高等数学微分中值定理应用举例
微分中值定理例题
理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。
12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
高等数学 第三章 微分中值定理与导数的应用 第三节 泰勒公式
1.设 f ( x ) 在 x0 处连续,则有
f ( x ) ≈ f ( x0 )
[ f ( x ) = f ( x0 ) + α ]
仅仅是无穷小
2.设 f ( x ) 在 x0 处可导,则有
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x x 0 )
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
o
x y= x 3!
3
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
o
x3 x5 y= x + 3! 5!
x3 y= x 3!
x
x2 x3 思 ∵ e x = 1 + x + + + o( x 3 ) 2! 3! 考 x3 题 sin x = x + o( x 3 ) 3!
解 e x sin x x (1 + x ) = 答 ∴ lim 3 x →0 x
x2 x3 x3 3 3 1 + x + + + o( x ) x + o( x ) x (1 + x ) 2! 3! 3! lim x →0 x3 x3 x3 + o( x 3 ) 1 = lim 2! 3! 3 = . x →0 x 3
y = 1+ x
o o
不足: 1,精确度不高; 2,误差不能估计. 问题: 寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) ≈ P ( x )
大学高等数学上册：3-2 微分中值定理
2
,
2
使 f cos f sin 成立．
【例4】 设 f x在0,1上可导 , 且f 1 0 , 求证：
至少存在一点 0,1 ,成立f f .
证明： 令F x xf x , 则F(x)在[0,1]上可导，
且F 0 0 , F 1 f 1 0
由罗尔定理知至少存在一点 0,1 ,使F 0 . 所以f f .
证明： a,b 使 f 1. 分析：f 1 f 1 0 f x 1 0 在 ( a, b ) 内有解 F x Fx ?
【证明】作辅助函数F(x) = f (x)－x
显然F(x) 在[ a, b ] 上连续，在 ( a, b ) 内可导，且
F(a) = F(b) = 0 由Rolle 定理得：
a,b 使 f 0
若用参数方程
x = g(t) y = f (t)
的图形与性质不变． y
f (b)
t a, b 来表示曲线，则曲线
x = g(t)
C
y = f (t)
B
f (a)
A
o g(a) g
D
g(b)
x
C 点切线与端点连线 AB 平行．
f
若记 C 点对应的参数为 ，则C
第3章 微分学基本定理
§3.2 微分中值定理
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
费马(Fermat) 定理：若f ( x ) 在 x0的某邻域N x0 内有定
义，f x0 是 f ( x ) 在 N x0 内的最大 (或最小) 值，则当f ( x )
在 x0 处可导时，必有 f x0 0．
故由Fermat 定理得 f 0.
由①②可知Rolle 定理成立．
注意
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
自考高等数学一精讲第四章节
第四章微分中值定理和导数的应用微分中值定理费马引理：设函数y=f(x) 在点的一个邻域上有定义，并在可导，假如（或）则一、罗尔(Rolle) 定理罗尔（Rolle）定理假如函数f(x) 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b) ，那么在（a,b）内起码有一点，使得函数f(x) 在该点的导数等于零，即。
几何解说:在曲线弧AB上起码有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上能否知足罗尔定理条件，若知足，求出它的驻点。
【答疑编号11040101】解知足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102】二、拉格朗日(Lagrange) 中值定理1.拉格朗日(Lagrange) 中值定理假如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b ）内起码有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理对比条件中去掉了f(a)=f(b) 2.结论亦可写成。
几何解说:在曲线弧AB上起码有一点 C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上能否知足拉格朗日中值定理。
【答疑编号11040103】推论1假如函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题，4题）、证明【答疑编号11040104】证设又，即，推论2假定在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数到处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
洛必达法例一、型及型不决式解法：洛必达法例1、定义假如当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无量大，那么极限称为或型不决式。
(整理)高等数学微分中值定理应用举例
微分中值定理应用举例单调性与极值1.函数)(x f 在[]0,1上//()0fx >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0fx >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<，即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<.2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.解：由于///()0fx >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号.解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增,/(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >；D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <.解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =-选择B.5 .设)(x f 处处可导,则A.lim ()x f x →-∞=-∞必/lim ()x f x →-∞=-∞；B. /lim ()x f x →-∞=-∞必lim ()x f x →-∞=-∞C. lim ()x f x →+∞=+∞必/lim ()x f x →+∞=+∞；D. /lim ()x f x →+∞=+∞必lim ()x f x →+∞=+∞解：选择D (A,C 的反例y x =，B 的反例2y x =)6.设函数)(x f 在[)0,+∞上有界且可导，则A. lim ()0x f x →+∞=必/lim ()0x f x →+∞= ;B. /lim ()x f x →+∞存在，必/lim ()0x f x →+∞=；C. 0lim ()0x f x +→=必/0lim ()0x f x +→=; D. /0lim ()x f x +→存在，必/0lim ()0x f x +→=；解：选择A (B,C,D 的反例()f x x =)7. 设函数)(x f 在0x =的邻域内连续,且(0)0f =，0()lim21cos x f x x→=-，则在0x =处A. )(x f 不可导;B.可导,且/(0)0f ≠; C.取极大值; D.取极小值解：20000()()1()(0)1()(0)limlim 2lim 2lim 21cos 002x x x x f x f x f x f f x f x x x x x x →→→→--====---所以0000()(0)1()(0)1()(0)limlim lim lim 0000x x x x f x f f x f f x f x x x x x x x →→→→---=⋅=⋅=--- 所以)(x f 在0x =可导，且/(0)0f =.0()lim21cos x f x x→=-，而1cos 0,20x ->>，所以在0x =的某邻域内()0f x >，(0)0f =所以在0x =处)(x f 取极小值.8. (),()f x g x 为恒大于0的可导函数,且//()()()()0f x g x f x g x -<，则当a x b <<时A. ()()()()f x g b f b g x >；B. ()()()()f x g a f a g x >;C. ()()()()f x g x f b g b >;D. ()()()()f x g x f a g a >解：///2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，所以()()f x g x 为减函数， 即当a x b <<时()()()()()()f b f x f ag b g x g a <<，又(),()f x g x 为恒大于0，所以()()()()f x g b f b g x >，选择A9.设)(x f 有二阶连续导数,且/(0)0f =，//0()lim1x f x x→= A.(0)f 是()f x 的极大值;B. (0)f 是()f x 的极小值; C. ()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点;D. (0)f 不是()f x 的极值;()0,(0)f 也不是曲线()y f x =的拐点.解：//0()lim10x f x x→=>，所以在0x =的邻域内//()0f x >，即曲线是凹的，又/(0)0f =，所以(0)f 是)(x f 的极小值.选择B10.设函数)(x f 在x a =的某个邻域内连续, ()f a 为)(x f 的极大值,则存在0δ>,当(),x a a δδ∈-+时,必有:A. ()()()()0x a f x f a --≥；B. ()()()()0x a f x f a --≤;C.2()()lim0()()t af t f x x a t x →-≥≠-； D.2()()lim 0()()t a f t f x x a t x →-≤≠-. 解：()f a 为)(x f 的极大值，则存在0δ>，(),x a a δ∈-和(),x a a δ∈+时， 都有()()f x f a ≤，所以(),x a a δδ∈-+时, ()()0f x f a -≤，所以A,B 都不正确.22()()()()lim()()t af t f x f a f x t x a x →--=--，由于()()0f a f x -≥，所以2()()0()f a f x a x -≥-. 选择C11.设函数)(x f 在(),-∞+∞内有定义, 00x ≠是函数)(x f 的极大值点,则 A. 0x 必是)(x f 的驻点;B.0x -必是()f x --的极小值点 C. 0x -必是()f x -的极小值点; D.对一切x 都有0()()f x f x ≤ 解：选择B 12. 2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则在x a =处A. )(x f 导数存在,且/()0f a ≠； B.取极大值; C.取极小值; D . )(x f 导数不存在解：2()()lim1()x af x f a x a →-=--，所以在x a =的某去心邻域内有()()0f x f a -<，所以在x a =处，)(x f 取极大值.9 .1,2,)n =的最大值证明：令1()xf x x =(1)x ≥，1ln ()x x f x e=， ()11/222111()ln 1ln xx f x x x x x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以x e =时/()0f x =， 且x e <时/()0f x >，x e >时/()0f x <，所以()f e 时1()xf x x =的唯一极大值，也是最大值.而1,2,)n =的最大值必是中的一个，而<，所以是1,2,)n =的最大值.不等式的证明1.当0x >时，证明：1arctan 2x x π+>； 证明：令1()arctan 2f x x x π=+- /2211()01f x x x =-<+，所以0x >时1()arctan 2f x x x π=+-单调减，而1lim ()lim arctan 02x x f x x x π→+∞→+∞⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 所以0x <<+∞时，1()arctan 02f x x x π=+->，即1arctan 2x x π+>. 2. 当0x <<+∞时，证明：11ln(1)1x x+>+；证明：0x <<+∞时，令11()ln(1)1f x x x=+-+，()/222111()01(1)1x f x x x x x x ⎛⎫=-+=-< ⎪++⎝⎭+， ()f x 单调减， 而11lim ()lim ln(1)01x x f x x x →+∞→+∞⎡⎤=+-=⎢⎥+⎣⎦，所以0x <<+∞时，11()ln(1)01f x x x =+->+，即11ln(1)1x x+>+. 方法二，0x <<+∞时， 1ln(1)ln(1)ln x x x+=+-，令()ln f x x =，则在区间[],1x x +上用拉格朗日中值定理有：/11ln(1)ln(1)ln ()x x f xξξ+=+-==其中1x x ξ<<+，所以1111x x ξ<<+，即有11ln(1)1x x+>+. 3.证明：1ln(x x +≥；证明：设()1ln(f x x x =+则/()ln(f x x =++ln(x =，令//()0f x =，得唯一驻点0x =//()0f x =>，所以0x =是()f x 的极小值点，所以()(0),f x f ≥又(0)0f =所以()0f x ≥，即1ln(x x +≥. 4.当1x >，证明ln(1)ln 1x xx x+>+； 证明：因为1x >，所以ln ,10x x +>，所证等价于()1ln(1)ln x x x x ++>零()ln f x x x =，则/()ln 10f x x =+>，所以1x >时()ln f x x x =单调增加，而11x x +>>，所以(1)()f x f x +>，即()1ln(1)ln x x x x ++>，即ln(1)ln 1x xx x+>+. 5.1,x a e >>，证明：()()a a x a x a ++<；证明：只需证ln()()ln a a x a x a +<+ 令()ln()()ln f x a a x a x a =+-+，则/()ln a f x a a x =-+，()//2()0af x a x =-<+ 所以/()f x 单调减少，而/(0)1ln 0f a =-<，所以10x >>时//()(0)0f x f <<即()f x 单调减少，而(0)0f =，所以10x >>时()(0)0f x f <=，即ln()()ln a a x a x a +<+，即()()a a x a x a ++<.6.设b a e >>，证明：baa b >证明：只需证明ln ln b a a b >，设()ln ln f x x a a x =-，///2()ln ,()0a a f x a f x x x=-=>，所以/()ln af x a x =-单调增加，又/()ln 10f a a =->，所以b x a e >>>时/()ln 0af x a x=->， 故()ln ln f x x a a x =-单调增加.因此，b x e >>时()ln ln ()f x b x x b f a =->，而()0f a =， 所以()ln ln 0f b b a a b =->，即b a e >>时，ln ln b a a b >. 所以b aa b >.7．设()f x 在[)0,+∞上可导，且/()f x 单调递减，证明：对任意正数,a b ，都有[]1()(2)(2)2f a b f a f b +≥+ 证明：不妨设0a b <<，令[]1()()(2)(2)2F x f a x f a f x =+-+则///()()(2)F x f a x f x =+-，当x a >时有2a x x +<，由于/()f x 单调递减 所以//()(2)f a x f x +>，即/()0F x >，所以()F x 单调增，即x a >时()()F x F a ≥所以0a b <<时，[]1()()(2)(2)02F b f a b f a f b =+-+≥， 即[]1()(2)(2)2f a b f a f b +≥+. 8.设//0()lim1,()0x f x f x x→=>，证明：()f x x ≥； 证明： //()f x 存在，所以()f x 可导，所以()f x 可导连续，又0()lim1x f x x→=，所以00()(0)lim ()lim 0x x f x f f x x x →→==⋅=，既有/00()()(0)lim lim (0)1x x f x f x f f x x→→-===令()()F x f x x =-，//////()()1,()()0F x f x F x f x =-=>， //(0)(0)10F f =-=，所以0x =是()()F x f x x =-的唯一极小值点，所以()()(0)F x f x x F =-≥，(0)0F = 既有()f x x ≥.9.()0,1x ∈，证明：()221ln (1)x x x ++<；证明：令()22()1ln (1)f x x x x =++-，/2()ln (1)2ln(1)2f x x x x =+++-[]//ln(1)12()222ln(1)111x f x x x x x x+=+-=+-+++令[]()ln(1)g x x x =+-，/1()11g x x=-+，所以()0,1x ∈时/()0g x <，()g x 单调减()(0),(0)0g x g g <=，所以()0g x <，而此时201x >+，所以//()0f x <，而/(0)0f =所以()0,1x ∈时，()0,1x ∈时，//()(0)0f x f <=，所以()f x 在()0,1x ∈时单调减少，且(0)0f =，所以()0,1x ∈时()22()1ln (1)0f x x x x =++-<，即()221ln (1)x x x ++<. 10. ()0,1x ∈，证明：11111ln 2ln(1)2x x -<-<+； 证明：令11()ln(1)f x x x =-+，则()22/22221ln (1)111()1ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-=-+=++++()/22221()1ln (1)(1)ln (1)f x x x x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦++，令()22()1ln (1)g x x x x =++-由上题知()0,1x ∈时，()22()1ln (1)0g x x x x =++-<，所以/()0f x <即()f x 在()0,1x ∈时单调减少.所以()0,1x ∈时，0(1)()lim ()x f f x f x →<<2000011ln(1)ln(1)lim ()lim lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x f x x x x x x→→→→⎡⎤-+-+=-==⎢⎥++⎣⎦ ()0011111limlim 2212x x x x x →→-+===+，所以111()ln 22f x -<<，即11111ln 2ln(1)2x x -<-<+ 11.证明：0x π<<时，sin 2x x π>； 证明：令()sin2x x f x π=-，/11()cos 22x f x π=-，//1()sin 42x f x =- 0x π<<时，//1()sin 042x f x =-<，曲线sin 2x xy π=-在[]0,π上是凸的，而(0)(1)0f f ==，()0,x π∈时，()sin 02x x f x π=->，即sin 2x xπ>.12.设在[)0,+∞上函数)(x f 有连续导数，且/()0,(0)0f x k f ≥><.证明： )(x f 在()0,+∞内有且仅有一个零点.证明：令()()(0)F x f x kx f =--，则//()()0F x f x k =-≥.所以，()F x 在()0,+∞内单调增加，[)0,x ∈+∞时，()(0)0F x F ≥>，所以()(0)f x kx f >+.所以，存在a ∈(0,)+∞，()0f a >，又(0)0f <，所以()0f x =在(0,)+∞内有根，又/()0f x k ≥>，所以)(x f 单调增加，所以)(x f 在()0,+∞内有且仅有一个零点.13.设()f x 在(),a +∞连续//()f x 在[),a +∞内存在且大于零，记()()()()f x f a F x x a x a-=>-，证明：()F x 在(),a +∞单调增证明：()()()()///22()()()()1()()()()()f x x a f x f a F x f x x a f x f a x a x a ---⎡⎤==---⎣⎦-- 令()/()()()()()g x f x x a f x f a =---，则(),x a ∈+∞时，///////()()()()()()()0g x f x x a f x f x fx x a =-+-=->所以()()0g x g a >=，所以/()0F x >，即()F x 在(),a +∞单调增.关于根的存在及个数问题1.已知2350a b -<，讨论532340x ax bx c +++=实根的个数.解：令53()234f x x ax bx c =+++，/42()563f x x ax b =++， 令425630x ax b ++=，由于22366012(35)0a b a b ∆=-=-<， 所以425630x ax b ++=没有根，既有/42()5630f x x ax b =++>由于lim ()0,lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<>，由于53()234f x x ax bx c =+++在(),-∞+∞内连续，所以532340x ax bx c +++=至少有一个根.如果方程532340x ax bx c +++=有两个实根1212,()x x x x <，则在[]12,x x 内()f x 满足拉格朗日中值定理，所以存在()12,x x ξ∈，使得/()0f ξ=，这/42()5630f x x a x b =++>矛盾，所以532340x ax bx c +++=只有一个实根. 练习：设函数()f x 在闭区间[]0,1上可微,对[]0,1上的任意x ,函数的值都在开区间()0,1内,且/()1f x ≠，证明:在()0,1内有且仅有一个x 使得()f x x =（令()()F x f x x =-）2.求证方程cos 0x p q x ++=恰有一个实根.(其中,p q 为常数,01q <<)证明：令()cos f x x p q x =++，取1a p q =++，则()1cos 0f a p q p q x =++++>()()1cos 0f a p q p q x -=-++++<，由()f x 在[],a a -上连续，由介值定理知，存在(),a a ξ∈-，使得()0f ξ=，所以方程532340x ax bx c +++=有一个实根.又/()1sin f x q x =-，由于01q <<，所以/()1sin 0f x q x =->，即()f x 单调增，所以cos 0x p q x ++=只有一个实根.3.设0k >，求()ln xf x x k e=-+在()0,+∞内根的个数. 解：/11()f x x e=-，得唯一驻点x e =，且()0f e k =>为函数极小值点， 所以()ln xf x x k e=-+在()0,+∞内根的个数为0.练习：确定方程sin 2x x k π-=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内根的个数 4.0x >时,211kx x+=有且仅有一解,求k 的取值范围. 解：令21()1f x kx x =+-，0lim ()0,x f x +→>0x >时,211kx x+=有且仅有一解，所以必存在0a >，使得0x a ≥>时，()0f x <，所以0k≤，反之，如果0k ≤时/32()0f x k x=-<，所以21()1f x kx x =+-单调减，所以211kx x +=有且仅有一解. 5. 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =， 证明：1）存在1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭，()f ηη=； 2）对任意的λ，存在()0,ξη∈，使得[]/()()1f f ξλξξ--=分析：要构造一个函数()G x ，使其导数中含有因子[]/()1()f x f x x λ⎡⎤---⎣⎦，且(0)(1)G G =，由于，/()1f x -是()f x x -的导数，所以可设[]()()()G x h x f x x =-下面确定()h x ，由于[]///()()()()()1G x h x f x xh xf x⎡⎤=-+-⎣⎦，比较[]/()1()f x f x x λ⎡⎤---⎣⎦，只需/()()h x h x λ=-，所以()x h x e λ-=证明：[]()()xG x ef x x λ-=-6.设函数()f x 在[]0,1上连续且可导，又(0)(1)0,f f ==则对任意0(0,1)x ∈，存在()0,1ξ∈，使/0()()f f x ξ=分析：所证为[]/0()()0,x f x xf x ξ=-=，所以，令0()()()F x f x xf x =-()0000(0)0,(1)(),()1()F F f x F x x f x ==-=-，如果0()0F x =，在[]00,x 上用罗尔定理，如果0()0F x ≠，则0(1),()F F x 异号，所以存在0(,1)x η∈，使()0F η=，在[]0,η上用罗尔定理7..设函数(),()f x g x 在[],a b 上具有二阶导数，并且()()()()0f a f b g a g b ====，//()0,g x ≠证明：1）在(),a b 内()0g x ≠；2）在(),a b 内至少存在一点ξ，使()////()()()f fg g ξξξξ= （令//()()()()()F x f x g x f x g x =-）8. 设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, 且/()0f x ≠,证明:存在(),,a b ξη∈，使//()()b a f e e e b a f ηξη--=-证明：//()()b a f e e e b a f ηξη--=-等价于()()//()()b a f f b a e e e ηηξ-=-对()f x 和xe 在[],a b 上用柯西中值定理，则存在(),a b η∈，使得/()()()b af b f a f e e eηη-=-，所以()/()()()b af f b f a e e eηη-=-，对()f x 在[],a b 上用拉格朗日中值定理，有()/()()()f b f a f b a ξ-=-，其中(),a b ξ∈.所以()()//()()b af f b a e e eηηξ-=-9. ()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, 且()()1f b f a ==,证明: 存在(),,a b ξη∈，使()/()()1ef f ηξηη-+=证明：所证等价于()/()()ef f e ηξηη+= ()x e f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在(),a b η∈，使得()/()()()()b a e f b e f a e f f b a ηηη-=+-，而()()b a b a e f b e f a e e e b a b a ξ--==--，(),,a b ξ∈ 所以存在(),,a b ξη∈，使()/()()1ef f ηξηη-+= 10.设函数()f x 在[]0,3上连续,在()0,3内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==,证明:必存在()0,3ξ∈使/()0f ξ= 11. 设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足//(),(),(,f x a f x b a b ≤≤为非负常数），c 是()0,1内任意一点。
第六章微分中值定理及应用
第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日定理和函数的单调性1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf ：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=00101sin )(x x x x x f π， （2）11||)(≤≤-=x x x f 解：（1）因为f 在]1,0[π连续，在可导，且)1()0(πf f =，所以由Rolle 定理，)1,0(πξ∈∃，使得0)(='ξf 。
（2）因为⎩⎨⎧<->='0101)(x x x f ，且)0(f '不存在，故不存在一点ξ，使0)(='ξf2．证明：（1）方程033=+-c x x （这里c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根；证明：设c x x x f +-=3)(3，由于方程033)(2=-='x x f 在)1,0(内没有根，所以（由P.120，例1）方程033=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。
（2）方程0=++q px x n （n 为正整数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根。
证明：设q px x x f n ++=)(，于是0)(1=+='-p nx x f n 。
当n 为偶数时，n -1为奇数，故方程0)(1=+='-p nx x f n 至多有一个实根（因为幂函数p nx n +-1严格递增），从而方程0=++q px x n至多有两个实根； 当n 为奇数时，n -1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程0)(1=+='-p nx x f n 至多有两个实根，从而方程0=++q px x n 当n 为奇数时至多有三个实根。
3．证明：若函数f 和g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间I 上f 和g 只相差一常数，即c x g x f +=)()(（c 为某一常数）证：令)()()(x g x f x F -=，则F 在区间I 上可导，且0)()()(≡'-'='x g x f x F ，由推论1，存在常数c ，使得c x F =)(，即c x g x f +=)()(4．证明：（1）若函数f 在],[b a 上可导，且m x f ≥')(，则)()()(a b m a f b f -+≥（2）若函数f 在],[b a 上可导，且M x f ≤'|)(|，则)(|)()(|a b M a f b f -≤- （3）对任意实数21,x x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-证：因为f 在],[b a 上可导，所以f 在],[b a 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是) 1 , 0 [ π),(b a ∈∃ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ（1）因为m x f ≥')(，所以)())(()()(a b m a b f a f b f -≥-'=-ξ，从而有)()()(a b m a f b f -+≥（2）因为M x f ≤'|)(|，所以)(|||)(||)()(|a b M a b f a f b f -≤-⋅'=-ξ（3）不妨设21x x <，正弦函数x x f sin )(=在],[21x x 上连续，在),(21x x 可导，于是),(b a ∈∃ξ，使得|||||cos ||sin sin |122121x x x x x x -≤-⋅=-ξ5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）a ab a b ba b -<<-ln ，其中b a <<0 证：设x x f ln )(=，则f 在],[b a 上连续且可导，所以f 在],[b a 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是),(b a ∈∃ξ，使得)(1))((ln ln lna b a b f a b a b -=-'=-=ξξ，因为b a <<<ξ0，所以a ab a b ba b -<-<-ξ， 从而a ab a b ba b -<<-ln （2）h h h h <<+arctan 122，其中0>h 证： 设x x f arctan )(=，则f 在],0[h 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是),0(h ∈∃ξ，使得21)0)((0arctan arctan arctan ξξ+=-'=-=hh f h h 。
高数大一上知识点总结中值定理
高数大一上知识点总结中值定理高等数学（一）知识点总结：中值定理在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识和定理，其中之一就是中值定理。
中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数的性质以及解决实际问题中扮演着重要的角色。
本文将对中值定理进行总结和讨论。
一、中值定理概述中值定理是微积分的基本定理之一，它包括三个重要的定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都是以其创立者的名字命名的，它们在解决函数连续性和导数性质相关问题时非常有用。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最常见和基础的一个。
它得出的结论是：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在c∈(a, b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
三、柯西中值定理柯西中值定理是在拉格朗日中值定理的基础上进行拓展得到的。
柯西中值定理的条件为：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0。
那么在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的重要性在于它将一个函数的导数和在另一个函数上的值联系在一起。
这个定理可以用于证明其他重要的数学定理，如罗尔定理和拉格朗日定理的推广形式。
四、罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中的一个特例，它的前提条件是函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a)=f(b)。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的直观理解是：如果一个函数在两个端点处取相同的值，那么在函数曲线上至少存在一个点处的切线斜率为零。
高等数学 中值定理及其应用
3. 积分中值定理及其应用
一、微分中值定理
定理1 (Fermat引理) 若函数f (x)在点x0处可导且
取得极值, 则 f (x0 ) 0.
定理2 (Rolle定理) 若函数 f (x) 满足: (1) 在闭区间[a,b] 上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; y
(3) f (a) f (b),
(2) 反证 假设x (0,1), 都有f (x) 2. 任取 t (0, ), 对 f (x)用拉格朗日中值定理知, c (t,), 使得
f (t) f (t) f ( ) f (c)(t ) 2(t ),
于是
f ( )
f (t)dt 2 (t )dt
0
0
2 1.
此与 f ( ) 1矛盾, 因此结论成立.
g(x) f ( ) f (x), x [0,1].
则g(x)在[0,1]上非负连续, 且g(0) f ( ) 0. 所以
1
1
0 0 g(x)dx f ( ) 0 f (x)dx,
于是 f ( ) 1, 故 (0,1). 由费马引理知f ( ) 0.
(2) (0,1), 使得f () 2.
sin x x x3 o( x3 ), 3!
lim x0
e
x
sin
x
x(1 x3
x)
x x2 x3 x3 o( x3 ) x(1 x)
lim
x0
lim
x0
x3 3
2!
o( x3 ) x3
3! x3
1. 3
2. 在等式或不等式证明中的应用 例1. 证明等式 arcsin x arccos x .
从而 x ln(1 x) x. 1 x
《微分中值定理及其应用》内容小结与典型例题
《微分中值定理及其应⽤》内容⼩结与典型例题⼀、基本结论与定理1、费马引理：可导函数极值点处导数等于0，曲线有⽔平切线2、罗尔定理：闭区间上端点值相等的连续可导函数必存在导数等于0的点3、拉格朗⽇中值定理：闭区间上连续可导函数必存在导数等于曲线端点连线的斜率的点4、柯西中值定理：闭区间上连续可导的两个函数，分母的导数不等于0时，存在⼀点使得两函数端点值的差的⽐值等于该点处两个函数的导数值的⽐值.5、泰勒中值定理：如果函数在点x0的某个邻域内具有n+1阶导数，则有⼆、有关中值命题证明的思路与⽅法利⽤逆向思维 , 设辅助函数 . ⼀般解题⽅法:(1) 证明含⼀个中值的等式或根的存在，多⽤罗尔定理，可⽤原函数法找辅助函数。
验证根的唯⼀性、⾄少、⾄多数量⼀般借助于反证法，基于罗尔定理验证.(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数，可考虑⽤柯西中值定理.(3) 若结论中含两个或两个以上的中值，必须多次应⽤中值定理。
⼀般⾸先考虑将不同的中值分别放置于不同的两侧，然后对于各侧使⽤中值定理.(4) 若已知条件中含⼆阶及⼆阶以上的导数 , 多考虑⽤泰勒公式 , 对于⼀阶、两阶也可考虑对导数⽤中值定理.(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放⼤或缩⼩的技巧.(6)罗尔定理、柯西定理⼀般只⽤于等式结论的证明，⽽拉格朗⽇中值定理(泰勒中值定理的特殊情况)和泰勒中值定理即可⽤于等式的证明，也可⽤于不等式的证明。
对于包含有函数值、⾃变量取值、导数值的中值命题的证明，⼀般⾸先考虑拉格朗⽇中值定理和泰勒中值定理.三、⽤导数研究函数的性态(1)单调性的判定(2)凹凸性的判定(3)极值点、极值、拐点的判定和计算(4)最值判定与计算(5)曲率和曲率圆的计算(6)借助单调性、凹凸性、极值、最值验证函数不等式或常值不等式(7)应⽤拉格朗⽇中值定理求极限(8)应⽤洛必达法则求极限(9)应⽤带⽪亚诺余项的麦克劳林公式求极限(10)分析作图法的基本步骤。
高等数学 微分中值定理与导数的应用
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
微分中值定理的应用
微分中值定理的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过与导数相关的理论和概念，揭示了函数在某些特定条件下的性质和变化规律。
本文将讨论微分中值定理在实际问题中的应用。
一、速度与加速度微分中值定理可以应用于描述物体的速度和加速度问题。
假设一个物体沿直线运动，由于速度是位移对时间的导数，所以可以利用微分中值定理计算某一时刻的速度。
同样地，加速度是速度对时间的导数，也可以通过微分中值定理计算某一时刻的加速度。
例如，某车沿直线行驶，已知车辆的位移函数为s(t)，其中t表示时间。
根据微分中值定理，存在某个时刻t=a，使得车辆在该时刻的瞬时速度等于平均速度。
根据函数关系式，瞬时速度可以通过求导数得到，平均速度可以通过位移差除以时间差得到。
因此可以利用微分中值定理求解该时刻的速度。
二、斜率与切线微分中值定理还可以应用于描述函数图像的斜率和切线问题。
函数的导数表示了函数在某一点处的切线斜率。
根据微分中值定理，存在某一点c，使得函数曲线在c点的切线斜率等于曲线上任意两点间的平均斜率。
以函数y=f(x)为例，其中f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
根据微分中值定理，存在某一点c∈(a,b)，使得曲线上任意两点(x1, f(x1))和(x2,f(x2))的斜率等于函数在c点处的切线斜率。
这意味着，在求解函数曲线上某点的切线斜率时，可以寻找合适的区间进行计算，从而简化问题的求解。
三、最值与极值微分中值定理还可以应用于求解函数的最值和极值问题。
首先，函数的最大值和最小值出现在函数的驻点和端点处。
其次，驻点是函数导数等于零的点，也是函数极值点的候选点。
利用微分中值定理，可以将函数极值的求解转化为导数的求解。
假设函数f(x)在[a,b]上连续且可导，根据微分中值定理，存在某点c∈(a,b)，使得函数在c点的导数等于函数在[a,b]上的平均变化率。
因此，可以通过求解导数等于零的方程，得到函数在该区间上的驻点。
进一步通过计算二阶导数和边界条件，可以判断这些驻点是极大值还是极小值。
高等数学-第三章微分中值定理与导数的应用
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2
(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2
cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.
高等数学 第一节 微分中值定理
f ( x )
1 1 x
2
1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使
或
y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a
b
xБайду номын сангаас
微分中值定理的应用
微分中值定理的应用微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。
微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。
微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒定理。
微分中值定理的应用：1、应用中值定理可以证明微分学中的许多定理，这些定理在研究函数性质上起着重要作用。
2、中值定理的主要应用是对等式、不等式的证明及归零问题的解决，应用过程中的主要方法是构造辅助函数及多次运用中值定理。
3、泰勒定理可以应用在近似计算上。
4、对某些不能解决的极限问题，应用泰勒定理可以解决。
摘要：本文简单介绍了微分中值定理中几个定理之间的关系，同时给出了微分中值定理在高等数学中的一些应用。
微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，这一组中值定理是微分学的理论基础，在微分中值定理中拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系，泰勒中值定理建立了函数值与高阶导数之间的关系。
一、微分中值定理间的关系微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。
在这一系列定理中拉格朗日定理处于核心地位，因为在拉格朗日定理中，如果f（a）=f（b），那么就可以得到罗尔中值定理，柯西中值定理是其推广形式，另外如果把泰勒定理中的n看作0就可以得到拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。
它们之间的关系如下表所示：定理1：设f（x），g（x），φ（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（a）g（b）φ（a）f（b）g（b）φ（b）f′（ξ）g′（ξ）φ′（ξ）=0证明：作辅助函数F（x），令F（x）=f（a）g（b）φ（a）f（b）g（b）φ（b）f（x）g（x）φ（x），显然F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，又因为F（a）=F（b）=0，根据求导法则和罗尔定理知，ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=f（a）g（b）φ（a）f（b）g（b）φ（b）f′（ξ）g′（ξ）φ′（ξ）特别的：（1）若令φ（x）=1，g（x）=x，x∈（a，b），f（a）=f（b），可得到罗尔定理的结论：f′（ξ）=0（2）若令φ（x）=1，g（x）=x，x∈（a，b），可得到拉格朗日中值定理f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）（3）若令φ（x）=1，g（x）≠0，x∈（a，b），则有f（a）g （b）1f（b）g（b）1f′（ξ）g′（ξ）0=0，从而可得到柯西定理f（b）-f（a）F（b）-F （a）=f′（ξ）F′（ξ）二、微分中值定理的应用微分中值定理在高等数学中的地位是不容置疑的，且在解题中的应用也是十分广泛的，微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章 微分中值定理与导数的应用
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章微分中值定理与导数的应用一、微分中值定理1.费马引理：若函数在区间内某一点取得极值且在该点可微，则f'(x)=0。
2.罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，且f(a)=f(b)，则至少可以找到一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
3.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
4.拉格朗日中值定理的其他表示形式：①f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)；②f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a),0<θ<1；③f(x+Δx)-f(x)-f'(x)=f'(x+θΔx)Δx,0<θ<1。
其中③式也称为有限增量公式。
5.柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都是连续的，在开区间(a,b)内可微，且对任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ),(a<ξ<b)6.以上三个定理之间的关系：罗尔定理推广得到拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理推广得到柯西中值定理。
反之，在柯西中值定理中，令g(x)=x即得拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中，令f(a)=f(b)即得罗尔定理。
7.对这系列定理的简单解释：这些定理其实都很好意会。
所谓极值，就是指函数增加（或减少）到了一定程度之后又开始减少（或增加），中间肯定有一个增加到最大或减小到最小的地方，这个地方对应的函数值就是极值，对应的自变量就是极值点。
注意极值点是函数取到极值时的自变量的值，是一个数。
在此基础上，费马引理很好解释。
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微分中值定理应用举例单调性与极值1.函数)(x f 在[]0,1上//()0fx >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0fx >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<，即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<.2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.解：由于///()0fx >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号.解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增,/(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >；D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <.解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =-选择B.5 .设)(x f 处处可导,则A.lim ()x f x →-∞=-∞必/lim ()x f x →-∞=-∞；B. /lim ()x f x →-∞=-∞必lim ()x f x →-∞=-∞C. lim ()x f x →+∞=+∞必/lim ()x f x →+∞=+∞；D. /lim ()x f x →+∞=+∞必lim ()x f x →+∞=+∞解：选择D (A,C 的反例y x =，B 的反例2y x =)6.设函数)(x f 在[)0,+∞上有界且可导，则A. lim ()0x f x →+∞=必/lim ()0x f x →+∞= ;B. /lim ()x f x →+∞存在，必/lim ()0x f x →+∞=；C. 0lim ()0x f x +→=必/0lim ()0x f x +→=; D. /0lim ()x f x +→存在，必/0lim ()0x f x +→=；解：选择A (B,C,D 的反例()f x x =)7. 设函数)(x f 在0x =的邻域内连续,且(0)0f =，0()lim21cos x f x x→=-，则在0x =处A. )(x f 不可导;B.可导,且/(0)0f ≠; C.取极大值; D.取极小值解：20000()()1()(0)1()(0)limlim 2lim 2lim 21cos 002x x x x f x f x f x f f x f x x x x x x →→→→--====---所以0000()(0)1()(0)1()(0)limlim lim lim 0000x x x x f x f f x f f x f x x x x x x x →→→→---=⋅=⋅=--- 所以)(x f 在0x =可导，且/(0)0f =.0()lim21cos x f x x→=-，而1cos 0,20x ->>，所以在0x =的某邻域内()0f x >，(0)0f =所以在0x =处)(x f 取极小值.8. (),()f x g x 为恒大于0的可导函数,且//()()()()0f x g x f x g x -<，则当a x b <<时A. ()()()()f x g b f b g x >；B. ()()()()f x g a f a g x >;C. ()()()()f x g x f b g b >;D. ()()()()f x g x f a g a >解：///2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，所以()()f x g x 为减函数， 即当a x b <<时()()()()()()f b f x f ag b g x g a <<，又(),()f x g x 为恒大于0，所以()()()()f x g b f b g x >，选择A9.设)(x f 有二阶连续导数,且/(0)0f =，//0()lim1x f x x→= A.(0)f 是()f x 的极大值;B. (0)f 是()f x 的极小值; C. ()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点;D. (0)f 不是()f x 的极值;()0,(0)f 也不是曲线()y f x =的拐点.解：//0()lim10x f x x→=>，所以在0x =的邻域内//()0f x >，即曲线是凹的，又/(0)0f =，所以(0)f 是)(x f 的极小值.选择B10.设函数)(x f 在x a =的某个邻域内连续, ()f a 为)(x f 的极大值,则存在0δ>,当(),x a a δδ∈-+时,必有:A. ()()()()0x a f x f a --≥；B. ()()()()0x a f x f a --≤;C.2()()lim0()()t af t f x x a t x →-≥≠-； D.2()()lim 0()()t a f t f x x a t x →-≤≠-. 解：()f a 为)(x f 的极大值，则存在0δ>，(),x a a δ∈-和(),x a a δ∈+时， 都有()()f x f a ≤，所以(),x a a δδ∈-+时, ()()0f x f a -≤，所以A,B 都不正确.22()()()()lim()()t af t f x f a f x t x a x →--=--，由于()()0f a f x -≥，所以2()()0()f a f x a x -≥-. 选择C11.设函数)(x f 在(),-∞+∞内有定义, 00x ≠是函数)(x f 的极大值点,则 A. 0x 必是)(x f 的驻点;B.0x -必是()f x --的极小值点 C. 0x -必是()f x -的极小值点; D.对一切x 都有0()()f x f x ≤ 解：选择B 12. 2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则在x a =处A. )(x f 导数存在,且/()0f a ≠； B.取极大值; C.取极小值; D . )(x f 导数不存在解：2()()lim1()x af x f a x a →-=--，所以在x a =的某去心邻域内有()()0f x f a -<，所以在x a =处，)(x f 取极大值.9 .1,2,)n =的最大值证明：令1()xf x x =(1)x ≥，1ln ()x x f x e=， ()11/222111()ln 1ln xx f x x x x x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以x e =时/()0f x =， 且x e <时/()0f x >，x e >时/()0f x <，所以()f e 时1()xf x x =的唯一极大值，也是最大值.而1,2,)n =的最大值必是中的一个，而<，所以是1,2,)n =的最大值.不等式的证明1.当0x >时，证明：1arctan 2x x π+>； 证明：令1()arctan 2f x x x π=+- /2211()01f x x x =-<+，所以0x >时1()arctan 2f x x x π=+-单调减，而1lim ()lim arctan 02x x f x x x π→+∞→+∞⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 所以0x <<+∞时，1()arctan 02f x x x π=+->，即1arctan 2x x π+>. 2. 当0x <<+∞时，证明：11ln(1)1x x+>+；证明：0x <<+∞时，令11()ln(1)1f x x x=+-+，()/222111()01(1)1x f x x x x x x ⎛⎫=-+=-< ⎪++⎝⎭+， ()f x 单调减， 而11lim ()lim ln(1)01x x f x x x →+∞→+∞⎡⎤=+-=⎢⎥+⎣⎦，所以0x <<+∞时，11()ln(1)01f x x x =+->+，即11ln(1)1x x+>+. 方法二，0x <<+∞时， 1ln(1)ln(1)ln x x x+=+-，令()ln f x x =，则在区间[],1x x +上用拉格朗日中值定理有：/11ln(1)ln(1)ln ()x x f xξξ+=+-==其中1x x ξ<<+，所以1111x x ξ<<+，即有11ln(1)1x x+>+. 3.证明：1ln(x x +≥；证明：设()1ln(f x x x =+则/()ln(f x x =++ln(x =，令//()0f x =，得唯一驻点0x =//()0f x =>，所以0x =是()f x 的极小值点，所以()(0),f x f ≥又(0)0f =所以()0f x ≥，即1ln(x x +≥. 4.当1x >，证明ln(1)ln 1x xx x+>+； 证明：因为1x >，所以ln ,10x x +>，所证等价于()1ln(1)ln x x x x ++>零()ln f x x x =，则/()ln 10f x x =+>，所以1x >时()ln f x x x =单调增加，而11x x +>>，所以(1)()f x f x +>，即()1ln(1)ln x x x x ++>，即ln(1)ln 1x xx x+>+. 5.1,x a e >>，证明：()()a a x a x a ++<；证明：只需证ln()()ln a a x a x a +<+ 令()ln()()ln f x a a x a x a =+-+，则/()ln a f x a a x =-+，()//2()0af x a x =-<+ 所以/()f x 单调减少，而/(0)1ln 0f a =-<，所以10x >>时//()(0)0f x f <<即()f x 单调减少，而(0)0f =，所以10x >>时()(0)0f x f <=，即ln()()ln a a x a x a +<+，即()()a a x a x a ++<.6.设b a e >>，证明：b aa b >证明：只需证明ln ln b a a b >，设()ln ln f x x a a x =-，///2()ln ,()0a a f x a f x x x=-=>，所以/()ln af x a x =-单调增加，又/()ln 10f a a =->，所以b x a e >>>时/()ln 0af x a x=->， 故()ln ln f x x a a x =-单调增加.因此，b x e >>时()ln ln ()f x b x x b f a =->，而()0f a =， 所以()ln ln 0f b b a a b =->，即b a e >>时，ln ln b a a b >. 所以b aa b >.7．设()f x 在[)0,+∞上可导，且/()f x 单调递减，证明：对任意正数,a b ，都有[]1()(2)(2)2f a b f a f b +≥+ 证明：不妨设0a b <<，令[]1()()(2)(2)2F x f a x f a f x =+-+则///()()(2)F x f a x f x =+-，当x a >时有2a x x +<，由于/()f x 单调递减 所以//()(2)f a x f x +>，即/()0F x >，所以()F x 单调增，即x a >时()()F x F a ≥所以0a b <<时，[]1()()(2)(2)02F b f a b f a f b =+-+≥， 即[]1()(2)(2)2f a b f a f b +≥+. 8.设//0()lim1,()0x f x f x x→=>，证明：()f x x ≥； 证明： //()f x 存在，所以()f x 可导，所以()f x 可导连续，又0()lim1x f x x→=，所以00()(0)lim ()lim 0x x f x f f x x x →→==⋅=，既有/00()()(0)lim lim (0)1x x f x f x f f x x→→-===令()()F x f x x =-，//////()()1,()()0F x f x F x f x =-=>， //(0)(0)10F f =-=，所以0x =是()()F x f x x =-的唯一极小值点，所以()()(0)F x f x x F =-≥，(0)0F = 既有()f x x ≥.9.()0,1x ∈，证明：()221ln (1)x x x ++<；证明：令()22()1ln (1)f x x x x =++-，/2()ln (1)2ln(1)2f x x x x =+++-[]//ln(1)12()222ln(1)111x f x x x x x x+=+-=+-+++令[]()ln(1)g x x x =+-，/1()11g x x=-+，所以()0,1x ∈时/()0g x <，()g x 单调减()(0),(0)0g x g g <=，所以()0g x <，而此时201x >+，所以//()0f x <，而/(0)0f =所以()0,1x ∈时，()0,1x ∈时，//()(0)0f x f <=，所以()f x 在()0,1x ∈时单调减少，且(0)0f =，所以()0,1x ∈时()22()1ln (1)0f x x x x =++-<，即()221ln (1)x x x ++<. 10. ()0,1x ∈，证明：11111ln 2ln(1)2x x -<-<+； 证明：令11()ln(1)f x x x =-+，则()22/22221ln (1)111()1ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-=-+=++++()/22221()1ln (1)(1)ln (1)f x x x x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦++，令()22()1ln (1)g x x x x =++-由上题知()0,1x ∈时，()22()1ln (1)0g x x x x =++-<，所以/()0f x <即()f x 在()0,1x ∈时单调减少.所以()0,1x ∈时，0(1)()lim ()x f f x f x →<<2000011ln(1)ln(1)lim ()lim lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x f x x x x x x→→→→⎡⎤-+-+=-==⎢⎥++⎣⎦ ()0011111limlim 2212x x x x x →→-+===+，所以111()ln 22f x -<<，即11111ln 2ln(1)2x x -<-<+ 11.证明：0x π<<时，sin 2x x π>； 证明：令()sin2x x f x π=-，/11()cos 22x f x π=-，//1()sin 42x f x =- 0x π<<时，//1()sin 042x f x =-<，曲线sin 2x xy π=-在[]0,π上是凸的，而(0)(1)0f f ==，()0,x π∈时，()sin 02x x f x π=->，即sin 2x xπ>.12.设在[)0,+∞上函数)(x f 有连续导数，且/()0,(0)0f x k f ≥><.证明： )(x f 在()0,+∞内有且仅有一个零点.证明：令()()(0)F x f x kx f =--，则//()()0F x f x k =-≥.所以，()F x 在()0,+∞内单调增加，[)0,x ∈+∞时，()(0)0F x F ≥>，所以()(0)f x kx f >+.所以，存在a ∈(0,)+∞，()0f a >，又(0)0f <，所以()0f x =在(0,)+∞内有根，又/()0f x k ≥>，所以)(x f 单调增加，所以)(x f 在()0,+∞内有且仅有一个零点.13.设()f x 在(),a +∞连续//()f x 在[),a +∞内存在且大于零，记()()()()f x f a F x x a x a-=>-，证明：()F x 在(),a +∞单调增证明：()()()()///22()()()()1()()()()()f x x a f x f a F x f x x a f x f a x a x a ---⎡⎤==---⎣⎦-- 令()/()()()()()g x f x x a f x f a =---，则(),x a ∈+∞时，///////()()()()()()()0g x f x x a f x f x fx x a =-+-=->所以()()0g x g a >=，所以/()0F x >，即()F x 在(),a +∞单调增.关于根的存在及个数问题1.已知2350a b -<，讨论532340x ax bx c +++=实根的个数.解：令53()234f x x ax bx c =+++，/42()563f x x ax b =++， 令425630x ax b ++=，由于22366012(35)0a b a b ∆=-=-<， 所以425630x ax b ++=没有根，既有/42()5630f x x ax b =++>由于lim ()0,lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<>，由于53()234f x x ax bx c =+++在(),-∞+∞内连续，所以532340x ax bx c +++=至少有一个根.如果方程532340x ax bx c +++=有两个实根1212,()x x x x <，则在[]12,x x 内()f x 满足拉格朗日中值定理，所以存在()12,x x ξ∈，使得/()0f ξ=，这/42()5630f x x ax b =++>矛盾，所以532340x ax bx c +++=只有一个实根.练习：设函数()f x 在闭区间[]0,1上可微,对[]0,1上的任意x ,函数的值都在开区间()0,1内,且/()1f x ≠，证明:在()0,1内有且仅有一个x 使得()f x x =（令()()F x f x x =-）2.求证方程cos 0x p q x ++=恰有一个实根.(其中,p q 为常数,01q <<)证明：令()cos f x x p q x =++，取1a p q =++，则()1cos 0f a p q p q x =++++>()()1cos 0f a p q p q x -=-++++<，由()f x 在[],a a -上连续，由介值定理知，存在(),a a ξ∈-，使得()0f ξ=，所以方程532340x ax bx c +++=有一个实根.又/()1sin f x q x =-，由于01q <<，所以/()1sin 0f x q x =->，即()f x 单调增，所以cos 0x p q x ++=只有一个实根.3.设0k >，求()ln xf x x k e=-+在()0,+∞内根的个数. 解：/11()f x x e=-，得唯一驻点x e =，且()0f e k =>为函数极小值点， 所以()ln xf x x k e=-+在()0,+∞内根的个数为0.练习：确定方程sin 2x x k π-=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内根的个数 4.0x >时,211kx x+=有且仅有一解,求k 的取值范围. 解：令21()1f x kx x =+-，0lim ()0,x f x +→>0x >时,211kx x+=有且仅有一解，所以必存在0a >，使得0x a ≥>时，()0f x <，所以0k≤，反之，如果0k ≤时/32()0f x k x=-<，所以21()1f x kx x =+-单调减，所以211kx x +=有且仅有一解. 5. 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =， 证明：1）存在1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭，()f ηη=； 2）对任意的λ，存在()0,ξη∈，使得[]/()()1f f ξλξξ--=分析：要构造一个函数()G x ，使其导数中含有因子[]/()1()f x f x x λ⎡⎤---⎣⎦，且(0)(1)G G =，由于，/()1f x -是()f x x -的导数，所以可设[]()()()G x h x f x x =-下面确定()h x ，由于[]///()()()()()1G x h x f x x h x f x ⎡⎤=-+-⎣⎦，比较[]/()1()f x f x x λ⎡⎤---⎣⎦，只需/()()h x h x λ=-，所以()x h x e λ-=证明：[]()()xG x ef x x λ-=-6.设函数()f x 在[]0,1上连续且可导，又(0)(1)0,f f ==则对任意0(0,1)x ∈，存在()0,1ξ∈，使/0()()f f x ξ=分析：所证为[]/0()()0,x f x xf x ξ=-=，所以，令0()()()F x f x xf x =-()0000(0)0,(1)(),()1()F F f x F x x f x ==-=-，如果0()0F x =，在[]00,x 上用罗尔定理，如果0()0F x ≠，则0(1),()F F x 异号，所以存在0(,1)x η∈，使()0F η=，在[]0,η上用罗尔定理7..设函数(),()f x g x 在[],a b 上具有二阶导数，并且()()()()0f a f b g a g b ====，//()0,g x ≠证明：1）在(),a b 内()0g x ≠；2）在(),a b 内至少存在一点ξ，使()////()()()f fg g ξξξξ= （令//()()()()()F x f x g x f x g x =-）8. 设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, 且/()0f x ≠,证明:存在(),,a b ξη∈，使//()()b a f e e e b a f ηξη--=-证明：//()()b a f e e e b a f ηξη--=-等价于()()//()()b a f f b a e e e ηηξ-=-对()f x 和xe 在[],a b 上用柯西中值定理，则存在(),a b η∈，使得/()()()b af b f a f e e eηη-=-，所以()/()()()b af f b f a e e eηη-=-，对()f x 在[],a b 上用拉格朗日中值定理，有()/()()()f b f a f b a ξ-=-，其中(),a b ξ∈.所以()()//()()b af f b a e e eηηξ-=-9. ()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, 且()()1f b f a ==,证明: 存在(),,a b ξη∈， 使()/()()1e f f ηξηη-+=证明：所证等价于()/()()e f fe ηξηη+= ()x ef x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在(),a b η∈，使得()/()()()()b a e f b e f a e f f b a ηηη-=+-，而()()b a b a e f b e f a e e e b a b a ξ--==--，(),,a b ξ∈ 所以存在(),,a b ξη∈，使()/()()1e f f ηξηη-+= 10.设函数()f x 在[]0,3上连续,在()0,3内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==,证明:必存在()0,3ξ∈使/()0f ξ=11. 设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足//(),(),(,f x a f x b a b ≤≤为非负常数），c 是()0,1内任意一点。