导数的应用最新课件

分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1 且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求 函数单调区间的方法，求出单调区间 。
f (1) 1
略解：

f
' (1)

0

a

1 3
,
b


1 2
单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞） 单间区间为（-1/3，1）
3 设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于零的可导函数，且
分析：导数反应函数在某点处的变化率，它的 几何意义是相应曲线在该点处切线的斜率。
解：∵ y=ax3+bx2+cx+d 的图像和y轴交点p， ∴p的坐标为p(0,d) 又∵曲线在点p处的切线方程为12x-y-4=0且p点的坐 标适合方程，从而d=-4
又∵k=12，故在x=0处的导数y`/x=0=12 而 y`=3ax2+bx+c∴c=12 又∵函数在x=2处取得极值为0
(4) 求出各极值点处的函数值.
求f ( x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数 f ( x) 在 (a,b) 内的极值； ②求函数 f ( x)在区间端点 f (a)、f (b)大的一 个是最大值，最小的一个是最小值．
故切线的方程为 y y0 3(x02 1)( x x0 )
注意到点A（0，16）在切线上，有
16 (x03 3x0 ) 3(x02 1)(0 x0 ) x03 8 即 x0 2
所以，切点为 M (2, 2)，
切线方程为 9x y 16 0
课堂小结
1、求函数f(x)的极值，首先求f `(x),在求 f `(x)=0的根，然后检查方程根左右两侧的 导数符号而作出判定；
2、函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x) 在（a,b）内的极值；②将f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较，其中最大的是最大值，最小 的为最小值。
( A) －1<a<2 (B) －3<a<6
(C ) a<－1 或 a>2 (D) a<－3 或 a>6
三、例题讲解
例1求函数y=x4-2x+5在区间2，2 上的最大值与最小值
解： y 4x3 4x 令 y 0 ，有 4x3 4x 0 ，解得 x 1,0,1 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表：
导数的应用
——函数的最值与导数
知识目标
会用导数求函数的极大值与极小值， 以及闭区间上的最值。
能力目标
体会导数的方法在研究函数性质中的 一般性和有用性。
一、考点链接 1、求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
二、基础过关
1.求函数 f (x) x3 3x2 9x 5的极值. 解 (1) f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)( x 3)
(2)令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. (3)
x (,1) 1
f ( x) 0
f (x) x3 3x, f (x) 3x2 3 3(x 1)( x 1)
令 f (x) 0，则 x 1, x 1 当 x (, 1) (1, ) 时， f (x) 0 当 x (1, 1) 时，f (x) 0
f(x)在(, 1) ，(1, ) 上是增函数，
达标检测
1、若函数 f (x) ax2 2x b ln x 在x=1和x=2取极值. (1)求a,b的值
（2）求在上

1 2
,
2
的最大值和最小值。
2、求函数y=ax3+bx2+cx+d的图像和y轴相交于 p点，且曲线在p点处的切线方程为12x-y-4=0， 若函数在x=2处取得极值为0，试确定函数的 解析式。
例2：已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是
否存在实数a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最
大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值； 若不存在，请说明理由。
a=2，b=3或a=-2，b=-29
练习、已知a为实数，f (x) (x2 4)(x a) (1)求f '(x) (2)若f '(1) 0，求f (x)在[2, 2]上的最大值 和最小值 (3)若f (x)在(, 2]和[2, )上是递增的，求 a的取值范围
∴
y' x2 0
12 a4b120
f (2)0
8 a4b200
解得：a=2,b=-9 ∴所求函数的解析式为y=2x3-9x2+12x-4
3、已知函数 f (x) ax3 bx2 3x
在 x 1处取得极值。
(1)讨论f (1)和 f (1) 是函数 f (x)
0
极
f (x)
大 值
(1,3)
0
3 (3,)
0
0
极 小 值
(4)极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22. f ( x) x3 3x2 9x 5 图形如下
M
N
2.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值 -1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。
的极大值还是极小值；
(2)过点 A(0, 16) 作曲线y f (x)的切线，求此切线方程。
解：(1) f (x) 3ax2 2bx 3 依题意， f (1) f (1) 0

3a 2b 3 0, 3a 2b 3 0.
a 1,
b0
f (x)g(x) f (x)g(x) 0 ，则当 a<x<b 时有 ( C )
A．f(x) g(x)> f(b) g(b) C．f(x) g(b)> f(b) g(x)
B．f (x) g(a)> f (a) g(x) D．f (x) g(x)> f (a) g(a)
4 已知 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1 有极大值和极小值， 则 a 的取值范围为( D )
f(x)在 (1, 1) 上是减函数。
所以， f (1) 2 是极大值； f (1) 2 是极小值。
（2）曲线方程为 y x3 3x ，点 A(0, 16) 不在曲线上 . 设切点为 M (x0 , y0，) 则点M的坐标满足 y0 x03 3x0
因 f (x0 ) 3(x02 1)
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
— 0 + 0— 0 +
y 13
4
5
4
13
从表上可知，最大值是13，最小值是4．
练习、试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 –24x +4在区间[0,3]上的最大值和最小值.
解 f (x) = 12x3 - 48x2 + 60x – 24 = 12(x - 1)2(x - 2)，
令 f (x) = 0，得驻点 x = 1， x = 2，它们为 f (x) 可 能的极值点， 算出这些点及区间端点处的函数值：
f (0) = 4， f (1) = - 3，f (2) = - 4，f (3) = 13，
将它们加以比较 可知在区间[0, 3]上 f (x) 的最大值 为 f (3) = 13， 最小值为 f (2) = - 4.