五年级奥数第5讲等积变形

第五讲长方体、正方体的表面积和体积

等积变形

例一、一个装有水的长方体水槽，底面积为80平方厘米，水深8厘米。现将一个底面积为16平方厘米的长方体铁块竖放入水底，仍有部分铁块露在外面，现在水深多少厘米？分析：根据题意可知，水槽中的水的体积在放入铁块后没有变化，依然是80×8=640（立方厘米），这时底面积为80-16=64（平方厘米）。根据体积=底面积×高，再求出现在的水深。

80×8÷（80-16）

=640÷64

=10（厘米）

答：现在水深是10厘米。

巩固练习1

（1）一个底面积为360平方厘米的水槽内，水深12厘米，现将一个底面积为72平方厘米的长方体铁块竖放入水槽底部，仍有部分铁块露在外面，现在水深多少厘米？

（2）在一个长5分米、宽4分米、高6分米的水箱中，水深4分米，现将一个底面边长20厘米、高10分米的的长方体铁块，竖放入水底，现在水面距离水箱口多少分米？

（3）一个底面积为1200平方厘米、深为30厘米的水槽内，水深10厘米，现将一个底面边长为20厘米的长方体铁块竖放入水底，这时铁块仍高于水面，现在水面高是多少厘米？

例二、有一个长方体水槽，它的底面是边长是边长为20厘米的正方形，有一段横截面积是80平方厘米的长方形钢材浸没在其中，当钢材从水槽中取出以后，水槽的水面下降了3厘米，求这段钢材的长。

分析：根据题意可知，钢材的体积相当于水槽内下降部分的体积，即20×20×3=1200（立方厘米），再根据横截面面积×长=体积，求出这段钢材的长。

20×20×3÷8

=1200÷80

=15（厘米）

答：这段钢材的长是15厘米。

巩固练习2

（1）在一个棱长是24厘米的正方体容器中注入水。有一根横截面积是192平方厘米的长方形铁棒浸没在水中，当把铁棒从容器中取出后，容器中的水面下降了5厘米，求这根铁棒的长度。

（2）有一个装有水的小鱼缸，长4分米，宽2分米，水深2分米。把一块石头浸没在水中，水面上升了1分米。这块石头的体积是多少立方分米？

（3）有一个棱长是4厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁块后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？

例三、现有长方体容器甲和水深为24厘米的长方体容器乙，要将容器乙中的水倒一部分给容器甲，使两容器中的水的高度相同，现在水深多少厘米？（单位：厘米）

20

30 24

40 20

30

分析：根据题意得知，不管把容器乙中多少水倒到容器甲中，甲、乙两个容器中水的总体积不变，即30×24×20=14400（立方厘米），因为要使两容器中的水深相等，所以我们把甲、乙两容器中的水看作一个整体，它的底面积为容器甲的底面积40×30=1200（平方厘米）加上容器乙的底面积30×20=600（平方厘米），再根据底面积×高=体积这一等量关系即可求出水深。

30×24×20÷（40×30+30×20）

=14400÷（1200+600）

=14400÷1800

=8（厘米）

答：现在水深8厘米。

巩固练习3

（1）如右图所示,这物体甲处的横截面积为32平方分米，乙处的横截面积为8平方分米，h为5分米。现在要把甲处的铁块熔一部分到乙处，使甲、乙两处等高，则乙处比原来升高了多少分米？

（2）A长方体容器长8厘米、宽5厘米、高7厘米；B长方体容器长10厘米、宽6厘米、高8厘米。A容器空着，B容器中水深6厘米，现将B容器中的一部分水倒入A容器中，使两容器的水深相同，求现在的水深。

（3）有甲乙两个棱长分别为6分米和4分米的正方体水箱，其中甲水箱水深2分米，乙水箱水深1分米。现将68立方分米的水分别倒入甲乙两水箱，要使两水箱中水的深度相同，则乙水箱水面上升多少分米？

例四、有一个长方体容器（如下图所示），长25厘米，宽10厘米、高8厘米，里面的水深4厘米。如果把这个容器盖紧，再朝前竖起来，里面的水深4厘米。如果把这个容器盖紧，再朝前竖起来，里面的水深应该是多少厘米？（单位：厘米）

8

4 10

25

分析：先求出水的体积：25×10×4=1000（立方厘米）。当容器翻动时，水流动了，但体积没有变，这时长方体容器的底面积是25×8=200（平方厘米）。这时水深为：

25×10×4÷（25×8）=5（厘米）

答：里面的水深是5厘米。

巩固练习4

1、有一个长方体容器，长20厘米、宽15厘米、高10厘米，里面的水深5厘米，如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？

2、有甲乙两个长方体玻璃缸，甲缸的长是4分米，宽和高都是3分米，水深2分米；乙缸的长是3分米，宽是2分米，高是5分米，乙缸里没有水。现把甲缸里的水全部倒入乙缸，乙缸的水深多少分米？

3、有一个棱长为6分米的正方体铁块，现把它锻造成一个长方体，这个长方体的横截面是一个长8分米、宽3分米的长方体，这个长方体的横截面是一个长8分米、宽3分米的长方形，求它的长。