应力状态分析PPT课件
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材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
《平面应力状态》课件
优化方法：采用 有限元分析方法， 对零部件进行应 力分析，找出应 力集中区域
优化结果：通过 优化设计，提高 了零部件的强度 和刚度，降低了 重量和成本，提 高了产品的市场 竞争力
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汇报人：PPT
纯剪切应力状态：物体在两个相互垂直的平面内受到剪切应力的作用， 应力在两个平面内是均匀分布的。
应力状态与变形关系
应力状态：物体内部受到的力与面 积的比值
应力与变形的关系：应力越大，变 形越大
添加标题
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添加标题
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变形：物体在外力作用下产生的形 状和尺寸变化
应力状态与变形的关系：应力状态 决定了物体的变形程度
预防措施：优化设计、选用 优质材料、改进制造工艺等
稳定性准则及判据
稳定性准则：平面应力状态下，结构在受到外力作用下保持稳定状态的条件 判据：根据应力状态、材料性质和几何形状等因素，判断结构是否满足稳定性准则 稳定性分析方法：包括能量法、变分法、有限元法等 稳定性判据的应用：在工程设计中，用于评估结构的稳定性，确保结构的安全性和可靠性
平面应力状态下的应变 分析
应变概念及测量方法
应变：物体在外力作用下产生的形变 应变类型：线应变、面应变、体应变 应变测量方法：光学测量法、机械测量法、电学测量法 应变分析：通过测量应变来研究物体的应力状态和变形规律
应变与应力关系
应变：物体在外力作用下产生的形变
应变与应力的量纲：应变的单位是长度，应力的 单位是力/面积
强度计算方法
应力状态： 平面应力状 态
强度指标： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力
强度条件： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力均小 于材料的许 用应力
强度计算公
第八章应力应变状态分析ppt课件
+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t
-t
+
2
2.主应力
t
x x
+
2
-
2
y y
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
和t 都是的函数。利用上式便可确定正应力和
剪应力的极值
d d
-2
x
2
y
sin 2
+
t
x
cos 2
若
x - y
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
第八章2应力应变状态分析ppt课件
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t
2
C
x
两面夹角 两半径夹角2 ；
A(sx ,txy) s
且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
x
21
A(sx ,txy)
OC
s3 s2
20 s1 s
B(sy ,tyx)
t m in
s s
1 3
OCR半径
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
s
in2
t
xy
c
os2
Ox
sx
y
sy
s
ttxy
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
n s
s
x
s
2
y
2
t 2
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
t 由德国工程师：Otto Mohr引入）
sy
n 二、应力圆的画法
s
sx
t txy
y
Ox
t n D( s , t
2
低碳钢:s s 240 MPa;t s 200 MPa
低碳钢
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa s yb640~960MPa;tb198~300MPa
铸铁
§9–3 平面应力状态分析——图解法
sy
一、应力圆（ Stress Circle）
sx
s
s
x
s
2
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
建筑力学 第9章 应力状态PPT课件
通过推导，同样可以确定最大和最小切应力（即切应力 极值），以及它们所在的平面。
α=α1 时，平面上的切应力达到极值，则有
tan2 ＝ x y
1
2
xy
值和上最式小中值的所α在1应平有面相亦差为9两00个的互两相个垂值直，的说平明面切。应由力公的式最大 （9-6）及公式（9-3），有
ta 2n• ta 2n － 1
y sin2＋ cos2
2
xy
＝100—50 3 －20 1
2
2
2
＝21.65－10＝11.65MPa
图9-3
9.2.2 主应力与主平面
因为σα是α的函数，所以σα肯定存在极大值和极小 值，σα的极大值和极小值均称为主应力，记作σi(i=1、 2、3），主应力的作用面则称为主平面。设α0面为主 平面，经过数学推导有
2
tan2 ＝－ xy
0
x
y
9-3
由公式（9-3)可以求出相差900的两个角度α0，可见 两个主平面互相垂直。
式(9-3)为确定主平面方位的公式。
两个互相垂直主平面上的正应力，一个为最大，记为， 一个为最小，记为，其值分别由式9-4计算。
m＝ axx 2y＋ 1 2（ x － y ） 2 ＋ 4x 2y
第9章 应力状态
[内容提要]本章介绍了一点上不同 方向的应力分析方法；以及受弯杆 件上主应力迹线的分析方法。
9.1 应力状态的概念
在分析轴向拉（压）杆的应力时我 们就知道，斜截面上的应力不同于横截 面上的应力，且不同方位斜截面上的应 力也是不同的。杆件弯曲的分析结果表 明，杆件内各点的应力并不相同，其应 力值是相应点的坐标函数，且与所取截 面的方位有关。在这里我们将简单介绍 一点的应力情况—一点的应力状态。
材料力学课件第7章 应力状态分析
α+
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
《平面应力状态》课件
莫尔-库仑强度准则
总结词
该理论认为当材料某个平面上的剪应力 和正应力组合达到极限值时，材料发生 屈服。
VS
详细描述
莫尔-库仑强度准则，也称为MohrCoulomb屈服准则，它认为在某个平面 上，当剪应力和正应力的组合达到某一极 限值时，材料会发生屈服。这一理论考虑 了正应力和剪应力的共同作用，因此比最 大剪应力理论更全面。该准则适用于大多 数材料，尤其是土壤和岩石等材料。
02
通过有限元分析，得到平面内的应力分布情况，为优化设计提
供依据。
结构改进
03
基于分析结果，对结构进行改进或优化，提高其承载能力和稳
定性。
桥梁结构
建筑结构
在高层建筑或大跨度结构的分析中，对楼板、梁等 构件进行平面应力分析，以优化结构设计。
在桥梁设计中，对桥面板等关键部位进行平 面应力状态分析，以确保其承载能力和稳定 性。
机械零件
在机械零件如齿轮、轴承等的设计中，通过 平面应力状态分析，确保零件的强度和疲劳 寿命。
材料力学性能的平面应力状态研究
应力状态分析方法
解析法
通过数学公式和定理推导，得出 平面应力状态下的主应力和主方
向。
数值法
通过有限元分析等数值计算方法， 得出平面应力状态下的主应力和主 方向。
实验法
通过实验测量和数据分析，得出平 面应力状态下的主应力和主方向。
CHAPTER
03
平面应力状态的应变分析
应变分量与应变状态
应变分量
要点二
临界应变
当应变达到某一特定值时，系统会发生失稳，这个特定值 即为临界应变。
失稳判据与失稳模式
失稳判据
当系统的应力或应变超过其临界值时，系统会发生失稳 。
应力分析.ppt
m m
ax in
(
x
2
y
)2
2 xy
m in
max
tg 2 0
1 tg 21
ctg21 tg20 ctg(900 20 )
1
0
4
例题
13
铸铁扭转破坏动画
15
§9.4 二向应力状态分析--图解法
㈠应力圆,莫尔圆
⒈应力圆方程
(
x
y
,0)
半径:
2
应力圆方程
(
x
2
y
)2
2 xy
17
⒉应力圆的作法 设 x y
⑴建立στ坐标系 ⑵按一定的比例尺量取，横坐标OA=σx， AD=τxy，确定D点。 ⑶按一定的比例尺量取，纵坐标OB=σy， BD=τyx，确定D点。 ⑷连接DD与横坐标交于C点。 ⑸以C为圆心，CD为半径作圆。
xy cos 2
10
? ㈡σmax、σmin
d d
2[
x
y
2
sin 2 xy cos 2 ]
若当
0时,
d d
0
x
2
y
sin
20
xy
cos 20
0
min
tg20
2 xy x
y
解出两各极值点α0,α0=90+α0
各面应力：均布，一对平行平面应力相同。
材料力学应力分析PPT课件
y yx
D
xy
A
x
d
(y ,yx)
(
x
-
y
)2
+
2 xy
2
R
a (x ,xy)
c
x + y
2
在 -坐标系中，标定与单元体A、D面上
应力对应的点a和d
连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。
第40页/共123页
§2 平面应力状态分析
yy
yx
DB
A
xx
xxyy
O
C
d(y ,yx)
正应力与切应力
第15页/共123页
§2 平面应力状态分析
1、正应力正负号约定
x
应力状态
x
x
拉为正
第16页/共123页
x
压为负
§2 平面应力状态分析
切应力正负号约定
xy
yx
应力状态
使单元体 或其局部顺时 针方向转动为 正；反之为负。
第17页/共123页
§2 平面应力状态分析
角正负号约定
由x正向逆 时针转到n正 向者为正；反 之为负。
yx
a (x ,xy)
A
x
p xy
2
tg 2
p
-
x
-
xy x
+
2
y
o 2
1
d
2p
c g 1
负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向
第48页/共123页
§2 平面应力状态分析
主应力与主方向的对应关系
应力状态
小（主应力中小的）偏小（σx和σy中 小的）、大（主应力中大的）偏大（σx和 σy中大的） ，夹角不比450大。
应力状态分析强度理论组合变形资料课件
弯曲与扭转组合变形的计算公式
根据材料力学和弹性力学的基本理论，通过建立 力和位移的关系式，求解出结构的内力和变形。
拉伸与压缩组合变形的计算公式
根据材料力学的基本理论，通过建立力和位移的 关系式，求解出结构的应力和应变。
3
剪切与弯曲组合变形的计算公式
根据材料力学和弹性力学的基本理论，通过建立 力和位移的关系式，求解出结构的应力和变形。
根据应力方向和大小的不同，可以将应力状态分为 单向应力状态、双向应力状态和三向应力状态。
应力状态对材料强度的影响
01
02
03
04
Hale Waihona Puke 屈服强度在单向应力状态下，材料开始 发生屈服时的应力值。
抗拉强度
在双向应力状态下，材料在拉 力作用下所能承受的最大应力 值。
抗压强度
在三向应力状态下，材料在压 力作用下所能承受的最大应力 值。
剪切强度
在剪切应力状态下，材料能够 承受的最大剪切应力值。
02
强度理论
第一强度理论
最大拉应力理论
第一强度理论认为，材料在单向拉伸时达到的极限应力是其强度极限，而实际应 用中，材料可能因最大拉应力的作用而发生断裂。
第二强度理论
最大伸长应变理论
第二强度理论认为，材料在单向拉伸时达到的极限应变是其强度极限，而实际应用中，材料可能因最大伸长应变的积累而发 生断裂。
组合变形的分析方法
解析法
通过数学公式和定理，对组合 变形进行理论分析和计算。
有限元法
利用离散化的思想，将复杂的 结构分解为若干个小的单元， 通过求解每个单元的平衡方程 来得到整体结构的应力分布。
实验法
通过实验测试，对实际结构进 行加载和测量，获取结构的应 力分布和变形情况。
《应力状态理论》课件
VS
地质工程
在地质工程领域，应力状态理论对于研究 地壳应力分布、地震成因及岩土工程稳定 性等方面具有重要意义。通过将应力状态 理论与地质工程实践相结合，可以更好地 防范地质灾害和提高工程安全性。
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应力状态的重要性
工程应用
应力状态理论在工程领域中具有广泛应用，如结构分析、材料力学、岩石力学等，是解决实际工程问题的重要 基础。
学科发展
应力状态理论的发展推动了相关学科的进步，如断裂力学、损伤力学等，为解决复杂工程问题提供了更全面的 理论支持。
应力状态的历史与发展
早期研究
早期的应力状态研究主要集中在静力学领域，如弹性力学和塑性力学等，主要研究物体在受力作用下的平衡问题 。
多物理场耦合研究
在实际应用中，应力状态往往与温度、磁场等其他物理场存在耦合效应。未来研究应关注多物理场耦 合对应力状态的影响，建立更为完善的理论体系。
应力状态理论在其他领域的应用拓展
生物医学工程
在生物医学工程领域，应力状态理论在 骨骼、牙齿、血管等生物组织的生长、 修复和疾病防治等方面具有重要应用价 值。通过研究生物组织的应力状态，可 以为生物医学工程提供新的设计思路和 治疗方案。
应力的基本性质
应力的基本性质包括对称性、反对称性和转轴性。这 些性质反映了应力分布的内在规律，对于理解物体受 力状态和变形机制具有重要意义。
应力的基本性质包括对称性、反对称性和转轴性。对 称性是指对于任何点，其对称点的应力状态是相同的 ；反对称性则是指对于任何点，其对称点的应力状态 是相反的；转轴性则是指当坐标系旋转时，应力分量 的值会发生变化，但各向同性和各向异性状态不变。 这些性质反映了应力分布的内在规律，对于理解物体 受力状态和变形机制具有重要意义。
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§13–１ 引 言
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究
sy
2
）2 tx2y
1
0
4
, 即极值剪应力面与主平面成450
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C
y Ox
M
txy tyx
解：确定危险点并画其原
t yx
始单元体
t C xy
s x s y 0
t
xy
t
Mn WP
求极值应力
s max
s min
sx
s y
2
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t
2 xy
t
s1 t ; s 2 0;
图1
考虑切应力互等和三角变换：
s
sx
y
sy
ttxy
n
Ox
t
图2
t xy t yx ;
cos2 1 cos 2 ;
2
sin2 1 cos 2 ;
2
2sin cos sin 2
sy
得：
sx
y
txy
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
同理, 由分离体平衡：
Ft 0
得：
n
t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos 2
t ∴任意斜截面应力s, t可求, 随而变.
二、极值应力
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
s 随而变.
ds
d
sx s y
sin 2 2t xy cos 2
0时,s有最大最小值。
s 取得极值时,t 0极值正应力就是主应力！
低碳钢 铸铁
§13–3 二向应力状态分析——图解法
sy
sx
y
txy
Ox
sx
y
sy
s
ttxy
Ox
一、应力圆（ Stress Circle）
s
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
cos2
t
xy
sin2
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
cos2
对上述方程消去参数（2），得：
s
sx
s
2
y
2
t
2
s x
s y
2
2
t
2 xy
主平面法线与X轴夹角:
tg 2 0
2t xy sx s y
可求出相差90º的两个0 ,定两个互相垂直 平面,分别对应最大、最小主应力:
s s s s s s t m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
y O
sy
sx
txy
x
s1 s max s1(smax)在切应力相对的象限内，
t t
max min
R半径
s
max
s
2
min
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
§13–4 复杂应力状态简介
1、空间应力状态
y
s1
t
s2
s3
z
x
s3
s2
s
s1
2、三向应力分析
t
y
s1
t max
s 2 s min
且偏向于sx 及sy大的一侧。
由:t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos 2
y
令 : dt
d
sx s y
cos 2 2t xy sin 2 0
O
极值切应力所在面 (法线与X轴夹角):
tg21s2xtsxy y
sy
s 2
主 单元体
sx
txy s1
x
ttmmainx
± （sx
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
sx B sx
tzx
txz
sx
sx
A
§13–2 二向应力状态分析——解析法
y
sy
sy
txy sx
等 价
sx
y
txy
x zΒιβλιοθήκη Oxsy一、任意斜截面上的应力
sx 已知：sx, sy 拉正压负；
y
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s 2s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
y
sz
z
单元体的性质——a、各侧面上，应力均布；
sy
b、平行面上，应力相等,
txy sx
x
方向相反。 四、普遍状态下的应力表示
五、主单元体、主面、主应力：
sy
y
主单元体(Principal body)：
sx
各侧面上切应力均为零的单元体。
sz
z
s2
s3
主平面(Principal Plane)：
n 此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆)
t
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 二、应力圆的画法
s
sx
t txy
y
Ox
t n D( s , t
x
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx)
AB与s 轴的交点C便是圆心。
2
C
A(sx ,txy) s
以C为圆心，以AC为半径画
O
圆——应力圆；
B(sy ,tyx)
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s
sx
t txy
面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t
2
C
x
两面夹角 两半径夹角2 ；
A(sx ,txy) s
且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
点面对应,转向相同,转角二倍
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
x
21
A(sx ,txy)
OC
s3 s2
20 s1 s
B(sy ,tyx)
t min
s s
1 3
OC
R半径
s
x
s
2
y
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
txy
t xy 绕研究对象顺时针转为正；
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
n
设：斜截面面积为S，
t
Scos
S
Ssin
S Scos
Ssin
由分离体平衡得：
Fn 0
s Ss xScos2t xyScossin s ySsin2t yxSsincos0
tg 2 0
2t xy sx s y
s 3 t
0 45
t t
max min
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t
tg21
sx s y 2t xy
0
破坏分析
1 0
低碳钢:s s 240MPa;t s 200MPa
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa s yb 640~960MPa;t b 198~300MPa
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究
sy
2
）2 tx2y
1
0
4
, 即极值剪应力面与主平面成450
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C
y Ox
M
txy tyx
解：确定危险点并画其原
t yx
始单元体
t C xy
s x s y 0
t
xy
t
Mn WP
求极值应力
s max
s min
sx
s y
2
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t
2 xy
t
s1 t ; s 2 0;
图1
考虑切应力互等和三角变换：
s
sx
y
sy
ttxy
n
Ox
t
图2
t xy t yx ;
cos2 1 cos 2 ;
2
sin2 1 cos 2 ;
2
2sin cos sin 2
sy
得：
sx
y
txy
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
同理, 由分离体平衡：
Ft 0
得：
n
t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos 2
t ∴任意斜截面应力s, t可求, 随而变.
二、极值应力
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
s 随而变.
ds
d
sx s y
sin 2 2t xy cos 2
0时,s有最大最小值。
s 取得极值时,t 0极值正应力就是主应力！
低碳钢 铸铁
§13–3 二向应力状态分析——图解法
sy
sx
y
txy
Ox
sx
y
sy
s
ttxy
Ox
一、应力圆（ Stress Circle）
s
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
cos2
t
xy
sin2
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
cos2
对上述方程消去参数（2），得：
s
sx
s
2
y
2
t
2
s x
s y
2
2
t
2 xy
主平面法线与X轴夹角:
tg 2 0
2t xy sx s y
可求出相差90º的两个0 ,定两个互相垂直 平面,分别对应最大、最小主应力:
s s s s s s t m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
y O
sy
sx
txy
x
s1 s max s1(smax)在切应力相对的象限内，
t t
max min
R半径
s
max
s
2
min
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
§13–4 复杂应力状态简介
1、空间应力状态
y
s1
t
s2
s3
z
x
s3
s2
s
s1
2、三向应力分析
t
y
s1
t max
s 2 s min
且偏向于sx 及sy大的一侧。
由:t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos 2
y
令 : dt
d
sx s y
cos 2 2t xy sin 2 0
O
极值切应力所在面 (法线与X轴夹角):
tg21s2xtsxy y
sy
s 2
主 单元体
sx
txy s1
x
ttmmainx
± （sx
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
sx B sx
tzx
txz
sx
sx
A
§13–2 二向应力状态分析——解析法
y
sy
sy
txy sx
等 价
sx
y
txy
x zΒιβλιοθήκη Oxsy一、任意斜截面上的应力
sx 已知：sx, sy 拉正压负；
y
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s 2s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
y
sz
z
单元体的性质——a、各侧面上，应力均布；
sy
b、平行面上，应力相等,
txy sx
x
方向相反。 四、普遍状态下的应力表示
五、主单元体、主面、主应力：
sy
y
主单元体(Principal body)：
sx
各侧面上切应力均为零的单元体。
sz
z
s2
s3
主平面(Principal Plane)：
n 此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆)
t
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 二、应力圆的画法
s
sx
t txy
y
Ox
t n D( s , t
x
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx)
AB与s 轴的交点C便是圆心。
2
C
A(sx ,txy) s
以C为圆心，以AC为半径画
O
圆——应力圆；
B(sy ,tyx)
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s
sx
t txy
面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t
2
C
x
两面夹角 两半径夹角2 ；
A(sx ,txy) s
且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
点面对应,转向相同,转角二倍
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
x
21
A(sx ,txy)
OC
s3 s2
20 s1 s
B(sy ,tyx)
t min
s s
1 3
OC
R半径
s
x
s
2
y
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
txy
t xy 绕研究对象顺时针转为正；
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
n
设：斜截面面积为S，
t
Scos
S
Ssin
S Scos
Ssin
由分离体平衡得：
Fn 0
s Ss xScos2t xyScossin s ySsin2t yxSsincos0
tg 2 0
2t xy sx s y
s 3 t
0 45
t t
max min
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t
tg21
sx s y 2t xy
0
破坏分析
1 0
低碳钢:s s 240MPa;t s 200MPa
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa s yb 640~960MPa;t b 198~300MPa