第五章修改)线性系统的设计与综合

证明：设原系统 .
S0 的动态方程为：
x Ax Bu
y Cx
先证引入u=v-kx的状态反馈后系统 SR
的动态方程为：x. ( A BK)x BV
y Cx
先证 SR能控的充要条件是 S0能控：
S0的能控性阵：Sc B AB An1B
SR的能控性阵：
ScR B (A BK )B (A Bk )n1B
rank CT rank CT rank CT
ATCT ( AT )n1CT ( AT CT H T )CT ( AT CT H T )n1CT ( A HC )T CT (( A HC )T )n1CT
2)证明能控性不变： 设原系统能控 ( AT ,CT , BT ) 能观
由于 B b1 b2
bp Rnp
AB Ab1 Ab2 Abp
(A Bk)B (A Bk)b1 (A Bk)b2 (A Bk)bp
式中 bi (i 1,2,, p) R pn 列向量组成
则： (A Bk )bi Abi b1
b2
k1bi
bp
k2bi
k
pbi
S0 (BT )T (AT )T (BT )T ((AT )T ))n1(BT )T B AB An1 B SC
系统 (( AT CT H T ), CT , BT ) 的能控性阵 ：
S0H (BT )T (AT CT HT )T (BT )T ((AT CT HT )T ))n1(BT )T B (A HC)B (A HC)n1 B S0H
B AB A2B 列的线性组合。
(A Bk )n1B的列 (A Bk )n1bi是
B AB An1B 列的线性组合。
rank SCR rank SC
另一方面： S0 SR 的状态反馈系统
.
x Ax Bu [(A Bk ) Bk ]x bu
rank SC rank SCR 或：S0是由 SR经初等变换得到，而初等变
第五章 线性系统的设计与综合
5.1 状态反馈与输出反馈 5.2 闭环系统的能控性与能观性 5.3 单输入／多输出系统的极点配置 5.4 状态反馈对系统零极点的影响 5.5 输出反馈实现极点配置 5.6 全维状态观测器及其设计
教学要求： 1.熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置 2.熟练掌握状态观测器设计方法 3.掌握分离原理，降维观测器设计方法
令：A
bK
A'
0 1
1 0
rank b A'b rank10
1 0
2
能控
C
0 1
rank
CA'
rank
0
0 1
不能观
原系统：
G
(s)
C(sI
A)1b
s s2 1
闭环系统： GK
(s)
C(sI
A' )1b
C(百度文库I A bK)1b 1 s
引入状态反馈后出现零极点对消
2. 定理2：输出至参考输入的反馈不改变 原系统的能观性与能控性．
3. 定理3：输出至状态微分的反馈不改变 原系统的能观性，但可能改变原系统 的能控性．
证明：
1) 用对偶原理证明能观性不变
设原系统 S0 : ( A, B,C)，输出反馈的系统
SH : (( A HC ), B,C)
若原系统 (A, B,C) 能观 对偶系统
( AT ,CT , BT )能控。 由定理1可知，系统 ( AT ,CT , BT )引入状态 反馈后的系统 (( AT CT H T ), CT , BT ) 能 控性不变 能观性不变。
K R pn ----状态反馈阵 状态反馈系统： .
x (A BK)x BV
若Ｄ=0，
y (C DK)x DV
特征方程 Gk (s) C(sI A BK )1 B
a() I A BK 0
2. 输出反馈
.
a. 输出反馈至参考微分处( x)
.
u
Ｂ
+ x 1/S x Ｃ
y
+
-
Ａ
H
重点内容： • 状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理 • 单输入、多输出系统的极点配置 • 全维与降维观测器的设计 • 状态反馈与观测器的工程应用
5. 1 状态反馈与输出反馈
1. 状态反馈
.
x Ax Bu
设原系统： y Cx Du
Ｖ
Ｂ+
-u
Ｄ
.
x 1/S x
+
Ａ
Ｃ+ + y
Ｋ
状态反馈控制律：u v Kx 其中： v R p 输入
比较：输出反馈 y Rq q n
H,F选择的自由度比K小，输出反
馈 部分状态反馈。
C=I,FC=K时，才能等同状态反馈。 因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但
输出反馈实现较方便，而状态反馈不能测 量的状态变量需用状态观测器重构状态。
5.2 闭环系统的能控性与能观性
1. 定理1：状态反馈不改变原系统的能 控性，但却不一定能保证能观性．
令：C1i k1bi C2i k2bi Cpi kpbi 式中 Cji( j 1,2,, p) 标量 (A Bk )bi Abi (C1ib1 C2ib2 Cpibp )
这说明(A Bk )B的列 (A Bk )bi 是 B AB
列的线性组合。
同理：(A Bk )2 B的列 (A Bk )2bi是
换 rank SC rank SCR
例：. 0 x 1
1 0 0x 1u
y 0 1x
解：
①判断原系统的能控性，能观性．
rankb
Ab
0 rank 1
1 0
2
能控
C
0 1
rankCA rank1 0 2
能观
引入状态反馈：u v Kx K 1 0
.
则：x (A bK)x bV y Cx
.
x Ax Bu Hy (A HC)x Bu
y Cx
其中 H Rnq --输出反馈阵
GH (s) C(sI A HC)1 B
b. 输出反馈至参考输入：
Ｖ
.
Ｂ + x 1/S x Ｃ
y
-u
+
Ａ
Ｆ
.
x (A BFC)x Bv
y Cx GF (s) C(sI A BFC)1 B
rank S 0 rank S 0H
rank SC rank SCH
5.3 单输入/多输出系统的极点配置
.
设原系统：x Ax Bu
y Cx .
x Rn, y Rq
v
Ｂ + x 1/S x Ｃ
y
-u