南京信息工程大学_高等数学试卷

南京信息工程大学 高等数学试卷（A ）
年级:___ _____专业:___ _____时间:__ _ 2010.07. __
学号:________________姓名:_________________得分:________________
一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1．若0),,(=z y x F ，且F 可微，z y x F F F ,,非零，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x
z z y y x _______。

2．交换积分次序，
=⎰
⎰x
x
dy y x f dx 331
),(_______。

3．过点()4,2,1-与平面0432=-+-z y x 垂直的直线方程为_______。

4．设有点()3,2,1A 和()4,1,2-B ，则线段AB 的垂直平分面的方程为_______。

5．微分方程02=+'-''y y y 的通解是:
二、 选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1． 二元函数),(y x f 在点()00,y x 处两个偏导数),(00y x f x ，),(00y x f y 存在是
),(y x f 在该点连续的______。

（A ）充分而非必要条件； (B) 必要而非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件 2． 两平面34=-z x 和152=--z y x 与直线
1
5
3243-=-=+z y x ______。

（A ）垂直； (B) 平行； (C) 异面； (D) 相交但不垂直。

3．设∑为球面2
222a z y x =++，则
()
=++⎰⎰∑ds z y x
222
_____。

（A ）4
2a π； (B) 4
8a π； (C) 4
4a π； (D)
4
3
4a π。

4．方程x
xe y y 22='-''的一个特解具有_______形式。

（A ） ()x e B Ax 2+； (B) x
Axe 2； (C) x
e Ax 22
； (D) ()x
e B Ax x 2+。

5．已知()()
dy y x x by dx x y axy 2
2233sin 1cos +-++为某二元函数),(y x f 的全微分，
则a 和b 的值分别为_______。

（A ）-2和2； (B) 2和-2； (C) -3和3； (D) 3和-3。

三、解答下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
1．设()
t y x tg z 322+-=，t
x 1=，t y =
，求
dt
dz 。

2．求幂级数
∑∞
=0
!n n
x
n 的收敛半径。

3．计算二重积分
dxdy b
y a x D
⎰⎰
--22
221，D 是椭圆12222=+b y a x 所围成的闭区域。

4．判断级数
+-++-+n n n
10
)1(10210112的敛散性 5．判断级数∑∞
=+13
)
1(4sin
n n n n π
的敛散性 四、（本题满分8分）计算球面03222=-++x z y x 与平面04532=-+-z y x 的交
线在点()1,1,1处的切线与法平面方程。

五、（本题满分8分）计算曲面积分⎰⎰
∑
z
dS
，其中∑为球面2222a z y x =++被平面()a h h
z <<=0截出的顶部。

六、（本题满分8分）2844x y y y =+'-''
七、（本题满分8分）求)21ln(2
x x --关于x 的幂级数的展开式。

八、（本题满分8分）求级数()∑
∞
=⋅-1
21n n n n
x 的收敛域。

南京信息工程大学 高等数学试卷（B ）
年级:___ _____专业:___ _____时间:__ _ 2010.07. __
学号:________________姓名:_________________得分:________________
一．填空题 (本题共5小题，每小题3分，满分15分)
1. 设xy e z sin =，则=dz _______。

2. 母线平行于x 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0
16
2222222z y x z y x 的柱面方程是 3.
⎰
=++-1
2
2
22y x y
x xdy ydx =
4. 函数y=
x
1
在x=3处的幂级数展开式为: 5. 微分方程02=+'-''y y y 的通解是:
二. 选择题 (本题共5小题，每小题3分，满分15分)
1.已知a
=（0, 3, 4）, b =(2, 1, -2),则=b j a Pr [ ]
A. 3
B.3
1
- C. -1 D.1
2. 函数y
x xy z 2050++
= （x>0，y>0）[ ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值
C. 在点(5, 2)处取极大值 D . 在点(5, 2)处取极小值 3．I=1:,)(222222=++Ω++⎰⎰⎰Ω
z y x dv z y x 球面内部， 则I= [ ]
A. ⎰⎰⎰Ω
Ω=dv 的体积 B.⎰⎰⎰1
42020sin dr r d d θϕθππ
C.
⎰⎰⎰
104020sin dr r d d ϕϕθππ D. ⎰
⎰⎰1
4020sin dr r d d θϕθππ 4. I=⎰+L
y dy xe dx x 2
2 其中L 是由y=x-1, y=1, x=1所围区域的正向边界曲
线, 则I=[ ]
A.
21 B. )1(21-e C. 2
e
D. e 5. 若级数∑∞
=--1
1)1(n n
n x n 的收敛域是 [ ] A. (-1, 1) B. [-1, 1] C. [)1,1- D. (]1,1-
三．解答下列各题 (本题共5小题，每小题6分，满分30分)
1. 计算I=⎰⎰D
dxdy x D={(x, y)x y x ≤+2
2
}。

2. 设z=f ()(x φ-y, x+)(y ψ), f 具有二阶连续偏导数，φ,ψ都可微，
求y
x z
∂∂∂2 。

3．将函数)20()(<<=x x x f 展开成余弦级数.
4.求曲面3=+-xy z e z 在点(2, 1, 0)处的切平面及法线方程。

5. 计算
⎰⎰⎰V
xyzdxdydz
，此处V 是由曲面x y z 2221++=,z>0
所界的区域。

四、(本题满分10分) 计算I=⎰⎰∑
++++dxdy z y x xzdzdx yzdydz )(。

其中∑是2222)(a a z y x =-++，a z <≤0，取下侧 五、(本题满分10
分)求级数2212
1
2-∞=∑-n n n x n 的和函数
s(x) 。

六、 (本题满分10分)求微分方程x xe y y y =+-'''2的通解。

七、(本题满分10分) 判断级数∑∞
=-2
ln ln 1)1(n n n n
的敛散性 。