如何获取更多的利润

如何获取更多的利润

例1 某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T（件）与每件的销售价x（元／件）可以看报是一次函数：T＝－3x＋207（45≤x≤69）

（1）写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差）。

（2）通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？

分析：每天总销售价为Tx，即（－3x＋207）x，每天销售的T件服装的进价为45T，即45（－3x＋207），而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润，而对于第（2）小题应将已得的二次函数配方，画出其函数图像，结合其自变量的取值X围确定最佳售价。

解：（1）由题意得：

Y＝（－3x＋207）x－45（－3x＋207）

＝（－3x＋207）（x－45）（45≤x≤69）

（2）由（1）知

y＝（－3x＋207）（x－45）

＝－3（x2－114x＋3105）

＝－3（－57）2＋ 432（45≤x≤69）

由图像知开口向下，存在最大值，且45＜57＜69。

∴当x＝57时

Y

＝432

max

亲爱的同学，若请你帮该商场决策，你知道每件售价是多少最为合适吗？

评述：本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸：

1．本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？

2．该服装的售价可以超过69元吗？

3．该函数的图像还可以向两端延伸吗？

例2 共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x（元）与产品的月销售量y（件）之间的关系如下表：

若月销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？此时每日的销售利润是多少？

（销售利润＝销售价－成本价）

分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力。

①“销售利润＝销售价－成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关。每日的销售利润应是每日销售量y（件）与每件产品销售利润的积。这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识。

②以表格形式给出了x（元）与y（件）的对应关系，并进而指出销售量y是销售价x的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。

③在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y（x的一次函数）与每件产品销售利润（x的一次函数）的积，实质为x的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了。

④在实际问题中自变量的取值X围必须符合题意。例如，销售价x元一般不能低于成本价，否则要亏本，更无从谈利润；销售量只能是非负数等。

解：设y ＝kx ＋b ，当x ＝130时，y ＝70；当x ＝150时，y ＝50，得方程组：⎩⎨⎧=+=+50

15070130b k b b 解得：1,200-==k b ∴y ＝－x ＋200

设每日销售利润为Z 元，每件产品的销售利润是（x －120）元，于是

200120012001201600

)160( 24000

320 )

120)(200()120(22≤≤∴⎩⎨⎧≥-≥+-+--=-+-=-+-=--⋅=x x x x x x x x x y Z

∴当160=x 时，1600max =Z

即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。

例3 某剧院设有1000个座位，门票每X3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，若每X 票价提高x 元，将有200x X 门票不能售出。

（1）求提价后每场电影的票房收入y （元）与票价提高量x （元）之间的函数关系式和自变量x 的取值X 围。

（2）若你是经理，你认为电影院应该怎样决策（提价还是不提价），若提价，提价多少为宜？

分析：若提价x 元后，则每X 票价变为（x ＋3）元，出售的门票总数为：（1000－200x ）X ，则票房的收入变为：（x ＋3）·（1000－200x ）。

至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y 是提高的价x 的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价。

解：（1）由题意知：

3000400200 )

3)(2001000(2++-=--=x x x x y

又⎩

⎨⎧≥≤∴⎩⎨⎧≥≥-05020002001000x x x x ∴x 的取值X 围是：50≤≤x

（2）3000)1122(200+-+--=x x y

3200

)1(2003000

200)1(20022+--=++--=x x

又510≤≤ ∴当1=x 时，3200max =Y 。

∴电影院应每X 门票提价1元为宜。

接下来我们再来看一看1998年XX 省的一道中考题。亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？

例4 某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件。已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。

（2）设生产A 、B 两种产品获总利润为y （元），其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 元间的函数关系式，并利用函数的性质说出（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

分析：本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有：不等式（组）、一次函数。解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。

（1）A 、B 两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可由此得出不等组，从而确立A 、B 两种产品生产件数的X 围，通过进一步讨论可选择其生产方案。

（2）列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决本题。

解：（1）设安排生产A 种产品。件，则生产B 件产品（50－x ）件。依题意，得⎩⎨⎧≤-+≤-+290

)50(103360)50(49x x x x 解之，得3230≤≤x