中考数学第21讲 矩形、菱形、正方形(含答案)

第21讲矩形、菱形、正方形【回顾与思考】

【例题经典】

一．会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形

（2005年黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，例1．

DE•垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形．

【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证 ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．

二．矩形、菱形的综合应用 例2．（2006年青岛市）如图，在

ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；

（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠1=∠C ，AD=CB ，AB=CD ．

∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，

∴AE=

12AB ，CF=12

CD ． ∴AE=CF ．

∴△ADE ≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，

∴四边形AGBD 是平行四边形． ∵四边形BEDF 是菱形， ∴DE=BE ． ∵AE=BE ， ∴AE=BE=DE ．

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴2∠2+2∠3=180°． ∴∠2+∠3=90°． 即∠ADB=90°，

∴四边形AGBD 是矩形．

三．会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题

例3．（2005年吉林省）如图，在矩形纸片ABCD 中，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°． （1）求BE 、QF 的长．（2）求四边形PEFH 的面积．

【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．

基础训练

1．如图1，在菱形ABCD 中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD 的面积为________． 2．（2006年黄冈市）如图2,将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线L 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是________cm ．

(1) (2) (3)

3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．

4．如图3，点E 、F 是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，请你添加一个条件（•不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF

，你添加的条件是________

． 5．（2006年烟台市）如图4,先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图①所示），•再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB=4，BC=3，则图①和图②中，点B 的坐标为_________，点C 的坐标为________．

(4)

6．（2006年广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A ．对角线相等 B ．对角线互相垂直平分 C ．对角线平分一组对角 D ．四条边相等

7．如图5，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB ，AC 的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD•的周长是（ ）

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16 8．（2006年江阴市）已知如图6，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ） A ．15 B ．24 C ．25 D ．16 9．（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30•°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）

A ．

12 B 3．3 D ．3 ① ②

(7) (8)

10．（2006年淄博市）将一矩形纸片按如图8方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A•′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（）

A．大于90° B．等于90° C．小于90° D．不能确定

能力提升

11．如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）请你探索，当矩形ABCD的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．

12．（2006年泉州市）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．

13．（2006年沪州市）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．

即DF=________．（写出一线段即可）

14．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC•分别相交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．

应用与探究

15．（2006年河南省）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，•直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．

（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；

（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？