高中数学《直线与平面垂直的判定》导学案

6.1垂直关系的判定

第一课时直线与平面垂直的判定

[学习目标] 1.理解直线与平面垂直的定义． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理． 3.会利用判定定理证明或判断有关垂直的问题.

【主干自填】

1．直线与平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面内的□01任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理

【即时小测】

1．思考下列问题

(1)旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？

提示：异面垂直．

(2)如果平面外一条直线l与平面α的两条相交直线垂直，那么l与α的位置

关系是什么？

提示：垂直．

2．下列说法中正确的是()

A．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α

B．如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α

C．如果直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线

D．如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直

提示：D如图所示，

直线l与α内的无数条直线垂直．但l与α斜交，故A不正确；同理B也不正确；同样由图，l不垂直于α，但α内有与l垂直的直线，且这样的直线有无数条，故C不正确，D正确．

3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

提示：C选项A中的m，n可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误；选项B中的α与β可以平行，也可以相交，故B错误；选项C是直线与平面垂直的重要结论，故C正确；选项D中的m与β的位置关系可以是平行、相交、m 在β内，故D错误．

4．如果一条直线垂直于①三角形的两边，②梯形的两边，③圆的两条直径，④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面图形所在平面垂直的是()

A．①③B．②

C．②④D．①②④

提示：A由直线与平面垂直的判定定理可知，①③能保证该直线与平面垂直，②④不能．因为梯形和正六边形中有平行的两条边．

例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.

求证：(1)AC⊥平面B1D1DB；

(2)BD1⊥平面ACB1.

[证明] (1)∵BB1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，

∴BB1⊥AC.

又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，

∴AC⊥平面B1D1DB.

(2)连接A1B.

由(1)知AC⊥平面B1D1DB，

∵BD1平面B1D1DB，

∴AC⊥BD1.

∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，

∴A1D1⊥AB1.

又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，

∴AB1⊥平面A1D1B.

∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，

又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.

类题通法

线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.

[变式训练1]如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

证明(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.

在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.

又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.

∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.

(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.

又由(1)知SD⊥平面ABC，

∵BD平面ABC，∴SD⊥BD.

∵AC∩SD＝D.∴BD⊥平面SAC.

例2如图，已知四棱锥S－ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AE ⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.

(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.

[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.

又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.

∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.

又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.

又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.

∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.

(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥DC.

又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.

又AG平面SAD，∴DC⊥AG.

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，

∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.

∵SD平面SDC，∴AG⊥SD.

类题通法

线线垂直的证明方法

(1)由线面垂直的定义，即l⊥α，aα⇒l⊥a.

(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．

[变式训练2]如图，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.

证明取BD中点为E，连接AE，CE.

∵AB＝AD，∴AE⊥BD.

又∵CB＝CD，∴CE⊥BD.

而AE∩CE＝E，

∴BD⊥平面AEC.

又∵AC平面AEC，

∴AC⊥BD.