直线与方程经典例题与课时训练(含答案版)

直线与方程例题

1、直线的倾斜角与斜率

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )

(2)一个倾斜角α不能确定一条直线．( )

(3)斜率公式与两点的顺序无关．( )

【解析】 (1)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．

(2)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.

(3)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．

【答案】(1)×(2)√(3)√

2．斜率不存在的直线一定是( )

A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线

D．垂直于过原点的直线

【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．

【答案】B

3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )

A．－

3 2

C．－1 D．1

【解析】k AB＝y＋3

4－2

＝tan 45°＝1，即

y＋3

2

＝1，∴y＝－1.

【答案】C

4．如图1­1所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3

之间的大小关系为________．

图1­1

【解析】设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，

所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1

【答案】k1

5．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．

【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，

∴k AB＝k BC，

∴2－－1

0－－3

＝

4－2

m－0

，

∴m＝2.【答案】2

6．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求y＋1

x＋1

的取值

范围.

【解】y＋1

x＋1

＝

y－－1

x－－1

的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的

直线的斜率．

∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，

设直线NA，NB的斜率分别为k NA，k NB.

∵k NA＝5

3

，k NB＝－

1

6

，∴－

1

6

≤

y＋1

x＋1

≤

5

3

.

∴

y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－16，53.

2、直线的方程

1．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________．

【解析】 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2)．

【答案】 (3,2)

2．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )

A ．(2,3)

B ．(－2,3)

D ．(－2,0)

【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨

⎧

x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，

得⎩⎨

⎧

x ＝－2，y ＝3，

所以直线过定点(－2,3)．

【答案】 B

3．方程y ＝ax ＋1

a

表示的直线可能是图中的( )

【解析】 直线y ＝ax ＋1

a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1

a

.当a >0时，斜率

a >0，在y 轴上的截距1a >0，则直线y ＝ax ＋1

a 过第一、二、三象限，四个选项都

不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，则直线y ＝ax ＋1

a

过第二、

三、四象限，仅有选项B符合．

【答案】B

4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0

C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0

【解析】k AB＝

1－3

－5－1

＝

1

3

，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y

－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.

【答案】B

3、直线的交点坐标和距离公式

1．已知点A(－1,2)，点B(2,6)，则线段AB的长为__________．

【解析】由两点间距离公式得|AB|＝2＋12＋6－22＝5.

【答案】5

2．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.

【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|

1＋1

＝2 2.

【答案】22

3．已知x＋y－3＝0，则x－22＋y＋12的最小值为________．【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，

则点P在直线x＋y－3＝0上，

且x－22＋y＋12＝|PA|.

|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝|2＋－1－3|

12＋12

＝ 2.

【答案】2

4．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )