哈工大研究生数值分析试题及答案

2 10
3 3
2 4
x1 x2
5 13
；
3 6 1 x3 9
（2）用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。
（取 v0 (0, 0,1)T ，计算迭代三次的值）
解： （1）Crout 三角分解：
2 A 130
3 3 6
2 2
4 1
10 3
12 3 2
xn1
xn
f (xn ) f (xn )
xn
xn3 xn2 8xn 12 3x2 2x 8
2xn2 3xn 6 3xn 4
x1
2x02 3x0 3x0 4
6
x2
2x12 3x1 3x1 4
6
x3
2x22 3x2 3x2 4
6
2. 设常数 a 0 ，求出 a 的取值范围使得解方程组
a b3
迭代矩阵 BJ 的特征方程：
0 2 1 a 2 1
E BJ
1 a
2 1
0 3
03
1 a
2 1
a 3 0 3 a
即： (a)3 14(a) 0
特征根： 0, 14 i a
谱半径： (BJ )
14 1 时 Jacobi 迭代收敛 a
故： a 14
3. 设（1）用 Crout 三角分解法求解方程组
Fra Baidu bibliotek
由 H (1) H (1) 1, H (2) 1，得
abc 1 2a 3b 4c 1 a 2b 4c 1
得a 9,b 3,c 1
4
24
H (x) 1 x2 (x 3)2 4
误差： E(x) f (x) H (x) f (5) ( ) x2 (x 1)2 (x 2), (0, 2) 5!
a
2
2 a
1 3
x1 x2
b1 b2
1 3 a x3 b3
的 Jacobi 迭代法收敛。 解： Jacobi 迭代：
x(k 1) BJ x(k ) g
a
1 0 2 1
0 2 1
BJ
a
a
2 1
0 3
03
1 a
2 1
0 3
3 0
a
1 b1
g
a
b2
4
4
H (x) 3 x 1 x 1 (x 3)(x 0)(x 1)(x 2) 224
1 x2 (x 3)2 4
误差： E(x) f (x) H (x) f (5) ( ) x2 (x 1)2 (x 2), (0, 2) 5!
6. 试求求积公式
2 2
f
( x)dx
A0
f
f (x) 6x 2
f (3) 0, f (3) 0 ， f (2) 0, f (2) 0, f (2) 10 0
则： 3 是 f (x) 0 的单根，故 Newton 迭代在 3 附近是平方收敛；
2 是 f (x) 0 的二重根，故 Newton 迭代在 2 附近是线性收敛；
取 x0 2 ，Newton 迭代：
xn )
f [x1,, xn ]
由差商与导数关系，有
f [x1,, xn ]
f (n1) ( ) ,
(n 1)!
[1, n]
将 xi i, (i 1, 2,, n), f (x) xk , (k 0,1,n 2) 代入上面两等式，有
n
ik
0
i1 (i 1)(i i 1)(i i 1)(i n)
n
ik
0
i1 (i 1)(i i 1)(i i 1)(i n)
证明： 设 xi i, i 1, 2,, n
f (x) xk , k 0,1,n 2
由插值多项式的唯一性，比较 Lagrange 与 Newton 插值最高项系数得：
n
i 1
( xi
x1)(xi
f (xi ) xi1)(xi xi1)(xi
方法一：满足 H (0) 0, H (1) H (2) 1 的插值多项式为：
p2 (x)
3 2
x
1 2
x2
设： H (x) p2 (x) ( A Bx)(x 0)(x 1)(x 2)
H (0) 3 2B 0,
由
2
H (1) 1 ( A B) 1
2
得：由 A 1 , B 3
0, 0,1T
1
v1
Au0
2, 4,1T
， u1
v1 max(v1 )
0.5,1, 0.25T
4
v2 Au1
,
,
T
， u2
v2 max(v2 )
0.5,1, 0.8611T
9
v3 Au2
,
,
T
， u3
v3 max(v3 )
0.5,1, 0.7306T
，
11.44
4. 试利用插值多项式证明：对 k 0,1,, n 2 恒有等式
1. x 3, 2 分别是方程 x3 x2 8x 12 0 的根；讨论用 Newton 迭代法求它们近似值的收敛
阶。取初值 x0 2 计算根 x 3 的近似值，要求迭代 3 次。（结果保留 4 位小数） 解： 设 f (x) x3 x2 8x 12
f (x) 3x2 2x 8
得： A0 A1 2
求积公式： 2 f (x)dx 2 f ( 2 3 ) 2 f ( 2 3 )
2
3
3
令 f (x) x2, x3 求积公式准确成立的， f (x) x4 求积公式不是准确成立的，
(
23 3
)
A1
f
(2 3 3
)
的求积系数 A0 , A1
，使得其有尽可能高
的代数精度，是否是 Gauss 型的？并用此公式计算积分 2 sin xdx （结果保留 5 位小数）。 0
解： 令 f (x) 1, x 求积公式准确成立，有：
A0 A1 4
A0
(
2
3 3
)
A1 (
2
3 3
)
0
11 4
1
3 2
1
1
1 2 1
LU
2
L
10
3
12 3 2
，U
11
4
1
3 2
1
1
1
2 1
Ax
b
Ly Ux
b y
求解
Ly
b
得
y
5 2
,1,
0
T
求解Ux y 得 x 1,1, 0T
（2）
v0
(0, 0,1)T
， u0
v0 max(v0 )
n
i 1
ik (i 1)(i i 1)(i i 1)(i n)
f [x1,, xn ]
f (n1) ( ) (n 1)!
0
5. 求 4 次 Hermit 插值多项式 H (x) ，满足：
H (0) H (0) 0, H (1) H (1) 1, H (2) 1 并写出误差表达式。 解： 方法一：因 H (0) H (0) 0 ，故设： H (x) x2 (a bx cx2 )