自适应控制(5)课件
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《自适应控制》课件
软件实现
01
02
03
控制算法选择
根据被控对象的特性和控 制要求，选择合适的控制 算法，如PID控制、模糊 控制等。
软件开发环境
选择合适的软件开发环境 ，如MATLAB、Simulink 等，进行控制算法的实现 和仿真。
软件集成与调试
将各个软件模块集成在一 起，进行系统调试，确保 软件能够正常工作并满足 控制要求。
直接优化目标函数的自适应系统是一种通过直接优化系统目标函数，对系统参数 进行调整的自适应控制系统。
详细描述
直接优化目标函数的自适应系统根据系统目标函数和约束条件，通过优化算法寻 找最优的系统参数，以实现系统性能的最优。这种系统广泛应用于控制工程、航 空航天等领域。
自校正调节器
总结词
自校正调节器是一种通过实时校正系统参数，实现系统性能提升的自适应控制系统。
要点二
详细描述
在进行自适应控制系统设计时，首先需要对系统进行建模 ，即通过数学模型来描述系统的动态行为。这个模型可以 是线性或非线性的，取决于系统的复杂性和特性。在建立 模型后，需要对模型参数进行估计，这通常涉及到使用各 种算法和优化技术来不断调整和更新系统参数，以使系统 能够更好地适应外界环境的变化。
详细描述
最小均方误差算法基于最小化预测误差的平方和来调整控制参数，通过不断迭代计算，逐渐减小误差 ，使系统输出逐渐接近目标值。该算法具有较好的跟踪性能和鲁棒性，广泛应用于各种自适应控制系 统。
极点配置算法
总结词
极点配置算法是一种自适应控制算法，通过 调整系统参数使系统的极点配置在期望的位 置上，以达到系统稳定和性能优化的目的。
特点
自适应控制具有适应性、实时性和智 能性等特点，能够自动调整控制参数 和策略，以适应不同环境和条件下的 变化。
模型参考自适应控制建大资料精品PPT课件
p( s )
p( s )
其中: p(s) sn a1sn-1 an-1s an
q(s) b1sn-1 b2sn-2 bn
– Km为常数，根据系统希望的动态响应事先确定 – p(s)、q(s)已知
R
—kpm(—qs()—s)
ym +e
Kc
Kp
-pq-((-ss-))- -
yp
适应律
R
- 麻省理工学院于1958年提出的，因此也叫MIT方法 - 最早提出、最早应用的一种方法 - 理论简单，实施方便，可用模拟元件实现 - 实质是一个可调增益的系统
一. 单个参数的MIT方法
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
工作背景
设参考模型为 Kmq( s) ，对象模型为 K p(t)q(s)
一般来说，自适应控制系统在反馈控制的 基本回路上加上自适应机构构成。具有三 方面的功能：
（1）在线辨识。 （2）决策控制。 （3）在线修正。
自适应控制系统主要分为两大类： （1）模型参考自适应控制系统。 （2）自校正自适应控制系统
模型参考自适应控制
(Model Reference Adaptive Control) MRAC
(2.3)
Kc
p( D)
欲消去 q(D) / p(D),
ym Km q( D)
R
p( D)
即:
q( D) p( D)
ym R Km
Байду номын сангаас
代入(2.3)式，
e Kc
-
Kp Km
ym
(2.4)
e
Kp
Kc - Km ym
Kc
-
B2e
模型参考自适应控制PPT课件
i 1
i 1
n
m
n
m
-eTQe 2[eT P( i xi iri ) iTi iT i ]
i 1
i 1
i 1
i 1
xi , ri 分别是向量x，r的第i分量，如果我们选择
n
m
n
m
eT P( i xi iri ) iTi iT i 0
即取
i 1
i 1
i 1
i 1
iT -ePxi , i 1,2,, n
(3)
(4) (5)
第13页/共17页
其中 0
A a0
I n1
a1
...
an
1
1 0
B
1
an1 ...
1
... ... ...
0 1 bn1
0
bn
2
... ...
n
a1
an1
1
b0
C 1 0 ... 0
第14页/共17页
• 如下定义正定李氏函数
•
V=xTPx+K~2>0
i 1
i 1
n
m
eT ( AmP PAm )e 2[eT P(Φx Ψr) iTi iT i ]
i 1
i 1
• Am为稳定，故必存在有正定矩阵Q满足李亚普诺夫方程：
AmP PAm Q
• 代入上式有：
第8页/共17页
V -eTQe 2[eTP(Φx Ψr)
n
iTi
m
iT i ]
差的某种正性指标函数及这些误差的收敛过程,而不能确保 所设计的自适应控制系统闭环是全局渐近稳定的 • 上世纪60年代中期,Parks提出了用李氏稳定性理论对 MRAS进行设计的方法,确保了该类自适应系统的稳定性.
自适应控制 课件
自适应控制与应用自适应控制与应用第一章自适应控制基本概念第二章模型参考自适应系统设计初步第三章用李亚普诺夫稳定性理论设计MRAC第四章用波波夫超稳定性理论设计MRAC第五章自校正技术及自校正控制器调节器的设计第六章极点配置的自校正技术第一章自适应控制的基本概念1-1 自适应控制的产生1-2自适应控制的定义1-3 自适应控制的基本原理1-4 自适应控制系统的主要类型1-5自适应控制的应用1-1 自适应控制的产生传统的控制系统设计方法，通常是首先建立被控对象的数学模型，然后根据所建数学模型的特性设计控制器（控制律），实施控制。
为了要成功的设计一个控制系统，无论是常规的反馈控制系统还是最优控制系统，都必须要设计者事先知道被控对象的所有特征，及其结构和参数。
1-1 自适应控制的产生设计都要求事先掌握被控对象或被控过程的数学模型。
然而有些数学模型是很难事先确知的，或者由于种种原因,一些系统的数学模型会在运行过程中发生较大范围的变化,这就是说，设计者对系统的特性并不是完全掌控的，或者说系统的特性是不肯定的。
在这些情况下，常规控制就往往达不到预定的控制要求。
引起被控对象特性发生变化的主要原因有:（1）由于系统所处环境的变化而引起的被控对象的参数值的变化。
1-1 自适应控制的产生许多控制对象的数学模型随着时间或工作环境的改变而发生变化，而变化规律往往事先不知道。
例如：引起被控对象特性发生变化的主要原因有:（1）由于系统所处环境的变化而引起的被控对象的参数值的变化。
1-1 自适应控制的产生许多控制对象的数学模型随着时间或工作环境的改变而发生变化，而变化规律往往事先不知道。
（2）系统本身由于工作情况的变化而引起自身参数值的改变.1-1 自适应控制的产生当被控对象的数学模型参数在小范围内变化时，可用一般的反馈控制、最优控制或补偿控制等方法使得系统对外部的扰动或内部参数的小范围变动不很敏感，以达到预期性能。
而当被控对象的数学模型参数在大范围内变化时，上述方法就不能圆满解决问题了，为了使控制对象的参数在大范围变化时，系统仍能自动的工作于最优或次优状态，因而提出了自适应控制的问题。
自适应控制-PPT精品文档
②证明闭环系统的稳定性、最优性。
(郭雷、陈翰馥、张纪峰)
解决了定常系统的适应跟踪、适应极点配 置、适应LQ控制、阶估计、时滞估计等.
随机混杂系统控制
输入
突变参数 离散参数
X
dx A ( x B ( u t t) tdt t) tdt C ( u t) tdw t
输出
采样 数据 采样控 制器
t
F ( b ) { f ( ) :f ( x ) O (| x | ), as x }
b
Question: Can we stabilize the uncertain system corresponding to f( ) F ( b ) for any b ?
Theorem:
The Capability of Feedback
Theorem : The maximum uncertainty that can be
dealt with by feedback is a ball with radius
in the normed function space (F,|| ||) , centered at zero .
●
L 为不确定性的度量
3 L 2 2
是反馈能镇定的临界值。
(郭雷、谢亮亮)
有限信息系统控制
●
双值传感器控制系统
y
设计控制或参 数辨识时唯一 可利用的信息
符号传感器
系统的 输出是 不可量 测量。
Sign (y C )
先验知识 客观条件 模 型 类 参数辨识
建模
控制指标
控 制 器
可量测量
输出
被控系统
ut ukh
自适应控制课件
2
x x 1得大.若到于在控零质制的量律数m，u已由知m这(的个m情控况2制下~x器，可结以2 ~x合得) 二到其阶按中系指~x统数传x收(t递敛) 函的数误m (、t差)表跟系示踪统跟误：踪差x 误一2差般，表~x 达是式一2我~x个们严可0格以
2.现在假设质量m这个参数是未知的。我们可以用如下的控制规律：
是关于时间t的m x 1维向量函数，v(t)是可以测量的m x 1维向量。如果向量(t) 服从如下
规律：
(t) sgn(k )ev(t)
(2)
其中γ是正常数，那么e(t)和φ(t)全局有界。而且，如果v(t)有界，那么
当 t 时，e(t) 0
简单地说，上述lemma告诉我们，如果输入信号以（2）的形式依赖于输出信号，那么整 个系统是全局稳定的（所有的状态都有界）
mˆ
0 t
, w x
w2dr
0
实际上，未知参数m是慢变的，在每一个新时刻，上述估计必须重新计算。根据 优化理论，我们可以用一种迭代公式代替重复使用上式。我们可以定义：
1 P(t) t
w2dr
0
函数P(t)称为估计增益。他的更新可以直接由下式获得：
d [P1] w2 dt
t
J e2(r)dr e(t) mˆ (t)x(t) u(t)
0
估算最小预测误差的方法：
dJ 0 ，这里 为被估计的参数
d
e.g.8.2
预测误差的实质就是参数的估计值 mˆ 与已知输入u的匹配误差。总误差最小化可
以潜在的平均掉测量噪声的影响。从而得到估计方程：
t
wudr
e.g.8.1
考虑一个质量弹簧阻尼系统，其外部作用力f(t)被视为输入u，其性态可以描述为：
x x 1得大.若到于在控零质制的量律数m，u已由知m这(的个m情控况2制下~x器，可结以2 ~x合得) 二到其阶按中系指~x统数传x收(t递敛) 函的数误m (、t差)表跟系示踪统跟误：踪差x 误一2差般，表~x 达是式一2我~x个们严可0格以
2.现在假设质量m这个参数是未知的。我们可以用如下的控制规律：
是关于时间t的m x 1维向量函数，v(t)是可以测量的m x 1维向量。如果向量(t) 服从如下
规律：
(t) sgn(k )ev(t)
(2)
其中γ是正常数，那么e(t)和φ(t)全局有界。而且，如果v(t)有界，那么
当 t 时，e(t) 0
简单地说，上述lemma告诉我们，如果输入信号以（2）的形式依赖于输出信号，那么整 个系统是全局稳定的（所有的状态都有界）
mˆ
0 t
, w x
w2dr
0
实际上，未知参数m是慢变的，在每一个新时刻，上述估计必须重新计算。根据 优化理论，我们可以用一种迭代公式代替重复使用上式。我们可以定义：
1 P(t) t
w2dr
0
函数P(t)称为估计增益。他的更新可以直接由下式获得：
d [P1] w2 dt
t
J e2(r)dr e(t) mˆ (t)x(t) u(t)
0
估算最小预测误差的方法：
dJ 0 ，这里 为被估计的参数
d
e.g.8.2
预测误差的实质就是参数的估计值 mˆ 与已知输入u的匹配误差。总误差最小化可
以潜在的平均掉测量噪声的影响。从而得到估计方程：
t
wudr
e.g.8.1
考虑一个质量弹簧阻尼系统，其外部作用力f(t)被视为输入u，其性态可以描述为：
推荐-自适应控制讲义 精品
第一章 概述1.1 自适应控制的研究对象自适应控制是研究具有“不确定性”的控制系统的特性分析和综合（控制器设计）。
1. 系统不确定性产生的原因 1）内部不确定性（1）被控对象的结构（阶次）和参数由于建模误差引起的不确定性。
（2）被控对象的结构（阶次）和参数或者动态特性是时变的或随工作作条件改变而变化。
2）外部不确定性被控对象的运行环境（外部干扰）是随机信号而且它们的统计特性不确切知道或者是时变的。
2. 系统“不确定性”的数学描述 1）状态方程设一个线性离散时间系统，其状态方程如下：(1)(,)()(,)()()x k A k x k B k u k k θθε+=++ (1.1-1)()(,)()()y k C k x k v k θ=+式中：()()r r ()m 1 m x k y k u k ⨯⨯⨯——状态向量 n 1——输出向量 1 （由传感器数量决定）——控制向量 （由执行机构决定）{()}}{()}k u k ε——单位动态噪声称为随机序列，其统计特性未知——测量噪声(,)A k θ，(,)B k θ，(,)C k θ 分别为系统矩阵，输入矩阵，输出矩阵，其维数为,n n m n ⨯⨯⨯n ，v 。
k ——离散时间，k ~k T 。
其中T 为采样周期。
θ——S 维未知参数向量，可能A ，B ，C 中未知参数不同，为了简单起见，都设为S 维。
2）系统框图根据（1.1-1）式可以画出被控对象的结构框图。
图 1.1-1 被控对象的结构框图图中1z -是时间延迟因子，1()(1)x k z x k -=+，噪声{()k ε}和{v (k ）}作用于对象的不同部位，对于线性系统，可以等效于作用在输出端的一个噪声。
其统计特性例如期望值、相关函数等由于不确定性而未知，或随时间变化。
1.2 自适应控制系统的结构分类1 克服被控对象不确定性的方法通常采用两种方法：①在线辨识参数；②设定参考模型。
1）在线辨识对象的参数，一般采用递推算法，不辨识对象的阶次（结构），修改控制器得参数，称为自矫正方法。
自适应控制讲稿_05
第五章 模型参考自适应系统—5.2
• 根据这个近似， MIT规则可以写为：
⎛ ⎞ am dθ1 b 1 = −γ ′e ⎜ uc ⎟ = −γ ′b u c e = −γ uc e p + am dt p + am ⎝ p + a + bθ 2 ⎠ ⎛ ⎞ am dθ 2 1 b = −γ ′e ⎜ − y ⎟ = γ ′b ye = γ ye, dt p + am p + am ⎝ p + a + bθ 2 ⎠
• 误差和参数的收敛性（Error and Parameter Convergence） • 构造模型参考自适应系统的目的是为了使跟踪误差 e=y-ym 趋于零。但这并不意味着控制器的参数一定收敛到正确值。 • 例5.3 Lack of parameter convergence • 考虑例5.1的前馈自适应问题。设 G(s)=1，过程的输入输出 关系成为 y=ku ，控制律为 u=θuc ，期望的响应为 ym=k0uc 。跟踪误差：
J (θ ) = 1 2 e 2
为使 J 减小，合理的想法是：总是沿着 J 的负梯度方向改变 θ： ∂J ∂e dθ
dt = −γ ∂θ = −γ e ∂θ
这就是著名的 MIT 规则。
第五章 模型参考自适应系统—5.2
• 偏导 ∂e / ∂θ （有时称为系统的敏感度导数）表示了误差是如 何受可调参数影响的。如果假设相比系统变量的变化，参数 变化的速率很慢，则可以认为 θ 是常数。 • 还可以选择其他形式的损失函数，如：
自 适 应 控 制_5
系统工程研究所 冯祖仁 2007.9
第五章 模型参考自适应系统
Model Reference Adaptive Systems
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K c K c K c 0 J e k K c 0 k e d K c 0 K c K c
t0
t
式中， K c 0 为调整前的初值。将上式两边分别 对时间求导数后，得到 K c (t ) 的变化率与广义 误差e的关系为：
e Kc k e Kc
5.2 李雅普诺夫稳定性理论设计法
• 一、引言
李雅普诺夫稳定性理论：研究线性或非线性、定常或时 变系统的重要基础，也是自适应控制系统设计的重要理 论基础 李雅普诺夫稳定性分析方法：分为第一方法和第二方 法。李雅普诺夫第一方法是通过求解系统微分方程来分 析系统的稳定性；李雅普诺夫第二方法则不需要求解系 统微分方程，而是通过分析虚构的李雅普诺夫函数来判 定或设计系统的稳定性。因此，李雅普诺夫第二方法被 广泛应用于自适应控制系统设计中
G( s) Kp 1 Ts
根据MIT规则设计的闭环的自适应控制系统应为：
e ( K m K c K p )r Te Ty m y m K m r K e y K c m
下面我们通过解方程的解，看一下系统的稳定性 假定在 t t 0 时，y和 y m 均为零，且 K c K p K m 当输入一个幅度为R的阶跃信号时，考虑 t t 0 后，参考模型的出为：
t
lim ( x m x p ) 0
图5.2 含有参考模型的自适应控制系统
um 前馈控制 参考模型 +e + + u x -
-
被控过程 反馈控制
自适应机构
在模型参考跟踪系统中，参考模型是控制系统 的一部分。所要求的系统期望特性由参考模型 状态的动态响应所确定，所定义的误差矢量 e x m x 在每一时刻直接测量参考模型特性 与被控对象实际特性之间的差，并对自适应机 构的参数进行修正，产生一个辅助的控制信号 以保证可调系统达到参考模型规定的性能
按照年代先后出现的次序，理想模型参考 自适应系统的设计基本理论有以下三种： 1、局部参数最优化理论 2、李雅普诺夫函数 3、超稳定性与正性概念
为了减少设计和实现中的困难，做如下假设：
1）参考模型是时不变系统 2）参考模型和可调模型是线性的，有时为了分析方便， 还假设它们的阶次相同 3）广义误差可测 4）在自适应控制过程中，可调参数或辅助信号仅依赖 于自适应机构 假设4)意味着自适应速度应大于被控对象参数的变化速 度，否则就不可能实现渐近自适应
yr
参考模型
可调系统 +e
-
二、模型参考自适应系统的构成
1）参考模型 2）可调系统 3）自适应机构 其中，可调系统包括被控对象，前置控制器和反 馈控制器
• 按照参考模型、可调系统以及自适应机 构的实现方式，模型参考自适应系统也 可以分为连续型、离散型和混合型 • 从参考模型的种类上，可分为理想模型 参考自适应控制和可调模型参考自适应 控制
【例5.2】考虑被控对象为：
W p ( s) Kp a 2 s 2 a1 s 1
理想系统模型为：
Wm ( s) Km a 2 s 2 a1 s 1
根据前面推导出的结果，闭环自适应控制系统 由以下微分方程组所决定：
d 2e de e ( K m K p K c )r a 2 2 a1 dt 2 dt dy m dy m a1 ym Kmr a2 2 dt dt dK c K e ym dt
比较图 5.1 和图 5.2 ，可以看到线性模型跟踪控 制系统与线性观测器之间存在着相似性，尽管 它们目的不同，但它们结构却相似：在两种情 况中，都含有两个子系统；一个真实的对象和 一个人为构造的模型。两种情况都要求两个状 态矢量具有相似的动态性能。为了达到这一目 的，状态矢量或输出矢量之差被用来作为主要 的信息来源
(5.2)
e 为了计算 Kc
，先求由参数输入R(s)到输出偏差
E(s)传递函数 We ( s) ：
E ( s) N ( s) We ( s) ( Km Kc K p ) R( s) D( s)
将上述拉普格斯变换式转化为微分方程的时域 算子形式，令：
d p dt
p2 d2 dt 2
D( p) y m (t ) K m N ( p)r (t )
(5.4)
令(5.3)式与(5.4)式相除，整理后得：
Kp e(t ) ym K c Km
将此式代入(5.2)式，得：
k e y K c m Kp Km
令
则有：
K k
Kp Km
K e y K c m
N ( s) Kp 设被控对象的传递函数为：Wp ( s) D( s)
其中,D(s)和N(s)为已知的常系数多项式，Kp为 对象的增益 当系统受到干扰时，被控系统的增益Kp可能发 生变化,使动态特性发生偏离，Kp的变化是不可 测量的。为了克服由Kp的漂移所造成的影响， 在控制系统中设置了一个可调增益Kc，来补偿 由Kp的变化所造成的影响
其中，ym为理想模型的输出，y为被控系统的输 出，e表示输入信号为r(t)时，理想系统的响应与 实际系统响应之间的偏离
设计目标：确定可调增益Kc(t)的自适应调节律， 使得下列性能指标J达到最小：
1 t 2 J ( Kc , t ) t 0 e ( , Kc )d 2
(5.1)
下面采用梯度法来寻求Kc(t)的最优调节律 首先求出J对的偏导数：
MIT方案的主要优点：它设计出的自适应律所需 要的信号都容易获得，利用的输出偏差e和期望输 出均可直接获得
MIT方案的缺点：不能保证设计的自适应控制系 统总是稳定的 对于一个理想的自适应控制系统，在任何参考输 入的情况下，总是希望当 t 时，有 e 0, x 0 但这种系第三项e中的系数 趋近于 K p Km KR 2 ，即有：
e K p Km KR 2 e 0 Te
此系统方程是渐近稳定的，即 t 时，有： e = 0 ，即 Kc Km / K p
从以上分析可以看出： ①对于一阶系统，按照MIT规则设计的闭环自适 应系统是稳定的 ②跟踪速度或自适应速度是按指数规律进行的， 从理论上说，只有当 t 时，误差才趋于零， 所以，自适应速度的是比较相当慢的
a2 d 3e dt
3
a1
d 2e dt 2
de K m K p KA 2 e 0 dt
利用劳斯（Routh）稳定性判断，很容易得到以 下不等式，即当
a1 K m K p KA a2
2
(5.8)
时，系统不稳定，即当满足条件式(5.8)时，输 出偏差e（yp情况也相同）将出现不稳定，这是 不容许的。因此在应用参数最优化方法进行设 计时，最后必须对整个系统的稳定性进行分析 和检验，而这一步工作往往是很麻烦的
ym Km R 1 exp(t / T )
所以自适应调节律为：
K e K R 1 exp(t / T ) K c m
对闭环系统的微分方程求导数使得误差的动态 方程为： R e K K Te
p c
或
e K p Km KR 2 e 1 exp(t / T ) 0 Te
pn
dn dt n
则e满足下列微分方程：
D( p)e(t ) ( Km Kc K p ) N ( p)r (t )
其中，p为微分运算子 上式两端对Kc求导数，得：
e(t ) D( p) K p N ( p)r (t ) Kc
(5.3)
另一方面，考虑到参考模型的输出与输入之间 满足下列关系：
具有可调增益的MIT方案
系统控制结构图
Km N(s) D(s) Kc N(s) Kp D(s) Ym + E(s) Y
R(s)
-
自适应机构
设理想模型的传递函数为：
Wm ( s) N ( s) Km D( s)
其中，增益Km是根据期望的动态响应来确定的 定义广义输出误差e为： e y m y
第五章 模型参考自适应控制系统
图5.1 线性状态观测器
B u . ^ x Ap =A . x + A K ^ x C e yp + x C ym
=B Bp
+
在观测器技术中建造了一个对象的模型，模型 与对象由同一个输入量所激励。用真实对象的 输出与观测模型的输出之差经过适当的增益修 正之后，作为一个附加的修正输入加到观测模 型中以确保：
一、模型参考自适应系统的结构类型
1）并联模型参考自适应系统
yr 参考模型 +e 可调系统 自适应机构
-
2）串并联模型参考自适应系统
yr 参考模型(并联) +e 参考模型(串联) 可调系统 自适应机构
-
yr
参考模型
可调系统(串联) +e
可调系统(并联) 自适应机构
-
3）串联模型参考自适应系统
自适应机构
假定在 t 0 0 时，由参考输入加上一个幅值为A 的阶跃信号，即r(t) = A，来研究偏差e的稳定性。
对上式偏差微分方程的两端求导，并整理得：
a2 d 3e dt
3
a1
d 2e dt 2
dK c de K p A K p Key m A dt dt
假设ym(t)的动态响应比e(t)自适应调整过程快 得多。即在研究e(t)的调节过程时，认为ym(t) 已达到了它的稳定值KmA，那么e(t)的微分方 程就可简化为下式：
(5.5)
(5.5)式就是所要求的可调增益Kc的调节律，即 系统的自适应规律，有时被称为MIT规则。从 (5.5)式中可看出，这种自适应机构是由一个乘 法器和一个积分器组成，具体实现的结构图如 下图所示
t0
t
式中， K c 0 为调整前的初值。将上式两边分别 对时间求导数后，得到 K c (t ) 的变化率与广义 误差e的关系为：
e Kc k e Kc
5.2 李雅普诺夫稳定性理论设计法
• 一、引言
李雅普诺夫稳定性理论：研究线性或非线性、定常或时 变系统的重要基础，也是自适应控制系统设计的重要理 论基础 李雅普诺夫稳定性分析方法：分为第一方法和第二方 法。李雅普诺夫第一方法是通过求解系统微分方程来分 析系统的稳定性；李雅普诺夫第二方法则不需要求解系 统微分方程，而是通过分析虚构的李雅普诺夫函数来判 定或设计系统的稳定性。因此，李雅普诺夫第二方法被 广泛应用于自适应控制系统设计中
G( s) Kp 1 Ts
根据MIT规则设计的闭环的自适应控制系统应为：
e ( K m K c K p )r Te Ty m y m K m r K e y K c m
下面我们通过解方程的解，看一下系统的稳定性 假定在 t t 0 时，y和 y m 均为零，且 K c K p K m 当输入一个幅度为R的阶跃信号时，考虑 t t 0 后，参考模型的出为：
t
lim ( x m x p ) 0
图5.2 含有参考模型的自适应控制系统
um 前馈控制 参考模型 +e + + u x -
-
被控过程 反馈控制
自适应机构
在模型参考跟踪系统中，参考模型是控制系统 的一部分。所要求的系统期望特性由参考模型 状态的动态响应所确定，所定义的误差矢量 e x m x 在每一时刻直接测量参考模型特性 与被控对象实际特性之间的差，并对自适应机 构的参数进行修正，产生一个辅助的控制信号 以保证可调系统达到参考模型规定的性能
按照年代先后出现的次序，理想模型参考 自适应系统的设计基本理论有以下三种： 1、局部参数最优化理论 2、李雅普诺夫函数 3、超稳定性与正性概念
为了减少设计和实现中的困难，做如下假设：
1）参考模型是时不变系统 2）参考模型和可调模型是线性的，有时为了分析方便， 还假设它们的阶次相同 3）广义误差可测 4）在自适应控制过程中，可调参数或辅助信号仅依赖 于自适应机构 假设4)意味着自适应速度应大于被控对象参数的变化速 度，否则就不可能实现渐近自适应
yr
参考模型
可调系统 +e
-
二、模型参考自适应系统的构成
1）参考模型 2）可调系统 3）自适应机构 其中，可调系统包括被控对象，前置控制器和反 馈控制器
• 按照参考模型、可调系统以及自适应机 构的实现方式，模型参考自适应系统也 可以分为连续型、离散型和混合型 • 从参考模型的种类上，可分为理想模型 参考自适应控制和可调模型参考自适应 控制
【例5.2】考虑被控对象为：
W p ( s) Kp a 2 s 2 a1 s 1
理想系统模型为：
Wm ( s) Km a 2 s 2 a1 s 1
根据前面推导出的结果，闭环自适应控制系统 由以下微分方程组所决定：
d 2e de e ( K m K p K c )r a 2 2 a1 dt 2 dt dy m dy m a1 ym Kmr a2 2 dt dt dK c K e ym dt
比较图 5.1 和图 5.2 ，可以看到线性模型跟踪控 制系统与线性观测器之间存在着相似性，尽管 它们目的不同，但它们结构却相似：在两种情 况中，都含有两个子系统；一个真实的对象和 一个人为构造的模型。两种情况都要求两个状 态矢量具有相似的动态性能。为了达到这一目 的，状态矢量或输出矢量之差被用来作为主要 的信息来源
(5.2)
e 为了计算 Kc
，先求由参数输入R(s)到输出偏差
E(s)传递函数 We ( s) ：
E ( s) N ( s) We ( s) ( Km Kc K p ) R( s) D( s)
将上述拉普格斯变换式转化为微分方程的时域 算子形式，令：
d p dt
p2 d2 dt 2
D( p) y m (t ) K m N ( p)r (t )
(5.4)
令(5.3)式与(5.4)式相除，整理后得：
Kp e(t ) ym K c Km
将此式代入(5.2)式，得：
k e y K c m Kp Km
令
则有：
K k
Kp Km
K e y K c m
N ( s) Kp 设被控对象的传递函数为：Wp ( s) D( s)
其中,D(s)和N(s)为已知的常系数多项式，Kp为 对象的增益 当系统受到干扰时，被控系统的增益Kp可能发 生变化,使动态特性发生偏离，Kp的变化是不可 测量的。为了克服由Kp的漂移所造成的影响， 在控制系统中设置了一个可调增益Kc，来补偿 由Kp的变化所造成的影响
其中，ym为理想模型的输出，y为被控系统的输 出，e表示输入信号为r(t)时，理想系统的响应与 实际系统响应之间的偏离
设计目标：确定可调增益Kc(t)的自适应调节律， 使得下列性能指标J达到最小：
1 t 2 J ( Kc , t ) t 0 e ( , Kc )d 2
(5.1)
下面采用梯度法来寻求Kc(t)的最优调节律 首先求出J对的偏导数：
MIT方案的主要优点：它设计出的自适应律所需 要的信号都容易获得，利用的输出偏差e和期望输 出均可直接获得
MIT方案的缺点：不能保证设计的自适应控制系 统总是稳定的 对于一个理想的自适应控制系统，在任何参考输 入的情况下，总是希望当 t 时，有 e 0, x 0 但这种系第三项e中的系数 趋近于 K p Km KR 2 ，即有：
e K p Km KR 2 e 0 Te
此系统方程是渐近稳定的，即 t 时，有： e = 0 ，即 Kc Km / K p
从以上分析可以看出： ①对于一阶系统，按照MIT规则设计的闭环自适 应系统是稳定的 ②跟踪速度或自适应速度是按指数规律进行的， 从理论上说，只有当 t 时，误差才趋于零， 所以，自适应速度的是比较相当慢的
a2 d 3e dt
3
a1
d 2e dt 2
de K m K p KA 2 e 0 dt
利用劳斯（Routh）稳定性判断，很容易得到以 下不等式，即当
a1 K m K p KA a2
2
(5.8)
时，系统不稳定，即当满足条件式(5.8)时，输 出偏差e（yp情况也相同）将出现不稳定，这是 不容许的。因此在应用参数最优化方法进行设 计时，最后必须对整个系统的稳定性进行分析 和检验，而这一步工作往往是很麻烦的
ym Km R 1 exp(t / T )
所以自适应调节律为：
K e K R 1 exp(t / T ) K c m
对闭环系统的微分方程求导数使得误差的动态 方程为： R e K K Te
p c
或
e K p Km KR 2 e 1 exp(t / T ) 0 Te
pn
dn dt n
则e满足下列微分方程：
D( p)e(t ) ( Km Kc K p ) N ( p)r (t )
其中，p为微分运算子 上式两端对Kc求导数，得：
e(t ) D( p) K p N ( p)r (t ) Kc
(5.3)
另一方面，考虑到参考模型的输出与输入之间 满足下列关系：
具有可调增益的MIT方案
系统控制结构图
Km N(s) D(s) Kc N(s) Kp D(s) Ym + E(s) Y
R(s)
-
自适应机构
设理想模型的传递函数为：
Wm ( s) N ( s) Km D( s)
其中，增益Km是根据期望的动态响应来确定的 定义广义输出误差e为： e y m y
第五章 模型参考自适应控制系统
图5.1 线性状态观测器
B u . ^ x Ap =A . x + A K ^ x C e yp + x C ym
=B Bp
+
在观测器技术中建造了一个对象的模型，模型 与对象由同一个输入量所激励。用真实对象的 输出与观测模型的输出之差经过适当的增益修 正之后，作为一个附加的修正输入加到观测模 型中以确保：
一、模型参考自适应系统的结构类型
1）并联模型参考自适应系统
yr 参考模型 +e 可调系统 自适应机构
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2）串并联模型参考自适应系统
yr 参考模型(并联) +e 参考模型(串联) 可调系统 自适应机构
-
yr
参考模型
可调系统(串联) +e
可调系统(并联) 自适应机构
-
3）串联模型参考自适应系统
自适应机构
假定在 t 0 0 时，由参考输入加上一个幅值为A 的阶跃信号，即r(t) = A，来研究偏差e的稳定性。
对上式偏差微分方程的两端求导，并整理得：
a2 d 3e dt
3
a1
d 2e dt 2
dK c de K p A K p Key m A dt dt
假设ym(t)的动态响应比e(t)自适应调整过程快 得多。即在研究e(t)的调节过程时，认为ym(t) 已达到了它的稳定值KmA，那么e(t)的微分方 程就可简化为下式：
(5.5)
(5.5)式就是所要求的可调增益Kc的调节律，即 系统的自适应规律，有时被称为MIT规则。从 (5.5)式中可看出，这种自适应机构是由一个乘 法器和一个积分器组成，具体实现的结构图如 下图所示