线性分组纠错编码

Hamming:《纠错和检错编码》 标志着建立了纠错编码理论。 纠错编码是一种信道编码。
通信系统模型进一步细分
信源
信源 编码器
信道 编码器
调制器
等效离散信 源
信道编码器
信 道
干扰源
信宿
信源 译码器
信道 译码器
解调器
等效信宿
信道译码器 等效离散信道
k0 K
纠错编码器



送给纠错编码器的消息是经过最佳信源编码后，信息 速率为比特/秒的离散二元或q元数字序列。 分组码 每K个信息数字为一组，计算出N个编码数字，称这些 数字为一个码字。通常N为整数。 卷积码 输出的n0长码段不仅依赖于当前的k0位信息数字，还 依赖于前m个信息段的信息数字，即总共与（m＋1） k0个信息数字有关。
选择重传ARQ
5.最大似然译码和最小 Hamming距离译码
译码错误概率
p e ( r ) PN ( c ' c | r ) 1 p N ( c ' c | r )
译码准则

最小错误概率译码：是pe(r)最小 最大后验概率译码：选后验概率最大
p e (c '| r ) p e (c | r )
j j
n j
np
错误数的方差


2 t
E {( T T }
n

j0
( j T ) C n p (1 p )
2 j j
n j
np (1 p )
3.检错和纠错

例：检错n=3,k=1,r=2的重复码：
接收的序列 000 001 010 011 100 101 110 111 译出的序列 0 ？ ？ ？ ？ ？ ？ 1
p K 1
N ln( 1 p ) d ( r , c m ) ln[( 1 p )( K 1) / p ]
判决区域

rm:lnp(r|cm)>lnp(r|cm’) 给定m,错误概率
p EB

rC m M
C
p (r | cm )
p eb
Q (m ) p
m 1
第七章 线性分组纠错编码
7.1 分组纠错编码的一般概念

1.用于纠错和检错的信道编码 2.二元对称信道的差错概率和差错分布 3.检错和纠错 4.自动重发请求ARQ编码 5.最大似然译码和最小汉明距离译码 6.最小汉明距离与检错、纠错能力的关系
1.用于纠错和检错的 信道编码


p (i | i ) 1 p p ( j | i ) p /( K 1 )
最小汉明距离译码
ln p ( r | c m ) d ( r , c m ) ln
ln
n 1
N
p ( ri | c mi ) ( N d ( r , c m )) ln( 1 p )
最大似然译码
Q (c ) p (r | c ) p (r ) p (r | c') p (r | c)
p (c | r )
所有Q(c)相同
最大对数似然译码
ln p ( r | c ' ) ln p ( r | c )
最小汉明距离译码


汉明距离 d(x,y), x,y中 分量不同的数目 码字先验等概 K元对称信道
2.二元对称阿信道的差 错概率和差错分布
考虑二元对称信道BSC，信道容
量为 C=1-H(p) 出现t个错误的概率为
p ( T t ) C n p (1 p )
t t nt

在长度为n的二元分组码字中，平均错误数
T


j0
n
j p (T j )

j0
n
jC n p (1 p )
EB
高斯信道
N
max p ( y | x m )

n 1
1 2
exp{
( y n x mn ) 2
2 2
2
}
max ln( y | x m ) min

n 1
N
( y n x mn ) min

n 1
N
x mn 2 x mn y n
2 n 1
N
6.最小Hamming距离与 检错纠错能力的关系
3.检错和纠错

例：纠错n=3,k=1,r=2的重复码：
接收的序列 000 001 010 011 100 101 110 111 译出的序列 0 0 0 1 0 1 1 1
4.自动重发请求（ARQ）来自百度文库码

通信中的工作方式
单工 半双工 全双工

检错纠错方式
等待式ARQ 退N步ARQ
定理：任何（n,k）分组码，若要在任何 码字内： 1. 检测e个随机错误，则要求最小 Hamming距离d>=e+1. 2. 纠正d个随机错误，则要求d>=2t+1. 3. 纠正d个随机错误，检测e(>=t)个随 机错误，则要求d>=t+e+1.