和π/4)除此之外，还有许多基于干涉仪识别轨道角动量模式的方法[25-29]，如利用稳定性较好的Sagnac干涉仪代替Mach-Zehnder干涉仪来区分轨道角动量模式[27,29]、利用Mach-Zehnder干涉仪或Sagnac 干涉仪将轨道角动量和偏振耦合起来的方法探测轨道角动量模式[28-29].2 镜像干涉通过观察轨道角动量模式与其镜像模式(携带的轨道角动量大小相等，正负相反)的干涉图样可以探测轨道角动量模式[30-32]. 众所周知，如果携带轨道角动量为lħ的涡旋光束被镜子反射之后，其旋转方向反转，即轨道角动量变为-lħ. 现在考虑2个具有相反螺旋性的轨道角动量光束沿与z轴成角度α和-α的方向传播，如图5所示(红色和蓝色实线分别表示轨道角动量量子数为l和-l的涡旋光束的波矢量. 红色虚线和蓝色虚线分别表示轨道角动量量子数为l和-l的涡旋光束的波前). 入射的轨道角动量光束和它的镜像模式光束的电场表达式为El=u0exp [iφ1(x)]exp (ilφ)，E-l=u0exp [iφ2(x)]exp (-ilφ)，(1)其中u0是轨道角动量光束的振幅. 由图5可知，在z=0的平面上,φ1(x)=kxcos α+φ10=kxx+φ10,φ2(x)=kxcos (π-α)+φ20=-kxx+φ20,(2)其中φ10(x)和φ20(x)分别是入射的轨道角动量光束和其镜像模式光束在坐标原点O的初始相位. 从而得到2束光干涉图样的强度分布为I=|El+E-l|2=2I0[1+cos (2lφ-2kxx+Δφ0)].(3)图5 轨道角动量模式与其镜像模式干涉原理图其中I0是入射的轨道角动量光束或其镜像模式光束的光强，Δφ0=φ10-φ20是入射的轨道角动量光束与其镜像模式光束的初始相位差. 从式(3)可以看出，干涉图样的强度分布类似于中心有2l个错位条纹的振幅全息图，因此，可以根据干涉图样中条纹错位的个数来确定入射的轨道角动量模式. 如图6所示，因为入射的2个轨道角动量光束的波前具有相反的螺旋性，且沿与z轴角度α的方向传播，因此，干涉图样的下半部分的条纹相对于上半部分额外多了2l个.(a)l=1 (b)l=2 (c)l=3图6 轨道角动量量子数为1,2,3的涡旋光束与其镜像模式干涉图样(干涉图样底部分别有2条、4条、6条额外的条纹)当然，如果轨道角动量光束与其镜像模式进行同轴干涉，即α=0，则它们的干涉图样类似于2个具有相反符号的轨道角动量光束的叠加的结果，即干涉图样中含有2l个花瓣，如图7所示. 由于l和-l互为镜像，因此，此方法只能探测涡旋光束的轨道角动量量子数l的大小，无法探测其正负.(a)l=1 (b)l=2 (c)l=3图7 轨道角动量量子数为1,2,3的涡旋光束与其镜像模式同轴干涉图样(干涉图样分别有2,4,6个花瓣)3 平面波干涉1束涡旋光和1束平面波干涉，由于涡旋光束的螺旋相位结构exp (ilφ)，干涉图样是l条螺旋形条纹，因此，可以通过干涉图样中的螺旋条纹的个数有效地识别轨道角动量模式[32-34]. 平面波与轨道角动量模式的电场可分别表达为E0=u0(r)exp [iφ1(r)],El=ul(r)exp [iφ2(r)]exp (ilφ).(4)其中u0和ul分别是平面波和涡旋光束的振幅. 涡旋光束和平面波之间的同轴干涉可以用Mach-Zehnder干涉仪来实现，如图8所示，在 Mach-Zehnder干涉仪其中一臂用螺旋相位板(SPP)产生待测的携带轨道角动量的涡旋光束，另一臂中加入扩束器用来产生平面波. 当涡旋光束和平面波进行同轴干涉时，将会得到带有螺旋条纹的干涉图样. 在z=0平面上干涉图样的光强分布为I= |E0+El|2=|u0|2+|ul|2+2|u0||ul|cos (Δφ),(5)其中Δφ为涡旋光束和平面波之间的相位差. 考虑同轴干涉，且干涉发生在z=0的平面上，则涡旋光束和平面波间的相位差表达式为Δφ=lφ-θ，其中θ在干涉平面上为常数. 如果Δφ=2nπ(其中n为整数)，则涡旋光束和平面波干涉将得到相干相长的干涉图样，此时即在此处发生干涉相长. 从式(5)可以看出，在任何情况下，干涉图样条纹的个数等于入射涡旋光束的轨道角动量量子数l，即干涉图样是从中心向外呈扇形发散的干涉条纹，且干涉条纹的个数为l条. 由于依赖坐标的古伊相位和球面相位的存在，在z≠0的平面上干涉图样中的条纹是成螺旋状的，如图9所示，图9中干涉条纹的个数等于入射涡旋光束的轨道角动量量子数l. 另外，从图9(a)和(b)中可以看出，干涉条纹的旋转方向和轨道角动量量子数l的正负有关，当l为负时，干涉图8 涡旋光束与平面波干涉的示意图(a)l=-3 (b)l=3 (c)l=5图9 轨道角动量量子数为-3,3,5的涡旋光束与平面波干涉的干涉图样(干涉图样中条纹的个数分别为3条,3条,5条，干涉条纹的旋转方向分别为顺时针、逆时针、逆时针)条纹呈顺时针旋转；当l为正时，干涉条纹呈逆时针旋转. 因此，这种方法可以同时测量待测涡旋光束的轨道角动量量子数l的大小和符号.4 角双缝干涉图10 角双缝干涉原理图当1束具有螺旋相位项exp (ilφ) 的涡旋光束经过动态角双缝，由于螺旋相位项和角双缝到观察平面的光程差的存在，在观察平面上将会出现明暗相间的干涉图样，通过观察干涉图样光强的变化可以得到入射光束轨道角动量信息[35-38]. 如图10所示，其中，α是每个角缝的缝宽,φ是角双缝之间的夹角,q1和q2和q3是动态角双缝平面上的3个点，oq3是角双缝夹角∠q1oq2的角平分线，p是远场衍射图样上的点，θ代表附加相位. 2个缝在观察平面p点的电场分别为E1(p)=u0(p)exp [iφ1(p)],E2(p)=u0(p)exp [iφ2(p)],(6)其中u0(p)和φ(p)分别是振幅和相位. 因此，角双缝在点p的干涉光强分布为I(p)=|E1(p)+E2(p)|2∝1+cos (Δφ),(7)其中，Δφ是角双缝到点p的相位差，由图10可知等号右边第一项lφ是由涡旋光束的螺旋相位项引起的相位差，等号右边第二项是由几何光程差引起的相位差. 如果角双缝是关于o′p轴对称的，那么角双缝到点p 的几何光程差为零，则角双缝到点p的相位差只依赖于由螺旋相位项引起的相位差，即Δφ=lφ，此时干涉光强的分布为I∝1+cos (lφ)，当角双缝间的夹角φ 由0变化到2π时，光强变化的周期等于l,如图11所示. 由于余弦函数是偶函数，因此l的正负无法从光强变化中识别. 为解决该问题，在角双缝的其中1个角缝上加附加相位θ. 那么角双缝在点p的相位差变为Δφ=lφ+θ, 则干涉图样的光强分布为I∝1+cos (lφ+θ).(8)(a)l=6 (b)l=10 (c)l=15图11 强度随双缝间夹角的变化而变化的数值模拟(a)l=3,ΔΨ=30° (b)l=-3,ΔΨ=30°(c)l=6,ΔΨ=15° (d)l=-6,ΔΨ=15°(e)l=10,ΔΨ=9° (f)l=-10,ΔΨ=9°图12 携带不同轨道角动量的涡旋光束经过角双缝后，干涉图样中心区域的光强随角双缝旋转的变化(φ-I曲线)在这种情况下，附加相位会引起随角双缝夹角变化的光强分布曲线的旋转，旋转的方向和轨道角动量量子数l的正负有关. 因此，通过对光强变化曲线的分析可以得到轨道角动量量子l的大小与正负，如图12所示. 图12是干涉图样中心区域的光强随角双缝夹角的变化而变化的曲线(φ-I曲线)，其中绿色的φ-I曲线是在没有加附加相位(θ=0)时得到的实验结果，因此，只能从中得到轨道角动量量子数l的大小，不能得到其正负的信息；蓝色的φ-I曲线是在有附加相位(θ=π/2)时得到的实验结果，从中可以看出，相对于绿色的φ-I曲线，蓝色的φ-I曲线有旋转. 通过对比绿色和蓝色的φ-I曲线可以得知：当轨道角动量量子数l为正时，蓝色的φ-I曲线沿顺时针旋转；当轨道角动量量子数l为负时，蓝色的φ-I曲线沿逆时针旋转. 因此，利用角双缝干涉，在有附加相位的条件下，可以很好地识别轨道角动量量子数l的大小和正负.5 三角孔衍射涡旋光束经过等边三角孔在远场的衍射图样可以折射出涡旋光束的轨道角动量量子数l的信息[39-41]. 当1束涡旋光束经过三角孔衍射，由夫琅禾费衍射积分得在远场的电场分布为∬(9)其中El(x,y,z=0)和τ(x, y)分别是入射涡旋光束的电场和三角孔平面的透射率函数. 通过数值求解式(9)，得到不同轨道角动量模式经过三角孔夫琅禾费衍射图样的数值模拟结果，如图13所示，图13(a)中的插图为三角孔的方向. 从图13中可以看出，衍射图样呈三角形晶格阵列，而入射涡旋光束的轨道角动量量子数为l=N-1，其中N为衍射图样中三角形晶格阵列任意一边上晶格点的个数. 而l的正负可由三角形衍射图样的旋转方向来判断，如果入射的涡旋光束的轨道角动量量子数l的符号是相反的，则对应的衍射图样的旋转方向也是相反的. 另外，入射的涡旋光束的轨道角动量量子数l为负值的衍射图样相对于l为正值的衍射图样旋转了180°.(a)模拟结果(b)实验结果图13 不同轨道角动量模式经过三角孔衍射图样的数值模拟结果和实验结果由于涡旋光束经过三角孔的衍射图样是经过三角孔三边的场相互干涉的结果，因此，接下来分析涡旋光束经过三角孔时，三角孔边缘对光束的影响. 如图14所示，假设入射的涡旋光束落在三角孔径的中心O点所在的区域，则沿三角形孔径任意一条边缝的相位为(10)其中a是三角形孔径每条边的边长. 现考虑三角形孔径的每条缝近似为无限小的缝，且忽略了场振幅的变化，则可以将缝视为狄拉克函数. 在这种情况下，涡旋光束通过三角孔其中一边时相应的电场为exp (-ik·r)dxdy=(11)其中x和y是三角形孔径平面上横向笛卡尔坐标，kx和ky是傅里叶平面上的横向坐标. 由式(11)可知，三角孔衍射图样的大小和l成正比，且和三角形孔径边长a成反比，另外也可以看出，当入射的涡旋光束的轨道角动量量子数l的符号相反时，衍射图样的旋转方向是也是相反的.图14 三角孔示意图6 计算全息光栅法携带轨道角动量的涡旋光束可以用衍射光学元件(类似地，可以用螺旋相位板、Q-plate代替衍射光学元件)或计算全息光栅来产生[42-44]. 叉形光栅可以表示为(12)图15 1束轨道角动量量子数l=3的涡旋光束经过含有Δl=-3的叉形计算全息光栅其中l是轨道角动量量子数，φ是方位角，Λ=2π/kx是沿x方向的光栅周期. 从激光器或者单模光纤输出的光束(基模高斯光束)经过含有l个错位的叉形衍射光栅，在衍射1级处的光束携带了lħ的轨道角动量. 反之亦然，如图15所示，当1束具有轨道角动量量子数l=3的涡旋光束入射具有3个错位的叉形光栅(Δl=-3)，此叉形光栅可以将入射光束中携带轨道角动量为3ħ的涡旋光束变成基模高斯光束，即将其螺旋相位消除掉，然后基模高斯光束可以耦合进单模光纤中. 在这种情况下，全息光栅结合单模光纤可作为特殊的轨道角动量模式探测器，这个探测器在单光子水平下仍然工作[14,45-46]. 但该方法只允许对光子的特定轨道角动量模式进行检测，若待测光束中含有多个轨道角动量模式，则需一系列的全息光栅对其进行探测，用不同l值的全息光栅就可测出待测光束中是否含有相应的轨道角动量模式. 此外，用该方法来探测N个模式时，至少需N个光子，并会受到全息光栅和单模光纤(或小孔)过滤系统传输效率低的影响. 之后，更复杂的全息光栅被提出来，此全息光栅可探测几种不同的轨道角动量模式[47-49]. 如图16(a)所示的计算全息光栅是由2个正交叉形衍射光栅组成，水平放置的衍射光栅中心错位为1，竖直放置的衍射光栅中心错位为3. 水平和竖直叉形全息光栅可表示为(13)其中a的取值范围从0到2π. 这2个全息光栅相结合组成了3 × 3的阵列，当1束平面波入射此光栅时，可以产生轨道角动量量子数从l=-4到l=4的轨道角动量模式. 反之亦然，当1束具有轨道角动量量子数l∈[-4,4]的轨道角动量模式通过此计算全息光栅时，高斯模式的光束将出现在3 × 3阵列中相应的位置，此位置与入射涡旋光束的轨道角动量量子数l一一对应，如图16中(b),(c)和(d)所示. 因此，这种全息光栅可以测量9种轨道角动量模式中的任意一模式，但其效率近似等于模式个数的倒数. 另一种利用衍射光栅探测轨道角动量模式的方法是通过分析衍射图样的位置特征来确定待测光束的轨道角动量量子数l的大小和正负[50]. 此外，基于计算全息光栅和单模光纤的投影技术——量子态层析是有效测量轨道角动量模式的方法[51-52].(a)二维叉形衍射光栅 (b)l=0(c)l=1 (d)l=2图16 经过叉形光栅后得到的实验结果7 光学几何变换法光波可以分解成不同方向的平面波的叠加，透镜可以将这些平面波聚焦到其局部平面上的不同的位置，其横向位置取决于平面波的传播方向. 基于这一特性，Berkhout等人提出利用2种衍射光学元件对轨道角动量模式进行分离的有效方法[53-55]. 此方法中，其中一个衍射光学元件用于几何变换，即将轨道角动量模式对应的笛卡尔坐标中的方位位置转换为横向动量态对应的对数极坐标中的横向位置；另一个衍射光学元件用于矫正经过几何变换时引入的相位畸变. 相位校正后，利用透镜将每个依赖于输入轨道角动量模式的横向动量态聚焦到1个平面的不同横向位置.如图17所示，空间光调制器(SLM1)用于产生待测的轨道角动量模式，SLM2和SLM3分别用于产生所需的相位剖面φ1(x, y)和φ2(u v)，(x,y)和(u,v)分别是输入平面和输出平面的笛卡尔坐标系. 如图18所示，φ1(x,y)和φ2(u,v)表达式为(14)其中λ是入射涡旋光束波长，f是傅里叶透镜的焦距，a与转换后光束的长度d有关，b与输出平面的坐标有关(a和b是缩放常数). 由于φ1(x,y)和φ2(u,v) 分别实现了笛卡尔坐标与对数极坐标的变换和相位校正，因此由同心圆组成的输入图像(x,y)将会转变成平行线的输出图像(u,v). 经过相位校正元件后，利用透镜将转换后的态分离到观察平面指定的横向位置，聚焦点的横向位置取决于输入的轨道角动量模式，其关系为图17 实验装置示意图(a)几何变换 (b)相位矫正图18 光学元件的相位剖面(15)根据探测平面的强度分布，待测光束中所含的轨道角动量模式可以被识别出来，如图19所示，第1列是待测涡旋光束经过几何变换元件(SLM2)之前的相位和光强分布，第2列是待测涡旋光束经过相位校正元件(SLM3)之后的相位和光强分布，最后2列分别是在探测平面上的数值模拟结果和实验结果. 此外，此方法可以用来识别轨道角动量的叠加态，如图19最后1行所示. 但是，由于衍射极限的存在，2个相邻的轨道角动量模式产生的光斑略有重叠. 为了解决这一问题，Boyd等人提出利用光束复制装置来增强转换后的轨道角动量模式分离的方案[55-56]. 另外，他们利用光学几何变换结合光束复制技术，通过对轨道角动量的弱测量和角位置的强测量，得到了不同轨道角动量模式的复振幅[57]. 此外，由于空间光调制器的衍射效率有限，可以用折射率元件将其代替来执行笛卡尔坐标到对数坐标的变换[58-59].图19 数值模拟结果和实验结果8 旋转多普勒效应法旋转多普勒效应类似于传统的多普勒效应，是在角动量的基础之上发生的多普勒效应. 如图20所示, 当1束携带轨道角动量量子数l、频率为f的涡旋光束入射到旋转物体表面，其转速为Ω，则在散射光中会发现旋转多普勒效应，频移量为Δf=(l-m)Ω/2π，其中m表示散射光中的轨道角动量量子数. 若旋转物体的转速已知，则通过测量散射光中特殊模式的频移量就可以得到入射光束携带的轨道角动量[60-61].图20 旋转多普勒效应示意图旋转物体对入射涡旋光束的作用是进行了相位和振幅调制，将旋转考虑进去，则物体的调制函数用傅里叶展开可表达为M(r,φ)=∑An(r)exp (inφ)exp (-inΩt)，其中n为整数，An(r)为n阶谐波复振幅，满足∑ |An(r)|2=1. 若入射光束是携带多个轨道角动量叠加态的涡旋光束，即含有N个未知的轨道角动量模式，可将入射的涡旋光束表示为(16)其中ls是轨道角动量量子数，取值范围为l1到lN，f是入射涡旋光束的初始频率，Bs表示入射涡旋光束的相应模式的复振幅. 引入参考光γB0exp (-i2πtf)exp (il0φ)，参考光和待测的涡旋光束一起入射到旋转物体上，其中γ是用来调节参考光光强的参数. 那么从旋转物体上散射的光束的复振幅的表达式为B1exp (-2iπtf)Am-l1exp (imφ)exp [-i(m-l1)Ωt]+B2exp (-2iπtf)Am-l2exp (imφ)exp [-i(m-l2)Ωt]+…BNexp (-2iπtf)Am-lNexp (imφ)exp [-i(m-lN)Ωt],(17)由式(17)可知，所有的入射模式经过旋转物体后均转换成一系列相同的轨道角动量模式，这意味着散射光束经历了和入射涡旋光束的轨道角动量量子数ls成线性关系的多普勒频移. 当散射光束传播一定距离后，利用模式滤波器选择其中1个模式，假设该模式为OAMm，一般情况下m=0，即OAM0模式，然后利用光电探测器对该模式进行探测. 由于拍频效应，则收集到的光强分布可表示为Im(γ)=,(18)。
基于拉盖尔-高斯光束的螺旋干涉模式研究
图１ 在束腰半径相同的情况下不同犿１、犿２ 的场强 犉犻犵．１ 犜犺犲犻狀狋犲狀狊犻狋狔犱犻狊狋狉犻犫狌狋犻狅狀犳狅狉狋犺犲狊犪犿犲犫犲犪犿狑犪犻狊狋犪狀犱犱犻犳犳犲狉犲狀狋犿１犪狀犱犿２
在束腰半径不同的情况下，再次改变犿１ 和犿２ 的值，其仿真结果如图２所示。图２中（ａ）（ｂ）（ｃ）分别 是犿１－犿２ 的差的绝对值等于２、３和４的场强分布图。观察到图２（ａ）（ｂ）（ｃ）中的场强结构周期分别为 １／２、１／３和１／４。对比图１，虽然与图２有明显的差别，但场强依然是一个周期为１／（｜犿１－犿２｜）的结构。
狌２ ＝ （狌０１ ＋狌０２）２ ＝狌０１狌０１ ＋狌０１狌０２ ＋狌０２狌０２ ＋狌０２狌０１ ＝犳２０１ ＋犳２０２ ＋２犳０１犳０２ｃｏｓ［犘１ －犘２］ （７）
其中犘１ 和犘２ 分别为
犘１ ＝２犚犽００１１狉（狕２ ）－ （犿０１ ＋１）ａｒｃｔａｎ狕狕０１ ＋ｉ犿０１θ
（８）
· ６ ８·
每个光子所携带的轨道角动量数；狕０ 是瑞利长度；犚（狕）是波前曲率半径随传输距离的变化函数；狑（狕）是
光束宽度随传输距离的变化函数。其中狕０、犚（狕）、狑（狕）分别表示为：
狕０
＝
π狑２０ λ
（２）
［ （ ）］ 犚（狕）＝狕 １＋
狕０ 狕
２
（３）
［ （ ）］ 狑（狕）＝狑０
１＋
狕 狕０
拉盖尔－高斯涡旋光束传播中的相位变化分析
拉盖尔－高斯涡旋光束传播中的相位变化分析魏勇;朱艳英【摘要】为了研究拉盖尔－高斯涡旋光束在传播过程中的相位特性，采用螺旋相位板法获取涡旋光束，从菲涅耳衍射积分出发，对光束在传输过程中的相位变化以及整数阶与分数阶涡旋光束相位奇点的稳定性进行了理论推导和数值模拟。
当光束传输一段距离后，光场在观察平面上的等相位线由发散的射线变成了花瓣状的弧线。
结果表明，拓扑荷为整数阶的涡旋光束在传输过程中，相位奇点具有稳定性，而分数阶光束的相位奇点不再保持稳定性，其观察平面的光强分布不对称，且涡旋光束中心为暗核的特点消失。
该结论对光学微操纵和光信息编码技术的实现具有理论指导意义。
%In order to study the phase characteristics of Laguerre-Gaussian vortex beam during propagation , the vortex beam was obtained by means of spiral phase plates .Based on Fresnel diffraction integral formula , the phase change of the beam in the propagation process and the stability of vortex beam phase singularities at integer order and fractional order were studied by theoretical derivation and numerical simulation .When the beam was transmitted a certain distance , phase contours of the light field on the observation plane became from diverging rays into petal-shaped arcs .The results show that if topological charge of the vortex beam is integer order , the phase singularity of the beam assumes stability in the propagation process .The phase singularity of fractional order is unstable , intensity distribution on the observation plane is obvious asymmetric and the central darkness gradually disappears .The research results supplytheoretical foundation and practical guidance for the application of optical micro manipulation and information coding techniques .【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】4页(P723-726)【关键词】物理光学;涡旋光束;相位分布;拓扑荷【作者】魏勇;朱艳英【作者单位】燕山大学理学院，秦皇岛066004; 燕山大学里仁学院，秦皇岛066004;燕山大学理学院，秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】O436;TN241引言涡旋光束又称作暗中空光束或空心光束，即在传播方向上其中心的光强保持为0［1］。
拉盖尔-高斯光束在non-Kolmogorov湍流中传输的数值模拟
拉盖尔-高斯光束在non-Kolmogorov湍流中传输的数值模拟王帅会;陈家奇;顾国超【摘要】In order to study spiral spectrum spread after Laguerre-Gassian (LG) beam propagating through atmospheric turbulence, the method of multiple phase screen is proposed to simulate the transmission of LG beams carrying Orbital Angular Momentum (OAM) in atmospheric turbulence. Propagation of Laguerre-Gaussian beam through atmospheric turbulence is simulated using phase screen based on Fourier transform following the non-Kolmogorov spectrum and the effect induced by atmospheric turbulence is computed quantitatively for different topological charges, wavelengths, exponent parameters, structure constant of the refractive-index fluctuations, inner scales and outer scales. The simulation results show that atmospheric turbulence deteriorates spiral spectrum of LG beam. It is also shown that system performance is closely related to topological charge, wavelength, exponent parameters, structure constant of the refractive-index fluctuations, inner scales and outer scales.%针对大气湍流对拉盖尔-高斯光束的螺旋谱的影响，本文提出利用多相位屏法模拟拉盖尔-高斯光束在大气湍流中的传输。
光子角动量发展及应用
北京航空航天大学课程名称：非线性光学学院：物理科学与核能过程学院姓名：张浩学号：SY1119222光子角动量发展及应用摘要：本文介绍了光子角动量的发展，早在1909年，Poyatmg就认识到光具有角动量—自旋角动量，并将光的角动量与光波的偏振联系起来。
1936年，princeton大学的Beth等人根据四分之一波片可改变圆偏振旋向的性质，利用力学实验巧妙地验证了左、右圆偏振光子分别具有自旋角动量± [4]。
1992年，Leidon大学的Allen等人才认识到了光子也可以携带另一种形式的角动量——轨道角动量。
最后介绍了近年来带有明确角动量的光束高斯一拉盖尔(Laguerre—Gaussian beam，LG光束)光束。
带有角动量的光束可以对微米粒子产生力的作用，进而控制微米粒子。
带有轨道角动量的LG模和像散高斯光束，兼有光学镊子和光学扳手的双重功能。
关键词：角动量，轨道角动量，拉盖尔—高斯1.引言光是非常有趣的，因为我尚未完全地知道它究竟是什么，它的某些属性还令人捉摸不定。
光是什么?这是数百年来人们一直在探索的问题。
1666年，英国物理学家Newton提出了光的微粒说(Corpuscular theory)，把光描绘成为从发光物体发射出来的，作高速运动的一种非常细小的粒子。
1679年，荷兰物理学家Huygens提出了光的波动说，他认为，光是在充满空间的特殊介质“以太”(ether) 中传播的某种弹性波。
Huygens还发现了方解石中光的偏振现象。
但由于Newton 是当时的权威科学家，因此，微粒说一直占上风。
直到1801年，英国物理学家Young做了著名的杨氏双缝干涉实验，1819年法国物理学家Fresnel又用波动理论解释了光的传播和衍射，光的波动说才渐渐为人们所接受。
1861．1862年，英国物理学家Maxwell根据他发现的麦克斯韦方程组大胆预言：光是一种电磁波。
他的预言随后被德国物理学家Hertz的实验所证实。
贝塞尔高斯光束和拉盖尔高斯光束
贝塞尔高斯光束和拉盖尔高斯光束在当代光学领域，贝塞尔高斯光束和拉盖尔高斯光束是两个备受关注的主题。
它们在光通信、激光加工、光学成像等领域有着重要的应用价值。
今天，我们就来深入探讨这两种光束的特点、应用以及在光学技术中的重要意义。
1. 贝塞尔高斯光束贝塞尔高斯光束是一种特殊的光束，它具有环状的振幅分布和高斯型的横向波前。
贝塞尔高斯光束的特点是携带着轨道角动量，因此在光通信中的应用非常广泛。
这种光束常常被用于光学操控和精密加工领域，尤其在激光聚焦方面具有独特的优势。
贝塞尔高斯光束的数学描述涉及到贝塞尔函数和高斯函数的乘积，在光学理论中具有重要的地位。
它的独特振幅分布和相位结构，使得其成为一种非常灵活的光学工具，能够实现更高效的能量传输和更精密的光学成像。
2. 拉盖尔高斯光束与贝塞尔高斯光束类似，拉盖尔高斯光束也是一种特殊的光束。
它具有环状的振幅分布和高斯型的横向波前，但其振幅分布不同于贝塞尔高斯光束。
拉盖尔高斯光束常常被用于光学拓扑和光学传输领域，其独特的相位结构和振幅特性使得其在光学通信和信息处理中具有重要的应用潜力。
相对于贝塞尔高斯光束而言，拉盖尔高斯光束在光学信息处理和光学成像领域具有更为广泛的适用性。
其特殊的相位结构和振幅分布，使得其能够实现更高精度的光学成像和更快速的光学信息处理。
3. 应用和意义贝塞尔高斯光束和拉盖尔高斯光束在光学技术中具有重要的应用意义。
它们的独特性质和灵活特点，使得其在光通信、激光加工、光学成像等领域有着广泛的应用前景。
特别是在光学拓扑和光学信息处理领域，这两种光束的应用将会为光学技术的发展提供更多可能性。
个人观点作为一名光学领域的研究者，我个人认为贝塞尔高斯光束和拉盖尔高斯光束的研究和应用将会为光学技术的发展带来新的突破。
它们的独特性质和广泛应用领域，使得其在当代光学科技领域具有重要的意义。
希望未来能够有更多的研究者和工程师投入到这一领域的研究中，推动光学技术的进步和创新。
一种轨道角动量在大气湍流中的畸变补偿方法
一种轨道角动量在大气湍流中的畸变补偿方法作者：杨启强来源：《中国新通信》 2020年第18期杨启强中南民族大学【摘要】轨道角动量光束（OAM）因为具有特殊的螺旋波前相位，作为信息载体在自由空间中传输时可以极大地提升通信频谱效率和信道容量，引起众多学者关注与研究。
然而，在OAM光束传输系统中，由于大气湍流的影响，引起光束信号畸变，功率弥散，降低通信质量。
因此本论文提出一种基于液晶空间光调制器的OAM复用通信“预补偿”方法，将相差分布函数与液晶空间光调制器相结合，在发送端对OAM光束进行畸变校正，整体提高了OAM通信系统的通信性能。
【关键词】傅里叶光学大气湍流 GS相位恢复算法预补偿引言自1992年Allen等人发现了拉盖尔高斯光携带有轨道角动量以来，便引起了科学家的注意。
轨道角动量与其方程中的相位项exp（ilθ）有关。
轨道角动量（OAM）虽然具有多种优良的特性。
但在传输过程中受到大气湍流的影响，会造成相位扭曲失真，OAM信道展宽，功率弥散，从而影响整个通信系统的误码率，降低通信质量。
为了解决这些问题，科学家们提出了各种方法，在OAM大气传输相位变化时，采用迭代算法对相位进行补偿，在一定程度上降低了由大气湍流造成的影响。
液晶空间调制器不仅可以产生高质量的激光光束，而且具有动态、实时、相应时间快、高精度和高分辨率等优点。
因此被广泛采用。
本文采用有反射式液晶空间调制器产生涡旋光束，用透射式液晶空间调制器模拟大气湍流，从而提出了一种“预补偿”方法，在传输端对轨道角动量进行补偿。
一、实验原理及装置1.1传输模型原理图高斯光束入射到加载有初始螺旋相位图的反射式纯位相型液晶空间光调制器(SLM)面,经SLM 上初始螺旋相位图调制形成OAM光束经过大气湍流被CCD相机接收。
将 CCD相机接收到的光强信息代入 GS 算法可以得到 SLM 面上的恢复螺旋相位图，这个恢复螺旋相位图包含有初始螺旋相位图信息及像差信息，设初始螺旋相位图分布函数为 I(x，y)恢复螺旋相位图分布函数为 R(x,y) ，若恢复螺旋相位图与初始螺旋相位图旋向相同，则像差的分布函数为若恢复螺旋相位图与初始螺旋相位图旋向相反，则像差的分布函数为对于其他显示在 SLM 面上的相位图只要再加上(1)式中的像差分布函数 A(x,y）就能够对经过该液晶空间调制器上的轨道角动量光束“预补偿”。
近场拉盖尔-高斯光束传输参数的双缝干涉测量实验
近场拉盖尔-高斯光束传输参数的双缝干涉测量实验吕宏;杜玉军【摘要】拉盖尔-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光束具有轨道角动量,分析近场条件下LG光束通过含光阑光学系统传输的解析公式,对不同阶LG光束通过双缝时双缝间的相位差变化进行了计算.利用计算机生成叉形衍射光栅显示在空间光调制器上,基模高斯光束产生衍射,得到不同阶次LG涡旋光束,通过CCD采集LG空心光束的光斑及双缝干涉后的图样,实现对LG光束传输轨道角动量特性的实验测量.在确定光束束径下,分析了叉形衍射光栅密度、空心光束宽度半径比、双缝宽度等参数对双缝干涉条纹的影响, 在距离激光器1m处的SLM 上显示4 mm×5 mm 叉形衍射光栅,光栅密度约为16 lines/mm,可产生暗斑尺寸在0.5 mm~0.9 mm之间、宽度半径比为0.2的LG空心光束.LG光束通过双缝宽度0.2 mm,双缝间距0.5 mm的光栅,可以得到清晰的干涉条纹.研究结果为近场光通信中利用光学涡旋轨道角动量编码信息提供了理论依据.%Laguerre-Gaussian (LG) vortex beam has orbital angular momentum (OAM).Recurrence propagation formulae of LG beam through optical system with aperture is analyzed in near field.Phase difference change of LG beam with different orders passing double slit is calculated.Forked diffraction grating on computer is employed to diffract fundamental-mode Gaussian beam, which gives rise to LG vortex beam with different orders.LG beam spot through aperture system and double slit interference pattern are captured via CCD camera.Experimental measurement of LG beam propagation characteristics is conducted in near field.F ork diffraction grating 4 mm×5 mm are displayed on SLM at 1 m distance laser, grating density is about 16 lines/mm.LG hollow beam isgenerated when size of LG dark spot is between 0.5 mm and 0.9 mm, and width of radius ratio is 0.2.Double slit width is 0.2 mm while double seam spacing is 0.5 mm, in this way clear interference fringes areobtained.Results can be used in optical communication information encoded optical vortex orbital angular momentum.【期刊名称】《应用光学》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】5页(P62-66)【关键词】LG光束;双缝干涉;轨道角动量;测量【作者】吕宏;杜玉军【作者单位】西安工业大学光电工程学院,陕西西安 710032;西安工业大学光电工程学院,陕西西安 710032【正文语种】中文【中图分类】O436.1当激光光束含有角向相关的位相 (扭转位相或螺旋位相) 分布时，波矢量具有方向性并且绕着暗中空的涡旋中心旋转，使光束携带与角向位相分布有关的轨道角动量，携带轨道角动量的光束被称为“光学涡旋”(optical vortices)[1-3]。
球面波干涉法测量拉盖尔-高斯光的轨道角动量
球面波干涉法测量拉盖尔-高斯光的轨道角动量林雅益; 江春勇; 陈志文; 李润泽; 廖开宇; 黄巍【期刊名称】《《物理实验》》【年(卷),期】2019(039)007【总页数】5页(P22-26)【关键词】拉盖尔-高斯光; 轨道角动量; 涡旋相位片【作者】林雅益; 江春勇; 陈志文; 李润泽; 廖开宇; 黄巍【作者单位】华南师范大学物理与电信工程学院广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】O431.2涡旋光束包括拉盖尔-高斯光束(LG)、高阶贝塞尔光束(BG)、局域空心光束(LH)、面包圈空心光束等[1]，LG光是常见的涡旋光束，其具有轨道角动量，在量子通信和量子操控等方向有重要的应用价值. 对LG光的研究有助于深入理解涡旋光束的特性与功能，为涡旋光束的应用提供技术支持. 产生涡旋光束的方法有[1-3]：几何模式转换法、计算全息法、空间光调制器法以及螺旋相位板法. 国内有很多组开展了涡旋光束的研究，在用LG光进行量子通信和量子模拟研究方向具有世界领先水平[4-6]. 无论将LG光应用于量子通信还是量子模拟领域，准确测量LG光的轨道角动量都是关键问题. 目前，已经发展了多种用于测量LG光轨道角动量的方法[7]. 本文采用球面波LG光与平面波高斯光进行干涉，通过产生多叶螺旋干涉图样的方法测量LG光的轨道角动量. 该方法实验原理清晰，实验光路简单，获得的干涉图样和LG光轨道角动量的关系也很直观，螺旋的叶数即是LG光的轨道角动量.1 实验原理1.1 拉盖尔-高斯光拉盖尔-高斯光是典型且基础的涡旋光束，普通的涡旋光束可以看作是拉盖尔-高斯模式的线性叠加[2].在傍轴条件下，LG光本征模式的径向关系为[3](1)其中，是径向指数为p的广义拉盖尔多项式，p和l是表征模式的特征量子数，l 是LG光的拓扑荷数,ω是高斯光束的束腰.球面波LG光的复振幅可写为(2)其中，k是波矢，为球面波带来的相位.1.2 涡旋相位片法涡旋相位片(Vortex phase plate，VPP)是透明的光学衍射元件[1-2]，相当于空间相位调制器. 光束通过相位片后附加螺旋相位因子exp (ilθ)，其中l为VPP的拓扑荷数，θ为旋转方位角. 高斯激光束通过VPP衍射后，振幅基本不变，相位发生变化，具有螺旋波前，经透镜聚焦成像后，傍轴本征模的径向关系满足式(1).如若入射激光束的复振幅为u，出射光束的光场可以表示为入射光束的复振幅乘以附加的相位项，即uVPP=u0exp (ilθ). 附加的相位因子使出射光束的波前呈螺旋式向前传播. 涡旋光束具有轨道角动量，而LG光束具有确定的轨道角动量是因为它含有相位因子exp (ilθ). 由该相位因子可知，LG光束的拓扑荷数为l. 因此，1束高斯激光束经过VPP的空间相位调制后，复振幅的表达式中增加了相位因子exp (ilθ)，出射光束具有轨道角动量如图1～2所示，拓扑荷数为l时，绕1周的相位为2πl. 用拓扑荷数l等于1～4的VPP产生的LG光的光强分布呈环形，拓扑荷数越大，环形中间的暗孔直径越大.(a)l=1 (b)l=2(c)l=3 (d)l=4图1 LG光的相位(a)l=1 (b)l=2(c)l=3 (d)l=4图2 LG光的光强分布1.3 球面波LG光与高斯光的干涉由于LG光特殊的螺旋相位结构，其与基模高斯光干涉时，可以得到各种干涉图样[8-12]. 当LG光为球面波时，与平面波高斯光的干涉图样为图3中的多叶螺旋，螺旋的叶数即为LG光的拓扑荷数.(a)l=1 (b)l=2(c)l=3 (d)l=4图3 基模高斯光与球面LG光干涉的空间光强分布的数值模拟经透镜准直后的基模高斯光，束腰半径很大，因此高斯光束的瑞利长度也足够大，基模高斯光在瑞利距离内可认为是平面波，其复振幅的表达式为(3)其中，ω1为高斯光的束腰半径，z1为光束传播距离. 由(3)式，高斯光的光强为(4)球面波LG光的复振幅由式(2)可得，结合式(3)，干涉时合振动的复振幅为ψ=ψl+ψ0.(5)由式(5)可得干涉时光强的空间分布为I=|ψ|2.(6)由(6)式可计算出不同拓扑荷数的球面波LG光与基模高斯光干涉光强的空间分布，其结果如图3所示. 由多叶螺旋的干涉图样可以直观地得到LG光的拓扑荷数. 由理论计算可知，只要存在球面波的相位，就能够获得多叶螺旋的干涉图样. 而且螺旋的叶数只与球面波LG光的拓扑荷数有关，与式(2)中球面波相位中r和z的具体值无关. 螺旋的叶数即为LG光的拓扑荷数l，由拓扑荷数可知LG光的轨道角动量为2 实验系统2.1 涡旋相位片涡旋相位片是该实验中的关键光学器件，如图4所示，实验中使用的相位涡旋片具有1～8的拓扑荷数，通过空间位置的选择，可以获得轨道角动量为的LG光. 每个拓扑荷数的相位片大小为10 mm×10 mm，因此入射到涡旋相位片上的光束直径要小于10 mm. 从光纤出射的基模高斯光垂直入射到涡旋相位片上，经过拓扑荷数为l的部分透射出后，会获得相位exp (ilθ)成为LG光.图4 涡旋相位片2.2 实验光路球面波干涉法测量LG光的轨道角动量的实验装置的光路如图5所示，其中L1～L4的焦距分别为50,300,75,150 mm. 实验使用TA Pro半导体激光器产生的780 nm线偏振光作为光源，为了获得模式较好的基模高斯光，从激光器出射的激光首先耦合进单模保偏光纤. 从光纤另一侧出射的基模高斯光，经过半波片1和偏振分束器PBS分束，一束平行光保持为平面波基模高斯光，作为相干光之一；另一束先经过L2缩束，使打到VPP上的光斑大小适中，然后经过VPP获得相应拓扑荷数的涡旋相位变成LG光，最后经过L3和L4的透镜组，入射到CCD上，由CCD 获得光强的空间分布. 因为L4将LG光聚焦后再发散，从而在CCD位置的LG光可以当作是球面波. 用CCD获得球面波LG光与基模高斯光的多叶螺旋干涉图样，可以测量得到LG光的拓扑荷数和轨道角动量.图5 实验光路示意图3 结果及分析3.1 LG光的产生利用涡旋相位片可以产生拓扑荷数1～8的LG光. 以制备l=4的LG光为例，经过VPP后，获得的LG光如图6所示. 中心的亮环为l=4的LG光在CCD处的空间光强分布，周围低亮度的多环为光学器件的干涉效应带来的背景噪声.图6 实验获得的l=4的LG光l=4的LG光的光强为(7)用(7)式做数据拟合，如图7所示. 拟合得到系数A=674.2，r0=160.0，ω=62.62，B=1.78. CCD相机1个像素点的尺寸为3.75 μm，可以计算得到LG光的束腰半径ω≈234.75 μm. 拟合曲线与实验数据符合较好，2个峰之间的平台区域的宽度基本一致，峰的位置也符合得很好，峰强的差异是由背景噪声导致的. 由此可以证明涡旋相位片产生l=4的LG光. 同样的方法也可以产生其他拓扑荷数的LG光.图7 l=4的LG光光强空间分布[蓝色为测量数据，红色为式(7)拟合曲线]3.2 球面波干涉法测量LG光的轨道角动量图6所示为实验中CCD拍摄数据，采用基模高斯光和LG光光强比为1∶1，但是基模高斯光光斑的大小远比LG光的要大，从而可以覆盖LG光特殊的螺旋结构.调整入射角度使2束光重合，使其在CCD上发生干涉，干涉图样如图8(b)所示.l=1的LG光与高斯光干涉得到的螺旋只有1个叶瓣，而l=4的LG光与高斯光干涉得到的螺旋有4个叶瓣，这与图3中数值模拟的结果相符合. 因此，可以从获得的多叶螺旋干涉图样中螺旋的叶数确定LG光的拓扑荷数以及轨道角动量.l=1 l=4(a)LG光l=1 l=4(b)LG光与基模高斯光相干结果图8 l=1和4的LG光及LG光与基模高斯光相干结果3.3 线偏振方向对实验结果的影响固定基模高斯光的线偏振方向，从0°～360°改变LG光的线偏振方向，可以看到干涉图样发生周期性的变化. 当两光线偏振方向完全垂直(90°和270°)时，只是光强的简单叠加，不发生干涉；当两光线偏振方向重合时(0°或180°)，可以看到明显的干涉图样，实验结果如图9所示. 这和2束光发生干涉基本条件一致，即2束光的偏振方向要相同才能发生干涉.(a)α=0 (b)α=90°图9 线偏振方向对实验结果的影响(l=4)3.4 干涉法中光强比对实验结果的影响图10为高斯光和l=1的LG光光强比分别为1∶1及1∶50时的干涉图样. 光强比不同时，干涉图样对比度会受到影响. 当高斯光与LG光的光强近乎相同时，可以获得对比度最高的干涉图样. 若LG光光强过大，LG光环形区域对应的干涉图样会变得模糊，螺旋线模糊甚至消失，图形成环形[图10(b)].(a)1∶1 (b)1∶50 图10 高斯光与LG光的光强对干涉结果的影响(l=1)4 结束语采用球面波LG光和平面波高斯光干涉的方法测量LG的轨道角动量，利用VPP产生不同拓扑荷数的LG光. 球面波LG光和平面波高斯光经干涉后，获得多叶螺旋的干涉图样，螺旋的叶数即为LG光的拓扑荷数l，由此可知LG光的轨道角动量为为获得高对比度的干涉图样，要求LG光和高斯光的偏振方向相同并且光强基本相等. 该方法用于测量LG光的轨道角动量简单直观，由于只需要得到多叶螺旋干涉图样中螺旋的叶数，与干涉光强空间分布的细节无关，因此对光强扰动和背景噪声不敏感，具有较强的抗干扰、抗噪声的特点.【相关文献】[1] 张磊. 螺旋相位板法产生涡旋光束及其特性研究[D]. 秦皇岛：燕山大学,2014.[2] 陆璇辉,黄慧琴,赵承良,等. 涡旋光束和光学涡旋[J]. 激光与光电子学进展,2008,45(1):50-56.[3] 任煜轩,吴建光,周小为,等. 相位片角向衍射产生拉盖尔-高斯光束的实验研究[J]. 物理学报,2010,59(6):3930-3935.[4] 张进一. 量子气体在自旋轨道耦合下的实验研究[D]. 合肥：中国科学技术大学,2013.[5] Chen H R, Lin K Y, Chen P K, et al. Spin-orbital-angular-momentum coupled Bose-Einstein condensates [J]. Physical Review Letters, 2018,121(11):113204.[6] 印建平,王正岭. 玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)实验及其最新进展[J]. 物理学进展,2005,25(3):235-257.[7] 冯文艳，付栋之，王云龙，等. 轨道角动量模式识别方法综述[J]. 物理实验，2019,39(2)：1-12.[8] 靳金金. 基于几何位相的光学轨道角动量产生与调控研究[D]. 成都：中国科学院大学(中国科学院光电技术研究所),2018.[9] Liu R F, Long J L, Wang F R, et al. Characterizing the phase profile of a vortex beam with angular-double-slit interference [J]. Journal of Optics, 2013,15(12):125712.[10] Pan S Z, Pei C Y, Liu S, et al. Measuring orbital angular momentums of light based on petal interference patterns [J]. OSA Continuum, 2018,1(2):451-461.[11] Bouchal Z, Kollarova V, Zemanek P, et al. Orbital angular momentum of mixed vortex beams [C]//15th Czech-Polish-Slovak Conference on Wave and Quantum Aspects of Contemporary Optics. International Society for Optics and Photonics, 2007,6609:660907-1-8.[12] Lv F J, Li X Z, Tai Y P, et al. High-order topological charges measurement of LG vortex beams with a modified Mach-Zehnder interferometer [J]. Optik, 2015,126(23):4378-4381.。
拉盖尔-高斯光束及其轨道角动量
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1 研究内容 拉盖尔-高斯光束及其轨道角动量； 2 研究目标 掌握一种生成拉盖尔-高斯光束的方法； 掌握矢量光束角动量的计算方法并能应用到拉盖尔-高斯光束上； 讨论其潜在应用；
3 解决的关键问题
矢量光束角动量的计算
课题的研究方法和技术路线 1．研究方法 ①信息的搜集和处理。搜集国内外相关的研究信息，在对其进行分析研究的基础上，吸 取有借鉴价值的信息；②初步方案的提出。在对国内外相关研究信息充分分析和研究的基 础上，基于光信息处理的基本原理，计算光通过刻槽宽度相等的多台阶矩形相位光栅后屏 上的光强分布；③方案的理论论证。依据相关的理论及原理，进行科学性、可行性、综合 性等方面的论证；④方案的实践检验。把构建的方案放到实践中去检验，看是否科学可行， 是否达到预期的效果；⑤方案的修订。在对方案进行理论论证和实践检验的基础上，修订 完善方案。
拉盖尔高斯模是在傍轴近似的条件下,亥姆霍兹方程在柱坐标系中的解,它的复振幅表示为
E
pl
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z
Apl
i 2 pl1
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l
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exp
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kr 2 2z
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2
w0 是输出镜面上 z=0 处光束的束腰半径， w w0
Jz
jz x, ydxdy ， w x, ydxdy
其中， w x, y 为能量密度。
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基础条件
完成本课题已经具备了一定的条件：（1）本课题指导老师近年来主要从事原子分子方面的 光学理论研究，在国内期刊上已公开发表数篇论文；（2）物理类专业的学生具备了一定的光学 和高等数学知识，并具有较好的计算机应用能力；（3）学校有着丰富的图书资料和良好的信息 检索平台，可方便地检索国内外各种文献资料。
产生涡旋光束新方法[业界研究]
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涡旋光束的产生方法
基于光参量啁啾脉冲放大技术的产生方法
涡旋光束的非共线光参量啁啾脉冲放大技术（OPCPA）， 目前只进行了仿真模拟。 OPCPA的基本结构： 种子光束--展宽器--放大器--压缩器。 在放大过程中，大的单程增益可减小涡旋光束在传输过程 产生的光场畸变
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19
涡旋光束的产生方法
基于自由电子激光技术（FEL）的产生方法
实现了高斯光束与OAM模式的有效转换。 激光与电子束同时进入 螺旋调制器中，使电子 产生涡旋能量分布； 二者再经电磁调制弯道， 使电子的涡旋能量分布 转换为涡旋密度分布。在二维调制器中， 激光和涡旋调制电子的相互作用可产生具 有轨道角动量的涡旋光束。
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涡旋光束的产生方法
基于受压光纤放大技术的产生方法
利用棒状放大技术产生高功率涡旋光束。
通过给光纤施加适当的压力，使光束产生相位差，从而 形成环形光束。
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涡旋光束的产生方法
基于主振荡光功率放大技术的产生方法
采用了抽运光限制技 术，利用毛细管状光 纤产生808nm的环形 光束；作为抽运光对 掺钕钇铝石榴石晶体 进行端面抽运，产生 LG光束；经布儒斯特片调整涡旋波前，调整标准具的倾 斜角改变波前的涡旋方向；通过空间耦合进人975nm端面 抽运的双包层保偏大模场光纤进行进一步放大。
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涡旋光束的产生方法
腔外涡旋光束整形
螺旋相位板法：利用螺旋相位板法产生涡旋光束。
优势与不足：转换效率较高，且能对高功率激光光束进 行转换。缺点是，一个螺旋相位板理论上只能产生一个 阶数的拓扑荷值的涡旋光束，且对加工技术方面要求比 较高。但是，螺旋相位板在处理一些需要高功率的激光 束或是小型化的仪器时，是其他任何方法都无法替代的。
利用计算全息产生的拉盖尔-高斯光束旋转微粒
利用计算全息产生的拉盖尔-高斯光束旋转微粒施丽;李静;陶陶【摘要】The theoretical reconstruction of Laguerre-Gaussian ( LG) beams with computer generated holograms (CGHs) is analyzed. LG beams are generated on our holographic optical tweezers platform by loading CGHs into a spatial light modulator ( SLM). A series of experiments on trapping and manipulation of absorptive CuO micro-particles are performed. Experiments demonstrate that a single CuO micro-particle can be trapped in the dark central spot of LG beams and rotated around the axis parallel to the optical axis. It can also be trapped in the region of maximum intensity of LG beams and set into rotation around the circumference. In addition,multiple CuO particles can be set into rotation around the circumference. The relationships of the rotation period changing with the laser power and the azi-muthal index are obtained by observation and measurement. The results play a guiding role in the accurate manipulation of micro-particles' rotation.%分析了采用计算全息再现拉盖尔-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光束光场的原理.将计算全息法生成的全息图载入空间光调制器(spatial light modulator,SLM),在全息光镊平台上生成了LG光束.对吸收性氧化铜(CuO)微粒进行了系列旋转操纵实验.实验发现单个微粒既可以被光学漩涡捕获在暗中空区域绕固定轴旋转,又可以被囚禁在光强最大值处绕轨道旋转；还实现了多个微粒的绕轨道旋转.通过实验观察和测量,得出了微粒旋转的周期与激光功率和角向指数的变化关系.所得结果对光致旋转微粒的精确操控具有一定的指导作用.【期刊名称】《激光与红外》【年(卷),期】2012(042)011【总页数】4页(P1226-1229)【关键词】计算全息;光致旋转;拉盖尔-高斯光束;空间光调制器【作者】施丽;李静;陶陶【作者单位】中国科学技术大学精密机械及精密仪器系,安徽合肥230027;中国科学技术大学精密机械及精密仪器系,安徽合肥230027;中国科学技术大学精密机械及精密仪器系,安徽合肥230027【正文语种】中文【中图分类】TN2491 引言近年来，随着光镊技术的发展，由于空心光阱相对于高斯光阱具有较高的囚禁力，较低的光学损伤，自旋与轨道角动量等优点，因而成为光镊技术研究的热点。
3类高斯光束的圆孔衍射特性
3类高斯光束的圆孔衍射特性韩振海【摘要】利用标量衍射理论,将空心高斯光束、贝塞尔高斯光束、平顶高斯光束3类高斯光束的圆孔衍射场进行傅里叶变换,并运用D-FFT算法对其圆孔衍射特性进行了数值计算,得到了衍射场中轴向和径向的光强分布特点,分析了光学参量对衍射结果的影响.分析结果表明:衍射特性与衍射距离、光束的阶数、圆孔束腰半径比等因素有关.【期刊名称】《物理实验》【年(卷),期】2016(036)006【总页数】7页(P12-18)【关键词】空心高斯光束;贝塞尔高斯光束;平顶高斯光束;圆形光阑;衍射;傅里叶变换【作者】韩振海【作者单位】河西学院物理与机电工程学院,甘肃张掖734000【正文语种】中文【中图分类】O436.1激光在具体应用时，对激光模式、束型、强度分布、光斑大小等都有严格地要求. 近年来对一些特殊类型高质量空心光束的研究已成为光学应用领域研究的热点，其研究成果在激光光学、二元光学、全息光学、原子冷却、光信息处理、微粒波导、生物医学等领域都有了广泛应用. 拉盖尔-高斯光束是一种轴向强度为零的暗中空光束，而高阶拉盖尔-高斯光束具有携带轨道角动量和环状强度分布的特点，该类光束沿轴向传播有螺旋的相位结构，能携带更多的信息量，在轨道角动量纠缠态的产生、量子加密、引力波探测、粒子操控、光镊、光通信等方面具有不可替代的优势. 高阶贝塞尔光束是一种具有无衍射特性的空心光束，具有相位奇点中心光强为零的特点，而周围存在高强度的光分布，这种空心光阱比实心光阱对微粒具有更好的捕获能力. 面包圈空心光束是一种特殊的类似于高阶拉盖尔-高斯光束的空心光束，这种空心光束是发散的，且具有自旋和轨道角动量，可用作光镊和实现微观粒子的囚禁. LP01模输出空心光束是一种发散光束，它在近场的分布类似于高斯分布，在远场的分布是一个空心环状分布，该光束具有轨道角动量，可用于微观粒子的囚禁和激光加工等. 双高斯分布的空心光束是一种径向强度呈高斯变化的空心光束，具有轨道角动量和较强的强度梯度，可用于中性原子的激光冷却及其冷原子束的激光准直等. 聚焦空心光束是将空心光束或高斯光束先经过一个特殊的π相位板后再经过透镜聚焦而成，聚焦光束无论是在焦点附近还是远离焦点都是空心的，可以用作原子(分子)透镜来聚焦原子束(分子束)，也可实现中性原子的冷却. 空心高斯光束、平顶高斯光束具有不同于一般高斯光束的物理性质[1-2]，而贝塞尔高斯光束则在一定条件下呈现“无衍射”等特性[3]，对这类光束的研究引起了人们极大地关注[4-9]，了解它们通过有限光阑的传输和衍射特性就显得非常重要. 本文利用标量衍射理论，将空心高斯光束、贝塞尔高斯光束、平顶高斯光束等3类高斯光束的圆孔衍射场表示成傅里叶变换的形式，并运用D-FFT算法对其圆孔衍射特性进行了数值计算，得到了衍射场中轴向和径向的光强分布特点，分析了光学参量对衍射结果的影响.圆孔的透过率可用圆域函数表示为式中R0表示圆孔半径. 为简单计算，将圆孔面置于以下3类高斯光束的束腰处(z=0).1.1 3类高斯光束的模型1)空心高斯光束空心高斯光束在z=0处的光场分布为式中:A0=E0(0,0)，ω0表示束腰半径，n表示空心高斯光束的阶数. 图1给出了空心高斯光束在束腰处的径向光强分布. 空心高斯光束在圆孔后表面上的光场分布为.2)贝塞尔高斯光束贝塞尔高斯光束在z=0处的光场分布为式中：J0 (αr0)为第一类零阶贝塞尔函数，α表示横向波数. 图2给出了空心高斯光束在束腰处的径向光强分布. 贝塞尔高斯光束在圆孔后表面上的光场分布为.3)平顶高斯光束平顶高斯光束在z=0处的光场分布为E0 (r0,0)=m=0,1,2,…,式中M表示平顶高斯光束的阶数(M=0,1,2,…). 图3给出了平顶高斯光束在束腰处的径向光强分布. 平顶高斯光束在圆孔后表面上的复振幅分布为1.2 3类高斯光束通过圆孔的衍射场计算对于轴对称近轴光学系统，其传输矩阵为，而自由空间中的传输变换矩阵则为. 根据圆孔后表面上的光波场U0(r0,0)，可由Collins公式计算衍射空间的光波场U(r,z)，即.式中z表示观察面和入射面之间的距离.将(8)式积分号内关于x和y的复相位因子作配方处理并作变量代换xa=Ax0，ya=Ay0，可得到利用(9)式，可将(8)式写为卷积形式,式中*表示卷积运算. 以fx 和fy表示频率域坐标，可得到,式中F{ }表示傅里叶变换. 利用卷积定理可将(10)式表示为U(x,y,z)= exp (jkz)·,式中F-1 { }表示傅里叶逆变换. 这样利用2次傅里叶变换并借助于D-FFT算法[10]，就可求出高斯光束通过圆孔后在空间传输的衍射场分布.数值计算[11-12]中衍射面大小为10 mm×10 mm，衍射面上抽样点数取512×512，激光波长为632.8 nm，束腰半径ω0=1 mm.2.1 空心高斯光束圆孔衍射特性的计算位于衍射面中央的圆孔半径R0=2 mm. 图4是在空心高斯光束的阶数n=3，其他参量不变时，不同衍射距离处轴上的光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，当传输距离较小(z<500 mm)时，轴上光强为零；随着衍射距离的增大，轴上光强逐渐增大，在z≈4 000 mm处轴上光强达到极大值；进一步增大衍射距离，轴上光强随之减小，但在该范围内有一定的起伏变化. 图5是在空心高斯光束的阶数n=3，其他参量不变时，不同衍射距离处接收面上的径向光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，近距离范围内(z<500 mm)接收面上的光强与空心高斯光束束腰处的分布相似，中心为暗斑；随着衍射距离的增大，中心逐渐有光能量聚集，在中心亮斑之外有暗、亮环交替出现，衍射效应明显，且亮环内的光强随半径也成高斯型分布；在z≈4 000 mm处中心亮斑的光强达到极大值；之后增大衍射距离，中心亮斑的强度下降，半径增大，衍射调制作用有所减弱.图6是在其他参量不变时，不同阶数n的空心高斯光束在z=500 mm处的接收面上产生的径向光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，阶数n较小时，中心暗斑的半径、亮环的半径均较小，n较大时，中心暗斑的半径、亮环的半径也较大，空心性越好；但亮环的宽度和光强则基本一致，没有随阶数发生明显的变化. 图7是在空心高斯光束的阶数n=5，改变圆孔大小(在束腰不变的条件下，亦即改变圆孔与束腰半径比)，而其他参量不变时，空心高斯光束在传输距离z=1 000 mm处的接收面上产生的径向光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，圆孔与束腰半径比对中心亮斑的大小没有明显影响(中心亮斑的宽度基本相同)；但半径比越大，中心亮斑的强度就越小，中心亮斑外围的亮环数也减少，衍射调制作用减弱.2.2 贝塞尔高斯光束圆孔衍射特性的计算位于衍射面中央的圆孔半径R0=2 mm. 图8是在贝塞尔高斯光束的径向波数α=5，其他参量不变时，不同衍射距离处轴上的光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，当传输距离较小(z<400 mm)时，轴上光强值很大；当增大衍射距离(z>400 mm)时，轴上光强急剧减小，并在该范围内没有出现较大的起伏变化. 图9是在横向波数α=5，其他参量不变时，不同衍射距离处接收面上的径向光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，近距离范围内(z<100 mm)接收面上的中心亮斑之外有暗、亮环交替出现，呈现出一定的衍射效应；但当衍射距离增大后，中心亮斑光强分布变得比近距离时平滑，同时衍射效应非常微弱.图10是在其他参量不变时，不同横向波数α的贝塞尔高斯光束在z=300 mm处的接收面上产生的光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，横向波数α对中心亮斑的宽度没有明显影响，只是α较大时，中心亮斑的光强有所减小. 图11是在横向波数α=5，改变圆孔大小(改变圆孔与束腰半径比)，而其他参量不变时，贝塞尔高斯光束在z=300 mm处的接收面上产生的径向光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，圆孔与束腰半径比对中心亮斑的大小没有明显影响(中心亮斑的宽度基本相同)；但半径比越大，中心亮斑的强度就越小.2.3 平顶高斯光束圆孔衍射特性的计算位于衍射面中央的圆孔半径依然取R0=2 mm. 图12是在平顶高斯光束的阶数M=3，其他参量不变时，不同衍射距离处轴上的光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，随着衍射距离从零开始增大，轴上光强也从零开始逐渐增大，在z≈1 800 mm处轴上光强达到极大值；进一步增大衍射距离，轴上光强随之减小，但在该范围内没有像前述空心高斯光束那样出现较明显的光强起伏变化. 图13是在平顶高斯光束的阶数M=3，其他参量不变时，不同衍射距离处接收面上的径向光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，近距离范围内接收面上的光强与平顶高斯光束束腰处的分布相似，中心为暗斑；随着衍射距离的增大，中心逐渐有光能量聚集，且在中心亮斑之外有较微弱的亮、暗环交替出现；之后增大衍射距离，中心亮斑的强度下降，半径增大. 值得注意的是，平顶高斯光束在整个衍射距离范围内并没有表现出像空心高斯光束那样明显的衍射调制效应.图14是在其他参量不变时，不同阶数M的空心高斯光束在z=1 000 mm处的接收面上产生的径向光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，阶数M对中心亮斑的半径和宽度没有产生明显的影响，但是阶数越大，旁瓣数越少，光强的径向变化越加平滑，衍射效应越不明显. 图15是在平顶高斯光束的阶数M=5，改变圆孔大小(改变圆孔与束腰半径比)，而其他参量不变时，平顶高斯光束在z=1 000 mm处的接收面上产生的径向光强分布. 从计算结果可以看到，在选取以上实验参量的条件下，圆孔与束腰半径比对中心亮斑的大小没有明显影响(中心亮斑的宽度基本相同)；当R0/ω0=0.8时，中心亮斑的强度较大，外围有强度的交替性变化，呈现出一定的衍射效应；当R0/ω0≥1.1时，中心亮斑的强度较小，外围的强度交替变化减弱，衍射效应不明显.对比以上计算结果，可以看出：1)在轴上的纵向光强分布中，空心高斯光束和平顶高斯光束表现出基本相同的变化规律(在特定距离处光强达到最大，而在较近距离和较远距离处光强则较小)，只是在远场前者的强度起伏更强烈；而贝塞尔高斯光束仅当传输距离很小时，轴上光强值很大，而当增大衍射距离时，轴上光强便急剧衰减.2)在衍射场的径向光强分布中，空心高斯光束和平顶高斯光束中心亮斑都随着衍射距离的增大而增大，能量逐渐向径向延展，前者在较近距离处还表现出明显的衍射效应，后者则不甚明显；而贝塞尔高斯光束的衍射光能量则高度聚集在中央轴线处.3)阶数影响空心高斯光束中心暗斑的半径、亮环的的半径，但对亮环的宽度和光强没有产生明显影响；横向波数只对贝塞尔高斯光束中心亮斑的光强有所影响，而对其宽度则没有明显影响；阶数对平顶高斯光束中心亮斑的旁瓣数以及光强变化的平滑度产生影响.4)圆孔与束腰半径比对空心高斯光束中心亮斑的强度及其旁瓣数、衍射调制结果都有明显的影响；对贝塞尔高斯光束只影响中心亮斑的强度；对平顶高斯光束的衍射调制结果有一定的影响.3类高斯光束的圆孔衍射具有各自不同的特性. 在空心高斯光束的圆孔衍射中，纵向和径向的光强与衍射距离密切相关，且阶数和圆孔束腰半径比对衍射结果产生明显影响，阶数越高，衍射效应越不明显；贝塞尔高斯光束的横向波数和圆孔束腰半径比对衍射结果无明显影响，衍射效应微弱，光能量高度聚集在中央轴线处，呈现出“聚焦”效应；阶数和圆孔束腰半径比对平顶高斯光束衍射结果产生一定的影响.这些特点对于进一步研究各类高斯光束有一定的理论和实践价值，也有利于高斯光束在光学工程中的实际应用.【相关文献】[1] 张蕾,蔡阳健,陆璇辉. 一种新空心光束的理论及实验研究[J]. 物理学报, 2004,53(6):1777-1781.[2] Bagini V, Borghi R, Gori F, et al. 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空间光调制器产生拉盖尔-高斯光束方法研究
Generation of LaguerreGaussian beam based on spatial light modulator
WANG Huichao，HU Ajian，CHEN Peifeng
（ School of Optical and Electronic Information，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074 ，China） Abstract： In order to handle the difficulty in generating LaguerreGaussian mode，the binary amplitude hologram method based on spatial light modulator was presented to produce LaguerreGaussian beam． After theoretical analysis and experimental verification，the transfer function of Fourier transform from Gaussian beam to LaguerreGaussian beam was derived． Binary hologram which can be used in spatial light modulator was obtained after modifing LaguerreGaussian mode simulation． Experimental platform based on 4 f system was setup and LaguerreGaussian modes of different orders were observed and tested． The results show that，it is easy to build and operate the device conveniently and the device can realize beam output dynamically and controllably． The study is important for the generation of highorder vortex beams and InceGaussian model． Key words： information optics； LaguerreGaussian model； binary hologram method； spatial light modulator
厄米_高斯模和拉盖尔_高斯模及它们之间的转换
(
)
(
)
∫
2
C
HG nm
⎛ 2 ⎞ −N 2 , =⎜ ⎟ 2 ⎝ πn!m! ⎠
12
12
(6) (7)
高斯模具有 u ( ρ , ϕ , z ) = u0 ( ρ , z ) exp ( ilϕ ) 形式，所以具有确定的轨道角动量。拉盖尔－高斯模的另一个重
这里(4)式的拉盖尔－高斯模表示与(3)式中表示法的对应关系是： p = min (n, m ) ，l = n − m 。由于拉盖尔－
(1)
拉盖尔－高斯模，二者都属于正交归一的完备系，可以作为希尔伯特空间的基矢。 归一化的厄米－高斯模和拉盖尔－高斯模的模式函数可以分别表示为
HG HG 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ un , m ( x, y , z ) = Cnm (1 w ) exp ⎣ − ( x + y ) w ⎦ exp ⎣ −i k ( x + y ) 2 R ⎦
3.1 像散 Gouy 相位 由上面的分析可知，如果能使对角的厄米－高斯模相邻项改变 π 2 相位差，那么就实现了模式之间的转 换。怎么来实现相邻项之间 π 2 的相位差，需要了解一下像散的概念。 像散现象：透镜对于物体上一点的成像因通过透镜的不同部分折射后而有差异；原来物体的平面与透镜 平行时，而所造成的像为曲面的现象。 对于圆柱型对称的高斯光束的 Gouy 相位在方程(2)和方程(3)中出现的形式是 (n + m + 1)ψ (z ), (14) 当光束腰在 z = 0 处时,ψ ( z ) 的表达式为ψ ( z ) = arctan ( z z R ) 。 而对于像散厄米－高斯光束， Gouy 相位有不同的形式。 像散厄米－高斯光束可以通过让厄米－高斯光束 对准圆柱型棱镜来产生。像散模的振幅在横截面上可以从两个平面来考虑， ( x, z ) 平面和 ( y , z ) 平面，坐标示 意图如图 3 所示
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2．技术路线 光束的轨道角动量产生的原因是由于光束具有角向的坡印廷矢量，因而具有相位结构;
并且将光束与相同频率的平面波干涉，可以观测到光束的相位。光束横截面内每一点沿光束
轴向的角动量密度 jz 可以写成位置矢量与线动量密度 0 E B 的叉积，
jz 0r E B 。
光束横截面内平均每个光子的角动量可以选取光束横截面内的有限个区域数值积分计 算得到
[4].K.T.Gahagan
and
G.A.Schwartzlander,Optical
vortex
trapping
of
particles[J],Opt.Lett.21,827–829(1996).
[5]M.Harris,C.A.Hill,and J.M.Vaughan,Optical helices and spiral interference fringes[J]mun
注：1、此表一式三份，学院、教研室、学生档案各一份。 2、课题来源是指：1.科研，2.社会生产实际，3. 其他。 3、课题类别是指：1.毕业论文，2.毕业设计。 4、教研室意见：在组织专业指导委员会审核后，就该课题的工作量大小，难易程度及是否符合专业培养目标和要 求等内容提出具体的意见和建议。 5、学院可根据专业特点，可对该表格进行适当的修改。
参考文献 [1]L.Allen,M.J.Padgett,The Poynting vector in Laguerre-Gaussian beams and the interpretation of
their angular momentum density[J]mun.184,67-71(2000).
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and the transformation of Laguerre-gaussian laser modes.[J]Phys.Rev.A 45,8185(1992).
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1 研究内容 拉盖尔-高斯光束及其轨道角动量； 2 研究目标 掌握一种生成拉盖尔-高斯光束的方法； 掌握矢量光束角动量的计算方法并能应用到拉盖尔-高斯光束上； 讨论其潜在应用；
3 解决的关键问题
矢量光束角动量的计算
课题的研究方法和技术路线 1．研究方法 ①信息的搜集和处理。搜集国内外相关的研究信息，在对其进行分析研究的基础上，吸 取有借鉴价值的信息；②初步方案的提出。在对国内外相关研究信息充分分析和研究的基 础上，基于光信息处理的基本原理，计算光通过刻槽宽度相等的多台阶矩形相位光栅后屏 上的光强分布；③方案的理论论证。依据相关的理论及原理，进行科学性、可行性、综合 性等方面的论证；④方案的实践检验。把构建的方案放到实践中去检验，看是否科学可行， 是否达到预期的效果；⑤方案的修订。在对方案进行理论论证和实践检验的基础上，修订 完善方案。
完成课题 的条件、 成果形式 等）
实
计
教
课题类型 理论型
√
设计型
验
算
学
型
型
型
横
科向 课题来源
研纵
实验室 建设
自
其
√
拟
它
向
拟接受学 生情况
有较为扎实的数理方法基础，有一定的分析综合能力。
教研室意 见
教研室主任签名：______________ ________年________月________日
学院意见 院长签名：____________________ ________年________月________日
（保密的论文在解密后应遵守此规定）
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课题名称
拉盖尔-高斯光束及其轨道角动量
出题人
光的偏振指光矢量的振动状态，是光场的重要属性，我们最熟悉的三种偏振状态如 课题表述 线偏振、圆偏振和椭圆偏振都属于均匀偏振，具有这三类均匀偏振的光束称为标量光束。 （简述课 相对于均匀偏振光，非均匀偏振光称为矢量光束。最近，矢量光束引起了人们的研究兴 题 的 背 趣。矢量光束的偏振态复杂多变，具有标量光束所不具备的一些特性，可以广泛应用于 景、目的、 导引和俘获粒子、电子加速、高分辨显微镜、金属切割、高密度存储及生物医学等方面。 意义、主 本课题的主要内容为，计算矢量拉盖尔-高斯光束的角动量，并讨论其潜在的应用。成果 要内容、 形式为论文。
原创性声明
本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果。除了文 中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研 究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。
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Байду номын сангаас
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computer-generated holograms[J]. Opt. Lett, 17(3): 221-223(1992)
Jz
jz x, ydxdy ， w x, ydxdy
其中， w x, y 为能量密度。
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基础条件
完成本课题已经具备了一定的条件：（1）本课题指导老师近年来主要从事原子分子方面的 光学理论研究，在国内期刊上已公开发表数篇论文；（2）物理类专业的学生具备了一定的光学 和高等数学知识，并具有较好的计算机应用能力；（3）学校有着丰富的图书资料和良好的信息 检索平台，可方便地检索国内外各种文献资料。