高等数学微分中值定理应用举例

微分中值定理应用举例

单调性与极值

1.函数)(x f 在[]0,1上//

()0f

x >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.

解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/

(1)(0)()f f f ξ-=.

由于//

()0f

x >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<，

即//

(0)(1)(0)(1)f f f f <-<.

2.函数)(x f 在[]0,1上///

//()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.

解：由于///

()0f

x >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，

同上题讨论有//

(0)(1)(0)(1)f f f f <-<

3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///

(),()f x f x 的

符号.

解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//

()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///

()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/

()f x 严格递增,

/(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有

()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >；

D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <.

解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//

()()1F x f x =-

选择B.

5 .设)(x f 处处可导,则

A.lim ()x f x →-∞

=-∞必/lim ()x f x →-∞

=-∞；B. /lim ()x f x →-∞

=-∞必lim ()x f x →-∞

=-∞

C. lim ()x f x →+∞

=+∞必/lim ()x f x →+∞

=+∞；D. /lim ()x f x →+∞

=+∞必lim ()x f x →+∞

=+∞

解：选择D (A,C 的反例y x =，B 的反例2

y x =)

6.设函数)(x f 在[)0,+∞上有界且可导，则

A. lim ()0x f x →+∞

=必/lim ()0x f x →+∞

= ;B. /lim ()x f x →+∞

存在，必/lim ()0x f x →+∞

=；

C. 0

lim ()0x f x +→=必/0

lim ()0x f x +→=; D. /0

lim ()x f x +→存在，必/0

lim ()0x f x +→=；

解：选择A (B,C,D 的反例()f x x =)

7. 设函数)(x f 在0x =的邻域内连续,且(0)0f =，0()

lim

21cos x f x x

→=-，则在0x =处

A. )(x f 不可导;

B.可导,且/

(0)0f ≠; C.取极大值; D.取极小值

解：20000()()1()(0)1()(0)

lim

lim 2lim 2lim 21cos 00

2

x x x x f x f x f x f f x f x x x x x x →→→→--====---

所以0

000()(0)1()(0)1()(0)

lim

lim lim lim 0000

x x x x f x f f x f f x f x x x x x x x →→→→---=⋅=⋅=--- 所以)(x f 在0x =可导，且/

(0)0f =.

0()

lim

21cos x f x x

→=-，而1cos 0,20x ->>，所以在0x =的某邻域内()0f x >，(0)0

f =所以在0x =处)(x f 取极小值.

8. (),()f x g x 为恒大于0的可导函数,且//

()()()()0f x g x f x g x -<，则当a x b <<时

A. ()()()()f x g b f b g x >；

B. ()()()()f x g a f a g x >;

C. ()()()()f x g x f b g b >;

D. ()()()()f x g x f a g a >

解：/

//2

()()()()()

0()()f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭

，所以()()f x g x 为减函数， 即当a x b <<时

()()()

()()()

f b f x f a

g b g x g a <<，又(),()f x g x 为恒大于0，