ex 微分方程与差分方程(习题课)讲课稿

yp y q y 0
特征方程为 r2prq0
特征根的情况
通解的表达式
实根r1r2
yC1er1xC2er2x
实根r1r2
y(C1C2x)er2x
复根r1,2i yex(C1cosxC2sinx)
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如y P(x) y Q(x) y f1(x) f2(x) 而y1*与y2* 分别是方程,
y P(x) y Q(x) y f1(x) y P(x) y Q(x) y f2(x) 的特解, 那么y1* y2*就是原方程的特解.
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
f(x)的形式 及特解形式
差分方程解题思路
一阶方程 二阶方程
代入法 特征根法 待定系数法
特征方程法
1、微分基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
ex 微分方程与差分方程(习题课)
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
4. 线性方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
相关定理
微分方程解题思路
同 样 可 定 义 三 阶 、四 差阶 分 ： 3yx (2yx),4yx (3yx)
高阶差分：二阶及以二上阶的差.分
差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函 Δyx,数 Δ2yx的 , 差 的分 函数方 称为差.分方程
形 F ( x 式 ,y x , y x , 2 ： y x , , n y x ) 0
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法 变量代换法 常数变易法 特征方程法
待定系数法
一、主要内容——差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
解,那末yC1y1C2y2也是(1)的解.（ C1,C2是常 数）
定 理2： 如 果 y1(x)与 y2(x)是 方 程 (1)的 两 个 线 性
无 关 的 特 解 , 那 么 yC1y1C2y2就 是 方 程 (1)的 通 解 .
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形 y P ( x ) y 如 Q ( x ) y f ( x ) ( 2 )
其R 中 m (1)(x)R , m (2)(x)是 m次多项 m m 式l， ,a n x
0 i不是特征方程的 ; 根时 k1 i是特征方程的单 . 根时
7.差分方程基本概念
差分的定义
设函数y f ( x).当x取非负整数时，
函数值可以排成一个数列 : f (0)，f (1)，，f ( x)，f ( x 1)，
( 3 )y f(y ,y )型
特点 不显含自变量x.
解法 令yP(x),y P d P , dy
代入原方程, 得 P dP f ( y, P ). dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形 y P ( x ) 如 y Q ( x ) y 0( 1 )
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个
非齐次微分方程的通解为
ye P (x )d[xQ (x )eP (x )dd x x C ] （用常数变易法）
3、可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n)f(x)型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2 )y f(x ,y )型
特点 不显含未知函数y. 解法 令yP(x), yP, 代入原方程, 得 P f(x,P (x)).
将之简记为
y
，
0
y
，
1
y
2，，
y
x，
称函数的改变量y x1
y
x
为
函
数
y
的
x
差
分
，
也称为一阶差分，记为Δ yx yx1 yx .
函数y f (x)的二阶差分为y函的数一阶差分的 差分,即
Δ2 yx Δ(Δyx ) Δ(yx1 yx ) (yx2 yx1) (yx1 yx ) yx2 2yx1 yx
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 yxkexQ m (x),k 1
2
不是根 是单根 , 是重根
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) sx i ] 型 n
设 y x k e x [ R m ( 1 ) ( x ) cx o R m ( 2 s ) ( x ) si x ]n ,
形g 如 (y )d y f(x )dx 分离变量法
解法 g(y)d yf(x)dx
(2) 齐次方程 形如dyf(y) dx x
解法 作变量代换 u y x
(3) 一阶线性微分方程
形如 d yP (x)yQ (x)
dx
当 Q(x)0,
上述方程称为齐次的．
当 Q(x)0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx（用分离变量法）
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形 y ( n ) P 1 y ( n 1 如 ) P n 1 y P n y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y p y q y 0 二阶常系数齐次线性方程 y p y q y f( x )二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.