2019-2020学年河南省新乡市卫辉市九年级(上)期末数学试卷
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2019-2020学年河南省新乡市卫辉市九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)下列各数中,最小的数是()
A.﹣2020B.2020C.D.
2.(3分)共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利,不仅有效缓解了出行“最后一公里”问题,而且经济环保,据相关部门2018年11月统计数据显示,郑州市互联网租赁自行车累计投放超过49万辆,将49万用科学记数法表示正确的是()
A.4.9×104B.4.9×105C.0.49×104D.49×104
3.(3分)如图,是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,你认为从左面看到的这个几何体的形状图是()
A.B.C.D.
4.(3分)已知点P(3a﹣3,1﹣2a)关于x轴的对称点在第三象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()A.B.
C.D.
5.(3分)下列说法中,正确的是()
A.为检测市场上正在销售的酸奶质量,应该采用全面调查的方式
B.在连续5次的数学测试中,两名同学的平均分相同,方差较大的同学数学成绩更稳定
C.小强班上有3个同学都是16岁,因此小强认为他们班学生年龄的众数是16岁
D.给定一组数据,则这组数据的中位数一定只有一个
6.(3分)若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k﹣2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是()
A.B.
C.D.
7.(3分)从九年级一班3名优秀班干部和九二班2名优秀班干部中随机抽取两名学生担任升旗手,则抽取的两名学生刚好一个班的概率为()
A.B.C.D.
8.(3分)某校团委准备举办学生绘画展览,为美化画面,在长8dm、宽为5dm的矩形内画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积等于22dm2(如图),若设彩纸的宽度为x分米,则可得方程为()
A.40﹣10x﹣16x=18B.(8﹣x)(5﹣x)=18
C.(8﹣2x)(5﹣2x)=18D.40﹣5x﹣8x+4x2=22
9.(3分)如图,小明为了测量高楼MN的高度,在离N点20米的A处放了一个平面镜,小明沿NA方向后退1.5米到C点,此时从镜子中恰好看到楼顶的M点,已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6米,则大楼MN的高度(精确到0.1米)约是()
A.18.75米B.18.8米C.21.3米D.19米
10.(3分)如图一段抛物线:y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O和A1;将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3,如此进行下去,直至得到C10,若点P(28,m)在第10段抛物线C10上,则m的值为()
A.1B.﹣1C.2D.﹣2
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)的平方根是.
12.(3分)一个不透明布袋里共有5个球(只有颜色不同),其中3个是黑球,2个是白球,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回、搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球是一黑一白的概率是.
13.(3分)已知点A(2,y1),B(﹣2,y2),C(0,y3)都在二次函数y=x2﹣2x+4的图象上,y1,y2,y3的大小关系是.
14.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF =.
15.(3分)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为.
三、解答题(本大题共8题,共75分,请认真读题)
16.(8分)先化简,再求值:(1﹣),其中a是方程a(a+1)=0的解.
17.(9分)全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容,努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分.为了解“学习型家庭”情况,对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查,并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查了个家庭;
(2)将图①中的条形图补充完整;
(3)学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是度;
(4)若该社区有家庭有3000个,请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭?
18.(9分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,在圆上取点C,延长BC到D,使BC=CD,连接AD交⊙O于点E,过点C 作CF⊥AD,垂足为F.
(1)求证:CF是⊙O的切线.
(2)若AE=2,sin∠BAE=,求CF的长.
20.(9分)被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“大玉米”)坐落在风景如画的如意湖畔,是来郑州观光的游客留影的最佳景点,学完了三角函数知识后,刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大玉米”的高度,他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量项目及结果如下表.
项目内容
课题测量郑州会展宾馆的高度
测量示意图如图,在E点用测倾器DE
测得楼顶B
的仰角是α,前进一段距离
到达C点用测倾器CF测
得楼顶B的仰角是β,且
点A、B、C、D、E、F均
在同一竖直平面内
测量数据∠α的度数∠β的度
数EC的
长度
测倾器
DE
,CF的
高度
40°45°53米 1.5米……
请你帮助该小组根据上表中的测量数据,求出郑州会展宾馆的高度
(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,结果保留整数)
21.(10分)某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
22.(10分)(1)问题发现
如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,填空:的值为;∠AMB的度数为,
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M,请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由.
23.(11分)如图,直线y=﹣x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2)设点M(m,0)为线段OA上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.
①求PN的最大值;
②若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,请直接写出点M的坐标.
2019-2020学年河南省新乡市卫辉市九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.【解答】解:∵﹣2020<﹣<<2020,
∴所给的各数中,最小的数是﹣2020.
故选:A.
2.【解答】解:49万=4.9×105.
故选:B.
3.【解答】解:由俯视图知该几何体共2列,其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形,第2列只有前排2个正方形,
所以从左面看到的这个几何体的形状图是:
故选:D.
4.【解答】解:∵点P(3a﹣3,1﹣2a)关于x轴的对称点在第三象限,
∴P点在第二象限,
∴,
解得:>a,
如图所示:.
故选:B.
5.【解答】解:A、调查市场上酸奶的质量情况,破坏性较强,应该用抽样调查,故此选项错误;
B、在连续5次的数学测试中,两名同学的平均分相同,方差较大的同学数学成绩不稳定,故本选项错误;
C、虽然小强班上有3个同学都是16岁,但不一定是班里学生人数最多的,所以不一定是众数,故本选项错误;
D、给定一组数据,则这组数据的中位数一定只有一个,故本选项正确;
故选:D.
6.【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k﹣2=0有实数根,
∴,
解得:k>﹣1.
故选:A.
7.【解答】解:画树形图得:
∴一共有20种情况,抽取的两名学生刚好一个班的有8种,
∴抽取的两名学生刚好一个班的概率为=.
故选:B.
8.【解答】解:若设彩纸的宽度为x分米,
则(8﹣2x)(5﹣2x)=18,
故选:C.
9.【解答】解:∵BC⊥CA,MN⊥AN,
∴∠C=∠MNA=90°,
∵∠BAC=∠MAN,
∴△BCA∽△MNA.
∴=,
即=,
∴MN=1.6×200÷15≈21.3(m),
答:楼房MN的高度为21.3m.
故选:C.
10.【解答】解:令y=0,则﹣x(x﹣3)=0,
解得x1=0,x2=3,
∴A1(3,0),
由图可知,抛物线C10在x轴下方,
相当于抛物线C1向右平移3×9=27个单位,再沿x轴翻折得到,
∴抛物线C10的解析式为y=(x﹣27)(x﹣27﹣3)=(x﹣27)(x﹣30),
∵P(28,m)在第10段抛物线C10上,
∴m=(28﹣27)(28﹣30)=﹣2.
故选:D.
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.【解答】解:的平方根是±2.
故答案为:±2
12.【解答】解:设黑球为A、B、C;白球为1,2,
列树状图为:
所有可能情况有25种,其中两次摸出的球是一黑一白的结果有12,
两次摸出的球是一黑一白的概率为=,
故答案为:.
13.【解答】解:x=2时,y1=4﹣4+4=4,
x=﹣2时,y2=4+4+4=12,
x=0时,y3=4,
∴y2>y1=y3,
故答案为y2>y1=y3,.
14.【解答】解:设AP=x,PD=4﹣x,由勾股定理,得AC=BD==5,∵∠P AE=∠CAD,∠AEP=∠ADC=90°,
∴Rt△AEP∽Rt△ADC;
∴=,
即=﹣﹣﹣(1).
同理可得Rt△DFP∽Rt△DAB,
∴=﹣﹣﹣(2).
故(1)+(2)得=,
∴PE+PF=.
另解:
∵四边形ABCD为矩形,
∴△OAD为等腰三角形,
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高,即Rt△ADC斜边上的高,∴PE+PF==.
15.【解答】解:如图,
由翻折的性质,得
AB=AB′,BE=B′E.
①当MB′=2,B′N=1时,设EN=x,得
B′E=.
△B′EN∽△AB′M,
=,即=,
x2=,
BE=B′E==.
②当MB′=1,B′N=2时,设EN=x,得
B′E=,
△B′EN∽△AB′M,
=,即=,
解得x2=,BE=B′E==,
故答案为:或.
三、解答题(本大题共8题,共75分,请认真读题)
16.【解答】解:原式=•
=,
由于a(a+1)=0,
∴a=0或a=﹣1,
由分式有意义的条件可知a=0需要舍去,
∴a=﹣1,
∴原式=.
17.【解答】解:(1)本次抽样调查的家庭数是:30÷=200(个);
故答案为:200;
(2)学习0.5﹣1小时的家庭数有:200×=60(个),
学习2﹣2.5小时的家庭数有:200﹣60﹣90﹣30=20(个),
补图如下:
(3)学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是:360×=36°;
故答案为:36;
(4)根据题意得:
3000×=2100(个).
答:该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个.
18.【解答】(1)证明:∵(x﹣3)(x﹣2)=|m|,∴x2﹣5x+6﹣|m|=0,
∵△=(﹣5)2﹣4(6﹣|m|)=1+4|m|,
而|m|≥0,
∴△>0,
∴方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:∵方程的一个根是1,
∴|m|=2,
解得:m=±2,
∴原方程为:x2﹣5x+4=0,
解得:x1=1,x2=4.
即m的值为±2,方程的另一个根是4.19.【解答】解:(1)连接OC.
∵BC=CD,OB=OA,
∴OC∥AD,
∵CF⊥AD,
∴OC⊥CF,
∴CF是⊙O的切线.
(2)连接BE.
∵AB是直径,
∴∠BEA=90°,
∵sin∠BAE==,设BE=2k,AB=3k,则AE=k,
∵AE=2,
∴k=2,BE=4,
∵CF∥BE,BC=CD,
∴EF=DF,
∴CF=BE=2.
20.【解答】解:由题意可得:设BN=FN=x,
则tan40°==≈0.84,
解得:x=278.25,
故AB=278.25+1.5≈280(米),
答:郑州会展宾馆的高度为280米.
21.【解答】解:(1)由题意得:y=(210﹣10x)(50+x﹣40)=﹣10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数);
(2)根据(1)得:
y=﹣10x2+110x+2100,
y=﹣10(x﹣5.5)2+2402.5,
∵a=﹣10<0,
∴当x=5.5时,y有最大值2402.5.
∵0<x≤15,且x为整数,
当x=5时,50+x=55,y=2400(元),
当x=6时,50+x=56,y=2400(元)
∴当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元.
22.【解答】解:(1)∵∠AOB=∠COD=40°,OA=OB,
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,∠OAB+∠OBA=180°﹣40°=140°,
∴∠AOC=∠BOD,
在△AOC和△BOD中,
,
∴△AOC≌△BOD(SAS)
∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,
∴=1,∠AMB=180°﹣∠MAH﹣∠HAB﹣∠MBA=180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO=40°,故答案为:1;40°;
(2)∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,
在Rt△AOB中,∠OAB=30°,
∴=tan30°=,
同理,=,
∴=,
∴=,
又∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴==,∠CAO=∠DBO,
∴∠AMB=180°﹣∠CAO﹣∠OAB﹣∠MBA=180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO=90°,
∴=,∠AMB=90°.
23.【解答】解:(1)直线y=﹣x+c交于点A(3,0),与y轴交于点B,
∴0=﹣2+c,解得c=2,
∴B(0,2),
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B,
将点A、B的坐标代入抛物线表达式并解得:
y=﹣x2+x+2;
(2)①M(m,0),则P(m,),N(m,﹣m2+m+2),
∴PN=﹣m2+m+2﹣=﹣m2+4m(0≤m≤3);
当m=时,线段PN有最大值为3;
②由(1)可知直线解析式为y=﹣x+2,
∵M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N,∴P(m,﹣m+2),N(m,﹣m2+m+2),
∴PM=﹣m+2,AM=3﹣m,PN=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+4m,
∵△BPN和△APM相似,且∠BPN=∠APM,
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°,
当∠BNP=90°时,则有BN⊥MN,
∴N点的纵坐标为2,
∴﹣m2+m+2=2,解得m=0(舍去)或m=,
∴M(,0);
当∠NBP=90°时,过点N作NC⊥y轴于点C,
则∠NBC+∠BNC=90°,NC=m,BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m,
∵∠NBP=90°,
∴∠NBC+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BNC,
∴Rt△NCB∽Rt△BOA,,
∴=,
解得m=0(舍去)或m=,
∴M(,0);
综上可知当以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似时,点M的坐标为(,0)或(,0).。