2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

【解析】(1)因为 f(x)＝|x －1|＋|x －2|＝ ⎨1,1 ≤x ≤2,

⎪2x - 3, x ＞2. (2)因为 f(x)＝ ⎨1,1 ≤ x ≤2, 所以 f(x)min ＝1. ⎪2x - 3, x ＞2. .

【答案】 (1)⎢－1－ 17 －1＋ 17⎤. ∴a 2＋ a ＋2≤3，解得 ≤a ≤ . 即实数 a 的取值范围是⎢－1－ 17，－1＋ 17⎤. 4 4 4 4

2020 年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 解绝对值不等式

例 1、设函数 f(x)＝|x －1|＋|x －2|.

(1)解不等式 f(x)＞3；

(2)若 f(x)＞a 对 x ∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围.

【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).

⎧3 - 2x, x ＜1, ⎪ ⎩

所以当 x ＜1 时，3－2x ＞3，解得 x ＜0；

当 1≤x ≤2 时，f(x)＞3 无解；

当 x ＞2 时，2x －3＞3，解得 x ＞3.

所以不等式 f(x)＞3 的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).

⎧3 - 2x, x ＜1, ⎪ ⎩

因为 f(x)＞a 恒成立，

【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号

【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝

对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值

题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式

例 2、 1 (1)若不等式 |x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋2a ＋2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ________．

⎣ ⎦

【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，

1 －1－ 17 －1＋ 17

2 4 4

⎣ ⎦

【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题

【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的 x 即可；不等式的恒成立问题，可

1

⎩ ⎩

转化为最值问题，即 f(x)f(x)max ，f(x)>a 恒成立⇔a

题型三 不等式的证明与应用

例 3、设 a ，b ，c ，d 均为正数，且 a ＋b ＝c ＋d ，证明：

(1)若 ab >cd ，则 a ＋ b > c ＋ d ；

(2) a ＋ b > c ＋ d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．

【答案】略.

【解析】[证明] (1)因为( a ＋ b )2＝a ＋b ＋2 ab ，( c ＋ d )2＝c ＋d ＋2 cd ，

由题设 a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得( a ＋ b )2>( c ＋ d )2.

因此 a ＋ b > c ＋ d .

(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab<(c ＋d )2－4cd.

因为 a ＋b ＝c ＋d ，所以 ab >cd.

由(1)得 a ＋ b > c ＋ d .

②若 a ＋ b > c ＋ d ，则( a ＋ b )2>( c ＋ d )2，即

a ＋

b ＋2 ab >

c ＋

d ＋2 cd.

因为 a ＋b ＝c ＋d ，所以 ab >cd.于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab<(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.

因此|a －b |<|c －d |.

综上， a ＋ b > c ＋ d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．

【易错点】不等式的恒等变形.

【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等

式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关

键是推理的每一步必须可逆．

【巩固训练】

题型一 解绝对值不等式

1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5 的解集为________

【答案】{x|x ≤－3 或 x ≥2}.

⎧⎪x ≥1， 【解析】原不等式等价于⎨ ⎪（x －1）＋（x ＋2）≥5

⎧⎪－2

⎩

⎧⎪x ≤－2， 或⎨ ⎪－（x －1）－（x ＋2）≥5，

解得 x ≥2 或 x ≤－3.

故原不等式的解集为{x|x ≤－3 或 x ≥2}．

2.已知函数 f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|. (1)当 a ＝－3 时，求不等式 f(x )≥3 的解集；

(2)若 f(x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围

【答案】（1）{x|x ≤1 或 x ≥4}；

（2）[－3,0]．

⎧⎪

－2x ＋5，x ≤2， 【解析】(1)当 a ＝－3 时，f(x)＝⎨1，2

⎪⎩2x －5，x ≥3.

当 x ≤2 时，由 f(x )≥3 得－2x ＋5≥3，解得 x ≤1；

当 2

当 x ≥3 时，由 f(x )≥3 得 2x －5≥3，解得 x ≥4；

所以 f(x )≥3 的解集为{x|x ≤1 或 x ≥4}．

(2)f(x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.

当 x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|

⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a|⇔－2－a ≤x ≤2－a.

由条件得－2－a ≤1 且 2－a ≥2，即－3≤a ≤0.

故满足条件的 a 的取值范围为[－3,0]．

3.设函数 f(x)＝ |x ＋1|＋|x －2|＋a.

(1)当 a ＝－5 时，求函数 f(x)的定义域；

(2)若函数 f(x)的定义域为 R ，试求 a 的取值范围.

【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.

【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数 y ＝|x ＋1|＋|x －2|和 y ＝5 的图象， 知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).

(2)由题设知，当 x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即 a ≥－3.

题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式

1.已知函数 f (x ) = x +1 - 2x - 3 .

（1）图中画出 y = f (x )的图像；

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