远动监控技术_02D
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(1100010) (1011000)
(1101001)
(0001011) (0100111) (0011101) (1001110) (1010011)
(0111010) (1110100)
(1111111)
7/41
循环汉明码
1000101 0100111 0001011 1001110 0010110 0011101 0101100 0111010 1011000 1110100 0110001 1101001 1100010 1010011
g(x)
xnk
g x nk 1 nk 1
...
g1x
g0
g(x) | (xn 1)
重要结论：
① 寻找循环码多项式就是对xn+1进行因式分解。
② 循环码的码多项式必是生成多项式g(x)的倍式。反之也成
立。
10/41
例 GF(2)上多项式 x7 1 (x 1)( x3 x 1)( x3 x2 1)
hk
GH T 0
13/41
例 g(x) x4 x3 x2 1, h(x) x3 x2 1
例子
1 0 1 1 0 0 0
1 G 0
1 1
1 1
0 1
1 0
0 1
0 0
H 0 0
1 0
0 1
1 0
1 1
0 1
0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0
1 GH T 0
ri ( x) xni mod g ( x), i 1,2,..., k
G( x)
C1( x) C2 ( x)
x n1
x
n
2
r1 ( x) r2 ( x)
Ck ( x)
x
n
k
rk ( x)
15/41
例 已知（7，4）系统码的生成多项式为
g(x) x3 x2 1
求生成矩阵。
x2
1
x6
g(x)
|x7
1
x6
x3
x
1
0g(x) 0
（0010111） （0101110） （1011100） （0111001）
（1110010） （1100101）
（1001011）
（0000000）
11/41
生成矩阵和一致校验矩阵
G
gnk G(x0)
…
… …
gxxgnkknk1k21gg((xxg))n…k
16/41
例：多项式g(x)=x4+x3+1 (1) 证明g(x)为(15, 11)循环码的生成多项式； (2) 写出该码的标准生成矩阵； (3) 并分别写出信息多项式为M1(x)=x7+x3+x2和 M2(x)=x6+1时的码多项式（按系统码的形式）； (4) 判断接收到的码字011011101001010是否正确。
110 111
1 0
0 1
0 01 01
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
1
1
1
0
10
1
1
0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
14/41
➢系统码情况
C(x)
mk 1xn1
...
m0 xnk
r xnk 1 nk 1
...
r0
m(x)xnk r(x) 0, mod g(x)
第二章 远动信息与编码的基本理论
第一节 数据传输系统 第二节 信道与噪声 第三节 信道编码基本原理 第四节 常用检错码 第五节 线性分组码 第六节 循环码
第二章 远动信息与编码的基本理论
第六节 循环码
2/41
一、多项式 二、循环码的特点 三、循环码的编码电路 四、循环码的译码电路 五、系统循环码的编译码算法 六、远动信息的CRC校验
17/41
一、多项式 二、循环码的特点 三、循环码的编码电路 四、循环码的译码电路 五、系统循环码的编译码算法 六、远动信息的CRC校验
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多项式除法电路
g(x) gr xr gr1xr1 ... g1x g0 , gr 1 A(x) ak xk ak1xk1 ... a1x a0 , k r
0g(x) 0
1
g1
…
gnk
g0 0 g1 g0
g… nk 1
0…0
0
0
g1
g0
12/41
xn 1 g(x)h(x)
校验矩阵 (gnk xnk ... g1x g0 )(hk xk ... h1x h0 )
校验矩阵
h0 h1 … hk
H
h0 h1 … hk
0
0
…
h0
h1 …
g0
in
+
D0
A(x)
g1
g2
+ D1 +
gr-1 Dr-2 +
gr out Dr-1
19/41
例
A(x) x4 x3 1
g(x) x3 x 1
20/41
1111111 0000000
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
8/41
码多项式
C(x) cn1xn1 cn2 xn2 ... c1x c0 C (i) (x) xiC(x) mod( xn 1) (i 0,1,...,n 1)
9/41
生成多项式
定理 一个(n,k)循环码中的惟一的非零最低次多 项式g(x)，且常数项为1。
例子 构造一个（7，3）循环码。 g(x) x4 x2 x 1
码多项式
码字
g(x) x4 x2 x 1
xg(x) x5 x3 x2 x
x2g(x) x6 x4 x3 x2
x3g(x)
|x7
1
x5
x4
x3
1
x4 g ( x)
|x7
1
x6
x5
ห้องสมุดไป่ตู้
x4
x
x5g(x)
|x7
1
x6
x5
3/41
多项式
f (x) cn1xn1 cn2 xn2 ... c1x c0
ci GF (q)
码字1001011，可以表示为二元域上的多项式X6+X3+X+1
4/41
多项式的运算
设f(x)=x4+x3+x2+1，g(x)=x+1都是二元域上的多项式。 加法：f(x)+g(x)=(x4+x3+x2+1)+(x+1) =x4+x3+x2+x 乘法：f(x)g(x)=(x4+x3+x2+1)(x+1) =x5+x2+x+1 除法：f(x)/g(x)=(x4+x3+x2+1)/(x+1) =x3+x+1
5/41
一、多项式 二、循环码的特点 三、循环码的编码电路 四、循环码的译码电路 五、系统循环码的编译码算法 六、远动信息的CRC校验
6/41
汉明码
(7,4)汉明码码字
1 0 0 0 1 0 1 G 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
(0000000) (0010110) (1000101) (0101100) (0110001)
(1101001)
(0001011) (0100111) (0011101) (1001110) (1010011)
(0111010) (1110100)
(1111111)
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循环汉明码
1000101 0100111 0001011 1001110 0010110 0011101 0101100 0111010 1011000 1110100 0110001 1101001 1100010 1010011
g(x)
xnk
g x nk 1 nk 1
...
g1x
g0
g(x) | (xn 1)
重要结论：
① 寻找循环码多项式就是对xn+1进行因式分解。
② 循环码的码多项式必是生成多项式g(x)的倍式。反之也成
立。
10/41
例 GF(2)上多项式 x7 1 (x 1)( x3 x 1)( x3 x2 1)
hk
GH T 0
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例 g(x) x4 x3 x2 1, h(x) x3 x2 1
例子
1 0 1 1 0 0 0
1 G 0
1 1
1 1
0 1
1 0
0 1
0 0
H 0 0
1 0
0 1
1 0
1 1
0 1
0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0
1 GH T 0
ri ( x) xni mod g ( x), i 1,2,..., k
G( x)
C1( x) C2 ( x)
x n1
x
n
2
r1 ( x) r2 ( x)
Ck ( x)
x
n
k
rk ( x)
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例 已知（7，4）系统码的生成多项式为
g(x) x3 x2 1
求生成矩阵。
x2
1
x6
g(x)
|x7
1
x6
x3
x
1
0g(x) 0
（0010111） （0101110） （1011100） （0111001）
（1110010） （1100101）
（1001011）
（0000000）
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生成矩阵和一致校验矩阵
G
gnk G(x0)
…
… …
gxxgnkknk1k21gg((xxg))n…k
16/41
例：多项式g(x)=x4+x3+1 (1) 证明g(x)为(15, 11)循环码的生成多项式； (2) 写出该码的标准生成矩阵； (3) 并分别写出信息多项式为M1(x)=x7+x3+x2和 M2(x)=x6+1时的码多项式（按系统码的形式）； (4) 判断接收到的码字011011101001010是否正确。
110 111
1 0
0 1
0 01 01
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
1
1
1
0
10
1
1
0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
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➢系统码情况
C(x)
mk 1xn1
...
m0 xnk
r xnk 1 nk 1
...
r0
m(x)xnk r(x) 0, mod g(x)
第二章 远动信息与编码的基本理论
第一节 数据传输系统 第二节 信道与噪声 第三节 信道编码基本原理 第四节 常用检错码 第五节 线性分组码 第六节 循环码
第二章 远动信息与编码的基本理论
第六节 循环码
2/41
一、多项式 二、循环码的特点 三、循环码的编码电路 四、循环码的译码电路 五、系统循环码的编译码算法 六、远动信息的CRC校验
17/41
一、多项式 二、循环码的特点 三、循环码的编码电路 四、循环码的译码电路 五、系统循环码的编译码算法 六、远动信息的CRC校验
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多项式除法电路
g(x) gr xr gr1xr1 ... g1x g0 , gr 1 A(x) ak xk ak1xk1 ... a1x a0 , k r
0g(x) 0
1
g1
…
gnk
g0 0 g1 g0
g… nk 1
0…0
0
0
g1
g0
12/41
xn 1 g(x)h(x)
校验矩阵 (gnk xnk ... g1x g0 )(hk xk ... h1x h0 )
校验矩阵
h0 h1 … hk
H
h0 h1 … hk
0
0
…
h0
h1 …
g0
in
+
D0
A(x)
g1
g2
+ D1 +
gr-1 Dr-2 +
gr out Dr-1
19/41
例
A(x) x4 x3 1
g(x) x3 x 1
20/41
1111111 0000000
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
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码多项式
C(x) cn1xn1 cn2 xn2 ... c1x c0 C (i) (x) xiC(x) mod( xn 1) (i 0,1,...,n 1)
9/41
生成多项式
定理 一个(n,k)循环码中的惟一的非零最低次多 项式g(x)，且常数项为1。
例子 构造一个（7，3）循环码。 g(x) x4 x2 x 1
码多项式
码字
g(x) x4 x2 x 1
xg(x) x5 x3 x2 x
x2g(x) x6 x4 x3 x2
x3g(x)
|x7
1
x5
x4
x3
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x4 g ( x)
|x7
1
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ห้องสมุดไป่ตู้
x4
x
x5g(x)
|x7
1
x6
x5
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多项式
f (x) cn1xn1 cn2 xn2 ... c1x c0
ci GF (q)
码字1001011，可以表示为二元域上的多项式X6+X3+X+1
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多项式的运算
设f(x)=x4+x3+x2+1，g(x)=x+1都是二元域上的多项式。 加法：f(x)+g(x)=(x4+x3+x2+1)+(x+1) =x4+x3+x2+x 乘法：f(x)g(x)=(x4+x3+x2+1)(x+1) =x5+x2+x+1 除法：f(x)/g(x)=(x4+x3+x2+1)/(x+1) =x3+x+1
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一、多项式 二、循环码的特点 三、循环码的编码电路 四、循环码的译码电路 五、系统循环码的编译码算法 六、远动信息的CRC校验
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汉明码
(7,4)汉明码码字
1 0 0 0 1 0 1 G 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
(0000000) (0010110) (1000101) (0101100) (0110001)