麻阳一中2020届备战高考专项复习提升计划数列大题和答案(1)

2n 1 2n1 1
2n
2n1 1 2n 1 ，
所以 b1 b2 bn 22 1 21 1 23 1 22 1 2n1 1 2n 1
Байду номын сангаас
2n1 1 1 .
8. 略 9.（1）因为 a2 是 a1, a5 的等比中项，所以 a22 a1a5 ， (a1 d )2 a1(a1 4d )
且 bn log2 an n N * .
（1）求 an , bn ；
（2）设 Tn
1 b1b2
1 b2b3
...
1 bnbn1
，若
2n 1 bn n 1 an
Tn
对 n N * 都成立，求实数
的
取值范围.
4.（12 分）已知数列{an}满足 a1 4 ， an1 2an 3 2n1 ．
的最小正整数
n．
9.（12 分）已知 an是公差不为零的等差数列， a1 1 ， a2 是 a1, a5 的等比中项. （1）求数列 an的通项公式； （2）设 bn 2an ，求数列 bn的前 n 项和 Sn .
10.（12 分） Sn 为数列{an} 的前 n 项和，已知 an 0 ， an2 2an 4Sn 3 .
（2）由 an
2n
1 可知 bn
1 an an 1
(2n
1 1)(2n
3)
1 2
(2n11
1 2n
3
)
，
数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ，则 Tn b1 b2 L
bn
1 [(1 23
1) 5
(1 5
1) 7
L
(
1 2n
1
1 2n
)] 3
1 2
(1 3
1 2n
) 3
n 3(2n
（2）由（1）得 an 8 n ，所以 bn 8 n 2n ，
所以数列bn 的前 n 项和 Sn [7 6 (8 n)] 2 22 2n
n(7 8 n) 2 (1 2n )
2
12
15n n2 2 2n1 ． 2
2.（1）根据题意， 2n1an1 2n an 1，所以{2n an} 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以 2n an
2
(n
1) 1
n
1，所以 an
n 1
．
2n
因为 b4b6
4b5b7
b52
4b62
q2
1 4
，因为
bn
为正项数列，所以 q 1 ． 2
所以
bn
=
1 2
n
1
；
（2）根据题意，
pn
n
2
1
,
n为偶数
1 2
n1
,
n为奇数
，
所以 S2n p1 p3 … p2n1 p2 p4 … p2n ，
所以 an 2 2n2 2n1 . （2）由（1）可得 Sn 2n1 ，
所以 8Sn 15an 8 2n 1 15 2n1 2n1 8 ，由 2n1 8 0 得 n 4 ，
所以当1 n 3 时， 2n1 8 0 ，此时 8Sn 15an ，
当 n 4 时， 2n1 8 0 ，此时 8Sn 15an ，
2)
n(n 2
2)
1 3 4n1
4 3
．
3.（1）数列an 的公比为 q，则由 2a1 a2 a3 ，得： a1 2 q a1q2
∴ q2 q 2 0 ，因为an 是正项数列，所以 q 1 ， q = 2 .
又
S3
14 ，a1
1 q3 1 q
14 ，∴ a1 2 ，从而 an 2n
1, 且3an1
an
1 3n
n
N
（1）求证:数列{3n an} 为等差数列
（2）求数列{an}的前 n 项和 Sn
14.（12 分）已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a3＝5，S7＝49． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，求证：Tn＜3．
15.（12
1.（1）设等差数列an 的公差为 d，
因为 a1 ， a6 为方程 x2 9x 14 0 的两根，且数列an 为递减的等差数列，
所以
a1 a6
7 2
，
所以 d a6 a1 2 7 1 ， 61 61
所以 an a1 (n 1)d 7 (n 1) 8 n ，即数列an 的通项公式为 an 8 n ．
代入 a1 1 ， 解得 d 2 2d ， 又 d 0 ，所以 d 2 故 an 2n 1 .
（2） bn
2an
22n1
4n 2
4n1
， bn1 bn
2 4n
4 ， bn 是以 2 为首项， 4 为公比的等比数列，
2
所以
Sn
22n1 3
2
.
10.（1）由 an2
2an
4Sn
3
，可知
（2）由（1）求解知， bn 2 4n1 ，an bn n 2 4n1 n ，
Sn a1 a2 an 2
1 4 42 4n1
1 2 3 n
2 1 4* 1 4
n n 1
2
2 3
4n1
1 n2 1 n ． 22
12（. 1）对 n n* ，bn
log2 an ，bn1
1 3n 2
所以 Tn
1 2
1 5
1 5
1 8
1 3n 1
1 3n
2
1 2
1 3n
2
3n 6n
4
5.（1）设等比数列an 的公比为 q，则 q 0 ，
因为
S4
5S2
，所以 q
1，所以
a1
1 q4 1 q
5 a1 1 q2 1 q
，
整理得 q4 4q2 5 0 ，解得 q2 4 （ q2 1舍去），又 q 0 ，所以 q = 2 ，
麻阳一中 2020 届备战高考专项复习提升计划 数学（文科）• 数列（大题）专练
本大题共 15 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.（12 分）已知数列an 为递减的等差数列， a1 ， a6 为方程 x2 9x 14 0 的两根． （1）求an 的通项公式； （2）设 bn an 2n ，求数列bn的前 n 项和．
2an
2n4 ， n n* ， Sn
1 n 7n
2
， n n* ；
（2） cn
Sn n
an
1 n 7 2n4
log2 an1 ，则 bn1 bn
log2 an1 log2 an
log2
an1 an
，
因为
an
为等比数列，则
an1 an
为定值．则 log2
an1 an
为定值，则数列
bn
为等差数列．
b4 log2 a4 log2 1 0 ， b5 1，
设 bn
n 4 ， n n* ， an
当 n 5 时， 2n1 8 0 ，此时 8Sn 15an .所以最小正整数 n 5 .
6.（1）由 a3 9 是 a1 ， a5 的等差中项得 a1 a5 2a3 18 ，
所以 a1 a3 a5 3a3 18 42 ，解得 a3 8 ，
由 a1
a5
34 ，得
8 q2
8q2
2（. 12 分）已知数列an 满足 2n an 2n1an1 1，数列bn 是各项均为正数的等比数列，
且 b4b6 4b5b7 ， a1 b1 1 ．
（1）求an 和bn 的通项公式；
（2）设
pn
n
2
1
,
n为偶数
，求数列
pn
的前 2n 项和 S2n
．
bn , n为奇数
3.（12 分）已知正项等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 S3 14 ，2a1 a2 a3 ，n N * .
a2 n1
2an1
4Sn1
3
，可得
a2 n1
an2
2an1
2an
4an1 ，
即
2(an1
an )
a2 n1
an2
(an1
an )(an1
an )
，
由于 an 0 ，可得 an1 an 2 ．又 a12 2a1 4a1 3 ，解得 a1 1 （舍去），或 a1 3 ，所以
数列{an} 是首项为 3 ，公差为 2 的等差数列，可得 an 2n 1 ．
an1
2an
3
2n1
，所以
an1 2n1
an 2n
3
即数列
an 2n
是以首项为
2，公差为
3
的等差数列
所以 an 2n
2 n 1 3 3n 1
所以 an 3n 1 2n
（2）由 an 3n 1 2n 得
bn
6 4n
3n 1 2n 3n
2 2n1
3n
3
1 3n
2
1 3n 1
n N*
，bn log2 an n n N* .
（2）
1 bnbn1
1
nn 1
1 n
1 n 1
∴ Tn
1 b1b2
1 b2b3
...
1 bnbn1
1
1 n 1
n
n 1
故不等式
2n 1 bn n 1 an
Tn
等价于
2n 1 n n 1 2n
n n 1
2n 2n
1
对
n
N*
都成立，
令
f
n
2n 1
S1 S2 6 ， S3 S4 24 .
（1）求 Sn ；
（2）求数列
1 an
的前
n
项和
Tn
.
8.（12
分）已知数列{an}满足：
a1 2
a2 3
an n 1
n2
n （n∈N+）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设 bn
1 an
，若数列{bn}的前
n
项和为
Sn
，求满足
Sn＞
19 40
设 Qn
p1
p3
…
p2 n 1
1
1 2
2
1 4 2
…
1 2
2n2
1
1 4
1 4
2
…
1 4
n 1
1
1
1 4
n
1 1
4
4 3
1
1 4
n
．
设 Rn
p2
p4
…
p2n
3 2
5 2
…
2n 1 2
n(n 2
2)
．
所以
S2n
Qn
Rn
4 3
4 3
1 n 4
n(n 2
6.（12 分）已知等比数列an 的公比 q 1 ，且 a1 a3 a5 42 ， a3 9 是 a1 ， a5 的等
差中项，数列bn 的通项公式 bn
2n an 1 an1 1 ， n N * .
（1）求数列an 的通项公式；
（2）求数列bn 的前 n 项和 Sn .
7.（12 分）在数列an 中，前 n 项和为 Sn n N * ，若 an 0 ，数列Sn 为等比数列，
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设 bn
1 an an 1
，求数列{bn} 的前 n 项和．
11.（12 分）已知数列an 满足 a1 1， an1 4an 3n 1 ， bn an n n N* ．
（1）证明：数列bn 为等比数列； （2）求数列an 的前 n 项和 Sn ．
12.（12 分）已知数列an 为等比数列，数列bn 满足 bn log2 an ，且 a4 b5 1 ．设 Sn 为数列bn 的前 n 项和． （1）求数列an 、bn 的通项公式及 Sn ；
（2）若数列cn 满足 cn
Sn n
an
，求cn 的前 n 项和Tn ．
13.（12
分）在数列{an}中a1
34 ，解得 q2
4 或 q2
1 4
，因为 q
1 ，所以 q
=
2.
所以， an 2n .
（2）由（1）可得 bn
2n
，nN*.
2n 1 2n1 1
所以 bn
2n
=
2n 1 2n1 1
2n 2n 1 2n1 1 2n 1 2n1 1 2n 1 2n1 1
2n 2n 1 2n1 1 2n 2n 1 2n1 1
（1）证明：数列
an 2n
为等差数列，并求数列
an
的通项公式；
（2）设 bn
6 4n an an 1
，求数列
bn
的前 n 项和Tn ．
5.（12 分）已知各项为正数的等比数列an 的前 n 项和为 Sn ， a2 2 ， S4 5S2 . （1）求数列an 的通项公式；
（2）求使得 8Sn 15an 0 成立的最小正整数 n .
，∴
2n
f
n 1 f n
2n 4n
1 2
，令
2n 4n
1 2
1，得 n
3 2
；令 2n 1 4n 2
1，得 n
3 2
，
所以当 n
1 时，
f
n 1 f n
2n 1 4n 2
1；当 n 2 时，
f
n 1 f n
2n 1 4n 2
1
故
f
n
max
f
2
3 ，∴ 4
3 4
.
4.（1）因为
3)
．
11.证明：（1）bn an n ，bn1 an1 n 1．
又 an1
4an
3n
1 ， bn1 bn
an1 n 1 an n
4an
3n an
1
n
n
1
4an n 4 ．
an n
又b1 a1 1 1 1 2 ，
数列bn 是首项为 2，公比为 4 的等比数列．
分）已知数列 an中，
a1
1，当
n≥2
时， an
an1 an1
2
(n
N *) ，数列 bn满
足 bn 2n anan1 ．
（1）证明：数列
1
an
1
是等比数列，并求数列
an
的通项公式；
（2）求数列 bn的前 n 项和Tn 。
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数学（文科）• 数列（大题）专练参考答案