向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案
线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案 一、填空题1、12332βααα=−+；2、5；3、相关；4、-1；5、相关。
二、单项选择题 1、（B）；2、（C）；3、（C） 三、计算题1、 秩为3；123,,ααα为一个最大无关组，4123234αααα=++。
2、 0,0a b ≠=。
3、 3a =。
4、 讨论对于2b =时，秩为2，1α，2α为一个最大无关组；2b ≠时，秩为3，1α，2α，3α为一个最大线性无关组。
5、 1k =±。
四、证明题 1、（略）2、设1β=1α+2α，2β=2α+3α，3β=3α+4α，4β=4α+1α，证明1β，2β，3β，4β线性相关。
证明：11223344k k k k ββββ+++=0，即()()()()112223334441k k k k αααααααα+++++++=0()()()()141212323434k k k k k k k k αααα+++++++=0无论1234,,,αααα线性相关还是线性无关，上式总成立。
令141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由于此方程组系数行列式10011100001100011=，所以此方程组必有非零解，所以存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ββββ+++=0成立，所以1β，2β，3β，4β线性相关。
另证：因为1234ββββ−+−=0，所以1β，2β，3β，4β线性相关。
3、设n 维向量β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是1α，2α，…，m α线性无关。
证明：β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，则()()1212,,,,,,,m m R R ααααααβ=""（必要性）若β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示式唯一，则有()()1212,,,,,,,m m R R m ααααααβ==""，所以1α，2α，…，m α线性无关（因为向量组的秩等于向量的个数）。
线性代数练习题四(向量组的线性相关性(1)
线性代数练习题四（向量组的线性相关性）一、填空题1、设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 .（填相关或无关）2、n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,,n ααα，则12(,,,)n R ααα= .3、设A 是45⨯矩阵，且()3R A =，则线性方程组0AX =解空间的维数为 .4、向量组123(1,0),(1,1),(0,1)T T T ααα=-==的最大无关组为 .5、设向量组123(2,1,3,0),(1,2,0,2),(0,5,3,4),T T T ααα=-=-=-4(1,3,,0)T t α=-，则t = 时，该向量组线性相关.6、设n 维单位向量组12,,,n e e e 可由向量组12,,,s a a a 线性表示，则向量个数s 与n 的关系为 .7、已知12,(1,2,3),3A αβαβ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，则()R A = . 8、设方程组0Ax =以12(1,0,2),(0,1,1)T T ξξ==-作为基础解系，则系数矩阵A = .二、选择题1、设123451*********,,,,217254214010ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则该向量组的最大无关组是（ ）1231241251245(),,(),,(),,(),,,A B C C ααααααααααααα2、设矩阵(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解的充分必要条件是（ ）()()()()的行向量组线性无关的行向量组线性相关的列向量组线性无关的列向量组线性相关A AB AC AD A3、向量组12,,,s ααα的秩为r ，则下列叙述不正确的是（ ）1212121212(),,,(),,,,,,(),,,(),,,1s s ss s A r B r C r D r ααααααααααααααα+中至少有个向量的部分组线性无关中任意个线性无关的部分组与可互相线性表示中个向量的部分组皆线性无关中个向量的部分组皆线性相关4、设0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则有（ ）()0()0()0()0若仅有零解，则有唯一解若有非零解，则有无穷多解若有无穷多解，则仅有零解若有无穷多解，则有非零解A Ax Ax bB Ax Ax bC Ax b AxD Ax b Ax ========5、设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）()()()()必要非充分条件充分非必要条件充分必要条件无关条件A B C D6、向量组12,,,s ααα线性无关的充要条件是（ ）A 12,,,s ααα都是非零向量B 12,,,s ααα中任意两个向量对应分量不成比例 C 12,,,s ααα中有一部分向量线性无关D 任一向量均不可由其余向量线性表示7、若m n ⨯矩阵A 的m 个行向量线性无关，则()R A （ ）A mB n CmD n ><==8、下列命题中错误的是（ ） A 初等变换不改变矩阵的秩B 若n 阶方阵A 可逆，则A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积C 若AA O *=，且()1R A =，则()0(2)R A n *>>D 0Ax =的解向量的线性组合仍是0Ax =的解向量三、解答题与证明题1、已知向量组123412533113,,,,53111471a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求此向量组的秩和一个最大无关组2、已知向量组1231322,1,332a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问 （1）c 为何值时，该向量组线性无关？ （2）c 为何值时，该向量组线性相关？3、求解非齐次线性方程组1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩4、已知线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩，问（1）常数,a b 取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解.5、设A 为34⨯矩阵，()2R A =，且非齐次线性方程组Ax b =的三个解为123124115,,0132411ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求（1）齐次线性方程组0Ax =的通解； （2）非齐次线性方程组Ax b =的通解.6、求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)T T TTαααα====的最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。
题册答案,第4章 向量组的线性相关性
第4章 向量组的线性相关性 (作业1)一．填空题 1T )2,1,2(-=α，T )3,2,4(-=β，T )5,8,8(-=γ，若使γβα=+k 2，则k=__________.解：由γβα=+k 2，得k 4228-⨯=-，所以3=k 。
2 若齐次线性方程组AX=0只有零解，则A 的列向量组线性 . 解：0=Ax 只有零解即011=++n x x nαα 只有零解，即A 的列向量组线性无关。
3 若向量),,0(2k k =β能由向量)1,1,1(1k +=α,)1,1,1(2k +=α)1,1,1(3+=k α唯一线性表示，则k 应满足解：若向量),,0(2k k =β能由向量)1,1,1(1k +=α,)1,1,1(2k +=α)1,1,1(3+=k α唯一线性表示，即方程组()03213,2,1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x ααα有唯一解，此时系数行列式不为0，即.3,0-≠≠k k二选择题：1设n 阶方阵 A 是奇异阵，则A 中（ ）(A)必有一列元素为零； (B) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (C) 必有两列元素对应成比例； (D) 任意一列向量是其余列向量的线性组合。
解：n 阶方阵 A 是奇异阵，说明A 的列向量组线性相关，所以必有一列向量是其余列向量的线性组合。
选B 。
2 设n m ij a A ⨯=)(，若m<n, 则（ ）(A)A 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关； (C)A 的行向量组无关； (D) A 的列向量组无关。
解：因为n m <，所以m A R ≤)(，从而A 的列向量组的秩为n m A R <≤)(，所以A 的列向量组线性相关。
选B 。
三.已知3R 中的向量组321,,ααα线性无关，向量组211ααk b -=，322αα+=b , 133ααk b +=线性相关，求k 值解：由题设()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11001013,2,13,2,1k k b b b ααα。
3线性代数习题答案(向量组的线性相关性)
第三章 向量组的线性相关性1.验证}0{是向量空间，其中0 为n 维零向量.证明 设}0{, ∈βα，则}0{000∈=+=+βα，且R ∈∀λ，}0{00∈==λαλ，集合}0{ 对向量的加法和数乘向量封闭，所以}0{ 是向量空间. 2.验证：（1）向量空间必含有零向量；（2）若向量空间含有向量α ，则一定含有α-.证明 （1）设有向量空间V ，任取向量V ∈α ，R ∈∀λ，都有V ∈αλ，取定0=λ，则V ∈==00ααλ，所以向量空间中一定含有零向量.（2）设有向量空间V ，则可知V ∈0 ，于是存在V ∈βα,，使得V ∈=+0 βα，于是V ∈-=αβ，所以若向量空间含有向量α ，则一定含有α -. 3.判定3R 的下列子集是否是3R 的子空间： （1）{}R z z W ∈=|),1,0(1；解 因为1,W ∈∀βα ，设),1,0(1z =α，),1,0(2z =β ， +=+),1,0(1z βα),1,0(2z ),2,0(21z z +=1W ∉，集合1W 对加法不封闭，所以1W 不是3R 的子空间.（2）{}R y x y x W ∈=,|)0,,(2；解 因为2,W ∈∀βα ，设)0,,(11y x =α，)0,,(22y x =β ， )0,,()0,,(2211y x y x +=+βα22121)0,,(W y y x x ∈++=，且R ∈∀λ， 211)0,,(W y x ∈=λλαλ ，集合2W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以2W 是3R 的子空间.（3）{}R z y x z y x z y x W ∈=+-=,,,03|),,(3；解 因为3,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=+-=+-0303222111z y x z y x ⇒0)(3)()(212121=+++-+z z y y x x ，3W ∈+∴βα，且R ∈∀λ，3111),,(W z y x ∈=λλλαλ，集合3W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以3W 是3R 的子空间.（4）{}R x x x x x x x x x W ∈=++=3213213214,,,1|),,(；解 因为4,W ∈∀βα ，设),,(321x x x =α，),,(321y y y =β ， ),,(),,(321321y y y x x x +=+βα),,(332211y x y x y x +++=而1321=++x x x ，1321=++y y y ，从而有2321321=+++++y y y x x x 即有2)()()(332211=+++++y x y x y x 4W ∈，对加法不封闭，故4W 不是3R 的子空间.（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==-=R z y x z y x z y x W ,,,2321|),,(5； 解 因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，而1112321z y x -==-，2222321z y x -==-，)(2322212121z z y y x x +-=+=-+21)(21-+≠x x 5W ∉，对加法不封闭，故5W 不是3R 的子空间.（6）{}R z y x y x z y x z y x W ∈==++=,,,,032|),,(6解 因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=++=++032032222111z x x z x x ⇒0)(3)(2)(212121=+++++z z x x x x ，所以有6W ∈+βα，且R ∈∀λ，),,(111z x x λλλαλ=，032111=++z x x ⇒032111=++z x x λλλ，所以有6W ∈αλ ，该集合对加法与数乘都封闭，所以6W 是3R 的子空间.4．设)0,4,3(),1,1,0(),0,1,1(321===ααα，求21αα-及32123ααα-+.解 21αα-)1,1,0()0,1,1(-=)10,11,01(---=)1,0,1(-=32123ααα-+)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=).2,1,0(= 5．设)(5)(2)(3321αααααα +=++-，其中)3,1,5,2(1=α，)10,5,1,10(2=α ，)1,1,1,4(3-=α，求.α解 由)(5)(2)(3321αααααα+=++-整理得)523(61321αααα-+=)]1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61--+=).4,3,2,1(=6．设r r αααβααβαβ+++=+==2121211,,,，且向量组r ααα,,,21线性无关，证明向量组r βββ ,,,21线性无关.证明 设02211=+++r r k k k βββ，则++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(22110 =+r r k α因向量组r ααα,,,21线性无关，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= ， 故方程组只有零解则021====r k k k ，所以r βββ,,,21线性无关.7．设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，证明向量组4321,,,ββββ线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++ββββx x x x则 0)()()()(144433322211=+++++++ααααααααx x x x0)()()()(443332221141=+++++++ααααx x x x x x x x(1) 若4321,,,αααα线性相关，则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=，212x x k +=，323x x k +=，434x x k +=，由4321,,,k k k k 不全为零，知4321,,,x x x x 不全为零，即4321,,,ββββ线性相关.(2) 若4321,,,αααα 线性无关，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知，此齐次方程存在非零解 则4321,,,ββββ线性相关. 综合得证.8.讨论向量组的线性相关性：（1）)1,1,1(1=α ，)5,2,0(2=α ，)6,3,1(3=α；解 显然有312)1(ααα +-=，所以321,,ααα是线性相关的. （2）)0,1,1(1=α ，)0,2,0(2=α ，)1,0,0(3=α.解 设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ，于是有 ()()())0,0,0(,0,00,2,00,,3211=++k k k k ， 从而有 ())0,0,0(,2,3211=+k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧==+=00203211k k k k 0321===⇒k k k ， 故321,,ααα是线性无关的.9.设T )1,1,1(1=α ，T )3,2,1(2=α ，Tt ),3,1(3=α .（1）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？（2）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？（3）当向量组321,,ααα 线性相关时，将3α 表示为1α 和2α的线性组合.解 设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ， 于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++000332321321321tk k k k k k k k k从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++030320321321321tk k k k k k k k k ①（1）当向量组321,,ααα线性相关时，方程组①有非零解，则031321111=t⇒5=t ，故当5=t 时，向量组321,,ααα线性相关. （2）当5≠t 时，向量组321,,ααα线性无关.（3）设矩阵),,(321TT T A ααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=531321111−−→−--1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛420210111 −−→−--2321r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210101，从最后一个矩阵看出，.2213ααα+-=10.用矩阵的秩判别下列各向量组的线性相关性：（1）T)2,0,1,3(1=α ，T)1,2,1,1(2--=α ，T)4,4,3,1(3-=α；解 设矩阵),,(321ααα =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=412420311113−−→−--↔14122123r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=210420840311 −−→−--24234121r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000000840311，32)(<=A R ，所以向量组（1）线性相关. （2）T )1,0,1(1=α ，T )0,2,2(2=α ，T)3,3,0(3=α ；解 设矩阵),,(321ααα=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301320021−−→−-13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-320320021−−→−+23r r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600320021，33)(==B R ，所以向量组（2）线性无关. （3）T )0,1,1,4,2(1=α ，T )1,1,0,2,1(2-=α ，T)1,0,1,3,1(3=α .解 ),,(321ααα=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011101324112−−→−↔31rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110011112324101−−→−---14131224r r r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110*********−−→−+--↔252423252r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100200200110101−−→−+-353421rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000200110101，33)(==C R ，所以向量组（3）线性无关.11.已知向量组)1,2,1,1(1=α ，)2,0,0,1(2=α ，),8,4,1(3k ---=α线性相关，求k 的值.解 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==k A T T T 21802401111),,(321ααα −−→−---1413122rr r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----110620310111k −−→−+-24232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----200000310111k −−→−↔43r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000200310111k 从最后一个矩阵可以看出，当2=k 时，32)(<=A R ，向量组321,,ααα才线性相关.12.设向量组4321,,,αααα线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存在一组全不为零的数4321,,,λλλλ，使.044332211=+++αλαλαλαλ证明 由已知4321,,,αααα线性相关，所以存在一组不全为0的数4321,,,λλλλ 使得 .044332211=+++αλαλαλαλ (下证4321,,,λλλλ全不为0)假设01=λ，则0443322=++αλαλαλ，由已知4321,,,αααα其中任意三个向量都线性无关，所以432,,ααα线性无关，于是0432===λλλ， 这与4321,,,λλλλ不全为0矛盾. 故01≠λ.同理可证432,,λλλ不等于0 故4321,,,λλλλ全不为0.13.设向量x 可由r ααα ,,,21线性表示，r ααα,,,21可由s βββ ,,,21线性表示，证明x可由s βββ ,,,21线性表示.证明 根据题意可知存在常数r λλλ,,,21 和),2,1,(s j i x ij =，使得r r x αλαλαλ +++=2211；s is i i i x x x βββα+++=2211，r i ,,2,1 =++++++++=)()(2222121212121111s s s s x x x x x x x βββλβββλ)(2211s rs r r r x x x βββλ++++++++++++=2222212111212111)()(βλλλβλλλr r r r x x x x x xs rs r s s x x x βλλλ)(2211++++由上式可知，x可由s βββ ,,,21线性表示.14.求作一个秩为4的方阵，它的两个行向量是：)0,0,1,0,1(，)0,0,0,1,1(-. 解 设)0,0,1,0,1(1=α ，)0,0,0,1,1(2-=α ，显然21,αα线性无关，因为它们都是5维的，所以所求方阵A 应该含有5个5维的向量，又因为所求的方阵A的秩为4，所以可设)0,,,,(4321T T T T T A αααα=，只要4321,,,αααα线性无关就满足条件了，所以取)0,0,1,0,0(33==εα ，)0,1,0,0,0(44==εα就能满足条件，故满足条件的一个方阵为.0000001000001010001000011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A15. 设向量组m ααα,,,21线性无关，向量1β 可用它们线性表示，向量2β 不能用它们线性表示，证明向量组2121,,,,ββλααα+m )(为常数λ线性无关.证明 据题意存在常数m λλλ,,,21 ，使得m m αλαλαλβ+++=22111，设0)(2112211=++++++ββλαααm m m k k k k 将1β代入上式，得0])([2221112211=+++++++++βαλαλαλλαααm m m m m k k k k0)()()(21122121111=+++++++++++βαλλαλλαλλm m m m m m m k k k k k k k因为221,,,,βαααm 线性无关，所以有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+++++000011212111m m m mm m k k k k k k k λλλλλλ ⇒100010001000121m λλλλλλ01≠=，所以齐次方程组只有零解，故向量组2121,,,,ββλααα+m 线性无关.线性表示？能否由）（线性表示？能否由）（试讨论：线性无关，线性相关，向量组设向量组1211321m 32-1m 21,,2,,,1,,)3(,,.16--≥m m m m αααααααααααααα.,)1(321线性表示能由解ααα线性无关，，由于m 32ααα，.,,,132也线性无关其部分组-m ααα线性相关又1321,,,,-m αααα ，.,,,1321线性表示能由故-m αααα.,,,)2(-1m 21m 线性表示不能由αααα反证如下：线性表示，即能由设-1m 21m ,,αααα-1m 12211m αλαλαλα -+++=m ，由（1）的结论，1133221--++=m m αμαμαμα设，代入上式得， ,)()()(11-1m 133312221m --++++++=m m αλμλαλμλαλμλα 线性表示能由即132m ,,,-m αααα ，,,,,,m 132线性相关从而αααα-m 这与已知矛盾！.,,,-1m 21m 线性表示不能由故αααα17．设n ααα ,,,21是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量n εεε,,,21能由它们线性表示，证明n ααα,,,21线性无关.证明 n 维单位向量n εεε,,,21线性无关，不妨设: n nn n n n nn n n k k k k k k k k k αααεαααεαααε +++=+++=+++=22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121 两边取行列式，得T n T T nn n n n n T n TT k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121=由002121≠⇒≠T nTTT n T T αααεεε即n 维向量组n ααα ,,,21所构成矩阵的秩为n ，故n ααα,,,21线性无关.18．设n ααα ,,,21是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k ),,,(21=α则有n n k k k εεεα+++=2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n ααα ,,,21线性无关，且n ααα,,,21能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα +++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k εεεααα 2121222211121121 两边取行列式，得T n TTnn n n n n Tn TTk k k k k k k k k εεεααα2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n nnTnTTk k k k k k k k kααα令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T T T n T T T n T T A A εεεαααεεεααα212112121 即n εεε ,,,21都能由n ααα,,,21线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n ααα,,,21线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n ααα,,,21线性表示，则单位向量组： n εεε ,,,21可由n ααα ,,,21线性表示，则n ααα,,,21线性无关.19．设向量组A :s ααα,,,21的秩为1r ，向量组B :t βββ ,,,21的秩2r向量组C : t s βββααα,,,,,,,2121的秩3r ，证明21321},ma x {r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,，含有的向量个数(秩)分别为321,,r r r ，则C B A ,,分别与C B A ''',,等价，易知B A ,均可由C 线性表示，则秩(C )≥秩(A )，秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤.设A '与B '中的向量共同构成向量组D ，则B A ,均可由D 线性表示，即C 可由D 线性表示，从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D )，D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.20.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明：设Tn a a a A ),,,(21 =T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα ,,,21 ， T s T T βββ,,,21显然，存在矩阵B A '',，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT n T TA a a a ααα 2121，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T s T TT n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T nTT TT b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此()()()B R A R B A R +≤+ 21.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来： （1）)3,1,2,1(1=α，)6,5,1,4(2---=α，)7,4,3,1(3----=α，)0,2,1,2(1=α； （2）T)0,2,3,1(1=α ，T)3,14,0,7(2=α ，T)1,0,1,2(3-=α ，T)2,6,1,5(4=α，T )1,4,1,2(5-=α；（3）)2,1,2,1(1=α ，)1,3,0,1(2=α ，)1,0,1,2(3-=α ，)2,2,1,2(4-=α，)3,4,2,2(5=α.解 （1）设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2112203111022211A −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310422035202211−−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310352021102211−−→−++-2423212r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------4400770021104301−−→−--÷-÷3443)4()7(r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000110021104301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110010101001，从最后一个矩阵中看出，3)(=A R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且.3214αααα+-=（2）设矩阵),,,,(54321ααααα=B ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121304601421110325271B −−→−--131223r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1213004400714721025271 −−→−-÷)7(2r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12130044001213025271−−→−-÷-)4(324r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001213025271−−→−--12312r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001103023071−→−÷32r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001100313101023071−−→−-217r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000011003131010313201，从最后一个矩阵中看出，3)(=B R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且32143132αααα++=，.031313215αααα ++-= （3）设矩阵),,,,(54321TT T T T C ααααα =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32112420312110222211C −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310242202352022211 −−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310235201211022211−−→−++-2423212r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------04400077001211014301−−→−--÷-÷3443)4()7(rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000011001211014301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000011001101011001，从最后一个矩阵中看出，3)(=C R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα，且 3214αααα +-=，.03215αααα ++=等价的充要条件是与矩阵矩阵，证明：矩阵都是与设B A n m B A ⨯.22 ).()(B r A r =证明 必要性),,,,(),,,,(2121n n B A βββααα==设),,,,,,,,(),(2121n n B A C βββααα==因为A 与B 等价，即A 的列向量与B 的列向量等价，则它们可以相互线性表示； 因此A （或B ）的列向量与C 的列向量可以相互线性表示； 由推论3“等价的向量组有相同的秩”，得),()()(B A r B r A r ==充分性.,,,,)2(;,,,)1(2121s s B βββααα=设s γγγ ,,,)3(21分别是A ，B ，C 的极大无关组.因为向量（1）是C 的列向量的一部分且线性无关， 又(1)和(3)的秩相等，所以(1)也是C 的极大无关组. 同理(2)也是C 的极大无关组. 于是(1)与(2)是等价的. 从而矩阵A 与B 等价.23.求向量组:)1,5,1,1(1--=α ，)3,2,1,1(2-=α ，)1,8,1,3(3-=α，)7,9,3,1(4-=α的所有最大无关组.解 设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7131982531111311−−→−+-+1413125r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---84401477042201311−−→−-+÷24232472r r rr r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000021101311−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000021101201，所以从而最后一个矩阵中看出所有最大无关组为：21,αα ；31,αα ；41,αα ；32,αα ；42,αα ；43,αα.24．试证:由)0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(321===ααα 所生成的向量空间就是3R .证明 设TA ),,(321ααα = 011101110321==αααA 02110101011)1(1≠-=-=-于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,ααα均为三维，且秩为3，所以321,,ααα 为此三维空间的一组基，故由321,,ααα所生成的向量空间就是3R .25．由),1,1,0,1(),0,0,1,1(21==αα所生成的向量空间记作1V ，由),1,1,1,0(),3,3,1,2(21--=-=ββ所生成的向量空间记作2V ，试证：21V V =.证明 设{}R k k k k x V ∈+==1122111,αα，{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量，可写成2211αα k k +，要证22211V k k ∈+αα，从而得21V V ⊆由22112211βλβλαα+=+k k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中，把21,k k 看成已知数，把21,λλ看成未知数，0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解，21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故.21V V =26．验证)2,1,3(),3,1,2(),0,1,1(321==-=ααα为3R 的一个基，并把)13,8,9(),7,0,5(21---==v v在这组基下的坐标.解 由于06230111321321≠-=-=ααα即矩阵),,(321ααα的秩为3， 故321,,ααα 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111αααk k k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故1v在这组基下的坐标为).1,3,2(- 设3322112αλαλαλ++=v ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故2v在这组基下的坐标为).2,3,3(--27.设有向量组)5,2,3(1=α，)7,4,2(2=α ，),6,5(3λα=，)5,3,1(=β，当λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示？解 设矩阵),,,(321TT T T A βααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=57536421523λ−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---57536422121λ−−→−--131252rr r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---15517078802121λ−−→−↔-32232r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----7880111102121λ−−→−-+232182rr r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----18960011110023201λλλ−−→−--÷323)1(r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--196800085710023201λλλ，从最后一个矩阵中看出βαα ,,21是线性无关的，要使β 能由321,,ααα 线性表示，必需当321,,ααα线性无关才满足条件，即当0968≠-λ时，即12≠λ时，β 才能由321,,ααα线性表示.28.证明向量组)1,,1,1(:1 =βB ，)1,,1,0(2=β，…)1,,0,0(=n β为n R 的一组基，求向量),,(21n a a a=α在这组基下的坐标.证明 设矩阵),,,(21Tn T T A βββ =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111011001 A ，因为01||≠=A ，所以向量组B 线性无关，且向量组的秩为n ，故向量组B 为nR 的一组基.设矩阵),,,,(21αβββT n T T C =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a C 21111011001−−→−------12211r r r r r r n n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1121100010001n n a a a a a C所以 ).,,,()(1121---=n n B a a a a aα 29.计算：（1）设A 为三阶矩阵),,(321A A A A =，)3,2,1(=i A i 是A 的第i 个列向量，且3||-=A ，计算3212,2,2A A A A --的值.（2）设四阶矩阵),,,(432r r r A --=α，),,,(432r r r B -=β，其中432,,,,r r r βα均为四维列向量，且已知行列式4||=A ，1||=B ，计算行列式||B A -的值.解 （1）32123212,2,2,2,2A A A A A A A A --=-- |,,|2,2,2322312A A A A A A --+-= 312,,4A A A -=0+312,,4A A A -=3213,,)4()1(A A A --=||4A =.12-= （2）4322,2,2,||r r r B A ---=-βα 432,,,8r r r ---=βα432,,,8r r r --=α432,,,8r r r ---+β||8A =4324,,,8)1(r r r --+β||8||8B A +=.40832=+=。
线性代数课后习题答案第四章向量组的线性相关性
第四章 向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2,a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.解 设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关. 解 有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1, b2,b3,b4线性相关.证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一 记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二 因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r . 证明 令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明 将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1,α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解 因为AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0. 解 原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1; ⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T , ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T , ⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且R (B )=2.解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA ,所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T . 因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解 显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-0432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解. 解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x .取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程III :⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000021*********11110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x .取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R nA R n A R 当当当.证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1,η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T ,及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r. (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000013101201 ~r,方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R .因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1, 即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解 由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解.由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系. 方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1, k2,⋅⋅⋅,k s为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0},V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, λ∈∈R , 有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =0, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =0,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0, λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1, λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1. V 2不是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, 有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明 设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A ,知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成 的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明 设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=00000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解 设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a ,知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示 为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ,b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解 设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组 , 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a ,1321321*********) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a e e e ,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a ,由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P。
线性代数练习——向量组的线性相关性
线性代数练习——向量组的线性相关性一、填空题1、 设1(1,0,1)T α=，2(0,1,1)T α=−−3(1,1,1)T α=，(3,5,6)T β=，则β被1α，2α，3α线性表示的表示式为 。
2、 若向量组1(1,2,3)T α=，2(3,1,2)T α=−，3(2,3,)T a α=线性相关，则a = 。
3、 设1(1,3,1)T α=−，2(2,1,0)T α=，3(1,4,1)T α=，则1α，2α，3α线性 关。
4、 已知向量组1α，2α，3α线性无关，若向量组1α+2α，2α+3α，1λα+3α线性无关，则λ=________。
5、 设()n m ij a A ×=，若n m <，则A 的列向量组线性__________。
二、单项选择题1、若向量组s ααα,,,21"线性相关，则一定有（ ）（A）121,,,−s ααα"线性相关（B）121,,,+s ααα"线性相关 （C）121,,,−s ααα"线性无关 （D）121,,,+s ααα"线性无关2、向量组s ααα,,,21"线性无关的充分条件是（ ）（A）s ααα,,,21"均不是零向量 （B）s ααα,,,21"中有部分向量线性无关（C）s ααα,,,21"中任意一个向量均不能由其余1−s 个向量线性表示（D）有一组数021====s k k k "，使得11220s s k k k ααα+++="3、给定向量组)3,1,1(1−=αK ，)4,1,2(2=αK ，)7,0,3(3=αK，其最大无关组所含向量的个数为（ ）（A）0（B）1 （C）2 （D）3三、计算题 1、 求向量组1(2,1,3,5)T α=−，2(4,3,1,3)T α=−，3(3,2,3,4)T α=−，4(4,1,15,17)Tα=−的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。
线性代数课件第四章向量组的线性相关性——习题课共79页文档
(2 )加法结 (合 ) 律 ( );
(3)对任一,个 有 向 O 量 ;
11.04.2020
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(4)对任一个 ,存向 在量 负 ,向 有量 ()O;
(5) 1;
(6)数乘结k(合 l)律 (k)l;
(7)数乘分 k( 配 )律 kk; (8)数乘分 (k配 l)k 律 l.
(2)设aj
a1j ,bj
arj
a1j aar r1j, j
,(
j
1,2,
,m)
即向量 aj 添上一个分量后得 量b到 j .若向向量
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组 A:a1,a2,,am线性,无 则关 向B 量 :b1,组 b2, ,bm也线性 .反 无 言 ,关 若 之向B 量 线组 性,相 则向A 量 也组 线性 . 相关
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３ 线性组合
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组．
定义 给定向量A组:a1,a2, ,am,对于任何一组 实数k1,k2, ,km,向量
k1a1k2a2 kmam 称为向量A组 的一个线性组 ,k1合 ,k2, ,km称为 这个线性组合的.系数
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４ 线性表示
定义 给定向量A组 :a1,a2,,am和向量 b,如果 存在一组实 k1,数 k2,,km,使
bk1a1k2a2 kmam, 则向量 b是向量A组 的线性组,这 合时称向b能 量 由向量A组 线性表.示
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定理 向量 b能由向量 A线 组性表示的充分必 件是矩A阵 (a1,a2,,am)的秩等于B矩阵 (a1, a2,,am,b)的秩 .
线性代数习题册(第四章 向量组的线性相关性参考答案)
r4 − r2
0
5
2
0 0 2
0
0
2
8
6
r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2
1 2 r2
0 0
0 0
1 0
2
4
3 1
0
0
1
0 →
0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0
注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向 量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)
1 0
1 1
0
1
0 0 1
1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,
《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
线性代数习题[第四章] 向量组的线性相关性
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习题 4-1 向量组的线性相关性1．向量组12,,,s ααα（s ≥2）线性无关的充分条件是 。
a ．12,,,s ααα均不是零向量； b ．12,,,s ααα中任意两个向都不成比例；c ．12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量表示；d ．存在12,,,s ααα的一个部分组是线性无关的。
2．如果向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表示，则a ．存在一组不全为0的数s i k i ≤≤1,，使得i s i i k αβ∑==1成立； b ．对β的线性表示式不唯一；c ．向量组s ααβ ,,1是线性相关；d ．存在一组全为0的数s i k i ≤≤1,，使得isi i k αβ∑==1成立。
3．设向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，当=β 时，β能由21,αα线性表示。
a ．（2，0，0），（3-，0，4）；b ．（2，0，0），（1，1，0）；c ．（3-，0，4），（1，1，0）；d ．（2，0，0），（0，1-，0）。
4．设向量组γβα,,线性无关而δβα,,线性相关，则 。
a ．α必可由δγβ,,线性表示；b ．β必不可由δγα,,线性表示；c ．δ必不可由γβα,,线性表示；d ．δ必可由γβα,,线性表示。
5．设向量组321,,ααα线性无关，则向量组 线性无关。
a ．133221,,αααααα-++；b ．32132212,,ααααααα++++；c ．1332213,32,2αααααα+++；d ．321321321553,2232,ααααααααα-++-++.6. 设)(5)(2)(3321αααααα+=++-，其中)0,1,5,2(1=α， )1,1,1,4(),10,5,1,10(32-==αα，试求α。
7. 判断下列向量组的线性相关性。
(1) T T T T )1,0,1,0(,)1,1,0,0(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα(2) T T T T )2,0,0,0(,)1,1,0,0(,)4,0,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα8. 设321,,ααα线性无关，讨论133221,,αααααα---线性相关性。
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性一．选择题1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：1． 设TT T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα则=-21αα(1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T)10,5,1,10(2=αT ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T3． 已知TT T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 24． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式0abc ≠三．计算题：1． 设向量()11,1,1Tαλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)Tβλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？13212322221110111(,,,)11111111111101110,00(3)(12)r r rλλλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−−→+ ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪−−→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭解因为2221110,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭123123123(1)03,(,,,)(,,)3,,,,;R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一123123123(2)0,(,,,)(,,)13,,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一123123123(3)3,(,,,)3(,,)2,,,.R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩一．选择题：1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,, （C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [ C ]（A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D ）若n s >，则n r = 二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 3 2．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为22． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T),,(1324=α的秩为2，则a = 2 b = 5三．计算题：1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，Td ),,,(262=β（1）试求4321αααα,,,的极大无关组（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式134321313512312343(1)53215111211221122(1)(,,,)11123215543954391112111200100010012101210121000011120121r r r r r r r r r r r r r αααα↔---⨯--↔⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪−−−→−−−→ ⎪⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭−−−→解：32414342431231231212312340010000(,,)3,,,.,,,,,3212321232121126112611261112111200145430110r r r r r r r r r r R d d αααααααααααααααα-----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4因为则线性无关，且故为的一个极大无关组.(2)()123123123412300066(,,,),,3,,,,,,32120104112610020014001400000000r d d R R αααβαααβαααααααβααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只有时即可由的极大无关组表示.3． 已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关。
线性代数课后习题答案04
第四章 向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.解 设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关. 解 有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3, b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7). 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法一 记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二 因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 必要性: 设a 为任一n 维向量. 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明令B=(b1,⋅⋅⋅,b r),A=(a1,⋅⋅⋅,a s),则有B=AK.必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明 将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101*********||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解 因为AP =A (x , A x , A 2x )=(A x , A 2x , A 3x )=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000B . (2)求|A |.解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0. 22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解 原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2.因此方程组的基础解系为ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T ,⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2.解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA , 所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T .方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解 显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T .因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T .因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T .(2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x 的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000210010101001 1110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x . 取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当. 证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有|AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0,所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1. 当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r . (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一.当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000013101201 ~r , 方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R . 因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线 l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3)l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关. 32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解 由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解. 由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解. 由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r 线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1,k2,⋅⋅⋅,k s 为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0},V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=0,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=0,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0,λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0,所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1,λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1.V 2不是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1,b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n )=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2,所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明 设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2. 证明 设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解 设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为 a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T , b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解 设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a , 1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .。
向量组的线性相关习题
定义: 给定向量组A: 1, 2, ···, m, 对于任何一组实数k1, k2, ···,km, 向量 k11 + k22 + ··· + kmm 称为向量组A: 1, 2,···, m一个线性组合, k1, k2, ···,km称为这个线性组合的系数.
三、线性组合
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.
例1: 研究下列向量组的线性相关性,
解一: 令 k11 + k22 + k33 = 0,
即
整理得齐次线性方程组:
上述齐次线性方程组(2)的系数行列式为: 齐次线性方程组(2)有非零解, 故1, 2, 3线性相关. 解二: 构造矩阵 A = (1, 2, 3) = 则
由 R(A) = 2 < 3 得, 向量组1, 2, 3线性相关.
十、非齐次线性方程组
(2) 设 x= 是方程组 Ax=b 的解, x= 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=+ 仍为方程组 Ax=b 的解.
求非齐次线性方程组的特解
用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形:
当dr+10时, 则方程组 Ax=b 无解; 否则, 得齐次线性方程组Ax=0的基础解系1, 2, ···,n-r和非齐次线性方程组Ax=b的一个特解: *=(d1, d2, ···, dr , 0, ···, 0)T.
求齐次线性方程组的基础解系
用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形:
将第r+1, r+2, ···, n列的前r个分量反号, 得解1, 2, ···,n-r的前r个分量:
将其余n–r个分量依次组成 n–r 阶单位矩阵, 于是得齐次线性方程组的一个基础解系:
第四章向量组的线性相关性线性代数含答案
第四章 向量组的线性相关性4.4.1 基础练习1. 设有n 维向量组12m ⋅⋅⋅ααα，，,与⋅⋅⋅12m ββ,β，，若存在两组不全为零的数 12m λλλ⋅⋅⋅，，,和12k k k m ⋅⋅⋅，，,使11111m m m k k k k 0m m m λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝则（ ）（A ）12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性相关 (B) 12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性无关 (C) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性无关 (D) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性相关 2. 设12s ⋅⋅⋅ααα，，,与t ⋅⋅⋅12ββ,β，，为两个n 维向量组，且 12s t ()()r R R ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=12αααββ,β，，,，，，则（ ）（A ）当s t =时，两向量组等价； （B ）两向量组等价；（C ）12s t ()r R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12αααββ,β，，,，，，＝； （D ）当向量组12s ⋅⋅⋅ααα，，,被向量组t ⋅⋅⋅12ββ,β，，线性表示时，两个向量组等价. 3. 设A 是4阶方阵，且0A ＝，则A 中（ ） (A) 必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 4. 设A 是矩阵，B 是矩阵，则( )（A ）当m n >时，必有0≠AB ； （B ）当m n >时，必有0AB ＝ （C ）当m n <时，必有0≠AB ； （D ）当m n <时，必有0AB ＝5. 设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ）（A ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（B ）232k 11αααββ，，，＋线性相关； （C ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（D ）232k 11αααββ，，，＋线性相关.6. 设有向量组1α＝(1,-1,2,4)，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，4α＝(1,-2,2,0)与5α＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（ ）（A ）231ααα，，； (B) 241ααα，，； (C) 251ααα，，； (D) 2451αααα，，，.7. 设有向量组(,0,)(,,0)(0,,)a c b c a b 123ααα＝,＝,＝线性无关，则a ，b ，c 必须满足关系式 .8.向量组(1,2,3,4)(2,3,4,5)(3,4,5,6)(4,5,6,7)1234αααα＝,＝,＝,＝的秩等于 .9. 已知向量组23(1,2,-1,1)(2,0,,0),(0,-4,5,-2)t 1ααα＝,＝＝的秩为2，则t ＝ . 10. 设矩阵122212304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A －＝，向量(,1,1)Ta α＝，已知A α与α线性无关，则a ＝ .11. 向量空间{}V ∈=x=(x,2x,y)|x,y R 的维数是 ，它的基2________,________.=1αα＝向量 ()α＝3,6,-4 在基21αα,下的坐标是 . 12. 设有向量组 123(2,4,7);(3,2,5);(5,6,);(1,3,5)k ====αααβ，当k 为何值时， β能由123ααα,,线性表示？ 13. 设有向量组12345(2,1,5,3);(1,1,2,1);(0,3,1,1);(1,2,3,2);(1,1,2,8)==-===---ααααα求向量组的秩和它的一个极大线性无关组.14. 设有向量组 123(111);(111);(111);(121)==-=-=αααβ，，，，，，，，，试把β表为123ααα,,的线性组合.15. 求方程组12345123451234512345x -2x +x +x -x 02x +x -x -x +x 0x +7x -5x -5x +5x 03x -x -2x +x -x 0=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩的基础解系和通解.16. 求方程组1234234124234x -2x +3x -4x 4x -x +x 3x -3x -3x 1-7x +3x +x 3=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩的通解.4.4.2 提高练习1. 已知 123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)T T Ta ===-+ααα4(1,2,4,8),(1,1,3,5)T T a b =+=+αβ（1）a ,b 为何值时，β不能表示为1234,,,αααα的线性组合；（2）a ,b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示，并写出该表达式. 2. 设向量12,,,r ααα线性相关，而其中任何r -1个向量线性无关，证明存在不全为零的数12,,,r k k k 使110r r k k ++=αα.3. 设123,,ααα线性无关，证明 1123223312322,,23=-+=-=-+βαααβααβααα 线性无关.4. 验证向量123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)T T T =-==ααα是3R 的一个基，并分别将向量12(5,0,7),(9,8,13)T T ==---ββ用这个基表示.5. 已知3R 的两个基123123333536:1,1,1;:3,1,422211312⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=====-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααB βββ，求基A 到基B 的过渡矩阵C .6. 设由向量()1230,1,2,(1,3,5),(2,1,0)===ααα生成的向量空间为V 1，由向量()121,2,3,(1,0,1)==-ββ生成的向量空间为V 2，试证V 1= V 2.7. 设4R 的3个基分别为12341234110000100(1):,,,;0010000120100101(2):,,,;1012010021(3):01⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛=e e e e εεεεη234021113,,,.211222-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηη 1) 求由基（2）到基（1）的过渡矩阵； 2) 求向量123=++αe e e 在基（2）下的坐标； 3) 求向量134323=+-βεεε在基（1）下的坐标； 4) 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8. 设m 个n 维向量12,,,n ααα线性无关，P 为n 阶方阵，证明：向量组12,,,nP αPαPα线性无关的充要条件是0≠P .9. 已知向量组（1）：1230a b 121110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ＝，＝，＝，向量组（2）：123⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα139＝2，＝0，＝6－31－7具有相同的秩，且3β可由向量组（2）线性表示，求a ，b 的值.10. 已知3阶方阵A 与3维向量x ，使得向量组2x,Ax,A x 线性无关，且满足332=-2A x Ax A x ；1) 记(),,=2P x Ax A x ，求3阶方阵B ，使1-A =PBP ; 2） 计算行列式+A I .11. 讨论并求解方程组 12312321231x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩.12. 设有3维列向量 2321110111111λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααβ＋＝，＝＋，＝，＝＋问λ取何值时，（1）β可由231ααα，，线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由231ααα，，线性表示，但表达式不唯一？ （3）β不能由231ααα，，线性表示？13. k 为何值时，线性方程组 1232123123424x x kx x x x k x x x +=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩＋k有唯一解、无解、有无穷个解？在有解时求出其全部解. 14． 已知234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8),(1,1,3,5).a a b ===-+=+=+1ααααβ（1）a 、b 为何值时，β不能表示为234,1αααα，，的线性组合？（2）a 、b 为何值时，β可表示为234,1αααα，，的线性组合？并写出该表示式. 15. 已知下列线性方程组1234124123413412334526(1)41;(2)2113321x mx x x x x x x x x x nx x x x x x x x t +--=-+-=-⎧⎧⎪⎪---=--=-⎨⎨⎪⎪--=-=-+⎩⎩(1) 求出方程组(1)的通解;(2) 当(2)中的参数m 、n 、t 为何值时，方程组(1)与(2)同解？第四章参考解答4.4.1 基础练习：1. （D ）提示：由题设知，1122211222m m m m m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+11αβαβαβαβαβαβ（+）+（+）++（+）+（-）+（-）+（-）=m 0又知12m 12m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，不全为零， 122122m m m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβαβαβ＋，＋，，＋，-，-，，-线性相关.2.（D ）提示：设向量组12s ⋅⋅⋅αααA ：，，,：向量组t B ⋅⋅⋅12ββ,β：，， ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O CB B （因向量组A 可被向量组B 表示），则()()()R R R r ===A B C ， 所以AB ，故选（D ）3.（C ）提示：因0A ＝，则()4R <A ，A 经初等列变换化为阶梯阵B ，B 必有零列，该列就是其余列的线性组合.4.（B ）提示：m n >时，n m ≤<A R ()，又≤AB A R ()R ()，则AB R ()<m ，AB 为降阶方阵，所以0AB ＝.5.（A ）提示：1β由可由231ααα，，线性表示知12233λλλ11βααα＝＋＋，那么42233()2233122r k r r r K λλλβββ-++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111ααααA B αα 又231ααα，，线性无关，且2β不能由231ααα，，线性表示，则A B R ()=R ()=4，即2312k +1αααββ，，，线性无关.这个结论肯定了（A ）而排除了（B ）,对条件（C ）,取k =0即与题设矛盾，可排除. 对于（D ）,取k =1时与（A ）中k =1相同，已知（A ）正确，从而否定（D ）. 6.（B ）7. 0abc ≠.提示：231ααα，，线性无关230⇔≠1ααα，，，即0000a cbc a b≠，由此求得0abc ≠.8. 向量组的秩为2. 提示：因为234123412341234234501230123345602460000456703690000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααα－－－－－－＝－－－－－－9. t =3. 提示：2312111211121120t 004t 2204t 2204520452003t 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα－－－＝－＋－－＋－－－－－－向量组的秩为22t ⇔＝ 10. a ＝－1. 提示：1221a 21212a 3,2a 312a 2130413a 43a 413a 31⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A αAααB －aa 0a ＝＝＋（，）＝＋＋＋＋＋a =-1时，010101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A ααB －＝，（，）＝R ()=1<2（向量个数），则A α与α线性相关. 11. V 的维数是2，它的基()()21αα＝1,2,0,＝0,0,1.向量α的坐标是（3，－4）.提示：对V 中任意向量()()(),2,x x y x y x ==1,2,0+0,0,1，向量()(),1,2,00,0,1线性无关.12. 12k ≠. 13. 秩为3，125ααα,,是它的一个极大线性无关组. 14. 12331022βααα＝＋－. 15. 基础解系为(0,0,0,1,1)T=ξ，通解为(0,0,0,,)Tk k k ==x ξ（k 为任意常数）. 16. (8,0,0,3)T=--x4.4.2 提高练习：1. 解 设有数1234,,,x x x x ，使11223344x x x x +++=ααααβ即 123411111111110112101121,(,)2324300103518500010x x x a b a b x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A β （1）当a ＝－1，b 时，方程组无解，此时β不能表示为1234,,,αααα的线性组合； （2）当a ＝－1，b 时，方程组有唯一的解，此时β有1234,,,αααα的唯一线性表示，求解线性方程组12342344321341234121b ,0,,(1)(1)0b 0x x x x x x x x x x x a x b a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩+++βααααa+b+1-2b 解出＝，＝＝＝a+1a+1a+1-2b a+b+1＝a+1a+1a+1.2. 解： 反证法：若110r r k k ++=αα 至少有一个0i k =，那么11111100i i i i r r k k k k --++++++==αααα，由于r -1个向量是线性无关的， 必有1110i i r k k k k -+======，这样，12,,,r ααα线性无关，与假设矛盾.3. 提示：利用过渡矩阵可逆.4. 提示：1231210023(,,,,)010*******⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭αααββ初等变换123,,ααα与123,,e e e 等价，则123,,ααα是3R 的一个基，并且 1123212333+βαααβααα＝2－，＝3－－2.5. ()()1123123312,,,,111203-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭C αααβββ6. 提示：只需证()()R R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B ， 012123135012210000123000101000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A CB ,所以()()2R R R ⎛⎫===⎪⎝⎭A AB B ，A B ,由此V 1= V 2. 7. 解：()12341234(,,,),,,=e e e e εεεεC1）()1123412120001,,,14240101-----⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭C εεεε; 2）设α在基（2）下的坐标为1234,,,l l l l ，已知α在基（1）下的坐标为()()1234,,,1,1,1,0k k k k =-，根据坐标变换公式11223344121210000110142411010101l k l k l k l k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以α在基（2）下的坐标为0，0，-1，1. 3) 13432=+-βεεε在基（1）下的坐标112213344121238000101142423010110k l k l k l k l ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以，β在基（1）下的坐标是-8，1，3，0.4）设由基（2）到基（3）的过渡矩阵为Q ，它可以认为是由基（2）到基（1）（过渡矩阵C ），再由基(1)到基(3)的变换，设由基(1)到基(3)的过渡矩阵为G ，则()()12341234,,,,,,==ηηηηe e e e G G ，于是由基(2)到基(3)的过渡矩阵为()12341212202168512000111131222,,,1424021110161223010112222335---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q CG C ηηηη.8. 提示：已知12,,,n ααα线性无关，则1212120,0n n n ≠=≠αααP αααPαPαPα，所以0≠P9. 提示：()123⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭ααα139,,012000，则()1232R =ααα,,且12αα,为一个最大无关组 ()1231211013003a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭βββ,,，因()123123(,,)2R R ==βββααα,,，则03a b -=， 即3a b =，又3β可由向量组（2）线性表示，即可由最大无关组12αα,线性表示，那么123131302010*********0103b b b b b===--=--ααβ，则5,15b a ==.10. 提示： 1)()()()2322232000103012==-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭AP Ax A x A x Ax A x Ax A x x Ax A x PB， 故000103012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B2) 由111,---+=+A =PBP A I PBPPP ，所以 1001134011+=+==--A I B I11. 提示： 2222231111111011110021λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭B （1）有唯一解21λ⇔≠－，，这时唯一解为 ()2111,,222x x x λλλλλ++=-==+++123. （2） 2λ=－时无解.（3） 1λ＝有无穷多解，这时通解为 12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ＝（k 1，k 2为任意常数）.12.提示：（1）β可由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，有唯一解0λ⇔≠，且11 / 1111 / 11 3λ≠－； （2）β可由123ααα，，线性表示，但表达式不唯一()123⇔=αααx β，，有无穷多解0λ⇔＝；（3）β不能由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，无解3λ⇔＝－13. 提示：（1）1,4k ≠-时，有唯一解 221232242,,111k k k k k x x x k k k+++-===+++； （2）k ＝1时，无解；（3） k =4时有无穷多解，全部解为 034101k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x （k 为任意常数）. 14. 提示：设234(,,,)=1A αααα，则本题是要求a 、b 为何值时，=Ax β有解和无解.（1）1a =-且0b ≠时，β不能由1234αααα，，，线性表示 ；（2）1a ≠- 时，β可由1234αααα，，，唯一线性表示 1234b 1011a b b a a +++++++βαααα－2＝a +1； 当1a =-且0b =时，β可由1234αααα，，，线性表示为1234(12)++-++βαααα121212＝(-2c +c )c c c c （,12c c 为任意常数）15. 提示：先求出（1）的解，然后代入（2），定出m 、n 和t 的值1）(2,4,5,0)(1,1,2,1)T T k =---+x ； 2） 将(2,4,5,0)T---代入（2），得关于m 、n 和t 的线性方程组 2455451151m n t --+=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=-+⎩解之得2,4,6m n t ===当2,4,6m n t ===时，（2）的系数矩阵的秩等于（1）的系数矩阵的秩，都是2，则基础解系含一个向量，可由验证（1）的基础解系()T1,1,2,1也是（2）的基础解系. 所以（1）与（2）是同解方程组.。
线性代数习题[第四章] 向量组的线性相关性
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习题 4-1 向量组的线性相关性1．向量组12,,,s ααα（s ≥2）线性无关的充分条件是 。
a ．12,,,s ααα均不是零向量； b ．12,,,s ααα中任意两个向都不成比例；c ．12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量表示；d ．存在12,,,s ααα的一个部分组是线性无关的。
2．如果向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表示，则a ．存在一组不全为0的数s i k i ≤≤1,，使得i s i i k αβ∑==1成立； b ．对β的线性表示式不唯一；c ．向量组s ααβ ,,1是线性相关；d ．存在一组全为0的数s i k i ≤≤1,，使得isi i k αβ∑==1成立。
3．设向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，当=β 时，β能由21,αα线性表示。
a ．（2，0，0），（3-，0，4）；b ．（2，0，0），（1，1，0）；c ．（3-，0，4），（1，1，0）；d ．（2，0，0），（0，1-，0）。
4．设向量组γβα,,线性无关而δβα,,线性相关，则 。
a ．α必可由δγβ,,线性表示；b ．β必不可由δγα,,线性表示；c ．δ必不可由γβα,,线性表示；d ．δ必可由γβα,,线性表示。
5．设向量组321,,ααα线性无关，则向量组 线性无关。
a ．133221,,αααααα-++；b ．32132212,,ααααααα++++；c ．1332213,32,2αααααα+++；d ．321321321553,2232,ααααααααα-++-++.6. 设)(5)(2)(3321αααααα+=++-，其中)0,1,5,2(1=α，)1,1,1,4(),10,5,1,10(32-==αα，试求α。
7. 判断下列向量组的线性相关性。
(1) T T T T )1,0,1,0(,)1,1,0,0(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα(2) T T T T )2,0,0,0(,)1,1,0,0(,)4,0,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα8. 设321,,ααα线性无关，讨论133221,,αααααα---线性相关性。
第四章习题一（向量组的线性组合及其线性相关性）
第四章习题一（向量组的线性组合及其线性相关性）一、A:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032,2103,3210321ααα B: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3144,1120,2112321βββ 证明：向量组B 组能由向量组A 线性表示，但向量组A 组不能由向量组B 线性表示。
二、A: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1551,111321αα B: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2783,0321,1232321βββ 证明：向量组B 组与向量组A 组等价。
第四章习题二（向量组的秩）一、已知2),,(321=αααR ，3),,(432=αααR ，证明：（1）1α能由32,αα线性表示；（2）4α不能由321,,ααα线性表示二、问a 取何值是下列向量组线性相关？⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a 11,11,11321ααα三、设,,,,144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,ββββ线性相关.四、用初等行变换求下列列向量组的秩，求该向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0057,3508,0231,13224321αααα五、设n ααα,,,21 是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.第四章习题三（线性方程组的解的结构）一、求下列线性方程组的基础解系⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x二、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1234,6543321ηηη，求该方程组的通解.三、设矩阵),,(4321αααα=A ,其中432,,ααα线性无关，432132αααα+-=.4321432ααααβ+++=，求方程组β=Ax 的通解.四、设*η是非齐次线性方程组的β=Ax 的一个解，r n -ξξξ,,,21 是对应齐次线性方程组的一个基础解系.证明：（1）r n -ξξξη,,,,21* 线性无关；（2）r n -+++ξηξηξηη*2*1**,,,, 线性无关.五、设s ηη,,1 是非齐次线性方程组的β=Ax 的s 个解，s k k ,,1 为实数，满足11=++s k k .证明：s s k k x ηη++= 11也是它的解.第四章习题四（向量空间）一、设{}0,,,),,,(2121211=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x x V 满足，{}1,,,),,,(2121212=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x x V 满足，试问1V ，2V 是不是向量空间？为什么？二、 验证()()()T T T 2,1,3,3,1,2,0,1,1321==-=ααα是3R 的一个基，并把()()T T 13,8,9,7,0,521---==ββ用这个基线性表示三、已知3R 的两个基为()()()T T T 1,0,1,1,0,1,1,1,1321=-==ααα及()()()T T T 3,4,3,4,3,2,1,2,1321===βββ，求由基321,,ααα到321,,βββ的过度矩阵p .。
线性代数第二章习题部分答案(本)
，
，所以，
于是，
线性无关。
五、 设
是一组 维向量，证明它们线性无关的充分
必要条件是：任一 维向量都可由它们线性表示。
证明：充分性：如果任一 维向量都可由
线性表示，
则 维单位坐标向量
能由
线性表示，利用
上一题的结果，
线性无关。
必要性：如果
线性无关，对于任一 维向量 .
如
果
,
则
，所以，向量 能由
线性表示。
，
于
是
，
，命题得证。
四、 已知
,
证明：（1） 能由 示。 证明：（1）因为
线性表示。（2） 不能由
线性表
，所以
线性无关，由定
理 1 知 也线性无关；又因为
，所以，
线性相关，由定理 3 得 能由 线性表示。
（2）反证法。假设 能由
线性表示。再利用（1）的结
果，可推出 能由 线性表示，由定理 2 得
线性相关，
又因为两两正交的非零向量必是线性无关的，所以， 中 不存在 n+1 个两两正交的非零向量。
四、
把下列向量组规范正交化
解：
;
;
;
所以，
.
六、证明下列各题
(1) 设 为同阶正交阵，证明： 也是正交阵。
证明：
(1)
，H 对
称；
，H
正交。
(2) 因为 为同阶正交阵，所以，
与
矛盾。所以， 不能由
线性表示。
五、 设
,
,
线性无关，证明向量组
证明：设
，则
，且向量 线性无关。
而向量
线性无关，所以，
线性代数A-向量组的线性相关性- 答案
第三章向量组得线性相关性作业1一、判断题1、如果当时,,则线性无关、（×)2、若只有当全为0时,等式才成立,则线性无关,线性无关、( ×)二、填空题１、设其中则= 、2、ｎ维零向量一定线性相关、3、设,若线性相关,则= 、４、已知向量组线性相关，则= 、5、设向量组线性无关，则必满足关系式、６、设则向量组得线性相关性就是线性相关、三、选择题1.向量组与向量组等价得定义就是向量组( A ）、A、与可互相线性表示B、与中有一组可由另一组线性表示Ｃ、与中所含向量得个数相等Ｄ、与得秩相等2、向量组线性无关得充要条件就是( Ｄ)、A、均不为零向量B、中有一部分向量线性无关C、中任意两个向量得分量不成比例D、中每个向量都不能由其余向量线性表示３.设向量,则向量组1，2,3线性无关得充分必要条件就是( Ｄ)A、全不为0Ｂ、不全为０C、不全相等D、互不相等4、在下列向量组中, Ｄ就是线性无关得、Ａ.,，，B.,,C．,D.,,四、计算与证明题1、 给定向量组试判断就是否为得线性组合;若就是,则求出组合系数、解:设,若此方程组有解,则可写成得线性组合,否则,不可以、1234213013011301130121300532()02240224022434193419013112130113011301011201120112053200880011013112001414000αααα-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1020101001100000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即从而、2、 讨论下列向量组得线性相关性、(1);(2)解：(1)因为,所以,线性相关、(２)311113113113113311048012024024024000214214012000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,线性相关、３、 证明：若向量组线性无关,则任一向量必可由线性表示、证:设有数,使,则(１) 因线性无关,所以，由ｃｒamer 法则(1)有唯一解、 则必可由线性表示、4、 向量组线性无关，证明:向量组,，， 也线性无关、证: 设有一组数使于就是有、又因为线性无关,所以即，方程组只有零解、 、 从而,,, 线性无关、5、 已知向量组线性无关,且,，，证明：向量组线性相关、证：设有一组数使1122331122123323(44)(2)()0k k k k k k βββααααααα++=-+-++-=于就是，又因为向量组线性无关,所以有由C ｒa ｍer 法则知上述方程组有非零解,因此向量组线性相关、6、 设向量组线性无关, 向量组，线性相关, 证明可由线性表示且表法唯一、证:因为，线性相关,所以存在不全为零得一组数,使得这里，否则存在不全为零得数,使得，这与线性无关相矛盾、 于就是即可由线性表示、下证唯一性、 设(1)-(２)有因线性无关，故,所以唯一性得证、作业2一、判断题1、 若,则中任意5个向量都线性无关、（ × )2.已知,,则能由,线性表示、( √ )3、 已知，，则不能由,,线性表示、（ √ )4、 两个向量组等价当且仅当两个向量组得秩相等、 ( × )５、 向量组线性无关当且仅当、 ( √ )二、填空题1、 设向量组可由向量组线性表出,且，则向量组得线性相关性就是 线性相关 、2、 设m×n 矩阵A 得m 个行向量线性无关,则矩阵得秩为 m 、3、 向量组得秩为 1 、4、 向量组1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(1,4,5,1)T T T T αααα==---=---=--，得秩为 ,最大无关组为 、三、选择题1、 若向量组可由向量组线性表示,则必有( A ）、Ａ．秩≤秩 B.秩>秩 C.r ≤s ﻩ D.r >s２、 若向量组线性无关,线性相关，则( C )、Ａ、 必可由线性表示 B 、 必可由线性表示Ｃ、 必可由线性表示 Ｄ、 必不可由线性表示3、 设向量组(Ｉ）可由向量组(II)线性表示,则( D )、Ａ、 当时,向量组(II)必线性相关 B 、 当时,向量组(I)必线性相关C 、 当时，向量组（II)必线性相关D 、 当时,向量组(I)必线性相关4、 已知,其中为非零向量，则向量组得秩（ Ｂ )、Ａ、 >３ﻩﻩ Ｂ、 <3 C 、 ＝3ﻩ D 、 =0 ５、 若向量组得秩为,则( Ｄ )、 Ａ.必定B.向量组中任意小于个向量得部分组必线性无关Ｃ.向量组中任意个向量必线性无关D.向量组中任意个向量必线性相关6、 设向量组有两个极大无关组（I ）：;（II):,则有（ Ｃ ）成立A 、 r 与s 不一定相等B 、 ｒ+s ＝ mＣ、 （I ）中向量可由（ＩI ）表示 ,(ＩI)中向量可由（I ）表示 ,且r =s D 、 r ＋s < ｍ四、计算与证明题１、 求下列向量组得秩与一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来、 (１)12345(1,2,1,2),(1,0,3,1),(2,1,0,1),(2,1,2,2),(2,2,4,3)ααααα===-=-=、解：112221122211222201120253201321130240224202242211230132102532A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--------- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222112221100210011013210132101011010110088000110001100011000110000000000000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,向量组得秩为3,最大无关组为，且,、 (2),,,、解:10131013101310092102012401240101662340231400160016A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,向量组得秩为３,最大无关组为，且、、(3)1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,0)αααα==---=----=、解:14121412141214122131091309130913154209300023002036700184600200003A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以,向量组得秩为4,最大无关组为、2、 设1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,3,)a αααα=-===,对讨论向量组得秩、解:103110311031130203330111217301110006421402240000A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此，当,向量组得秩为2，当时,向量组得秩为3、3、 设向量组1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)T T T T t t σσσσ==--=-+=--,试确定为何值时，向量组线性相关,并在线性相关时求它得一个最大线性无关组、解:11321132113211321326021402140214151100641200700010312044600620002A t t t t t t t --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时,向量组得秩为3<4，从而向量组线性相关,此时最大线性无关组为、4、设向量组就是一组维向量,证明它们线性无关得充要条件就是任一维向量都能由它们线性表示、证：必要性、设线性无关,任取为一维向量,则线性相关(n＋1个ｎ维向量线性相关),所以可以由线性表示、充分性、设任意ｎ维向量都可由线性表示，则可由线性表示、反之，可由线性表示,从而与等价、于就是与秩相等,即线性无关、补充题1、设A就是n阶方阵,,则下列结论中错误．．得就是(C)、A.秩(A）＜n Ｂ.A有一个行向量就是其余ｎ-1个行向量得线性组合C．A得n个列向量线性相关 D.Ａ有两行元素成比例2、设向量组线性无关，则下列向量组线性相关得就是(Ａ)、Ａ、B、C、D、3、设向量可由向量组线性表示,但不能由向量组（I）线性表示,记向量组(ＩＩ）,则( B ）、A、不能由(I)线性表示,也不能由(IＩ)线性表示Ｂ、不能由(I)线性表示,但可由(ＩI)线性表示C、可由（I)线性表示,也可由(II)线性表示Ｄ、可由(I)线性表示,但不可由(II)线性表示4、设就是一个4维向量组,若已知可以表为得线性组合,且表示法唯一,则向量组得秩为( C )、Ａ.1 B.2 C．３ﻩD.４5、若矩阵经过行初等变换化为,那么向量组得一个极大无关组就是,其余向量由此极大无关组线性表示得表示式为、６、若线性无关,而线性相关,则向量组得一个最大线性无关组为____＿______＿____＿、7、设为三阶矩阵,就是得第个列向量,且,则= －１２、8、设四阶矩阵其中均为四维列向量，且已知行列式则行列式= ４0 、9、确定常数,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示、1０、已知,,与向量组,具有相同得秩,且可由线性表出、求,得值、11.已知向量组(I):得秩为3,向量组(II):得秩为3,向量组(IＩI):得秩为4、证明向量组得秩为4、。
第四章 向量组的线性相关性测试题
第四章 向量组的线性相关性测试题一、选择题1．下列向量组线性无关的是（ ）。
A. (1,-1,0,2)，(0,1,-1,1)，(0,0,0,0)； B. (a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,a)，(d,a,b)； C. (a,1,b,0,0)，(c,0,d,1,0)，(e,0,f,0,1)； D. (1,2,1,5)，(1,2,1,6)，(1,2,3,7)，(0,0,0,1)。
2．设向量组1234,,,αααα线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）。
A. 12233441,,,;αααααααα---- B. 12233441,,,;αααααααα++++ C. 12233441,,,;αααααααα++-- D. 12233441,,,.αααααααα+--- 3．设向量组β可由向量组12,,,m ααα线性表示，但不能由向量组(I)：121,,,m ααα-线性表示，记向量组(II): 121,,,,m αααβ-，则( )。
A. m α不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示；B. m α不能由(I)线性表示，但能由(II)线性表示；C. m α能由(I)线性表示，也能由(II)线性表示；D. m α能由(I)线性表示，但不能由(II)线性表示。
4. 设向量组 (I)：12,,,r ααα可由向量组(II)：12,,,s βββ线性表示，则（ ）。
A. 当 r<s 时，向量组(II)必线性相关；B. 当 r>s 时，向量组(II)必线性相关；C. 当 r<s 时，向量组(I)必线性相关；D. 当 r>s 时，向量组(I)必线性相关。
5. 下列向量组中，线性无关的是（ ）。
A. (1,2,3,4)，(4,3,2,1)，(0,0,0,0)；B. (a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,e)，(d,e,f)；C. (a,1,b,0,0)，(c,0,d,2,3)，(e,4,5,5,6)；D. (a,1,2,3)，(b,1,2,3)，(c,4,2,3)，(d,0,0,0)。
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线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性一．选择题1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：1． 设TT T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα则=-21αα(1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T),,,(31521=α，T)10,5,1,10(2=αT ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T3． 已知TT T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 24． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式0abc ≠三．计算题：1． 设向量()11,1,1Tαλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)Tβλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？13212322221110111(,,,)11111111111101110,00(3)(12)r r rλλλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−−→+ ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪−−→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭解因为2221110,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭123123123(1)03,(,,,)(,,)3,,,,;R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一123123123(2)0,(,,,)(,,)13,,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一123123123(3)3,(,,,)3(,,)2,,,.R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩一．选择题：1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,, （C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [ C ]（A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D ）若n s >，则n r = 二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 3 2．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为22． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T),,(1324=α的秩为2，则a = 2 b = 5三．计算题：1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，Td ),,,(262=β（1）试求4321αααα,,,的极大无关组（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式134321313512312343(1)53215111211221122(1)(,,,)11123215543954391112111200100010012101210121000011120121r r r r r r r r r r r r r αααα↔---⨯--↔⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪−−−→−−−→ ⎪⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭−−−→解：3241434243123123121231234001000(,,)3,,,.,,,,,3212321232121126112611261112111200145430110r r r r r r r r r r R d d αααααααααααααααα-----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4因为则线性无关，且故为的一个极大无关组.(2)()123123123412312300066(,,,),,3,,,,,,32120104112610020014001400000000244.r d d R R αααβαααβαααααααβααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+只有时即可由的极大无关组表示.所以=3． 已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关。
(1) 记2(,,)P x Ax A x =,求3阶矩阵B ,使AP PB =; (2)求 ||A解：20(,,)10Ax x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,220(,,)01A x x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且32203(,,)31A x Ax A x x Ax A x ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭22322000(,,)(,,)(,,)103(,,)011AP A x Ax A x Ax A x A x x Ax A x x Ax A x B ⎛⎫ ⎪∴==== ⎪ ⎪-⎝⎭又因向量组2,,x Ax A x 线性无关,故2(,,)P x Ax A x =可逆.得1000000103103011011B P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.(2) 1A PBP -=,11||||||||||||0A PBP P B P B --====.线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第五节 向 量 空 间 综 合 练 习一．选择题：1．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ B, C ] （A ）133221,,αααααα-++ （B ）122312,,2αααααα+++（C ）1332213,32,2αααααα+++ （D ）321321321553,2232,ααααααααα-++-++ 2．设矩阵A n m ⨯的秩=)(A R n m <，E m 为m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ B ] （A ）A 的任意m 个列向量必线性无关 （B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m 0）的形式 （C ）A 的任意m 阶子式不等于零 （D ）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多组解 二．填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403212221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，则a = 1- 2．从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112α到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212β的过渡矩阵为2312⎛⎫⎪--⎝⎭三．计算题：1． 设()11111Tα=，()23311T α=--，()32068Tα=-试用施密特正交化方法将向量组标准正交化。
解：()111111Tβα==()2122111[,]2222[,]Tαββαβββ=-=--()313233121122[,][,]1111[,][,]Tαβαββαββββββ=--=--()11111111||||2T βεβ== ()22212222||||4Tβεβ==-- ()33311111||||2Tβεβ==-- 2．已知3R 的两个基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013a 及 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4322b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3433b求由基321,,a a a 到基321,,b b b 的过渡矩阵P 。
解：记123111(,,)100111A a a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭,123123(,,)234143B b b b ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭1234010101P A B -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。