图形的相似与位似练习

图形的相似与位似练习时间：40（分钟）基础达标训练1. （兰州）已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是( )A.23yx=B.y23x= C.32yx= D.3y2x=2. （重庆A卷）若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为( )A. 3∶2B. 3∶5C. 9∶4D. 4∶93. （连云港）如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE＝1∶2,则下列等式一定成立的是( )第3题图A.21DFBC= B.21的度数D∠的度数A∠=C.21的面积DEF△的面积ABC△= D.21的周长DEF△的周长ABC△=4. （杭州）如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC.若BD＝2AD,则（）A.21ABAD= B.21ECAE= C.21ECAD= D.21BCDE=第4题图第5题图5. （哈尔滨）如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F 为BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是（）A. EC AE AB AD =B. BD AE GF AG =C. AE CE AD BD =D. ECAC AF AG = 6. （青海）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边DC 上,DE ∶EC=3∶1,连接AE 交DB 于点F,则△DEF的面积与△BAF 的面积之比为() A. 1∶3 B. 3∶4 C. 1∶9 D. 9∶16第6题图7. （恩施州）如图,在△ABC 中,DE ∥BC,∠ADE ＝∠EFC,AD ∶BD ＝5∶3,CF ＝6,则DE 的长为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12第7题图 第8题图8. （绵阳）为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B.测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50 cm,镜面中心C 距旗杆底部D 的距离为4 m,如图所示,已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4 cm,则旗杆DE 的高度等于（ ）A. 10 mB. 12 mC. 12.4 mD. 12.32 m9. （2017潍坊）如图,在△ABC 中,AB≠AC ,D 、E 分别为AB 、AC 上的点.AC ＝3AD,AB ＝3AE,点F 为BC 边上一点,添加一个条件：_________.可以使得△FDB 与△ADE 相似.（只需写出一个）第9题图 第10题图10. （北京）如图,在△ABC 中,M 、N 分别为AC,BC 的中点.若S △CMN ＝1,则S 四边形ABNM ＝_________.11. （攀枝花）如图,D 是等边△ABC 边AB 上的点,AD=2,DB=4.现将△ABC 折叠,使得点C 与点D 重合,折痕为EF,且点E 、F 分别在边AC 和BC 上,则CFCE=______.第11题图 第12题图12. （深圳）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt △MPN 中,∠MPN=90°,点P 在AC 上,PM 交AB 于点E,PN 交BC 于点F,当PE=2PF 时,AP=______.13. （江西）如图,正方形ABCD 中,点E,F,G 分别在AB,BC,CD 上,且∠EFG=90°. 求证:△EBF ∽△FCG .第13题图14. （杭州）如图,在锐角三角形ABC 中,点D,E 分别在边AC,AB 上,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点F,∠EAF ＝∠GAC.（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若AD ＝3,AB ＝5,求AGAF 的值.第14题图能力提升拓展1. （毕节）如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在BC,CD 上,且∠EAF ＝45°,将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°,使点E 落在点E′处,则下列判断不正确的是( )A. △AEE′是等腰直角三角形B. AF 垂直平分EE′C. △E′EC ∽△AFDD. △AE′F 是等腰三角形第1题图2. 如图,矩形EFGH 内接于△ABC,且边FG 落在BC 上. 若AD ⊥BC,BC=3,AD=2,EF=32EH,那么EH 的长为__________.第2题图 第3题图3. （六盘水）如图,在ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,在BA 的延长线上取一点E,连接OE 交AD 于点F.若CD ＝5,BC ＝8,AE ＝2,则AF=________.4. （泰安）如图,四边形ABCD 中,AB=AC=AD,AC 平分∠BAD,点P 是AC 延长线上一点,且PD ⊥AD.（1）证明：∠BDC=∠PDC ；（2）若AC 与BD 相交于点E,AB=1,CE ∶CP=2 ∶3,求AE 的长.第4题图【答案】基础达标训练1. A2. A3. D4. B5. C6. D7. C 【解析】∵DE ∥BC,∴∠ADE ＝∠B,∵∠ADE ＝∠EFC,∴∠B ＝∠EFC,∴EF ∥AB,∴四边形DEFB 为平行四边形,∴DB ＝EF,DE ＝BF,又∵AD DB ＝53,∴EF AB ＝38,又∵EF ∥AB,∴CF BC＝EF AB ,即66＋BF ＝38,解得BF ＝10,∴DE ＝BF ＝10. 8. B 【解析】由平面镜成像原理得∠ACB ＝∠ECD,又∵∠ABC ＝∠EDC ＝90°,∴△ABC ∽△EDC,∴AB ED ＝BC DC ,即1.54－0.04DE ＝0.54,解得DE ＝12 m . 9. DF ∥AC 或∠BFD ＝∠A 【解析】∵AC ＝3AD,AB ＝3AE,∴AD AC ＝AE AB,∵∠A 为公共角,∴△ADE ∽ACB,①当DF ∥AC 时,△BDF ∽△BAC,∵△EAD ∽△BAC,∴△BDF ∽△EAD ；②当∠BFD ＝∠A 时,∵∠B ＝∠AED,∴△FBD ∽△AED.10. 3 【解析】∵点M,N 分别为AC,BC 的中点,∴MN 为△ABC 的中位线,∴△ABC ∽△MNC 且AC ＝2AM,∴S △ABC S △MNC ＝(AC MC)2＝4,又∵S △CMN ＝1,∴S △ABC ＝4S △CMN ＝4,∴S 四边形ABNM ＝S △ABC －S △CMN ＝ 4－1＝3.11. 54【解析】由题易知∠A ＝∠B ＝∠EDF ＝60°,∴∠AED ＝∠FDB,∴△AED ∽△BDF,∴ED DF ＝AE BD ＝AD BF ,∴ED DF ＝AE ＋ED ＋AD DF ＋BF ＋DB ,由折叠的性质易知EC ＝ED,FC ＝FD,∴CE CF ＝AE ＋EC ＋AD FC ＋BF ＋BD ,即CE CF ＝AC ＋AD BC ＋BD,∵AD ＝2,BD ＝4.∴AB ＝BC ＝AC ＝6,∴CE CF ＝6＋26＋4＝45,即CF CE ＝54. 12. 3 【解析】如解图,作PQ ⊥AB 于点Q,PR ⊥BC 于点R.∵∠PQB ＝∠QBR ＝∠BRP ＝90°,∴四边形PQBR 是矩形,∴∠QPR ＝90°＝∠MPF,∴△QPE ∽△RPF,∴PQ PR ＝PE PF ＝2,∴PQ ＝2PR ＝2BQ,∵PQ ∥BC,AC ＝AB 2＋BC 2＝5,∴AQ ∶QP ∶AP ＝AB ∶BC ∶AC ＝3∶4∶5,设PQ ＝4x,则AQ ＝3x,AP ＝5x,BQ ＝2x,∴AB ＝BQ ＋AQ ＝2x ＋3x ＝3,∴x ＝35,∴AP ＝5x ＝3.第12题解图13. 证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴∠B ＝∠C ＝90°,∴∠BEF ＋∠EFB ＝90°,∵∠EFG ＝90°,∴∠EFB ＋∠CFG ＝180°－90°＝90°,∴∠BEF ＝∠CFG,∴△EBF ∽△FCG .14. (1)证明：∵AF ⊥DE,AG ⊥BC,∴∠AFE ＝90°,∠AGC ＝90°,∴∠AEF ＝90°－∠EAF,∠C ＝90°－∠GAC,又∵∠EAF ＝∠GAC,∴∠AEF ＝∠C,又∵∠DAE ＝∠BAC,∴△ADE ∽△ABC ；(2)解：∵△ADE ∽△ABC,∴∠ADE ＝∠B,又∵∠AFD ＝∠AGB ＝90°,∴△AFD ∽△AGB,∴AF AG ＝AD AB, ∵AD ＝3,AB ＝5, ∴AF AG ＝35. 能力提升拓展1. D 【解析】A .∵△ADE ′是由△ABE 旋转得到的,∴∠BAE ＝∠DAE′,AE ′＝AE,∴∠EAE ′＝∠EAD ＋∠DAE′＝∠DAE ＋∠BAE ＝90°,∴△AEE ′是等腰直角三角形； B ．∵∠EAF ＝45°,△AEE ′是等腰直角三角形,∴∠E ′AF ＝45°,由等腰三角形顶角平分线,底边中线及垂直平分线三线合一可知：AF 垂直平分EE′；C .如解图,设AD 交EE′于点G ,∵AF ⊥EE ′,∴∠AGE ＋∠DAF ＝90°,∵∠DGE ′＋∠GE′D ＝90°,且∠AGE ＝∠DGE′,∴∠DAF ＝∠EE′C ,∵∠ADF ＝∠E′CE ,∴△E ′EC ∽△AFD ；D .由于点F 、E 的位置不固定,∴△AE ′F 的三边不一定有相等,故△AE′F 不是等腰三角形．第1题解图 第2题解图2. 32 【解析】如解图,设AD 与EH 的交点为M,设EH ＝x,则EF ＝23x.∵EH ∥BC,∴△AEH ∽△ABC,∴EH BC ＝AM AD .∵BC ＝3,AD ＝2,AM ＝AD －EF ＝2－23x,∴x 3＝2－23x 2,解得x ＝32,即EH ＝32. 3. 169【解析】如解图,过O 点作OM ∥AD 交AB 于点M,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB ＝OD,∴OM 是△ABD 的中位线,∴AM ＝BM ＝12AB ＝52,OM ＝12BC ＝4,∵AF ∥OM,∴△AEF ∽△MEO,∴AE ME ＝AF MO ,∴22＋52＝AF 4,解得AF ＝169.第3题解图4. (1)证明：∵AB ＝AD,AC 平分∠BAD,∴AC ⊥BD,∴∠ACD ＋∠BDC ＝90°,∵AC ＝AD,∴∠ACD ＝∠ADC,∴∠ADC ＋∠BDC ＝90°,∵PD ⊥AD,∴∠PDC ＋∠ADC ＝90°,∴∠BDC ＝∠PDC ；第4题解图(2)解：如解图,过点C 作CM ⊥PD 于点M,∵∠BDC ＝∠PDC,∴CE ＝CM.∵∠CMP ＝∠ADP ＝90°,∠P ＝∠P, ∴△CPM ∽△APD ；∴CM AD ＝PC PA. 设CM ＝CE ＝x,∵CE ∶PC ＝2 ∶3,∴PC ＝32x, ∵AB ＝AD ＝AC ＝1,∴x 1＝32x 32x ＋1, 解得x ＝13, ∴AE ＝AC －CE ＝1－13＝23.。