数学六艺课程作业
第04练 计数原理、排列组合、二项式定理-2023年新高考数学一轮复习小题必刷(原卷版)
第04练 计数原理、排列组合、二项式定理1．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 2．（2020·广东省高二期末）在()62x +展开式中，二项式系数的最大值为m ，含4x 的系数为n ，则n m=（ ） A ．3 B ．4 C ．13 D ．143．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））设2220122(1)...n n n x x a a x a x a x ++=++++，则0a 等于（ ）A ．1B ．0C ．3D ．3n4．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（理））3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（ ）A ．243B ．125C ．128D ．2645．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））求346774C C -的值为（ ）A ．0B ．1C ．360D ．120 6．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20C ．40D ．80 7．（2020·山东省高三其他）若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．258．（2020·北京高二期末）5(1)a +展开式中的第2项是（ ）A ．35aB ．310aC ．45aD ．410a 9．（2020·北京高二期末）已知有1B ，2B ，⋯，6B 支篮球队举行单循环赛（单循环赛：所有参赛队均能相遇一次），那么比赛的场次数是（ ）A．15B．18C．24D．3010．（2020·北京高二期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（）A．142B．121C．221D．1711．（2020·江苏省马坝高中高二期中）9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（）A．81B．60C．6D．1112．（2020·江西省南昌十中高三其他（理））在6212xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.13．（2020·北京高二期末）()621x-的展开式中2x的系数为__________（用具体数据作答）. 14．（2020·福建省厦门一中高三其他（理））2020年初，湖北面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，厦门人民心系湖北，志愿者纷纷驰援，若将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A，B 两家医院（每人去一家，每家医院至少安排1人），且甲医生不安排在A医院，则共有__________种分配方案.15．（2020·苏州市第四中学校高二期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．（用数字作答）16．（2020·上海高二期末）请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______.1．（2020·广东省高三二模（文））在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用.中医理论讲究食物相生相克，合理搭配饮食可以增强体质，提高免疫力，但不恰当的搭配也可能引起身体的不适.食物相克是指事物之间存在着相互拮抗､制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应.已知猪肉与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克.现从猪肉､螃蟹､茄子､菊花､百合这五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为（）A ．13B ．23C ．310D ．7102．（2020·江苏省丰县中学高二期中）将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ）A ．43B ．34C ．34AD ．34C 3．（2020·黑龙江省哈师大附中高二期末（理））为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种A ．36B ．48C ．60D ．164．（2020·浙江省衢州二中高三其他）将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的A 、B 两所医院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A 医院，且甲、丁不在同一所医院，则满足要求的不同安排方法共有（ ）A ．36种B ．32种C ．24种D ．20种5．（2020·吉林省松原市实验高级中学高三其他（理））某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）A ．150种B ．120种C ．240种D ．540种6．（2020·广东省高二期末）广东省实施“3+1+2”的新高考改革模式，“3”指全国统一高考的语文､数学､外语，“1”指物理､历史2门中选择1门，“2”指思想政治､地理､化学､生物4门中选择2门. 已知甲选择物理，乙选择地理，则甲乙两人有（ ）不同的选择组合方案.A ．12种B ．18种C ．36种D ．48种7．（2020·广东省高二期末）东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A 和B 不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（ ）A ．4种B ．8种C ．12 种D ．16种8．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））在2020年初抗击新冠肺炎疫情期间，某医院派出了3名医生和包括甲、乙、丙在内的6名护士前往武汉参加救治工作.现从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组，则甲、乙、丙这3名护士至少选中2人的概率为（ ）A ．13B ．12C ．49D ．34 9．（2020·四川省绵阳南山中学高三其他（理））()()()2111n x x x ++++++的展开式的各项系数和是（ ）A ．12n +B ．121n ++C ．121n +-D ．122n +-10．（2020·山西省高三其他（理））5(2)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数是（ ）A ．32B ．40C ．32-D ．40-11．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））已知()512345601234567121x x a x a a x a x a x a x a x a x x -⎛⎫+--=++-++++ ⎪⎝⎭，则4a =（ ） A ．21 B ．42 C ．35- D ．210-12．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（理））已知(1＋ax )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＋ A ．＋4B ．＋3C ．＋2D ．＋113．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（文））不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ）A ．314B ．37C ．67D ．132814．（2020·江苏省高二期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）A ．某学生从中选3门，共有30种选法B ．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C ．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D ．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法15．（2020·江苏省扬中高级中学高二期中）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37AB ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C -16．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 17．（2020·山东省高二期中）若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则下列结论中正确的是（ ）A ．01a =B ．123452a a a a a ++++=C ．50123453a a a a a a -+-+-=D ．0123451a a a a a a三、填空题18．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________．19．（2020·全国高三其他（理））“赵爽弦图”是中国古代数学的文化瑰宝，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成（如图所示），简洁对称、和谐优美.某数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽，其图案是用红、黄2种颜色为弦图的5个区域着色（至少使用一种颜色），则一共可以绘制备选的会徽图案数为__________.20．（2020·山东省高三其他）2019年世界园艺博览会在北京延庆区举办，这届世界园艺博览会的核心建筑景观是“四馆一心”：中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆以及演艺中心.现将含甲在内的5名大学生志愿者安排到北京世界园艺博览会的4个场馆担任服务工作，要求每个场馆至少安排一人，且每人仅参加一个场馆的服务工作，其中甲不安排到国际馆去，则不同的安排方法种数为_________.21．（2020·江西省南昌二中高二期末（理））62341()x x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中x 2项的系数为__________.22．（2020·南京市临江高级中学高二期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有______种(结果用数字表示).1．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种2．（2020•北京）在（√x−2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．103．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4．（2020•新课标Ⅰ）（x+y2x）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．205．（2019•全国）（2√x+1）6的展开式中x的系数是（）A．120B．60C．30D．156．（2019•新课标Ⅲ）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．24二．填空题（共7小题）7．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．8．（2020•浙江）二项展开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝，a1+a3+a5＝．9．（2020•新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种．10．（2020•新课标Ⅲ）（x2+2x）6的展开式中常数项是（用数字作答）．11．（2020•天津）在（x+2x2）5的展开式中，x2的系数是．12．（2019•天津）（2x−18x3）8的展开式中的常数项为．13．（2019•浙江）在二项式（√2+x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．．。
北师大版数学6年级上册 数学好玩 一课一练 习题(含答案)
《数学好玩》习题1、体育活动中，同学们都发现篮球、乒乓球落地后会反弹，但反弹的高度却不同。
篮球、乒乓球由静止下落，反弹的高度与哪些因素有关呢？小华与大家一起对这个问题进行了讨论，提出了不同的猜想。
猜想1：球的反弹高度可能与下落的高度有关。
猜想2：球的反弹高度可能与球的种类有关。
猜想3：球的反弹高度可能与地面的材质有关。
（1）为了研究球的反弹高度，先要确定实验方案，包括（）、（）、（）等内容。
（2）实验步骤是：①先确定球下落的（），将篮球和乒乓球（）落下；②然后观察它们下落后反弹的（），做记号；③测量球的（），并作记录。
（3）需要收集两种球（）的高度和（）的高度数据，为了减少实验误差，可以多做几次实验，取各次实验数据的（）。
（4）4人小组进行实验，小组分工为1人（），1人（），1人（），1人（）。
2、第1小组验证了猜想（），第2小组验证了猜想（），第3小组验证了猜想（）。
3、皮球从25米高处自由落下，接触地面后又立即弹起，再落下，又弹起，反复多次，。
第三次弹起多高？每次弹起高度是每次落下高度的354、淘气和笑笑一起上学．淘气觉得要迟到了，就跑步上学，跑累了，便走着去学校；笑笑开始走着，后来跑了起来，直到校门口才追上淘气．（）描述了淘气的行为，（）描述了笑笑的行为．5、仔细看图，认真分析，完成下面各题．下图表示小明骑自行车所行的路程和花费时间的关系．（1）他一共行了（）km．（2）他在途中停留了（）时．（3）在10时～11时，他行了（）km．6、下图大致描述了某大型商场举行开业仪式时，商场门口声音的起伏情况，请你根据下图回答问题．（1）开业仪式从开始到结束一共经过多长时间？（2）从10:00到11:30音量情况是怎样的？（3）什么时间声音变得非常大？（4）描述10:00前音量变化的情况．7、下图大致描述了某节数学公开课课堂内声音的起伏情况。
（1）从学生开始进教室到学生全部离开教室，一共经过了多长时间？（2）8:00～8:05课堂内很安静，同学们在干什么？（3）在8:05～8:30课堂内音量有什么变化？课堂内可能出现了什么情况？（4）8:30～8:35课堂内音量又变为安静，此时同学们又在干什么？（5）8:35～8:40课堂内音量又有什么变化？课堂内同学们在进行什么活动？（6）8:40～8:45课堂内音量变化是什么样的？8、星期六，爸爸开车送妙想去上钢琴课，中途停车买了两瓶矿泉水，下课后，妙想步行回家．请你在下图中描述这一过程．9、“龟兔”赛跑讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．下面的折线图表示的是乌龟和兔子所跑的路程和时间的关系．（1）从图中看，兔子出发多少分后开始睡觉？它睡了多长时间？（2）乌龟从出发到赶上兔子用了多少分？乌龟比兔子早到多少分？10、实验小学六（1）班同学从学校乘车，0.5时后到达离学校5km 的科技馆，参观了1.5时，然后乘车返回学校，用了0.5时，下面两幅图，哪一幅图描述了这一活动的行程？在方框里画“√”．11、根据甲、乙两车的行程图解决问题．（1）甲车每时行驶（ ）km ．（2）甲、乙两车速度的最简整数比是（ ）．（3）甲、乙两车在8:00从同一地点出发，同向而行23时后，两车相距多少千米？12、下面是一个旅行团乘一辆旅游车从宾馆出发到龙泉山庄游玩的过程情况。
数学六艺课程作业
第1讲 相同与不同班级 姓名 星级 ★ 把图中的东西分类，你有几种分法？★★★1.有四只灯笼，每只灯笼上都写着四行数，其中有一行的规律与其他三行不相同，你能找出来在旁边打√吗？2.从每组图形中选出与众不同的一个打√。
★ ★★★★ 下面每张卡片中都有规律地排着五行数，请你把两张卡片中规律相同的行用线连起来。
第2讲哪杯水更甜班级姓名星级★把方糖放进杯子里，哪杯水最甜？1号 2号 3号 4号★★★下面三个容器一样大，它们各装了一部分水。
如果在三个容器里放入同样多的盐，哪个容器里的盐水最淡？（）1号 2号 3号★★★★★瓶子里放进2个球后，水面升高了1格。
如果放进去同样的4个球，水面升高了几格？要使水面升高3格，应该放进去几个球？第3讲认图形班级姓名星级★1.沿着虚线对折后，会变成什么样子呢？请在下图中找出来，并用线连起来。
2.照左边图形的样子，在右边相关的位置画图形。
★★★1.上面的5个图形打开后，会变成下面5个图形中的哪一个？画线连连看。
2.上面积木图的倒影分别是下面的哪一个？画线连一连。
★★★★★在左边的图形中找出与右边一样的图形，并描出来。
第4讲找朋友班级姓名星级★1．把有关系的东西连起来。
2．哪两样东西合起来比较合适？说一说合在一起的用处。
★★★1．有5位小朋友，四堆苹果，如果每位小朋友可以吃两个苹果，要挑哪堆苹果？2．有一位老师、2位男同学、3位同学一起去种树，如果每位老师种3棵小树，每位男同学种2棵小树，每位女同学种1棵小树，请问他们种的是哪堆排树？★★★★★1.单人床只能睡一个小朋友，双人床能睡两个小朋友，7位小朋友如果都要睡单人床，要几张？如果都要睡双人床，要几张？如果单人床、双人床都要睡，有哪几种睡法？第5讲移多补少班级姓名星级★1．先摆一摆，再回答：第一行：第二行：从第二行拿（）支笔到第一行，两行笔的支数就相等了？2.要使两边的苹果一样多，应该从右边拿（）个到左边。
★★★1．按要求画一画：第一行：第二行：从第二行拿2个○放到第一行，两行的○个数就相等，第二行应画几个○？请画在横线上。
六年级下册数学特色作业
六年级下册数学特色作业一、数积木（20分）数积木是一种有趣的数学游戏，通过拼装积木来锻炼孩子们的数学思维和逻辑能力。
在数积木游戏中，每个积木上都标有数字或运算符号，孩子们需要根据题目要求，将积木正确组合起来。
为了提高孩子们的数学运算能力，我们可以设计一些数积木作业。
1. 加法组合（5分）题目：使用数积木组成等式2 + 3 = ?要求：从给出的数积木中选择合适的数字来完成等式。
2. 减法组合（5分）题目：使用数积木组成等式7 - 4 = ?要求：从给出的数积木中选择合适的数字来完成等式。
3. 三位数运算（10分）题目：使用数积木组成一个三位数加法等式。
要求：从给出的数积木中选择合适的数字和运算符号来完成等式，使得等式成立。
二、逻辑推理（20分）逻辑推理是培养孩子逻辑思维和分析问题能力的重要方法。
通过逻辑推理作业，可以提高孩子的思维灵活性和解决问题的能力。
1. 图形推理（10分）题目：根据给出的图形序列，推理出下一个图形。
要求：观察图形的规律，选择合适的图形作为答案。
2. 数字推理（10分）题目：根据给出的数字序列，推理出下一个数字。
要求：观察数字的规律，找出数字序列中的规律，并预测下一个数字。
三、实际应用（20分）数学是一个应用广泛的学科，通过实际应用作业可以让孩子们将数学知识应用于实际生活中，提高他们解决实际问题的能力。
1. 小商店（10分）题目：模拟小商店的交易情况，计算购买商品的总价。
要求：给出商品价格和购买数量，让孩子计算并填写购买商品的总价。
2. 时间计算（10分）题目：模拟日常生活中的时间计算问题，让孩子们练习用时钟计算时间间隔。
要求：给出起始时间和结束时间，让孩子计算两个时间点之间的时间间隔。
以上是六年级下册数学特色作业的一部分，通过这些有趣的题目和实际应用，希望能够激发孩子们对数学的兴趣，提高他们的数学水平。
大家快来挑战吧！。
安徽省“江淮十校”2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
安徽省“江淮十校”2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．52．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =3．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14154．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．15D ．1555．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019πC ．42019πD ．4038π6．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．797．若复数z 满足3(1)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1322i -+ 8．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-9．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种11．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞12．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二下学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二下学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()R A B = A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【详解】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x =<<.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．若复数z 满足()13i 1i z +=-（i 为虚数单位），则z 所对应的复平面内的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用复数的除法法则计算得到12i 55z =--，得到答案.【详解】()13i 1i z +=-，故()()()()1i 13i 1i 24i 12i 13i 13i 13i 1055z -----====--++-，故对应点在第三象限. 故选：C.3．已知函数()21xf +的定义域为()3,5，则函数()21f x +的定义域为（ ）A ．()1,2B ．()9,33C ．()4,16D ．()3,5【答案】C【分析】计算()219,33x+∈，根据抽象函数定义域得到92133x <+<，解得答案.【详解】当()3,5x ∈时，()219,33x+∈，故92133x <+<，解得416x <<.故选：C.4．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C【分析】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下的三门，由此计算出正确答案. 【详解】先排“数”，然后排“射”和“御”，方法有()1226+⨯=种，再排剩下的三门，方法数有336A =种，故总的方法数有6636⨯=种. 故选：C5．2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（ ）（参考数据：log 19034.7≈-，log 34881≈-） A ．公元前1400年到公元前1300年 B ．公元前1300年到公元前1200年 C ．公元前1200年到公元前1100年 D ．公元前1100年到公元前1000年【答案】C【分析】设样本中碳14初始值为k ，衰减率为p ，经过x 年后，残留量为y ，可得函数关系式()1xy k p =-，根据半衰期可构造方程求得1p -，由此得到函数关系式，根据(68%xkk =可求得x ，由此可推断出年代.【详解】设样本中碳14初始值为k ，衰减率为p ，经过x 年后，残留量为y ，则()1xy k p =-，碳14的半衰期是5730年，()5730112k p k ∴-=，1p ∴-=，(xy k ∴=；由(68%xkk =得：()log 0.68log log 34881219034.73188x ==-=--⨯-≈，2021年之前的3188年大致是公元前1167年，即大致年代为公元前1200年到公元前1100年之间. 故选：C.6．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C【解析】由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==, 11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--， 12CQ CD DQ AB AD =+=--, 因为12CP CQ ⋅=,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.7．在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N 个学生（100m,N m *=∈N ），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N 的最小值为（ ）附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，)2kA ．400B ．300C ．200D ．100【答案】B【分析】根据题目列出22⨯列联表，再根据列联表的数据计算2K 值，进而得到关于m 的关系式，求解即可.【详解】由题可知，男女各50m 人，列联表如下：()22224100900400=450505050m m m K m m-=⨯⨯⨯，有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，410.828m ∴>，解得 2.707m >，m *∈N ，3m ∴≥，min 300N ∴=.故选：B8．过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点的直线与抛物线C 交于,A B 两点，其中||8AB =，AD DB =，圆225:02C x y y '+-=，若抛物线C 与圆C '交于,P Q 两点，且||PQ =则点D 的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】设(0,0),(,),0P Q m n m >，先求得(1,2)Q ，因此可得抛物线C 的方程为24y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，由焦点弦长公式得到126x x +=，进而得到点D 的横坐标. 【详解】易知圆C '过原点，设(0,0),(,),0P Q m n m >，由||5PQ =，可得225m n +=，又2252m n n +=，联立可解得1,2m n ==. 将(1,2)Q 代入22y px =中，解得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212222p p AB AF BF x x x x p x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由8AB =可得126x x +=.由AD DB =可知，点D 是AB 的中点，因此，点D 的横坐标为1232x x +=. 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦长公式：若AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12AB x x p =++. 二、多选题9．已知数列{}n a 中，111,2,n n n a a a n N *+==∈，则下列说法正确的是（ ）A ． 44a =B ． {}2n a 是等比数列C ． 12212n n n a a ---=D ． 12122n n n a a +-+=【答案】ABC【分析】根据已知条件判断出数列{}n a 的奇数项和偶数项，分别是以2为公比的等比数列，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意1*1N 1,2,n n n a a a n +=⋅=∈，所以122a a ⋅=，则22a =，1122n n n a a +++=⋅，11221222n n n n n n n na a aa a a +++++⋅=⇒=⋅，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项，分别是以2为公比的等比数列. 111221222,122n n n n n n a a ----=⨯==⨯=.所以2424a ==，A 、B 正确.11221222n n n n n a a ----=-=，C 正确. 112212232n n n n n a a ---+=+=⨯，D 错误.故选：ABC10．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有（ ） A ．()f x 在()0,π上恰能取到2次最小值B ．ω的取值范围为825,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上一定有极值D ．()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调【答案】BD【分析】当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，然后由条件可得62ππωπ-≥，46πωππ-<，解出ω的范围，然后注意判断即可.【详解】当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦由函数()f x 在区间[]0,π上恰能取到2次最大值可得562ππωπ-≥由()f x 最多有4个零点可得46πωππ-<，所以可得82536ω≤<， 故B 正确， 当83ω=时，()f x 在()0,π上只能取到1次最小值，故A 错误当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,6666x ππππωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，当83ω=时，662πππω-<，()f x 无极值，故C 错误当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,6636x ππππωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭因为8363362πππππω-≥⨯->，所以()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 正确故选：BD【点睛】方法点睛：在处理正弦型函数的有关问题时，常把x ωϕ+当成整体处理. 11．已知偶函数()f x 满足：(2)(2)f x f x +=-，且当0≤x ≤2时，()22x f x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．－2≤x ≤0时，1()22xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．点（1，0）是f (x )图象的一个对称中心C ．f (x )在区间[－10，10]上有10个零点D ．对任意12,x x ，都有()()122f x f x - 【答案】AC【分析】由偶函数的定义得解析式，判断A ，由[0,2]上的解析式判断B ，已知条件得2x =是一条对称轴，这样函数()f x 是周期函数，周期为4，利用周期性可判断零点个数，判断C ，由最值判断D ．【详解】因为()f x 是偶函数，所以20x -≤≤时，1()()2222xx f x f x -⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，A正确；在[0,2]上，()22x f x =-不关于(1,0)对称，因此(1,0)不是()f x 的一个对称中心，B 错； 由220x -=得1x =，因此在[2,2]-上，()f x 有两个零点， 又(2)(2)f x f x +=-，所以2x =是函数图象的一条对称轴，(4)(2(2))()()f x f x f x f x +=-+=-=，所以()f x 是周期函数，周期为4，因此()f x 在[10,6],[6,2],[2,6],[6,10]----上各有2个零点，在[10,10]-上共有10个零点，C 正确；由周期性知2max ()222f x =-=，0min ()221f x =-=-，max min ()()32f x f x -=>，D 错．故选：AC ．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，解题关键是由两个对称性得出函数具有周期性，因此只要在一个周期内确定函数的零点，从而可得函数的性质可得整个定义域上函数的性质．12．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（ ）A ．该截角四面体一共有12条棱B ．该截角四面体一共有8个面C ．该截角四面体的表面积为3D 232【答案】BCD【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.【详解】对于AB ，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A 错误，B 正确； 对于C ，边长为1的正三角形的面积133112S =⨯⨯，边长为1的正六边形的面积13336112S =⨯⨯⨯=，故该截角四面体的表面积为33344=73S =+故C正确；对于D ，棱长为1的正四面体的高2236132h ⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭四面体的体积为13613633311232=4331122V ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯故D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题. 三、填空题13．某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________． 【答案】1【分析】设圆柱底面半径为r ，高为h ，求出底面积的侧面积，即可得结论． 【详解】设圆柱底面半径为r ，高为h ，由题意222r rh ππ=，所以r h =，即1rh=． 故答案为：1．14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．（用数字作答） 【答案】358【分析】由二项式系数的性质，求出n ，再写出二项展开式的通项，由通项中x 的指数为0即可得解.【详解】12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n =8，81()2x x -展开式的通项为88218811()()(,8)22r rr r r r r T C x C x r N r x --+=⋅-=-∈≤， 展开式中常数项，必有820r -=，即4r =，所以展开式中常数项为44581135()702168T C =-=⋅=. 故答案为：35815．已知定义域为R 的函数()f x 恒满足()()()22f x f x f x +=-=，且()f x 在()0,1内单调递减，写出一个满足条件的函数解析式()f x =________． 【答案】cos x π（答案不唯一）【分析】根据函数的对称性、周期性、单调性写出符合题意的()f x . 【详解】定义域为R 的函数()f x 恒满足()()()22f x f x f x +=-=， 所以()f x 的对称轴为1x =和2x =，且()f x 是以2为周期的周期函数， 结合()f x 在()0,1内单调递减，可得()f x =cos x π符合题意. 故答案为：cos x π（答案不唯一）16．在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为12的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为________．【答案】321.5【分析】根据实轴长和离心率得到椭圆方程为22143x y +=，设圆方程为()2222x r y r -++=，根据椭圆的圆相切得到0∆=，计算得到答案.【详解】24a =，2a =，离心率12c e a ==，故1c =，b = 不妨设椭圆方程为：22143x y +=， 设圆半径为r ，椭圆与圆相切于左顶点或者右顶点时r 有最大值， 圆方程为：()2222x r y r -++=，联立方程：()222221432x y x r y r⎧+=⎪⎨⎪-++=⎩， 消去y 得到()21227404x r x r +-+-=，()()224274230r r r ∆=--+=-=，解得32r =. 故答案为：32.四、解答题17．在①sin cos a A a C =-，②(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的角A B C ，，对边分别为,,,a b c c =_____． （I ）求C ∠；（Ⅱ）求ABC 面积的最大值． 【答案】（I ）3π；（Ⅱ【分析】（I ）选①，先利用正弦定理化简可得sinA sinAcosC -，进而得到1cosC -=，结合C 的范围即可求得3C π=；选②，先利用正弦定理可得（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，再利用余弦定理可得12cosC =，结合C 的范围即可求得3C π=；（Ⅱ）由余弦定理可得223a b ab +-=，再利用基本不等式可得3ab ≤，进而求得△ABC 面积的最大值．【详解】解：（I ）选①，∵a acosc =-，∴sinA sinAcosC =-，∵sin A ≠0，1cosC -=，即162sin C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0＜C ＜π，∴5666C πππ--＜＜，故66C ππ-=，即3C π=；选②，∵（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C ， ∴（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ， ∴222122a b c cosC ab +-==，∵0＜C ＜π， ∴3C π=；（Ⅱ）由（I ）可知，3C π=，在△ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=， ∴2232a b ab ab +=+≥∴3ab ≤，当且仅当那个a ＝b 时取等号，∴11sin 322ABC S ab C =≤⨯=△△ABC 18．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足，12a =，11b =，23a b =，342a b =-． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足n n n c a b =，求{}n c 的前n 项之和n S ．【答案】(1)2n a n =，12n n b -=(2)()1122n n S n +=-⨯+【分析】（1）根据等差数列和等比数列公式得到方程组，解得答案.（2）计算2nn c n =⋅，利用错位相减法计算得到答案.(1)23a b =，即22d q +=，342a b =-，即3222d q +=-，解得2q，2d =，故()2122n a n n =+-⨯=，11122n n n b --=⨯=.(2)1222n n n n n c a b n n -==⨯=⋅，212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则231212222n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减得到：2111112122222222212n n n n n n n S n n n ++++--=⨯++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯=--⨯-，故()1122n n S n +=-⨯+.19．为做好精准扶贫工作，农科所经实地考察，发现某贫困村的土地适合种植药材A ，村民可以通过种植药材A 增加收入，达到脱贫标准.通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A 的收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份编号x 1 2 3 4 5 单价y (元/公斤) 1820232529药材A 的亩产量在2020年的频率分布直方图如下：(1)若药材A 的单价y (单位：元/公斤)与年份编号x 间具有线性相关关系，请求出y 关于x 的回归直线方程，并估计2021年药材A 的单价；(2)利用上述频率分布直方图估计药材A 的平均亩产量(同组数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”，将频率视为概率，现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验，记其中“待改良田”的个数为X ，求随机变量X 的数学期望.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】(1) 2.7149ˆ.yx =+，单价为31.1元/公斤；(2)401公斤；(3)0.9. 【分析】(1)先求出年号x ，单价y 的平均数，利用最小二乘法得回归直线方程，再由此预测得解；(2)求出频率分布直方图中各组的频率，再求出它与所对各组区间中点值的积而得解；(3)随机变量X 服从二项分布，由二项分布的期望公式求解即得. 【详解】(1)3x =，23y =，51522222222151182203234255295323ˆ 2.712345535i ii i i x y x ybx x==-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅-⋅⋅===++++-⨯-∑∑，ˆˆ23 2.7314.9ay b x =-⋅=-⋅=，故回归直线方程为 2.7149ˆ.y x =+， 当6x =时，ˆ31.1y=，从而2021年药材A 的单价估计为31.1元/公斤； (2)组距为20，自左向右各组的频率依次为0.1，0.2，0.35，0.25，0.1，则A 药材的平均亩产量为3600.13800.24000.354200.254400.1401⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=公斤；(3)称亩产量不高于390公斤的频率为0.3，由此估计称亩产量不高于390公斤的概率为0.3，因3块地中，任取一块地有“待改良田”和非“待改良田”两个不同结果，则随机变量()3,0.3XB ，故数学期望()30.30.9E X =⨯=.20．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，平面ACDE ⊥平面ABC ，且AC DC DE AE ===，60ACD ∠=︒，//DF BC ,1DF =．（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（213． 【分析】（1）根据四边形ACDE 是菱形，得到//AC DE ，证得//DE 平面ABC ，再由//DF BC ，证得//DF 平面ABC ，进而得到平面//DEF 平面ABC ，即可证得//EF 平面ABC ；（2）取AC 中点O ，连接OB ，OD ，分别以OB ，OC ，CD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，求得平面BEF 和ABC 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）因为AC DC DE AE ===，所以四边形ACDE 是菱形， 所以//AC DE ，且DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC ． 又因为//DF BC ，DF ⊄平面ABC ，所以//DF 平面ABC ， 因为DFDE D =，且,DF DE ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面ABC ，又因为EF ⊂平面DEF ，所以//EF 平面ABC ．（2）取AC 中点O ，连接OB ，OD ，分别以OB ，OC ，CD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，如图所示，则(0,1,0)B D C ，可得(3,1,0)CB =-，由131,0222DF CB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，可得12F -⎝， 又由(0,2,0)DE CA ==-，可得(0,E -， 所以33(3,2,3),,,022BE EF ⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭， 设平面BEF 的法向量为(,,)n x yz =，则00EF n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得20302y x y ⎧-=+=，取x =1y =-，所以3,n ⎛=- ⎭， 又由平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 所以33cos,m n <>==所以平面ABC 与平面BEF ．【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.21．已知函数()()2e 14 2.xf x m x x x =+---(1)若1m =，试求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性． 【答案】(1)21y x =-- (2)答案见解析【分析】（1）求导得到导函数，计算()02f '=-，()01f =-，得到切线方程.（2）求导得到()()()2e 2xf x x m '+-=，考虑0m ≤，202e m <<，22e m =，22e m >四种情况，根据导数的正负得到函数的单调性. (1)()()2e 142x f x x x x =+---，()()e 224x f x x x '=+--，()2204f '=-=-，()01f =-，故切线方程为：21y x =--. (2)()()2e 142x f x m x x x =+---，故()()()()e 2242e 2x x f x m x x x m =+'=+---，当0m ≤时，2e 0x m -<，当2x <-时，()0f x '>，当2x >-时，()0f x '<，故函数在(),2-∞-上单调递增，在()2,-+∞上单调递减；当0m >时，2e 0x m -=得到2ln x m=， 当22e m >时，2ln2m <-，当2,ln x m ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭和()2,x ∈-+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当x ∈2ln ,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，函数单调递减；当22e m =时，2ln 2m=-， ()0f x '≥恒成立，函数在R 单调递增；当22e m <时，2ln2m >-，当(),2x ∞∈--和2ln ,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，当x ∈22,ln m ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减；综上所述：当0m ≤时，函数在(),2-∞-上单调递增，在()2,-+∞上单调递减；当202e m <<时，函数在(),2-∞-和2ln ,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在22,ln m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当22e m =时，函数在R 上单调递增；当22e m >时，函数在2,ln m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()2,-+∞上单调递增， 在2ln ,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任一点到两个焦点12,F F 的距离之和为轴长为4.动点M 在双曲线22142x y -=(顶点除外)上运动，直线1MF 和2MF 与椭圆E 的交点分别为AB 、和CD 、. （1）求椭圆E 的方程；（2）证明：||||AB CD +为定值，并求出此定值.【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析，【分析】（1）根据题意得2a =，24b =，进而得答案； （2）由题设()()000,2M x y x ≠±，故1212MF MF k k ⋅=，进而设直线1MF 的方程为2x my =-，直线2MF 的方程为2x ny =+，且2mn =，再联立方程，结合弦长公式得)2212m AB m +=+，)2212n CD n +=+，再化简整理即可得答案.【详解】解：（1）由题意可知2a =，24b =，则a =2b =，∴椭圆E 的方程为22184x y +=（2）设()()000,2M x y x ≠±，则2200142x y -=，由题意椭圆E 的两个焦点1F ，2F 刚好是双曲线的两个顶点， 不妨取()12,0F -，()22,0F ，则()12220000220000141222442MF MF x y y y kk x x x x -⋅=⋅===+---. 故设直线1MF 的方程为2x my =-，直线2MF 的方程为2x ny =+， 则12112MF MF k k mn ⋅==，∴2mn =， 联立()22222244028x my m y my x y =-⎧⇒+--=⎨+=⎩ 设()11,A x y ，()22,B x y ，12242m y y m +=+，12242y y m =-+)212212m AB y m +=-=+，同理)2212n CD n +=+，∴))22222222222211233422224m n m n m n AB CD m n m n m n ++++++=+=+++++2222331232282m n m n ++===++∴AB CD +为定值，且定值为【点睛】本题考查椭圆的方程求解，椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于发现12112MF MF k k mn ⋅==，进而设出直线1MF 的方程为2x my =-，直线2MF 的方程为2x ny =+，与椭圆联立，并结合弦长公式计算得)2212m AB m +=+，)2212n CD n +=+，再化简整理即可求解.。
河南省濮阳市范县一中2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题含解析
河南省濮阳市范县一中2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB ．CD ．3．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-4．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020B ．4038C ．4039D ．40405．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 6．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李7．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．88．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．（0，1）9．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f < B ．()()3344ff <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <11．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省聊城高二下学期期中数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年山东省聊城高二下册期中考试数学质量检测试题第Ⅰ卷（60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()0002lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）．A ．1-B ．1C ．12D ．2-2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（）．A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种3．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为120，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（）．A ．15B ．110C ．115D ．1204．若22nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）．A ．90B ．90-C ．180D ．180-5．函数()2x xe ef x x --=的图像大致为（）A ．B ．C．D ．6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）．A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种7．在()()()()2391111x x x x ++++++++L 的展开式中，3x 的系数为（）．A ．120B ．84C ．210D ．1268．已知()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x x f +>--的解集是（）．A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()35,02ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，则实数a 可能的取值有（）．A ．3B ．2C ．1D ．010．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（）．A ．在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为13B ．两份报告表都是男士的概率为518C ．在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为815D ．两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为81511．设()72670126721x a a x a x a x a x -=+++++L ，则下列结论正确的是（）．A ．25588a a +=B ．1271a a a +++=L C ．71357132a a a a ++++=D ．712731a a a +++=-L 12．已知函数()y f x =是奇函数，对于任意的π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦满足()()sin cos 0f x x f x x '->（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）．A ππ63f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ46f ⎛⎫⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ππ42f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（15题第一个空3分，第二个空2分）13．若函数()f x 满足()()4ln 2x f f x x '=-，则()2f '=__________．14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为__________．15．已知()()()20121111nn n bx a a x a x a x +=+-+-++-L 对任意x ∈R 恒成立，且19a =，236a =，则b =__________；122n a a na +++=L __________．16．下列说法不正确的有__________．（1）曲线ln xy x x=+在点()1,1处的切线方程为21y x =-．（2）函数()219ln 2f x x x =-在[]1,1a a -+上存在极值点，则a 的取值范围是()2,4．（3）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则15a b -=或6-．（4）已知函数()()()221,184,1x a x x f x a x x ⎧-+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是()2,5．四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式1nx ⎫-⎪⎭，若__________，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中所有的有理项．18．（8分）一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．19．（8分）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？（3）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？20．（10分）已知函数()2ln x x f xx -=-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[]1,e 上的最值．21．（12分）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．22．（12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：()21f x a a-≥．23．（12分）已知函数()()2xf x e x =-．（1）求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；（2）设()()ln 2g x f x x x =+-+，记函数()y g x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为()g a ，证明：()1g a <-．试题答案一、单选题：1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B二、多选题：9．CD 10．BC 11．ACD12．BC三、填空题：13．114．15015．①1②．（3）（4）四、解答题17．解：选①，由01222n n n C C C ++=，得6n =（负值舍去）．（3分）选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由010264nnn n n C C C +++-==L ，得6n =．（3分）选③，设第1r +项为常数项，()3211n rrrr n T C x-+=-，由2302r n r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得6n =．（3分）由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33223346120T C xx --=-=-．（4分）（2）解：设第1r +项为有理项，()632161rr rr T C x-+=-，（5分）因为06r ≤≤，r ∈N ，632r-∈Z ，所以0r =，2，4，6，则有理项为03316T C x x ==，23615T C x ==，4335615T C x x --==，66676T C x x --==．（8分）（错1个减1分，最多减3分）18．解：（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则()210210719xC P A C -=-=，得到5x =．故白球有5个．（4分）（2）()355310k kC C P X k C -==，0k =，1，2，3．于是可得其分布列为X 0123P112512512112（8分）（对1个给1分）19．解：（1）根据题意，分2步进行分析：①将3个男生全排列，有33A 种排法，排好后有4个空位，②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有44A 种排法，则一共有3434144A A =种排法．（2分）（2）根据题意，分2种情况讨论：①男生甲在最右边，有66720A =，②男生甲不站最左边也不在最右边，有1155553000A A A =，则有72030003720+=种排法．（5分）（3）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①将4名女生全排列，有44A 种情况，排好后有5个空位，②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有25A 种情况，则有4245480A A =种排法．（8分）20．解：（1）由题意知：()()220x f x x x-'=>．令()0f x '=，解得2x =．（2分）2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示．x()0,22()2,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减单调递增（4分）所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞．（5分）（2）结合（1）的结论，列表如下：x1()0,22()2,+∞e()f x '－0＋()f x 1单调递减ln 2单调递增2e所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．（10分）21．解：（1）从7名成员中挑选2名成员，共有2721C =种情况，记“男生甲被选中”为事件A ，事件A 所包含的基本事件数为16C 种，故()62217P A ==．（4分）（2）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，由（1），则()121P AB =，且由（1）知()27P A =，故()()()1121267P AB P B P A A ===．（8分）（3）记“挑选的2人一男一女”为事件C ，事件C 所包含的基本事件数为114312C C ⨯=种，由（1），则()124217P C ==，“女生乙被选中”为事件B ，则()1442121C P BC ==，故()()()4121437P BC P B C P C ===．（12分）22．（1）解：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞，（1分）()221a x af x x x x-'=-=．（2分）①当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，此时，函数()y f x =在()0,+∞上单调递增；（4分）②当0a >时，令()0f x '<，可得0x a <<；令()0f x '>，可得x a >．此时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞．（6分）综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞．（6分）（2）证明：由（1）可知，当0a >时，()()min ln 1f x f a a ==+，要证()21a f x a -≥，只需证21ln 1a a a -+≥，即证1ln 10a a+-≥．（8分）构造函数()1ln 1g a a a=+-，其中0a >，则()22111a g a a a a-'=-=．（10分）当01a <<时，()0g a '<，此时函数()y g a =单调递减；当1a >时，()0g a '>，此时函数()y g a =单调递增，所以，()()min 10g a g ==，所以1ln 10a a+-≥恒成立，因此，()21f x a a-≥．（12分）23．（1）解：由题意可得()()1xf x x e '=-，所以()()22221f e e '=-=，（1分）又知()20f =，（2分）所以曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()202y e x -=-，即2220e x y e --=．（4分）（2）证明：由题意()()()2ln 22ln 2f x f x x x x e x x =+-+=--++，则()()()()11121111x x x x f x e x e x e x e x x x ⎛⎫'=+--+=--+=-- ⎪⎝⎭，当112x <<时，10x -<，令()1x h x e x =-，则()210x h x e x '=+>，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，（6分）因为121202h e ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110h e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即001x e x =，即00ln x x =-，（8分）故当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x <，又10x -<，故此时()0g x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x >，又10x -<，故此时()0g x '<，即()g x 在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()0,1x 上单调递减，则()()()()00000max 2ln 2xg x g a g x x e x x ===--++()000000122232x x x x x x =-⋅--+=--，（10分）令()232G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22221220x G x x x -'=-=>，所以()G x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()11G x G <=-，所以()1g a <-．（12分）。
江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。
大理州2023 届高中毕业生第一次复习统一检测数学试卷(含答案)
数学试卷·第1页（共7页）秘密★启用前 【考试时间：11月10日 15∶00 — 17∶00】大理、丽江、怒江2023届高中毕业生第一次复习统一检测数 学（全卷四个大题，共22个小题，共7页；满分150分，考试用时120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|{|}17,450A x x B x x x =<<=--≤，则AB = （ ）A ．(1,1)-B ．(1,1)(5,7)-C ．[1,7)-D ．(1,5]2．若复数z 满足(34)43i z i +=-，则z 的虚部为 （ ）A ．35-B ．45-C ．35D ．453．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，383235a a +=，则9S = （ ） A ．72B ．67C ．63D ．56数学试卷·第2页（共7页）4．若向量a 与b 的夹角为60o ，(2,0)a =，223a b +=，则b = （） AB ．1C ．4D ．35．中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有 （ ） A ．18种 B ．36种C ．72种D ．144种6．已知1sin()43πα-=，则sin 2α= （ ） A ．79B ．9C ．12D ．27．已知P ，A ，B ，C 在同一个球面上，且ABC ∆是边长为6的等边三角形．若三棱锥P ABC -的体积最大值为，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为 （ ）A ．64πB ．643πC ．2563πD ．256π8．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =- ，当[0,1]x ∈时，()f x x =.函数1()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9．下列函数在[,]2ππ上是增函数的是 （ ）A ．cos y x =B ．sin y x =-C ．cos y x =D ．sin y x =数学试卷·第3页（共7页）10．过抛物线2:)02(C y x p p =>的焦点为F 的直线l 与C 相交于1122(,),(,)M x y N x y 两点，若MN 的最小值为6，则 （ ） A ．抛物线的方程为26y x =B ．MN 的中点到准线的距离的最小值为4C ．1236y y =-D ．当直线MN 的倾斜角为60时，=8MN11．如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将ABD ∆折起到PBD ∆的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，下列说法正确的有 （ ） A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥P BCD -四个面都是直角三角形C ．PD 与BCD ．过BC 的平面与PD 交于M ，则MBC ∆面积的最小值为712．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是 （ ） A ．(3)(4)f f >B．ln π>C ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y >D ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e >数学试卷·第4页（共7页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设随机变量X 服从正态分布(2,9)N ，若(1)(1)P X m P X m >+=<-，则m = .14．已知函数()sin f x x x =+，在点(,())22f ππ处的切线与直线:10l ax by +-=平行，则ba的值为 .15．过(3,1),(0,)A B b -两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点，则实数b 的取值范围为 .16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点(,0)()F c b c >和上顶点B ，若斜率为65的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，且满足0FB FP FQ ++=，则椭圆的离心率为 . 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）给定三个条件：①2a ，4a ，8a 成等比数列，②425S a =，③1(1)n n n a na ++=，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =， . （1）求数列{}n a 的通项；（2）若12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.数学试卷·第5页（共7页）18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(cos sin )b c A A =-. （1）求角C ；（2）若c =，D 为边BC 的中点，ADC ∆的面积1S =且B A >，求AD 的长度.19．（本小题满分12分）足球运动，最早的起源在中国.在春秋战国时期，就出现了“蹴鞠”或名“塌鞠”.某足球俱乐部随机调查了该地区100位足球爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图． （1）估计该地区足球爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）估计该地区足球爱好者年龄位于区间[)2060，的概率； （3）已知该地区足球爱好者占比为21%，该地区年龄位于区间[)1020，的人口数占该地区总人口数的35%，从该地区任选1人，若此人的年龄位于区间[)1020，，求此人是足球爱好者的概率．数学试卷·第6页（共7页）20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，90BAD ∠=，222PD DC BC PA AB =====，PD DC ⊥．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）设()01BM BD λλ=<<，当平面PAM 与平面PBD夹角的余弦值为7时，求λ的值.21．（本小题满分12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线221x y -=有相同的渐近线，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于第一象限的点B ，ABF ∆的面积为1)（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线1y kx =-与双曲线的左、右两支分别交于,M N 两点，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q 两点，MN PQ λ=，求实数λ的取值范围．数学试卷·第7页（共7页）22．（本小题满分12分） 已知函数()ln 2f x x x =+. （1）求函数()f x 的极值； （2）证明：2()f x x x>-.数学参考答案及评分标准·第1页（共12页）大理、丽江、怒江2023届高中毕业生第一次复习统一检测数学参考答案及评分标准【解析】1．【解析】因为{|15}B x x =-≤≤，{}|17A x x =<<，所以{|15}A B x x =<≤. 故选：D. 2．【解析】435i -==，所以，()53443i z i +==-，则()()()53453434343434555i i z i i i i --====-+-+，因此，z 的虚部为45-. 故选：B. 3．【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()()38111532322754535a a a d a d a d a +=+++=+==，所以57a =，所以()1955999296322S a a a a +⨯====. 故选：C. 4．【解析】因为(2,0)a=，所以||2a =，又因为22222|2|(2)||4||||cos604||(23)a b a b a a b b ︒+=+=+⨯⨯⨯+= ， 所以2||||20b b +-=，解得||1b =（2-舍去）. 故选：B ．5．【解析】由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有22A 种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有33A 种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有24A 种，由于是分步进行，所以共有232234144A A A ⋅⋅=种，故选：D ．6．【解析】227sin 2sin[2()]cos 2()12sin ()1424499ππππαααα=-+=-=--=-=.故选：A.7．【解析】如图，三角形ABC 的中心为M ，球心为O ，当⊥PM ABC 时，三棱锥体积最数学参考答案及评分标准·第2页（共12页）大，11(66sin)6323π⨯⨯⨯⨯⨯=⇒=PM PM ，设PO AO R ==，则6,==-=AM OM R AO R ，222(6)4+-=⇒=R R R所以外接球体积为342564=33ππ⨯⨯. 故选：C 8．【解析】由)2()(x f x f -=，)31()(1<<-=--x e x g x 可得函数)(x f ,)(x g 的图象都关于直线1=x 对称，当21≤≤x 时，x x f -=2)(，x e x g -=1)(，设)21(,2)(1≤≤--=-x e x x h x ，则01)(1'<+-=-x e x h ，即函数)(x h 在]2,1[为减函数，又0)1(=h ，即0)(≤x h ， 即函数)(x f ，)(x g 的图象在)2,1(无交点，则函数)(x f ，)(x g 在)3,1(-上的图象如图所示，可知两个图象有3个交点，一个在直线1=x 上，另外两个关于直线1=x 对称，则三个交点的横坐标之和为3.故选A.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）【解析】9．【解析】A ，cos y x =，在[,]2ππ上为减函数，故A 选项错误；数学参考答案及评分标准·第3页（共12页）B,sin y x =-在[,]2ππ上是增函数，故B 选项正确；C,[,]2x ππ∈，cos cos y x x ==-，故c o s y x =在[,]2ππ上是增函数，故C 选项正确;D,[,]2x ππ∈ ，sin sin y x x ==在[,]2ππ上是减函数，故D 选项错误.故选：BC10．【解析】当斜率不存在时，即MN 过抛物线的焦点，且垂直x 轴，222py p ∴=⨯，2MN p =，当斜率存在时，设直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，可得()22222204k p k x k p p x -++=①， 由韦达定理2122222k p p px x p k k++==+ 由抛物线的定义，可得212222222k p p pMN x x p p p k k+=++==+>， 综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即MN 过抛物线的焦点，且垂直x 轴，MN 取得最小值，MN 的最小值为6，26p ∴=，即3p =，抛物线的方程为26y x =，故A 选项正确，MN 的中点到准线的距离最小值为322p pp +==，故B 选项错误， 当斜率不存在时，两交点坐标为,,,22p p p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2119y y p ∴=-=-，故C 选项错误，数学参考答案及评分标准·第4页（共12页）当直线MN 的倾斜角为60时，可得k =将k =22122030x px p -+=，解得两根为123,26p p x x ==， 由抛物线得的定义可得1222,223p p pMF x p FN x =+==+=， 3p =,883pMN MF FN ∴=+==，故D 选项正确． 故选：AD ．11．【解析】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，由余弦定理可得BD =，故222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD 且平面PBD平面BCD BD =，所以CD ⊥平面PBD ，CD PD ⊥；同理PB ⊥平面CBD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面BPD ，A ，B 正确； 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B ，(0,1,0)C，P ， 因为(3,0,1)DP =，(BC =-， 所以3cos ,4BC DPBC DP BC DP⋅<>==-，即PD 与BC 所成角的余弦值为34，C 错误；因为M 在线段PD上，设,0,)M a ，则(3,0,)MB a =-，所以点M 到BC的距离22MB BC d MB BC ⎛⎫⋅ ⎪-=⎪⎝⎭当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC △面积取得最小值1277BC ⨯=，D 正确.故选：ABD.数学参考答案及评分标准·第5页（共12页）12．【解析】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'= 令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，ln ()xf x x=在(0,)e上递增，在(,)e +∞上递减，1()f e e=是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e>时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．因为()f x 在(,)e +∞上递减，所以(3)(4)f f >，故A对； B ．因为e <<，且()f x 在(0,)e 单调递增，所以f f <，即<<，即ln π>B 正确；C ．设25xyk ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5k kx k y k ==== 242ln =ln ln 2ln 4x k k ∴=，55ln ln 5y k =，ln 4ln 5045>>， 45ln 4ln 5∴<，ln 0k >，25x y ∴<，故C 错误． D ．因为()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==数学参考答案及评分标准·第6页（共12页）不妨设120x e x <<<要证：212x x e >，即要证：221222,()e e x x e ef x x x >>∴<在(0,)e 单调递增，∴只需证：()212e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2211()(ln 1)g x x e x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当x e >时，2211ln 1,()0()x g x g x e x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭故D 正确.故选：ABD ．【解析】 13．【解析】因为2μ=，由正态分布的定义知其图象关于直线2x =对称，于是1122m m ++-=，所以2m =． 故答案为：2．14．【解析】因为()sin f x x x =+，所以'()cos 1f x x =+，所以'()12f π=.因为切线与直线l平行，所以1,1a bb a-==-. 故答案为：1-． 15．【解析】(3,1)A -关于y 轴的对称点为(3,1)，又因为(0,)B b 在y 轴上，则反射后的直线方程为13b y x b -=+-，即(1)30b x y b -+-=，又因为反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点，1≤，解得5,14b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：[]5,14-．数学参考答案及评分标准·第7页（共12页）16．【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c B b P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,M x y ，由0FB FP FQ ++=知F 为APQ ∆的重心，故2BF FM =，即()()00,2,c b x c y -=-，解得003,22c bx y ==- ，又M 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-， 又PQ 为椭圆上两点2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212221212365PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc = 解得2c b =(b c >故舍去)，或2b c =．则离心率5c a =． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【解析】 （1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠.选条件①：∵36S =，2a ，4a ，8a 成等比数列，∴()()()31211133637S a d a d a d a d =+=⎧⎪⎨+=++⎪⎩， …………………2分 解得111a d =⎧⎨=⎩， …………………4分故数列{}n a 的通项n a n =. …………………5分选条件②：∵36S =，∵425S a =，∴()3111336465S a d a d a d =+=⎧⎨+=+⎩，…………………2分 解得111a d =⎧⎨=⎩， …………………4分 故数列{}n a 的通项n a n =. ……………………………………………5分 选条件③：∵36S =，1(1)n n n a na ++=，数学参考答案及评分标准·第8页（共12页）∴[]()3111336(1)(1)S a d n a n d n a nd =+=⎧⎨++-=+⎩， …………………2分解得111a d =⎧⎨=⎩， …………………4分故数列{}n a 的通项n a n =. ………………………………………5分（2）由（1）得12n n n a b n -⋅=⨯所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，可得()12121222122n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯， ………………………7分两式相减得012122222n n n T n --=++++-⨯()()112211212n n n n n ⨯-=-⨯=-+-⨯-， ………………………………………9分所以1(1)2nn T n =+-⨯. …………………………………………10分 18．【解析】（1）因为(cos sin )b c A A =-，所以()sin sin cos sin B C A A =-， ……………………2分又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin cos sin sin A C C A =-，…4分 因为()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以cos sin C C =-， …………………………5分即tan 1=-C ，又()0,C π∈，所以34C π=； ………………………6分（2）由ADC ∆面积1S =可得2ABC S ∆=则1sin 22ab C =，即12,2ab=ab =①，又2222cos c a b ab C =+-，所以2220a b += ②， ……………………8分 联立①②得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩B A >，所以2,a b == ……………10分在ACD △中，由余弦定理可得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅8121132⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭，所以AD = ………………………12分数学参考答案及评分标准·第9页（共12页）19．【解析】（1）估计该地区足球爱好者的平均年龄()50.016150.036250.028350.010450.008550.0021021.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=岁 ………………………………………4分 （2）由题图，得该地区足球爱好者年龄位于区间[)2060，的频率为(0.0280.0100.0080.002)100.48+++⨯=，用频率估计概率，故足球爱好者年龄位于区间[)2060，概率为0.48． ……………8分 （3）记事件A 为：“任选一人，年龄位于区间[)1020，”，事件B 为：“任选一人是足球爱好者”，由条件概率公式可得：()()()0.036100.216%3215%P AB P B A P A ⨯⨯===. ……12分20．【解析】（1）取CD 的中点E ，连接BE ，四边形ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=，//AB DC ，2CD AB =，且E 为CD 的中点，//AB DE ∴且AB DE =，所以，四边形ABED 为矩形，BE CD ∴⊥，1CE =，AD BE ∴===，1PA =，2PD =，222PA AD PD ∴+=，PA AD ∴⊥， …………………2分 PD CD ⊥，//AB CD ，AB PD ∴⊥， 90BAD ∠=，AB AD ∴⊥，PDAD D =，AB ∴⊥平面PAD ， ………………………………………4分PA ⊂平面PAD ，PA AB ∴⊥， ABAD A =，PA ∴⊥平面ABCD ； ……………………………6分数学参考答案及评分标准·第10页（共12页）（2）由（1）可知，PA 、AB 、AD 两两垂直，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()1,0,0B、()D 、()0,0,1P ，所以，()1,0,1BP =-，()BD =-， …………………………………8分 设平面PBD 的法向量为()111,,m x y z =，由0m BP m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11y =，得11x z =，(3,1,m ∴=.()(),0BM BD λλλ==-=-，()1,0AM AB BM λ=+=-，设平面PAM 的法向量为()222,,n x y z =，()0,0,1AP =，由00n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得()222010z x y λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令2x ，则21y λ=-，20z =，()3,1,0n λλ∴=-， (10)分由于平面PAM 与平面PBD 夹角的余弦值为7，则cos ,7m n m n m n⋅<>==⋅⋅220λλ-=， 01λ<<，解得12λ=. ……………………………………12分 21．【解析】（1）因为双曲线E 与双曲线22:1C x y -=有相同的渐近线，可得a b =， …………1分由已知，将B x c ==代入22221xy a b-=，可得，B y a = (2)分由11)2BF AF ⨯⨯=，即()11)2a a c ⨯⨯+=，所以2a =， 故双曲线的方程为224x y -= ………………………………………………5分数学参考答案及评分标准·第11页（共12页）（2）依题意，设()()1122,,,M x y N x y ，由2241y x y kx =-⎧⎨⎩-=可得，()221250k x kx -+-=， 所以()()()2221221024150501k k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=--⨯->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩，解得11k -<<，且1221222151k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩………8分所以1221MN x k =-==- 设()()3344,,,P x y Q x y ，由1y kx y x =-⎧⎨=⎩得311x k =-，同理，411x k =+所以3411PQ x k =-=-=+， …………………10分所以221PQ MN k λ===-，其中，11k -<<,，故λ的取值范围是. ……………………………12分 22．【解析】（1）函数的定义域为,()0x ∈+∞，由()ln 2f x x x =+，得()1ln f x x ='+，由()0f x '>，解得1e x >，由()0f x '<，解得10ex <<所以()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；…………………4分()f x ∴的极小值为112f e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值. ………………………………5分数学参考答案及评分标准·第12页（共12页）（2）令()()()22ln 20g x f x x x x x x x x =-+=+-+>，则()()22ln 0g x x x x'=->， 令()()22ln 0h x x x x =->，则()3140h x x x '=+>在()0,∞+上恒成立， 所以()h x 在()0,∞+上单调递增， …………………………………………………6分 又()221ln1201h =-=-<，()2222e ln e 10e eh =-=->， 所以存在()01,e x ∈，使得()00h x =，即()()00202ln 1,e x x x =∈，所以()00,x x ∈时，()()()0,0,h x g x g x '<<单调递减，()0,x x ∈+∞时，()()()0,0,h x g x g x >'>单调递增，()()()()000000002min 00002224ln 2221,e g x g x x x x x x x x x x x x ==+-+=⋅+-+=-+∈， ………………………………………………10分令()()()421,e m x x x x =-+∈，则()2410m x x'=--<在()1,e 上恒成立， 所以()m x 在()1,e 上单调递减，所以()()4e 2e 0em x m >=-+>， 所以()()00min 0420g x g x x x ==-+>，所以()2f x x x>-. ………………………12分注：解答题其他解法酌情给分.。
2025届浙江省杭州十四中高三第三次测评数学试卷含解析
2025届浙江省杭州十四中高三第三次测评数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm2．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]3．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交4．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．2405．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．236．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．438．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1B ．2C ．22D ．29．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =（ ）A ．{}1|0x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|1x x ≥D ．{}|0x x >11．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．212．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
小学新六艺校本课程计划 (2)
小学新六艺校本课程计划
小学新六艺校本课程计划通常指的是以六艺教育为基础的小学课程安排。
传统的六艺
教育是指礼、乐、射、御、书、数六种教育内容，而在现代教育中，六艺教育已经演
变为具体的学科和技能培养。
以下是一种可能的小学新六艺校本课程计划：
1. 语文课程：包括识字、拼音、阅读、写作等内容，培养学生的语言表达能力、阅读
理解能力和写作能力。
2. 数学课程：包括数的概念、数的运算、几何、数据分析等内容，培养学生的数学思
维和解决问题的能力。
3. 英语课程：包括听、说、读、写等内容，培养学生的英语听说能力和阅读写作能力。
4. 自然科学课程：包括物理、化学、生物等科学内容，培养学生的科学观察和实验能力。
5. 社会科学课程：包括历史、地理、政治等内容，培养学生的社会意识和社会分析能力。
6. 艺术课程：包括音乐、美术、舞蹈等内容，培养学生的艺术表现能力和审美能力。
此外，还可以增加体育课程、实践课程（如手工、科学实验等）、技术课程（如计算机、编程等），以全面培养学生的多元能力和创新精神。
这只是一个例子，不同的学校和地区可能有不同的课程设置。
校本课程计划应根据学校的教育理念和教育目标进行设计。
新人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》测试(有答案解析)
一、选择题1．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种B ．24种C ．18种D ．36种2．关于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（ ） A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第3项D ．展开式中系数最大的项为第4项3．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-4．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ） A ．7种B ．6种C ．5种D ．4种6．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7B ．8C ．11D ．147．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ）A ．515m P -B ．1520mm P --C ．520m P - D ．620m P -8．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．5009．若0,0a b >>，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分22abxdx xdx +⎰⎰的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18B ．200C ．2800D ．3360011．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A ．400B ．460C ．480D ．49612．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．()3621()x x x-+的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）14．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）15．已知33210n n A A =，那么n =__________．16．若251(3)(2)x a x x--的展开式中3x 的系数为80，则a =_______.17．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）18．25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.19．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)的值为_____.20．()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10-，则实数a =___________.三、解答题21．已知nx x ⎛+ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数； （2）求该展开式中系数最大的项. 22．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅．（1）求0a 的值；（2）求1232n a a a a +++⋯+的值； （3）求13521n a a a a -+++⋯+的值．23．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问： （1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示） 24．已知i ，m ，n 是正整数，且1i m n <≤<． （1）证明：i i i im n n A m A <；（2）证明：(1)(1)m nn m +<+．25．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项.26．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程.（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．2．B解析：B 【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果． 【详解】 解：关于621(2)x x-的展开式，根据二项式的展开式的应用：61621(2)()r rr r T C x x -+=-， 对于选项A ：展开式中二项式系数之和6264=，故错误．对于选项B ：利用赋值法的应用，当1x =时，各项的系数的和为6(21)1-=，故正确．对于选项C ：展开式中二项式系数最大的项为第4项3620C =，故错误． 对于选项D ：展开式中系数最大的项为第2项，系数为2462240C ⨯=．故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：二项展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．3．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.4．B解析：B【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．B解析：B 【分析】根据题意可得选出的2人必为一男—女，分别求出选出1名男性党员和1名女性党员的选法数目，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，选出的2人中既有男性又有女性，必为一男一女，在3名男性党员中任选1人，有3种选法，在2名女性党员中任选1人，有2种选法，则既有男性又有女性的不同选法有3×2=6种， 故选：B 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题.6．A解析：A 【分析】分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果. 【详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号， 此时有1种方法； 第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号， 此时有种3方法；综上所述，共有1337++=种方式. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=. 故选D. 【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.9．C解析：C 【分析】由二项式定理展开项可得1ab =，再22022abxdx xdx a b +=+⎰⎰利用基本不等式可得结果.【详解】二项式()6ax+b 的展开式的通项为6616r r r rr T C a b x --+= 当63,3r r -==时，二次项系数为3336201C a b ab =∴=而定积分2202222abxdx xdx a b ab +=+≥=⎰⎰当且仅当a b =时取等号 故选C 【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】从5种主料中选2种，有2510C =种方法, 从8种辅料中选3种，有3856C =种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C. 【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.11．C解析：C 【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有31116321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有41126322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有31116321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有41126432360C C C A =种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=， 解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=．故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.14．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144. 【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..15．8【详解】分析：利用排列数公式展开解方程即可详解：解得即答案为8点睛：本题考查排列数公式的应用属基础题解析：8 【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=--()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.16．【解析】分析：中的系数与的积加上中的系数与的系数的积就是展开式的系数详解：展开式通项为令则令则∴解得故答案为－2点睛：二项式的展开式的通项为由此通项公式可求展开式中的特定项如果是两个（或多个）式子相 解析：2-【解析】分析：31(2)x x -中3x 的系数与a -的积，加上31(2)x x-中x 的系数与23x 的系数的积就是展开式3x 的系数．详解：51(2)x x-展开式通项为55521551(2)()2r rr r r r r T C x C x x---+=-=， 令523-=r ，则1r =，令521r -=，则2r，∴41325523280a C C -⨯+⨯=，解得2a =-，故答案为－2.点睛：二项式()n a b +的展开式的通项为1C r n r rr n T a b -+=，由此通项公式可求展开式中的特定项．如果是两个（或多个）式子相乘，可在第个式子中取一项相乘，只要未知数的次数满足要求，这时要注意不能遗漏.17．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.18．1560【分析】把转化为再利用二项式的展开式的通项公式可求出答案【详解】由题意因为的展开式的通项公式为的展开式的通项公式为所以的展开式中的项的系数是故答案为：1560【点睛】关键点点睛：本题考查二项解析：1560 【分析】把25(32)x x ++转化为()()5512x x ++，再利用二项式的展开式的通项公式，可求出答案.【详解】由题意，()()2555(32)12x x x x =++++，因为()51x +的展开式的通项公式为15r rr T C x +=，()52x +的展开式的通项公式为5152k k k k T C x -+=，所以25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是305214123032555555552222C C C C C C C C +++320800*********=+++=.故答案为：1560. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理的应用，考查三项展开式的系数问题.解决本题的关键是把25(32)x x ++转化为()()5512x x ++，进而分别求出()51x +、()52x +的展开式的通项公式，令3r k +=，可求出25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.19．164【分析】根据图形可知从第三行起每一行取第二和第三个数字再根据组合数的性质即可计算求出【详解】由图可知这十六个数的和为故答案为：164【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用解题关键是凑出的形式反解析：164 【分析】根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出. 【详解】由图可知，这十六个数的和为2112121222334499C C C C C C C C ++++++++()()1112223493493C C C C C C =++++++++()()21113222334933491C C C C C C C C =+++++++++-2310101451201164C C =+-=+-=．故答案为：164. 【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出1m m n n C C -+的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题．20．【分析】由分别写出和的展开式通项分别令的指数为求出对应的参数值代入通项可得出关于的等式进而可求得实数的值【详解】的展开式通项为所以的展开式通项为令可得由题意可得解得故答案为：【点睛】方法点睛：对于求 解析：2【分析】由()()()()6661111ax x x ax x -+=+-+，分别写出()61x +和()61ax x +的展开式通项，分别令x 的指数为3，求出对应的参数值，代入通项可得出关于a 的等式，进而可求得实数a 的值. 【详解】()()()()6661111ax x x ax x -+=+-+，()61x +的展开式通项为16kkk T C x +=⋅，所以，()61ax x +的展开式通项为1166r r r r r A axC x aC x ++=⋅=⋅，令313k r =⎧⎨+=⎩，可得32k r =⎧⎨=⎩，由题意可得3266201510C aC a -=-=-，解得2a =. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．三、解答题21．（1）5；（2）121792x和11792x - 【分析】（1）先求出8n =，再写出二项式展开式的通项382182k kkk T C x-+=⨯⨯，令382kZ -∈即可求解；（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，即可解得k 的值，进而可得展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由题意可得：152n+=，得8n =，8x ⎛+ ⎝的展开式通项为138********k k k k k k kk T C x x C x ---+=⨯⨯=⨯⨯，()08k ≤≤，要求展开式中有理项，只需令382kZ -∈， 所以0,2,4,6,8k = 所以有理项有5项，（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k kk k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩ ， 即()()()()()()118!8!22!8!1!81!8!8!22!8!1!81!k k k k k k k k k k k k -+⎧⨯≥⨯⎪---+⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+--⎩，即2191281k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：56k ≤≤，因为k Z ∈， 所以5k =或6k =所以1155226821792T C x x =⨯⨯=，166127821792T C x x -=⨯⨯=所以展开式中系数最大的项为121792x 和11792x -.【点睛】解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让x 的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第1k +项的系数大于等于第k 项的系数，第1k +项的系数大于等于第2k +项的系数，属于中档题22．（1）1；（2）231n-；（3）2312n -.【分析】（1）赋值0x =即可得解；（2）赋值1x =，结合（1）即可得解； （3）赋值1x =-，结合（2）即可得解. 【详解】（1）0x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01a =； （2）1x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：032122=3n n a a a a a ++++⋯+，所以： 13222=31n n a a a a +++⋯-+；（3）1x =-代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01232=1n a a a a a -+-+⋯+，又032122=3n n a a a a a ++++⋯+，、两式相减可得：5221312()31n na a a a -+++⋯=-+，所以221351312n n a a a a -+=+⋯-++. 【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和项的系数和，主要方法是赋值法，属于基础题. 23．（1）576；（2）144 【分析】（1）先从3个偶数抽取2个偶数和从4个奇数中抽取3个奇数，利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（2）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，即可得出结果. 【详解】解：可知从1到7的7个数字中，有3个偶数，4个奇数， （1）五位数中，偶数排在一起的有：23413442576C C A A =个，（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有：23233423144C C A A =个. 【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及排列和组合的实际应用以及排列数和组合数的运算公式，考查利用捆绑法解决相邻问题，利用插空法解决不相邻问题，考查运算能力．24．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，结合不等式的性质进行证明即可；（2）根据二项式定理，结合（1）中的结论、排列数、组合数的公式进行证明即可. 【详解】（1）由排列数的公式得：(1)(2)(1)121i m i A m m m m i m m m m i m mmm m m m m m---+---+==⋅⋅， (1)(2)(1)121i n i A n n n n i n n n n i n nnn n n n n n---+---+==⋅⋅， 当1i m n <≤<，1,2,31k i =-时，()()()=0m k n k n m k m n k k m n m k n km n mn mn m n ---------=<⇒<， 由不等式的性质可知：121m m m m i m m m m ---+⋅⋅<121n n n n i n n n n---+⋅⋅， 即i m i A m <i i i m ni i n i n A nm A A <⇒； （2）由二项式定理可知：0(1),(1)mnmi i ni imn i i n n Cm m C ==+=⋅+=⋅∑∑，因为,!!i iiim n mn A A C C i i ==，由（1）知：i i i i m n n A m A <， 所以有i i i im n n C m C <,又因为000011111,,0i in m n m n m C n C m C n C nm m C ====>(1)i m n <≤<，所以(1)(1)n mii ii n m nm i i m C n Cm n ==⋅>⋅⇒+>+∑∑.【点睛】本题考查了排列数、组全数公式的应用，考查了二项式定理，考查了不等式的性质，考查推理论证能力和数学运算能力. 25．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k kk k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n . 【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 26．（1）504种；（2）1440种. 【分析】（1）由题意，分“射”排在最后一周，剩下的课程没有限制和“射”不排在最后一周从中间四周选一周，再选一门课程排在最后一周，其他没有限制，然后与加法计数原理求解. （2）由题意，分甲只任教1科和甲任教2科，然后与加法计数原理求解. 【详解】（1）当“射”排在最后一周时，5554321120A =⨯⨯⨯⨯=， 当“射”不排在最后一周时，114444444321384C C A =⨯⨯⨯⨯⨯=，120384504+=，所以“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的排法有504种.（2）当甲只任教1科时，11121454325433554341200C C C C C A A =⨯⨯⨯⨯=， 当甲任教2科时，245454432124021C A ⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯， 12002401440+=，所以甲不任教“数”的课程安排方案有1440种. 【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分步，分类计数原理的应用，属于中档题.。
2024届铜仁市重点中学高三第二学期综合练习(一)数学试题
2024届铜仁市重点中学高三第二学期综合练习（一）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．342．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 3．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 4．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,25．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为5实数m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-6．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．3B ．123C ．3D ．1838．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324B ．233C ．305D ．5211．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．24012．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
端午节特色作业一年级数学
端午节特色作业一年级数学端午节是我国传统的重要节日，也是一个充满故事和传说的节日。
一年级的学生们在这个节日里有一份特别的数学作业，让我来和大家分享一下吧。
一、数数龙舟假如你去看端午节的时候，一定会看到许多漂亮的龙舟。
我们就可以通过数数龙舟数量来练习一下数学。
首先，老师会让同学们看几艘龙舟，问同学们一共有几艘，再让同学们尝试亲自数数。
接着，老师会把数量逐渐增加，让同学们发挥自己的数数能力，说出正确的答案。
这个练习能够帮助孩子们巩固数数的能力，提高视觉辨别能力，教会孩子们通过观察和计数来解决实际问题。
二、比谁快端午节上龙舟比赛时，选手们需要在规定的时间内划船，在速度和准确性之间取得平衡。
我们可以让同学们玩一下“比谁快”的小游戏。
老师可以随机选择一些同学，让他们比赛谁能在规定时间内快速地数到一定数字。
比赛每次难度不同，不同年级的学生也可以选不同的数字进行比赛。
这个游戏能够提高孩子们的注意力和反应速度，增强孩子们对基本计算的敏感度，激发竞争意识和团队精神。
三、试试“七星不同”七星不同是端午节上的又一重要传统。
如果你是一名学习数学的学生，那么你会发现这个游戏也与数学有关。
同学们可以先了解一下七星不同的规则：七枚大小、形状相同的竹牌上有不同的图案，其中有一个图案只有一枚，其他六枚上都一样。
玩家需要在牌上找出唯一不同的那枚。
孩子们可以体验一下这个游戏，找出每轮的不同的那枚竹牌。
通过玩七星不同这个游戏，孩子们可以锻炼观察力、思考力和漏误带回忆的能力。
四、拼成吉祥图案在端午节期间，很多地方都会有挂着吉祥图案的鲜艳彩旗。
这些图案都是由五个图形组成的，而且这五个图形都非常相似。
这样的图案对孩子们的视力和空间想象力有很大的锻炼作用。
因此，老师可以让孩子们试着去拼一下这些吉祥图案。
根据年级的不同，可以选择不同的难度等级来设计图案，让孩子们在拼图的过程中不仅锻炼了空间想象力，还学习了体会工作、细心、耐心，从而提高了综合素质。
数学史作业1
数学史作业谌柳吉 2011041055 11数本（2）班第一章（1）进一步收集阅读相关材料，进行整理研究，初步探讨数学的起源与世界古老文明产生的关系.答：关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。
相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹“龙马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只“神龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。
马背上的图叫“河图”，乌龟背上的书叫做“洛书”，当“河图洛书”出现后，数学也就诞生了。
当然，这个也只不过是个传说罢了。
数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。
但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。
（3）在古埃及和古巴比伦人的数学中，大量地使用了归纳的思想.试通过对他们文献资料的研究，阐述他们是如何利用这种思想发现和得到数学结论的，并进一步探讨这种古老的思想方法对我们今天的数学研究的现实意义.答：古老的数学知识和现在的数学知识是传承的关系,是研究的先后,是树干和枝丫,不是枝丫与枝丫的关系.所以你如果认为那些知识和现代数学不一样那就错了.现在一些数学定理仍然是那个时候发现的.360度角度制就是古巴比伦人的数学成果,相信你也知道这个东西具有广泛的应用价值和实际意义.古埃及和古巴比伦人古老的数学知识是整个天文学的开端,也是最早的历法。
第二章（1）试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系.答：苏格拉底的学生柏拉图是亚里士多德制定其逻辑体系的直接先驱，他的逻辑思想大多散见于、、等著作中。
柏拉图发展了苏格拉底的学说，对概念进行过划分，提出了属和种差的定义方法。
他通过研究语法上的名词和动词构成的语句，认为单纯地说出名词或动词都不能构成语句，只有把名词和动词联结起来，加以肯定或否定，如“鸟飞”、“马跑”、“人未学习”等，才能构成语句，表达思想。
2021-2022学年新疆乌鲁木齐八中高二(下)期中数学试卷(理科)
2021-2022学年新疆乌鲁木齐八中高二（下）期中数学试卷（理科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列求导不正确的是（）A.（2x+cosx）′=2x ln2-sinxB.（x3lnx）'=3x2lnx+x2C. (2sinxx2)′=2xcosx−4sinxx3D.[（3x+5）3]′=3（3x+5）22.（单选题，5分）若复数z满足（1+3i）z=1-i（i为虚数单位），则z所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（12＜X＜52）的值为（）A. 23B. 34C. 45D. 564.（单选题，5分）已知曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，则f（6）+f′（6）=（）A.-11B.-18C.17D.305.（单选题，5分）设（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4的值为（）A.1B.-1C.81D.-816.（单选题，5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种7.（单选题，5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则P（2≤ξ＜5）=（）A.0.3B.0.35C.0.5D.0.78.（单选题，5分）已知(x2+ax )5的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（）A.5B.10C.20D.409.（单选题，5分）从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.49B.56C.64D.8410.（单选题，5分）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A.a n+1=a n+n，n∈N*B.a n=a n-1+n，n∈N*，n≥2C.a n+1=a n+（n+1），n∈N*，n≥2D.a n=a n-1+（n-1），n∈N*，n≥211.（单选题，5分）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，面的钉子，碰到钉子后皆以12直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的概率为（）A. 1128B. 7128C. 21128D. 3512812.（单选题，5分）已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2，对于∀x1∈R，x2∈（0，+∞），不等2式f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-2x2恒成立，则整数a的最大值为（）A.1B.2C.3D.413.（填空题，5分）若复数z=1-2i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一个根，则p+q=___ ．14.（填空题，5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为___ ．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=e x −12x 2−kx −1 有两个极值点，则k 的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的两个焦点为F 1（-c ，0）和F 2（c ，0）．直线l 过点F 1，F 2点关于直线l 对称点A 在C 上，且（ F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2，则椭圆C 的离心率为 ___ ．17.（问答题，10分）如图，在多面体ABCDEFG 中，矩形ADEF 、矩形CDEG 所在的平面均垂直于正方形ABCD 所在的平面，且AB=2，AF=3．（1）求多面体ABCDEFG 的体积；（2）求平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．18.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ．（1）求C 的大小；（2）若c=1，求b 2-a 2的取值范围．19.（问答题，12分）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n （n∈N *）．（Ⅰ）求证数列 {1T n } 是等差数列； （Ⅱ）设b n =（1-a n ）（1-a n+1），求数列{b n }的前n 项和S n ．20.（问答题，12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为35，25，且每局比赛的结果相互独立．（1）求甲夺得冠军的概率；（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．21.（问答题，12分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点M（x，y）的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程：（2）过点F（1，0）的直线l与曲线Γ交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆F：（x-1）2+y2=1的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ ax（a∈R）．（1）若a=1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若g（x）=af（x）+x2-2x- a2x有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．2021-2022学年新疆乌鲁木齐八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列求导不正确的是（）A.（2x+cosx）′=2x ln2-sinxB.（x3lnx）'=3x2lnx+x2C. (2sinxx2)′=2xcosx−4sinxx3D.[（3x+5）3]′=3（3x+5）2【正确答案】：D【解析】：利用求导公式表，结合复合函数求导法则，逐个判断各个选项的正误即可．【解答】：解：对于A，（2x+cosx）'=2x ln2-sinx，故A正确，对于B，（x3lnx）'=3x2lnx+ x3•1x=3x2lnx+x2，故B正确，对于C，（2sinxx2）'= 2x2cosx−2sinx•2xx4= 2xcosx−4sinxx3，故C正确，对于D，[（3x+5）3]'=3（3x+5）2•3=9（3x+5）2，故D错误，故选：D．【点评】：本题主要考查了导数的运算，属于基础题．2.（单选题，5分）若复数z满足（1+3i）z=1-i（i为虚数单位），则z所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：B【解析】：先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】：解：∵（1+3i）z=1-i，∴ z=1−i1+3i =(1−i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)= −15−25i，∴ z=−15+25i，∴ z所对应的点（−15，25）位于复平面的第二象限．故选：B．【点评】：本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．3.（单选题，5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（12＜X＜52）的值为（）A. 23B. 34C. 45D. 56【正确答案】：D【解析】：根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．【解答】：解：∵P（X=n）= an(n+1)（n=1，2，3，4），∴ a 2 + a6+ a12+ a20=1，∴a= 54，∵P（12＜X＜52）=P（X=1）+P（X=2）= 54× 12+ 54× 16= 56．故选：D．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分．4.（单选题，5分）已知曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，则f（6）+f′（6）=（）A.-11B.-18C.17【正确答案】：A【解析】：由题意直接求得f′（6），再由点（6，f（6））在切线y=-2x+3上求解f（6），则答案可求．【解答】：解：∵曲线y=f（x）在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+3，∴f′（6）=-2，又点（6，f（6））在切线y=-2x+3上，∴f（6）=-2×6+3=-9．∴f（6）+f′（6）=-9-2=-11．故选：A．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．5.（单选题，5分）设（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4的值为（）A.1B.-1C.81D.-81【正确答案】：A【解析】：根据题意，在（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=-1可得：（2×（-1）+1）4=a0-a1+a2-a3+a4，即可得答案．【解答】：解：根据题意，（2x+1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=-1可得：（2×（-1）+1）4=a0-a1+a2-a3+a4，则有a0-a1+a2-a3+a4=1故选：A．【点评】：本题考查二项式定理的应用，注意特殊值法的使用，属于基础题．6.（单选题，5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（）A.12种B.24种D.48种【正确答案】：C【解析】：根据题意，先安排“数“，然后捆绑“射”和“御”内部全排，看成一个元素和剩下的三个元素全排可求解．【解答】：解：由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有A 22 =2种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A 33 =6种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3×2×6=36种不同的排法．故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．7.（单选题，5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则P（2≤ξ＜5）=（）A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7【正确答案】：B【解析】：根据题意，由正态分布曲线的特点分析μ的值，即可得P（ξ＜5）=0.5，然后求出P（2≤ξ＜5）的值．【解答】：解：根据题意，正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞8）=0.15，则μ=5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴x=5，则P（ξ＜5）=0.5，又由P（ξ＜2）=0.15，得P（2≤ξ＜5）=0.5-0.15=0.35．故选：B．【点评】：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，涉及正态分布中两个量μ和σ的应用，属于基础题．8.（单选题，5分）已知(x2+ax )5的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（）A.5B.10C.20D.40【正确答案】：B【解析】：根据二项式定理展开式，即可解出．【解答】：解：令x=1得，（1+a）5=32，解得a=1，）5展开式中的x4的系数，即（x 2+1x∴ C52(x2)3(x−1)2 =10x4，故选：B．【点评】：本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.49B.56C.64D.84【正确答案】：C【解析】：分别在甲、乙有且仅有1人入选和甲、乙2人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加法计数原理可求得结果．【解答】：解：甲、乙有且仅有1人入选、丙没有入选的情况有：C21C82=56种；甲、乙2人都入选、丙没有入选的情况有：C81=8种；∴甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有56+8=64种．故选：C．【点评】：本题主要考查排列组合计数问题，排列组合的实际应用等知识，属于基础题．10.（单选题，5分）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A.a n+1=a n +n ，n∈N *B.a n =a n-1+n ，n∈N *，n≥2C.a n+1=a n +（n+1），n∈N *，n≥2D.a n =a n-1+（n-1），n∈N *，n≥2 【正确答案】：B【解析】：根据题意，结合等差数列的求和公式算出a n =1+2+3+…+n= n (n+1)2，由此再对各个选项加以判断．【解答】：解：根据题意，可得a 1=1，a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，… 发现规律：a n =1+2+3+…+n= n (n+1)2， 而a n+1-a n =(n+1)(n+2)2-n (n+1)2 = n+12[（n+2）-n]=n+1 故a n+1=a n +n+1成立， 即a n =a n-1+n ，n∈N *，n≥2， 故选：B ．【点评】：本题给出图形的特殊排列，叫我们依此判断命题的真假．着重考查了等差数列的通项与求和公式、数列递推式的推导等知识，属于中档题．11.（单选题，5分）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以 12 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第 ③ 个格子的概率为（ ）A. 1128B. 7128C. 21128D. 35128【正确答案】：C【解析】：其落在第③个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，由此能求出其落在第③ 个格子的概率．【解答】：解：从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，∴从入口放进一个白球，则其落在第③ 个格子的概率为：P= C72(12)2(12)5= 21128．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．12.（单选题，5分）已知函数f(x)=(x−1)e x−a2x2，对于∀x1∈R，x2∈（0，+∞），不等式f（x1+x2）-f（x1-x2）＞-2x2恒成立，则整数a的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：原不等式变形可得f（x1+x2）+（x1+x2）＞f（x1-x2）+（x1-x2），令g（x）=f（x）+x，则问题转化为对任意x1∈R，x2∈（0，+∞），有g（x）在R上单调递增，然后对函数g（x ）求导，可得g′（1）≥0，求得a=3，再验证即可．【解答】：解：∵f （x 1+x 2）-f （x 1-x 2）＞-2x 2，又-2x 2=（x 1-x 2）-（x 1+x 2），∴f （x 1+x 2）-f （x 1-x 2）＞（x 1-x 2）-（x 1+x 2），即f （x 1+x 2）+（x 1+x 2）＞f （x 1-x 2）+（x 1-x 2），令g （x ）=f （x ）+x ，则g （x 1+x 2）＞g （x 1-x 2），∴对任意x 1∈R ，x 2∈（0，+∞），有g （x ）在R 上单调递增， ∵ g (x )=(x −1)e x −a2x 2+x ， ∴g′（x ）=xe x -ax+1≥0在R 上恒成立， 又g′（1）=e-a+1≥0，则a≤e+1＜4，下证a=3时符合题意，此时g′（x ）=xe x -3x+1， 易知当x≤0时，g′（x ）=xe x -3x+1≥xe x +1，考查函数y=xe x ，y′=（x+1）e x ，易知函数y=xe x 在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，∴ (xe x )min =−1e ，故 g′(x )≥1−1e ＞0 ；当x ＞0时，g′（x ）=xe x -3x+1＞x （x+1）-3x+1=x 2-2x+1=（x-1）2≥0； ∴符合条件的最大整数为3． 故选：C ．【点评】：本题考查不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查转化思想，函数与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.（填空题，5分）若复数z=1-2i （i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，则p+q=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：由已知条件可得， z =1+2i 也是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，再结合韦达定理，即可求解．【解答】：解：∵复数z=1-2i （i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根，∴ z =1+2i 也是关于x 的方程x 2+px+q=0（p ，q∈R ）的一个根， ∴ {1+2i +1−2i =−p (1+2i )(1−2i )=q ，解得 {p =−2q =5 ， ∴p+q=-2+5=3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查共轭复数的概念，以及韦达定理，属于基础题．14.（填空题，5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为___ ． 【正确答案】：[1] 717【解析】：设事件A ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P （A ）= 85100 ，P （AB ）= 35100 ，再利用条件概率的概率公式即可求出结果．【解答】：解：设事件A ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次， 事件B ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次， 则P （A ）= 85100 ，P （AB ）= 35100 ，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为P （B|A ）= P (AB )P (A ) = 3510085100=3585 = 717 ，故答案为： 717 ．【点评】：本题主要考查了条件概率，是中档题．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )=e x −12x 2−kx −1 有两个极值点，则k 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x ）=e x -x-k 有两个不同根，利用参数分离法进行转化求解即可．【解答】：解：函数f （x ）=e x - 12x 2-kx-1有两个极值点， ∴f′（x ）=e x -x-k=0有两个不同根， ∴k=e x -x ， 设g （x ）=e x -x ，∴g′（x ）=e x -1，令g′（x ）=0，解得x=0，当x ＜0时，g′（x ）＜0，函数单调递减， 当x ＞0时，g′（x ）＞0，函数单调递增， ∴g （x ）min =g （0）=1，当x→-∞时，g （x ）→+∞，当x→+∞时，g （x ）→+∞， ∴k ＞1，故答案为：（1，+∞）．【点评】：本题主要考查导数的综合应用，结合函数极值与导数之间的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 16.（填空题，5分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的两个焦点为F 1（-c ，0）和F 2（c ，0）．直线l 过点F 1，F 2点关于直线l 对称点A 在C 上，且（ F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2，则椭圆C 的离心率为 ___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：由向量线性运算化简已知等式得到 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2 ，由向量数量积定义可求得|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， cos∠F 1F 2M =12 ，可知△AF 1F 2为等边三角形；利用椭圆定义可得4c=2a ，进而可得椭圆离心率．【解答】：解：设AF 2与直线l 交点为M ，则M 为AF 2中点，AF 2⊥F 1M ；∵ (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 2F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c 2 ，∴ |F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠F 1F 2A =|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||F 1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2c 2 ，∴ |F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ， |AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，∴ cos∠F 1F 2M =c 2c =12 ，则 ∠F 1F 2M =π3 ，又 |AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，∴△AF 1F 2为等边三角形，则 |AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， 由椭圆定义知： |AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4c =2a ， ∴椭圆离心率 e =ca =12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题． 17.（问答题，10分）如图，在多面体ABCDEFG 中，矩形ADEF 、矩形CDEG 所在的平面均垂直于正方形ABCD 所在的平面，且AB=2，AF=3． （1）求多面体ABCDEFG 的体积；（2）求平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）利用补形法和体积差减去三棱锥B-FHG 的体积即可；（2）以A 为坐标原点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BFG 与平面ADEF 的法向量 m ⃗⃗ =(1，−1，23)，n ⃗ =(1，0，0) ，求出 〈m ⃗⃗ ，n ⃗ 〉 ，并结合立体图形判定二面角为锐角，从而进一步求出二面角余弦值即可．【解答】：解：（1）∵AF⊥AD ，∴AF⊥平面ABCD ， 同理ED ，GC 均与平面ABCD 垂直，故可将多面体补成如图所示的长方体ABCD-FHGE ，此长方体体积为2×2×3=12，三棱锥B-FHG 的体积为 13×2×3=2 ， 故此多面体的体积为10；（2）以A 为坐标原点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，2，0），F （0，0，3），G （2，2，3）， ∴ BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，3)，FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2，0) ，设平面BFG 的法向量为 m ⃗⃗ =(x ，y ，z) ， 则 {−2x +3z =02x +2y =0 ，令x=1得 m ⃗⃗ =(1，−1，23) ，又ABCD 为正方形，∴AB⊥AD ，故AB⊥平面ADEF ， ∴ n ⃗ =(1，0，0) 为平面ADEF 的一个法向量， cos〈m ⃗⃗ ，n ⃗ 〉=1√1+1+49⋅1=3√2222， 故平面BFG 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值为3√2222．【点评】：本题考查了几何体体积的计算，向量法解决二面角的平面角问题，属于中档题． 18.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ． （1）求C 的大小；（2）若c=1，求b 2-a 2的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合同角平方关系及正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求cosC ，进而可求C ；（2）由正弦定理表示a ，b ，代入到所求式子后，结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数性质可求．【解答】：解：（1）因为 cos 2C −cos 2A =√3sinAsinB −sin 2B ， 所以1-sin 2C-1+sin 2A= √3 sinAsinB-sin 2B ， 由正弦定理得，a 2+b 2-c 2= √3ab ， 故cosC= a 2+b 2−c 22ab = √32，由C 为三角形内角得C= π6； （2）由正弦定理得2R= csinC =2， 因为 {0＜A ＜π20＜5π6−A ＜π2 ，所以 π3＜A ＜π2 ， 所以 5π6＜2A +π6＜7π6 ， 所以 −12＜ sin （2A+ π6 ） ＜12 ， 所以a=2sinA ，b=2sinB ， 所以b 2-a 2=4（sin 2B-sin 2A ）=4（1−cos2B2−1−cos2A2 ）=2（cos2A-cos2B ）=2cos2A-2cos （ 5π3−2A ）=cos2A+ √3 sin2A=2sin （2A+ π6 ）∈（-1，1）．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n =2-2a n （n∈N *）． （Ⅰ）求证数列 {1T n} 是等差数列；（Ⅱ）设b n =（1-a n ）（1-a n+1），求数列{b n }的前n 项和S n ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知，令n=1可求T 1，然后利用已知变形可得： T n =2−2Tn T n−1 ⇒T n •T n-1=2T n-1-2T n （n≥2），变形即可证明（Ⅱ）由等差数列，可求1T n，进而可求a n，代入即可求解b n，结合数列的特点考虑利用裂项求和【解答】：解：（Ⅰ）∵T n=2-2a n∴T1=2-2T1∴ T1=23∴ 1 T1=32（1分）由题意可得：T n=2−2T nT n−1 ⇒ T n•T n-1=2T n-1-2T n（n≥2），所以1T n −1T n−1=12（6分）∴数列{1T n }是以12为公差，以32为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列{1T n}为等差数列，∴ 1 T n =n+22，∴ a n=n+1n+2，（8分）∴ b n=1(n+2)(n+3)（10分），∴ S n=13×4+14×5+⋯+1(n+2)×(n+3)= (13−14)+(14−15)+⋯+(1n+2−1n+3) = 13−1n+3=n3n+9（12分）【点评】：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．20.（问答题，12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为35，25，且每局比赛的结果相互独立．（1）求甲夺得冠军的概率；（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【正确答案】：【解析】：（1）记事件A i：“甲在第 i 局比赛中获胜”，（i=1，2，3），事件A‾i：“甲在第i 局比赛中末胜”．（i=1，2，3），记事件A：“甲夺得冠军”，分析事件A包含的情况，直接求概率；（2）X的可能取值：3，4，5．分析比赛过程，分别求概率，写出分布列，计算数学期望．【解答】：解：记事件A i=“甲在第i局比赛中获胜”，（i=1，2，3），事件A i=“甲在第i局比赛中未胜”．（i=1，2，3）显然P(A i)=35，P(A i)=1−P(A i)=25，（i=1，2，3）．（1）记事件A=“甲夺得冠军”，则P(A)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=(35)2+35×25×35+25×(35)2=81125．（2）设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知Y=2或Y=3．则P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=(35)2+(25)2=1325，故P(Y=3)=1−P(Y−2)=1225．记N1=“第i局比赛后抽到新球”，N i=“第i局比赛后抽到旧球”．由题意知、比赛前盒内有6颗新球，比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时P（N1）= 56，P(N1)=16，若N1发生，则比赛2局后，盒内有 4 颗新球，2颗旧球，此时P(N1N2)=56×46=59，P(N1N2)=56×26=518．若N1，发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，故下次必取得新球．即P(N1N2)=16×1=16．于是P(X=3)=P(Y=3)P(N1N2)=1225×59=415，P(X=4)=P(Y=2)P(N1)+P(Y=3)P(N1N1)+P(Y=3)P(N1N2)=1325×56+1225×518+12 25×16=97150．P(X=5)=P(Y=2)P(N1)=1325×16=13150．故X的分布列为：故X的数学期望EX=3×40150+4×97150+5×13150=19150．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点M（x，y）的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程：（2）过点F（1，0）的直线l与曲线Γ交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆F：（x-1）2+y2=1的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据所给条件，得D点的参数方程，消去参数即可；（2）作图，联立方程，分别求出OP，OQ，OM，ON的长度即可求解．【解答】：解：（1）设动圆的圆心为（a，0），因为经过（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，则a＞-2，半径为a+4，圆的方程为（x-a）2+y2=（a+4）2，与x轴的另一个交点为B（2a+4，0），与y轴的交点为C（0，y），即x=2a+4，y2=8a+16，∴y2=4x，即Γ 的方程为y2=4x；（2）由（1）作下图：设过F 点的直线方程为x=my+1，显然m 是存在的，联立方程： {y 2=4x x =my +1，得y 2-4my-4=0， ∴y 1+y 2=4m… ① ，y 1y 2=-4… ② ，设P （t 2，2t ），Q （s 2，2s ），代入 ① ② 得ts=-1，t+s=2m … ③则直线OP 的方程为y= 2t x ，直线OQ 的方程为y= 2s x ，联立方程： {(x −1)2+y 2=1y =2t x， 解得M （ 2t 2t 2+4 ， 4t t 2+4 ），同理N （ 2s 2s 2+4 ， 4s s 2+4 ）， ∴|OM|= √(2t 2t 2+4)2+(4t t 2+4)2 = √4t 2t 2+4 = √t 2+4同理可得：|ON|= √s 2+4∴|OP|= √(t 2)2+(2t )2 =2|t| √t 2+4 ，|OQ|=2|s| √s 2+4 ，∴ S △OMN S △OPQ = |OM|•|ON||OP|•|OQ| = 4(t 2+4)(s 2+4) = 4(ts )2+4(t 2+s 2)+16 ④ ， 由 ③ 得t 2+s 2=（t+s ）2-2ts=4m 2+2，代入 ④ 得：S △OMN S △OPQ = 416m 2+25， 显然当m=0时最大，最大值为 425 ．【点评】：本题考查了抛物线方程及直线与抛物线的综合问题、也考查了学生的计算能力，关键在于先作图，设点P，Q的坐标，求出M，N点的坐标，由于△OMN与△OPQ 顶角∠MON 相同，只要计算边长乘积之比即可，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ ax（a∈R）．（1）若a=1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若g（x）=af（x）+x2-2x- a2x有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）求出g（x）的导数，根据函数g（x）有两个极值点x1，x2，分离参数m，将问题转化为m≤（1-x1）- 11−x1 +2x1lnx1恒成立，令h（t）=1-t- 11−t+2tlnt（0＜t＜12），求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的取值范围即可．【解答】：解：（1）a=1时，f（x）=lnx+ 1x，定义域是（0，+∞），∴f′（x）= 1x - 1x2= x−1x2，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故当x=1时函数有极小值f（1）=1，无极大值；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）= 1x - ax2= x−ax2，① a≤0时，x-a＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，② a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，a ＞0时，f （x ）在（0，a ）递减，在（a ，+∞）递增；（3）g （x ）=af （x ）+x 2-2x- a 2x=alnx+x 2-2x ，定义域是（0，+∞），g （x ）有2个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），即g′（x ）= a x +2x-2= 2x 2−2x+a x =0， 则2x 2-2x+a=0有2个不相等实根x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），∴Δ=4-8a ＞0，a ＞0，解得：0＜a ＜ 12 ，且x 1+x 2=1，a=2x 1-2 x 12从而0＜x 1＜ 12 ＜x 2＜1，由不等式g （x 1）≥mx 2恒成立，得m≤ g(x 1)x 2= x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)lnx 11−x 1 =（1-x 1）- 11−x 1 +2x 1lnx 1恒成立， 令h （t ）=1-t- 11−t +2tlnt （0＜t ＜ 12 ），当0＜t ＜ 12 时，h′（t ）=1- 1(1−t )2 +2lnt ＜0恒成立， 故函数h （t ）在（0， 12 ）上单调递减，∴h （t ）＞h （ 12 ）=- 32 -ln2，故实数m 的取值范围是（-∞，- 32 -ln2]．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．。
践行五育精彩数学
践行五育精彩数学李政涛教授提出：人的成长发展，不仅是全面发展，更是融合发展。
每一种教育教学行为，都可能对孩子的生命成长具有综合影响，产生综合效应，各育的成长效应往往是相互贯穿、相互渗透和相互滋养的。
而在过去的学科教学中，注重强调学科本位，重智育轻它育，学科之间缺乏整合和融通，这样的教学理念不利于学生综合素养的提高。
只有在学科教学中渗透“五育融合”思想，学科间相互融通，才能让学生在多方面得到发展，才能培养学生健全的人格。
那“五育融合”在小学数学教育中如何落实？如何将“五育融合”思想与小学数学教学全面融合呢？现结合课堂教学实例，谈谈自己的感悟。
一、情境创设中融入“五育”思想《数学课程标准》指出：“数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，激发学生对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。
”情境来源于我们的生活，因此，情境创设可以成为渗透“五育融合”的一个重要途径。
在我们的生活中，处处都有正能量的资源，大到国家热点、疫情防控、抗震救灾，小到衣食住行、一日常规、一日三餐等，都可以作为我们创设情境的素材。
只要在教学中融入这些正能量的资源，那将对学生产生潜移默化的影响。
长此以往，就会让学生形成正确的人生观、价值观、审美观。
如我校一位老师执教“小数的初步认识”时，就以疫情的防控为情境贯穿整节课。
首先以我国向其他疫情中国家捐献抗疫物资引入新课，通过呈现一组组抗疫物资的数据引入整数与小数，让学生进行分类，从而巧妙地引入新课的学习。
这一情境，让学生感受到在疫情中我们国家作为大国的担当，增强了学生的民族自豪感，德育为先的思想体现得淋漓尽致。
在练习中，继续延续了这一情境，84岁高龄的钟南山爷爷，仍然身形矫健，抗战在疫情的第一线，那是因为钟爷爷坚持锻炼身体，他还曾在全运会上以54.4秒的成绩创造了男子400米的全国记录。
这一情境不仅巧妙地引入练习，更让学生们惊叹钟爷爷体育方面的出色，让孩子们知道了只有拥有强壮的体魄，顽强的意志，才能克服学习中遇到种种困难。
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第1讲 相同与不同
班级 姓名 星级 ★ 把图中的东西分类，你有几种分法？
★★★1.有四只灯笼，每只灯笼上都写着四行数，其中有一行的规律与其他三行不相同，你能找出来在旁边打√吗？
2.从每组图形中选出与众不同的一个打√。
★ ★★★★ 下面每张卡片中都有规律地排着五行数，请你把两张卡片中规律相同的行用线连起来。
第2讲哪杯水更甜
班级姓名星级
★
把方糖放进杯子里，哪杯水最甜？
1号 2号 3号 4号
★★★
下面三个容器一样大，它们各装了一部分水。
如果在三个容器里放入同样多的盐，哪个容器里的盐水最淡？（）
1号 2号 3号
★★★★★
瓶子里放进2个球后，水面升高了1格。
如果放进去同样的4个球，水面升高了几格？要使水面升高3格，应该放进去几个球？
第3讲认图形
班级姓名星级
★
1.沿着虚线对折后，会变成什么样子呢？请在下图中找出来，并用线连起来。
2.照左边图形的样子，在右边相关的位置画图形。
★★★
1.上面的5个图形打开后，会变成下面5个图形中的哪一个？画线连连看。
2.上面积木图的倒影分别是下面的哪一个？画线连一连。
★★★★★
在左边的图形中找出与右边一样的图形，并描出来。
第4讲找朋友
班级姓名星级
★
1．把有关系的东西连起来。
2．哪两样东西合起来比较合适？说一说合在一起的用处。
★★★
1．有5位小朋友，四堆苹果，如果每位小朋友可以吃两个苹果，要挑哪堆苹果？
2．有一位老师、2位男同学、3位同学一起去种树，如果每位老师种3棵小树，每位男同学种2棵小树，每位女同学种1棵小树，请问他们种的是哪堆排树？
★★★★★
1.单人床只能睡一个小朋友，双人床能睡两个小朋友，7位小朋友如果都要睡单人床，要几张？如果都要睡双人床，要几张？如果单人床、双人床都要睡，有哪几种睡法？
第5讲移多补少
班级姓名星级
★
1．先摆一摆，再回答：
第一行：
第二行：
从第二行拿（）支笔到第一行，两行笔的支数就相等了？
2.要使两边的苹果一样多，应该从右边拿（）个到左边。
★★★
1．按要求画一画：
第一行：
第二行：
从第二行拿2个○放到第一行，两行的○个数就相等，第二行应画几个○？请画在横线上。
★★★★★
小亮有：
小红有：
小明有：
①小红给小亮（）朵花，两人的花就一样多。
②如何调整使他们三人花的朵数一样多？（可以在上图中画箭头表示）
③小明给小亮（）朵花以后，小明还比小亮多1朵。
第6讲 巧填数
班级 姓名 星级 ★ 空格里应该填几？
① 把5,6,7,8这几个数，分别填在
里（每个数字只能用一次）。
②
把3,4,5,6,7,8
这几个数，分别填在。
③ 把4,5,8,9
分别填入下面的
中（每个数字只能用一次）。
★ ★★ 填上合适的数，使每条线上3个数的和相等。
★ ★★★★
① 从1,2,3,4,5，6,7七个数中，找出两个数相加和相等的三对数。
② 填上数，使每条线上的三个数相加都等于15。
③ 把3,4,6,7四个数填在四个○里，使横行、竖行三个数相加都得14。
第7讲 趣味计算
班级 姓名 星级
★
★★★
1．把3、4、5、6、7、8这几个数，分别填在（ ）里。
（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）
2．已知■ - ▲ = 8，
※ + ※ = 10， ※ + ▲ = 15， ■ - ※ =（ ）
★★★★★
1．一个盒子里有许多卡片，卡片上分别写着7、8、9。
强强从盒子里摸出两张卡片，把这两张卡片上的数相加，得数是几？有哪些可能？
2．从1-9几个数中，各选一个填入（ ）里。
（每个数字只能用一次）
（ ）+（ ）+（ ）=（ ）+（ ）
( )个
第8讲图形中的规律班级姓名星级
★
1、找规律画。
★★★
1、按规律在空格里填合适的图。
（1）（2）（3）（4）
2、根据规律连线。
★★★★★
1、请按照一定的规律涂上你喜欢的颜色。
2、先找规律，再继续往下画。