向量组的线性相关性 线性代数习题集

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性

一．选择题

1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关

（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .

2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：

1． 设T

T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα

则=-21αα

(1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T

2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T

),,,(31521=α，T

)10,5,1,10(2=α

T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T

3． 已知T

T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2

4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式

0abc ≠

三．计算题：

1． 设向量()11,1,1T

αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T

βλλ=，试问当λ为

何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？

（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？

132123222

21110111(,,,)11111111111101110,

00(3)(12)r r r

λ

λλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−−→+ ⎪ ⎪

⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪−−→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭

解因为

2

2

211

10,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ⎛⎫+

⎪

→-- ⎪ ⎪-+--⎝

⎭

123123123(1)03,(,,,)(,,)3,

,,,;

R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一

123123123(2)0,(,,,)(,,)13,

,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一

123123123(3)3,(,,,)3(,,)2,

,,.

R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩

一．选择题：

1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,, （C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示

3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量

（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [ C ]

（A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示

（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D ）若n s >，则n r = 二．填空题：

1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 3 2．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为

2

2． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T

),,(1324=α的秩为2，

则a = 2 b = 5

三．计算题：

1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，T

d ),,,(262=β

（1）试求4321αααα,,,的极大无关组

（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式