大学物理角动量和力矩汇编
物理概念角动量与力矩
物理概念角动量与力矩物理概念：角动量与力矩角动量和力矩是物理学中重要的概念，在描述物体运动和力学性质时起着关键作用。
本文将详细介绍角动量和力矩的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、角动量的概念与计算方法角动量是描述物体绕某一轴旋转的性质，它与物体的质量、几何形状和旋转速度等因素有关。
角动量的定义如下：角动量L = Iω其中，L表示角动量，I代表物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
转动惯量是物体旋转惯性的度量，它与物体的质量分布和绕轴旋转的位置有关。
计算角动量的方法有两种常见的形式：数量积和矢量积。
1. 数量积方式计算角动量当物体的旋转轴与角速度方向相同时，可以用数量积方式计算角动量。
此时，角动量的计算公式为：L = Iω2. 矢量积方式计算角动量当物体的旋转轴与角速度方向不重合时，需要使用矢量积方式计算角动量。
此时，角动量的计算公式为：L = Iωn其中，n为物体旋转轴与角速度的法向量。
二、力矩的概念与计算方法力矩是描述物体受力产生转动效果的物理量。
当物体受力作用于某一点时，力就产生了力矩。
力矩的定义如下：力矩 M = r × F其中，M表示力矩，r表示力作用点到旋转轴的距离，F表示力的大小。
力矩的方向由右手定则给出，即拇指指向旋转轴，其余四指指向力的方向，手掌垂直于旋转平面内。
计算力矩的方法有两种常见的形式：数量积和矢量积。
1. 数数量积方式计算力矩当力和力臂的方向相同或者反向时，可以用数量积方式计算力矩。
此时，力矩的计算公式为：M = rF2. 矢量积方式计算力矩当力和力臂的方向不重合时，需要使用矢量积方式计算力矩。
此时，力矩的计算公式为：M = r × F三、角动量与力矩的关系与应用角动量和力矩是密切相关的物理量，它们之间存在如下关系：L = r × p其中，L表示角动量，r表示物体到旋转轴的距离，p表示物体的动量。
这一关系表明，角动量和力矩可以通过动量和物体到旋转轴的距离相互转化。
大学物理第1-4章经典力学部分归纳总结
应用
机械能守恒定律可以用于解决一些简单的运动学问题， 如自由落体、抛体运动等。
05 万有引力定律
万有引力定律的发现与意义
发现
牛顿通过观察苹果落地等现象，发现 了万有引力定律。
意义
万有引力定律揭示了自然界中物体之 间的相互作用规律，为经典力学的发 展奠定了基础。
万有引力定律的内容与公式
内容
任意两个质点之间都存在相互吸引的力，大小与两质点质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。
经典力学与许多其他学科领域密切相关， 如材料科学、工程学和天文学等，鼓励学 生在跨学科应用中拓展知识。
关注前沿研究
实践与实验
了解经典力学在前沿科学研究中的应用， 关注最新研究成果和技术进展。
通过实验和实践巩固理论知识，提高动手 能力和实验技能。
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工作原理等。
04 能量与动量定理
能量定义与计算
要点一
定义
能量是物体做功的能力，可以表示为系统动能和势能之和 。
要点二
计算
能量可以用数学公式进行计算，如动能公式 (E_k = frac{1}{2}mv^2)，势能公式 (E_p = mgh) 等。
动量定理与冲量
定理
动量 (p = mv) 是物体质量和速度的乘积，冲量 (I = Delta p) 是动量的变化量。
03
经典力学在日常生活和工程应用中有着广泛的应用，如车辆 运动、机械运转、天体运动等。
章节概览
第1章
牛顿运动定律
第3章
能量和力做功
第2章
动量和角动量
第4章
万有引力和相对论基础
02 牛顿运动定律
角动量公式大全
角动量公式大全
1. 质点的角动量。
- 对于质点，角动量→L=→r×→p，其中→r是质点相对于参考点的位置矢量，→p = m→v是质点的动量（m为质点质量，→v为质点的速度）。
- 在直角坐标系下，如果→r=(x,y,z)，→p=(p_x,p_y,p_z)，则L_x = yp_z -
zp_y，L_y=zp_x - xp_z，L_z = xp_y - yp_x。
2. 刚体定轴转动的角动量。
- 对于刚体绕定轴转动，角动量L = Iω，其中I是刚体对该轴的转动惯量，ω是刚体绕轴转动的角速度。
- 对于由多个质点组成的刚体，I=∑_im_ir_i^2（离散质点情况），对于质量连续分布的刚体，I=∫ r^2dm，这里r是质点到转动轴的垂直距离。
3. 角动量定理相关公式。
- 角动量定理→M=(d→L)/(dt)，其中→M是合外力矩。
- 在刚体定轴转动中，M = Iα（α为角加速度），这是由M=(dL)/(dt)（L =
Iω）推导而来，因为(dL)/(dt)=I(dω)/(dt)=Iα。
4. 角动量守恒定律。
- 当→M=0时，→L=常量。
- 在刚体定轴转动中，如果合外力矩为零，则Iω=常量，例如在花样滑冰运动员旋转时，收缩手臂（I减小），则ω增大以保持角动量守恒。
大学物理角动量和力矩
dL
M ex
dt
惯性系中成立
ch4
质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间
变化率，等于作用在该质点系上所有外力对该给
定参考点的总力 矩
dL
M
ex
dt
i
ri
Fi
ex
4.角动量守恒定律（普遍的）
If no external torques act upon a system of particles, the angular momentum remains costant.
dL
M ex
M in
dt
2.质点系对固定点的总内力矩为零 3.质点系的角动量定理
The rate change of the totle angular momentum
about any axis is equal to the external torque
about that axis.
2）观察质点的匀速直线运动:质 点相对于参考点的掠面速度不变
动量、动能都不能对上述现象作 出统一描述，需要引入新的物理 量。
r 参考点O
v 质点m
ch4
2.质点对参考点的角动量
(Angular Momentum)
L = r mv r p
What counts for angular momentum is not how fast it is going away from the origin, but how much it is going around the origin.
在计算氢原子的 角动量时的应用
ch4
牛顿力学：角动量和力矩
力矩的定义：力与力臂的乘积
力矩的分类：静态力矩和动态力矩
静态力矩：力与力臂的乘积，用于描述物体在静止状态下的转动情况
动态力矩：力与力臂的乘积，用于描述物体在运动状态下的转动情况
实例
开门：门把手的转动产生力矩，使门打开
自行车：脚踏板的转动产生力矩，使自行车前进
扳手：扳手的转动产生力矩，使螺栓拧紧或松开
角动量的计算公式：L=r×p，其中r是质点到旋转轴的距离，p是质点的动量
角动量的单位：国际单位制中的单位是kg·m²/s
角动量的方向：角动量的方向与力矩的方向相同，与旋转轴的方向垂直
实例
地球自转：角动量守恒原理在地球自转中的应用
冰上运动员：角动量守恒原理在冰上运动员旋转中的应用
自行车：角动量守恒原理在自行车行驶中的应用
陀螺仪：角动量守恒原理在陀螺仪中的应用
力矩
3
定义
Байду номын сангаас
力矩：力与力臂的乘积
力矩的方向：垂直于力臂，与力同向或反向
力臂：力作用点到转动轴的距离
计算方法
力矩的定义：力与力臂的乘积
力矩的计算公式：M=F*L
力矩的方向：与力臂垂直，与力同向
力矩的性质：力矩的大小与力的大小、力臂的长度以及两者之间的夹角有关
分类
拧开瓶盖：瓶盖的转动产生力矩，使瓶盖拧开
感谢观看
汇报人：XX
性质：角动量是守恒的，即一个封闭系统中的角动量总和保持不变
守恒定律
角动量守恒的应用：解释天体运动、陀螺仪等物理现象
角动量守恒定律：在封闭系统中，角动量总是守恒的
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用，或者外力矩的矢量和为零
角动量守恒与能量守恒的关系：角动量守恒是能量守恒的一种表现形式
物理学中的角动量与力矩
物理学中的角动量与力矩角动量与力矩是物理学中重要的概念，它们在描述物体运动和作用力时起着重要的作用。
本文将深入探讨角动量和力矩的定义、性质以及它们在自然界和工程领域中的应用。
一、角动量的定义与性质1. 角动量的定义角动量是物体绕某一轴线旋转时所具有的物理量，用L表示，单位是kg·m²/s。
角动量与物体的质量、角速度和转动轴线的位置有关。
2. 角动量的计算公式对于一个质量为m，距离转动轴线距离为r的物体，其角动量的计算公式为L = mvr，其中v是物体的线速度。
3. 角动量守恒定律在没有外力或外力矩作用下，系统的总角动量将保持不变。
即L初= L末。
这一定律在自然界的很多现象中得到了验证，如行星绕太阳的运动和旋转体的守恒。
二、力矩的定义与性质1. 力矩的定义力矩是力对物体产生转动效果的物理量，用M表示，单位是N·m。
力矩与力的大小、力的作用点与转动轴的距离有关。
2. 力矩的计算公式对于一个施加在物体上的力F，作用点到转动轴的距离为d，力矩的计算公式为M = Fd。
3. 力矩的性质a. 力矩的方向始终垂直于力的方向和转动轴，并遵循右手定则。
b. 大小上，力矩等于力和转动轴上的距离的乘积，即M = Fd。
c. 在平衡条件下，物体所受到的合力矩为零。
三、角动量与力矩的关系1. 角动量与力矩的联系在刚体绕固定轴线转动时，其角动量的变化率等于力矩的大小。
即dL/dt = M。
2. 角动量定理根据角动量的变化率等于力矩的公式，可以得到角动量定理：角动量的变化率等于物体所受到的合外力矩，即dL/dt = ΣMext。
3. 角动量守恒与力矩平衡如果物体所受到的合外力矩为零，即ΣMext = 0，那么根据角动量定理可知，系统的总角动量将保持不变，即角动量守恒。
四、角动量与力矩的应用1. 自然界中的应用a. 行星绕太阳运动：根据角动量守恒定律，行星绕太阳的运动过程中，行星运动速度和离太阳距离的乘积保持不变。
大学物理力学部分归纳总结
运动学部分解题指导
1、已知运动方程，求速度，加速度，用微分法。
两 大 类
? v
?
? dr
,
? a
?
? dv
dt
dt
型 2、已知加速度和初始条件，求速度、位移、路
程和运动方程（或已知速度和初始条件，求位移、
路程和运动方程），用积分法。
? ? t?
? v ? v0 ?
a ?dt
t0
? ? t?
? r ? r0 ?
3、功率
P
?
dW
?
? F
?dr?
?
? F
?v?
?
Fv cos?
dt dt
6
4、保守力作功与势能概念： dW ? ? dEp
? WA?
B
?
B
? f
?dr?
?
Ep ( A) ?
EP (B)
?
?[Ep (B) ?
Ep ( A)]
A
万有引力势能
重力势能
? E p
?
? r
?
G
mM r2
dr
?
?G
mM r
0
? Ep ? (? mg)dz ? mgz
? (3)判断过程中对某点（或某轴）合外力矩是否为零，或者 角动量守恒条件是否成立。
? (4)若守恒条件成立，确定正方向，列方程，求解
? 分解综合法：对于较为复杂问题，不是只用一个定理、定律
就能解决，要将整个过程分解成几个子过程，对每一子过程
应用上述方法。
18
典型习题分析
? 例题(1) 如图所示，木块 A的质量为 1.0kg ，木块B的
9、功率
大学物理力矩与角动量
z
z
M
Fz
F
Fx
ˆF ˆ ˆ F Fx i j F k y z ˆM ˆ ˆ M M xi j M k y z
o
r
P
Fy
x
y
y
x
ˆ yj ˆ zk ˆ ) (F i ˆF ˆ ˆ) ( xi j F k x y z ˆ xF ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ xFy k z j yFx k yFz i zFx j zF y i ˆ ( zF xF ) ˆ ˆ ( yFz zFy )i x z j ( xF y yFx )k
5
一、力矩（moment of force）
6
力对参考点的力矩 定义：作用于质点 P 的力 F 对参考点 O 的力矩等于力的作用 点位矢与力的叉积，即：
M r F
大小
M | M | rF sin Fd F r
M
F
F
O
方向
r、F、M 成右手螺旋关系。
d
r
P
M内 ri f ij 0
i 1, i j n
f ij
mi
ri
ri j
mj
o
rj
f ji
即：质点组内力矩的矢量和恒为零，只需考虑外力矩。
23
对质点系的所有质点应用角动量定理并取和
M 外 ri Fi 外 dLi d dL ( Li ) dt dt dt
质点对参考点的角动量的增量等于作 用于质点的力对同一参考点的角冲量 (angular impulse)。
L2 L1 Mdt
16
大学物理角动量和力矩(一)2024
大学物理角动量和力矩（一）引言概述：大学物理中，角动量和力矩作为重要的概念之一，对于研究物体的运动和旋转有着重要的影响。
角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，而力矩则是描述旋转物体所受到的力和力臂的乘积。
本文将从角动量和力矩的基本概念入手，通过各个角度的阐述和分析，深入探讨角动量和力矩的原理及其在物理中的应用。
正文：一、角动量的基本概念1. 角动量的定义和量纲2. 角动量的计算方法及其守恒定律3. 角动量和动量的关系4. 角动量的矢量性质及其坐标表示5. 角动量的多体系下的计算方法二、力矩的基本概念1. 力矩的定义和量纲2. 力矩与力的关系3. 力矩的计算方法及其守恒定律4. 力矩的矢量性质及其坐标表示5. 力矩的多体系下的计算方法三、角动量和力矩的物理意义1. 角动量的物理意义及其应用领域2. 力矩的物理意义及其应用领域3. 角动量和力矩在自然界中的实际案例4. 角动量和力矩在机械工程中的应用5. 角动量和力矩在天文学研究中的应用四、角动量和力矩的数学推导和分析1. 角动量守恒定律的动力学推导2. 力矩与角加速度的关系及其推导3. 角动量和力矩的相互作用机制分析4. 角动量和力矩的转动惯量及其数学解析5. 角动量和力矩的数学计算公式及其推导五、角动量和力矩的实验测量方法1. 实验测定角动量的装置和方法2. 实验测定力矩的装置和方法3. 角动量和力矩的实验数据处理和分析4. 角动量和力矩实验的误差分析和改进措施5. 角动量和力矩实验的应用案例和展望总结：通过对角动量和力矩的深入讨论，我们可以更好地理解物体的旋转运动以及受到的力和力臂的影响。
角动量和力矩的物理意义在不同的领域中得到广泛应用，并通过数学推导和实验测量方法得以验证和实践。
未来，随着科学技术的不断进步，角动量和力矩的研究将继续向更深层次发展，为人们认识世界的运动规律提供更多的突破点和启示。
大学物理3_3 角动量 角动量守恒定律
将
R 、 h1 、h2 和 v1 各值代入，得
2 6.13公里/ 秒
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-8 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器 圆盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴 转动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合 为一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度. 解: 系统角动量守恒
( L mR )
2
得
LdL m gR cosd
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
一
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0
质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 2
2
航天器调姿
1
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-6 如图所示，有一质量为 m1 、长度为 l 的均质细 棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为 m2 的水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块 碰撞前、后的速率分别为 和 u ，桌面与细棒的滑动摩 擦系数为 。求：（1）从碰撞到细棒停止运动所需的时 间；（2）从碰撞到细棒停止运动，细棒转过的圈数。
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
大学物理-动量与角动量
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
大学物理 第三章 角动量守恒定律 刚体汇总
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc
角动量与力矩
碰撞就是两个或两个以上的物体在相遇的极短促时间内产生非常之大的相互作用力，而其他的相互作用力相对来说显得微不足道的过程。
关于碰撞的实例和特征请看一段录相。
从录相中我们可知：碰撞的最主要特点是：碰撞时间极短，作用力变化快和作用力峰值大等，因而其他外力可以忽略不计。
如碰撞是对心碰撞，则系统满足动量守恒，即(1)当两球相碰时相互作用的内力仅是弹性力，且在碰撞过程中，两球之间弹性势能与动能在相互转换着。
碰撞除满足动量守恒定律外，碰撞开始和末了动能之和相等，这种碰撞称为弹性碰撞。
弹性碰撞过程一般可分为两个阶段，即压缩阶段和恢复阶段。
弹性碰撞两物体的动能之和完全没有损失可表示为(2)由(1)和(2)得请看一个弹性碰撞示例的动画。
1．恢复系数e牛顿总结实验结果，提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速率与碰撞前两球的接近速率成正比，比值e由两球的材料决定，即(3)e称为恢复系数。
利用恢复系数e可以对碰撞进行分类。
２. 非弹性碰撞这种碰撞被压缩的物体不能恢复原状而有一部分残留的形变，碰撞前后的系统的动能不相等，则称为非弹性碰撞。
非弹性碰撞中0<e<1，分离速率小于接近速率，弹性碰撞中e＝1，分离速率等于接近速率。
如e＝0，,则属于完全非弹性碰撞。
由（1）和（3）式可解出完全非弹性碰撞中(4) 完全非弹性碰撞中的机械能损失为而对于一般的非弹性碰撞这样的表示也可用于力对点的力矩定义上。
如图所示，力F 对O 点的力矩M 为方向也用右手螺旋法则判定。
由图示，因F ，对O 点的力矩分别为则力偶的合力矩（力偶矩）为力矩是描述外力改变刚体转动状态物理量。
注意：质点的角动量L 不仅取决于它的运动状态，还与它相对于参考点的位矢r 有关．对不同的参考点而言，同一质点的位矢r 不同，其角动量亦不同．因此，在说到角动量时，必须指明是对哪个参考点而言的．注意：,与m v 共线， 所以，1． 力对轴的力矩图1是刚体的一个横截平面，z 轴为刚体的转轴，它与横截面的交点为O 。
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
大学物理角动量定理
dL
dt
ri Fi
ri f内i
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统 所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。
质点或质点系的角动量守恒定律：
当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零 时，质点或质点系对该点的角动量保持不变。
第三章 守恒定律
4
大学 物理
3-6 角动量定理
证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相等时间内
扫过的椭圆面积相等 。
证： dS 1 r dr 2
dS 1 r dr 1 r v dt 2 dt 2
dr
r
dS 1 r mv 1 L 有心力作用下角动量守恒
dt 2m
2m
dS 恒矢量 dt
证毕
第三章 守恒定律
5
大学 物理
3-6 角动量定理
例.在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔，其一端
3-6 角动量定理
竖直平面内. 一质量为 m 的小球
穿在圆环上, 并可在圆环上滑动.
小球开始时静止于圆环上的点 A
(该点在通过环心 O 的水平面上)，
然后从 A点开始下滑．设小球与
圆环间的摩擦力略去不计．求小
球滑到点 B 时对环心 O 的角动量
和角速度．
解 小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为零，重力矩垂直
i 1
z F1 Fi
0
ri
dpi dt
ri
Fi f内i
dL
dt
ri Fi
ri f内i
r1
ri
O
x
r2
F2
y
第三章 守恒定律
3
大学
一对力对某一固定点的力矩
大学物理_角动量_转动惯量汇总
df dm g 2 gr dr
df
dM r df 2 2 gr dr
R
r O
2 3 M 2 gr dr gR 3 0
R
dr
2
问题： 若圆盘以ω0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止? (解答需要转动情况下的动能定理)
刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变 的特殊质点系）。 刚体的运动形式： 平动(translation)、 转动(rotation)。 平动： 刚体内任意两点间连线 的空间方向总保持不变
特点：各点位移、速度、 加速度均相同。 刚体平动 质点运动
M ij
O
M rF sin θ Fd
Mij M ji
力矩的计算：
M ji
d
ri
F ji iF
ij
rj
j
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的 办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计 算方法进行计算，最后求和。
计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。
转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。 转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心 转动）。
刚体的平面运动：
例：曲柄连杆机构中连杆AB的运动。
A点作圆周运动，B
点作直线运动，因此，
AB 杆的运动既不是平动
也不是定轴转动，而是
平面运动。
刚体的一般运动： 质心的平动 质心 ：刚体的质量分布的中心
二、质点的角动量定理 1、质点的角动量[旧称动量矩] (Angular Momentum) 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r，质点相对于原 点的角动量定义为
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角动量守恒
dL
0
或
L 常量
dt
ch4
5.几种特殊情况 ▪ 有心力场中的质点（系）对“心”的角动量总 是守恒的
▪ 质点系的重力的合力矩可集中到质心处理 Mg r Cmg
ch4
6. 守恒条件
角动量守恒：合外力对固定点的力矩为零 与参考系、研究系统和参考点都有关系
动量守恒：合外力为零 与参考系和研究系统有关系
ch4
z
v// v
v
Or//
O’
r r
ch4
§4-2 力矩和角动量定理
一、力矩和质点的角动量定理
1.力矩 (torque)
M rF
力对某点的力矩 单位：N·m
2.质点的角动量定理：质点对任一固定点的角
动量的时间变d化L率，M等于外力对该点的力矩 dt
ch4
[例题4.1]圆锥摆由一根长为l的绳子悬挂着一个质量为m的
质点系的总动能等于相对于质心系的动能加上 随质心整体平移的动能，即
Ek Ek'
1 2
m vc2
❖ 两质点体系的动能
Ek
Ekc
Ekr
1 2
mv
2 c
1 2
mr u2
❖ 碰撞 — 动量守恒
ch4
第四章 角动量守恒
§4-1 质点的角动量
1.引入
1）开普勒：若以太阳 为中心，行星的位置矢量 在相等时间内扫过(sweep through)相等的面积。
The rate change of the totle angular momentum
about any axis is equal to the external torque
about that axis.
dL
M ex
dt
惯性系中成立
ch4
质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间
变化率，等于作用在该质点系上所有外力对该给
保守系机械能守恒：合外力作功为零 与参考系和研究系统有关系
三、质心系的角动量定理
M
MCex
rC
Fiex
L LC mrC vC
dL
M ex
ch4
dt
固有角动量 轨道角动量
对质心角动量+随质心角动量
质心系的角动量定理
M
ex C
dLC dt
角动量定理对惯性系成立，但站在质心系上时，无 论其是否是惯性系，则角动量定理形式上仍成立
ch4
ω
只受重力作用的质点系对 质心的角动量守恒
ch4
[例题4.2]质量为m1和m2的两个质点的位矢和速度分别为r1,
v1和r2 , v2，试求：两质点相对于它们的质心的动量和角动
量LC。
质 心 位 矢rC
mi ri
i
m
质 心 速 度vC
mivi
i
m
r
r
rC
p1 mr u
v
定参考点的总力 矩
dL
M
ex
dt
i
ri
Fi ex
4.角动量守恒定律（普遍的）
If no external torques act upon a system of particles, the angular momentum remains costant.
如果质系所受到的总外力矩为零 ，则质点系的
v
vC
p2 mr u
Lc r1' p1' r2' p2'
mr r12 u r12 (mr u)
在计算氢原子的
角动量时的应用
ch4
本章习题：4 –1，3，4，5，9（1），10（2，3，4）
描述质点的运动方向相对于参考点的变化或物体 的转动特征的物理量
Angular momentum depends upon the position of the axis abour which it is to be calculated.
3.质点对z轴的角动量
Lz = Lcos
θ是L到z轴的角 可以在z轴上任意找一点， 求出质点对该点的角动量， 再求z轴分量
2）观察质点的匀速直线运动:质 点相对于参考点的掠面速度不变
动量、动能都不能对上述现象作 出统一描述，需要引入新的物理 量。
r 参考点O
v 质点m
ch4
2.质点对参考点的角动量
(Angular Momentum)
L = r mv r p
What counts for angular momentum is not how fast it is going away from the origin, but how much it is going around the origin.
review
ch3
❖ 质心 质心坐标 质心速度 质心加速度
离 散 体
rc
mi ri
i
m
连续体
rc
rdm
m
表示质点系的质量分布的中心位置
vc
mi vi
i
p
m
m
代表质点系的总动量
mac
dp dt
F
ex
代表质点系的合外力 描述质点系的平移轨迹
ch3
❖ 质点系的动能 — 克尼希定理
作匀速圆周运动的小球构成。若摆线与铅垂线成 角，试
求摆球的速率。
研究对象：圆锥摆
参考系：实验室
选择参考点：支点O 受力与运动分析
dL
M
dt
v sin gl
cos
g l cos
ch4
速度调节器
cos
g
2l
ch4
二、质点系的角动量定理
1.质点系角dL动量M随ex时间M的in 变化率 dt
2.质点系对固定点的总内力矩为零 3.质点系的角动量定理