柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法
微分中值定理—柯西中值定理
前面我们已经学习了罗尔中值定理,和拉格朗日中值定理，它们的相同点是，研究的曲线都能用函数来表示。
那假如曲线不能被函数表示呢，用柯西中值定理。
1 定义柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
如果，我们把研究对象扩展到两个函数，然后，将结论 ,再加上分母不为零的条件。
那么拉格朗日中值定理，就成了我们的柯西中值定理定理（柯西中值定理）. 如果函数及满足在闭区间上可连续在开区间上可导那么，使得。
如果此时还有，那么该式可改写为：定义看完了，下面来看看它的几何意义2 几何意义要直观理解柯西中值定理，需要将和组成参数方程组。
为了符合习惯，这里的自变量用来表示，即假设有参数方程：下面以为横坐标, 为纵坐标，建立坐标系。
起点为时的位置 ,终点为时的位置。
连接起点与终点，做出一条割线,那么表示的就是割线的斜率。
而 ,表示的是，这个位置，切线的斜率。
这样柯西中值定理的结论就是,曲线上至少有一点，它的切线的斜率与割线斜率是相等的。
从几何上来讲，也就是这个点的切线，与割线是平行的。
3 联系前面说过，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就可以体现。
比如下面这条蓝色曲线，因为它能用函数表示，且闭曲间连续，开区间可导。
所以符合拉格朗日中值定理。
下面假设 ,那么实际上，这条曲线也可以用参数方程来表示,因此，它也是符合柯西中值定理的。
还是这条曲线,固定起点不变,对终点进行拉伸,此时，这条曲线无法再用函数表示，也就不符合拉格朗日中值定理。
现在，我们将横坐标用表示,纵坐标用表示,那么，它符合的是柯西中值定理。
把两张图放在一起，可以很明显地看出，拉格朗日中值定理仅为时的特殊情况。
4 证明4.1 证明方法一首先来看一个错误的证明方法:由于在上都满足拉格朗日中值定理的条件，故，使得:如果有以及，那么上述两式相除可得：上述方法是错误的。
因为对于两个不同的函数和 ,拉格朗日中值定理中的未必相同，比如下面两个函数，在上使得拉格朗日中值定理成立的，在上使得拉格朗日中值定理成立的假如将函数 ,与函数联合在一起，建立参数方程那么，以为横坐标，为纵坐标建立坐标系,做出自变量在0到1范围内的参数方程图像。
柯西中值定理推导拉格朗日中值定理
柯西中值定理和拉格朗日中值定理是微积分中非常重要的定理，它们为我们理解函数的性质以及解决实际问题提供了重要的工具。
在这篇文章中，我们将深入探讨柯西中值定理推导拉格朗日中值定理的过程，并从简单的基本概念开始逐步展开，以帮助你更好地理解这两个定理的内在联系和意义。
1.柯西中值定理的基本概念柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了如果两个函数在一定区间上连续并且可导，那么在这个区间内一定存在一点使得两个函数的导数之比等于这两个函数的增量之比。
这个定理的提出，为我们研究函数的性质和解决实际问题提供了重要的方法和工具。
2.柯西中值定理的推导为了更好地理解柯西中值定理的推导过程，我们先来看一下拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，它描述了如果一个函数在某个闭区间上连续并且可导，那么在这个区间内一定存在一点使得函数在这个点的导数等于函数在这个区间上的平均增量的斜率。
3.拉格朗日中值定理的推导通过拉格朗日中值定理的推导过程，我们可以更加清晰地理解柯西中值定理的内在联系和意义。
拉格朗日中值定理的推导过程涉及到函数的增量、导数以及介值定理的运用，通过逐步的推导过程，我们可以得到柯西中值定理的具体表达形式和推导过程。
4.柯西中值定理与拉格朗日中值定理的联系和应用通过以上的推导过程，我们可以看到柯西中值定理与拉格朗日中值定理之间的内在联系，它们都是描述了函数在一定区间上的性质，只是针对的问题和方式略有不同。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和要求选择适当的定理来解决问题，并且可以根据柯西中值定理推导出拉格朗日中值定理，从而更好地理解和应用这两个重要的定理。
5.个人观点和总结在我看来，柯西中值定理和拉格朗日中值定理都是微积分中非常重要的定理，它们为我们理解函数的性质和解决实际问题提供了重要的工具。
通过对这两个定理的深入探讨和推导过程，我们可以更好地理解它们之间的联系和意义，从而在实际应用中更灵活地运用这些定理来解决问题。
罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用
内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
柯西中值定理推导拉格朗日中值定理
柯西中值定理推导拉格朗日中值定理柯西中值定理推导拉格朗日中值定理1. 引言柯西中值定理和拉格朗日中值定理是微积分中的两个重要定理，它们分别描述了连续函数和可导函数的性质。
本文将介绍柯西中值定理，并推导出拉格朗日中值定理，以帮助读者更深入地理解这两个定理之间的联系和重要性。
2. 柯西中值定理的陈述柯西中值定理是关于连续函数的一个定理，它指出：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，并且g(x)不为零，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得[f(f)−f(f)]f(f)=[f(f)−f(f)]f(f)。
3. 柯西中值定理的证明为了证明柯西中值定理，我们定义一个函数h(x) =[f(f)−f(f)]f(f)−[f(f)−f(f)]f(f)。
根据连续函数的性质，我们知道h(x)在闭区间[a, b]上也是连续的。
根据柯西中值定理的陈述，我们需要证明存在一个点c ∈ (a, b)，使得h(c) = 0。
假设h(x)在闭区间[a, b]上的最大值和最小值分别为M和m。
根据最大值和最小值定理，连续函数h(x)在闭区间[a, b]上必然取到最大值和最小值。
如果我们假设h(x)不恒为零，那么h(x)在闭区间[a, b]上要么恒大于零，要么恒小于零。
不失一般性，我们假设h(x)恒大于零。
这意味着h(a) > 0且h(b) > 0。
由于h(x)连续，根据介值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a, b)，使得h(c) = 0。
这与我们的假设矛盾，因此假设错误。
所以我们得出结论：存在一个点c ∈ (a, b)，使得h(c) = 0。
4. 拉格朗日中值定理的推导现在我们使用柯西中值定理来推导拉格朗日中值定理。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且可导，则根据柯西中值定理的结论，我们可以找到一个点c ∈ (a, b)，使得[f(f)−f(f)]f'(f)=[f(f)−f(f)]f'(f)。
拉格朗日中值定理和柯西中值定理
拉格朗日中值定理和柯西中值定理
拉格朗日中值定理和柯西中值定理是微积分学中两个比较重要的定理，它们提供了对函数在一段区间上平均增量和平均变化率的描述，同时
也是一些求解问题的有用工具。
本文将探讨这两个定理的原理和应用。
拉格朗日中值定理是说：如果在区间$[a,b]$上函数$f(x)$满足连续和
可导，那么在该区间内至少有一个$c$在$a$和$b$之间，使得：
$$f(b)-f(a)=f^{'}(c)(b-a)$$
这个结论的意义是：如果函数在一段区间上可导，那么该区间内存在
一点$c$，使得在该点处切线的斜率等于该函数在该区间内平均增量的斜率。
这个结论可以用于证明一些导数值的存在性问题，也可以用于
估算函数值的大小范围。
柯西中值定理是说：如果在区间$[a,b]$上$f(x)$和$g(x)$都是连续和
可导的，且$g^{'}(x)$不等于0，则在该区间内至少有一个$c$在
$a$和$b$之间，使得：
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)}$$
这个结论的意义是：如果有两个函数$f(x)$和$g(x)$，且$f(x)$在$g(x)$的导数上存在比例关系，那么在一段区间内，该比例关系在某个点上成立。
这个结论可以用于证明一些函数的性质，如单调性、凸性等等。
最后，需要注意的是，这两个中值定理的使用条件是有限的，只有在函数在一定条件下满足连续和可导时才能使用。
同时，在具体的应用过程中，需要注意对函数的性质和范围进行细致的分析和推导，才能得出正确的结论和结果。
考研数学：三种拉格朗日中值定理证明方法1500字
考研数学：三种拉格朗日中值定理证明方法1500字拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
该定理涉及到函数的导数与函数在某一区间上的变化率之间的关系，具有广泛的应用价值。
以下将介绍三种拉格朗日中值定理的证明方法。
证明方法一：基于罗尔定理的证明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，因此我们可以先用罗尔定理来推导拉格朗日中值定理。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内存在可导函数F(x)。
如果f(a) =f(b)，那么在(a, b)内至少存在一个点ξ，使得F’(ξ) = 0。
证明过程如下：1. 构造辅助函数g(x) = f(x) - F(x)。
根据题设，g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
2. 由于f(a) = f(b)，所以g(a) = g(b)。
3. 根据罗尔定理，存在一个点ξ，使得g’(ξ) = 0。
即f’(ξ) - F’(ξ) = 0。
4. 移项得到f’(ξ) = F’(ξ)，即在(a, b)内存在一个点ξ，使得函数f(x)在点ξ处的斜率等于函数F(x)在点ξ处的斜率。
这就是拉格朗日中值定理。
证明方法二：基于函数的增量与导数的关系的证明函数的增量与导数之间有如下关系：f(x+Δx) - f(x) = f’(x+θΔx)Δx，其中θ∈(0, 1)。
证明过程如下：1. 考虑函数Φ(x) = f(x) - F(x)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。
因为F(x)是可导函数，所以Φ(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
2. 对于任意x∈(a, b)，存在ξ∈(x, x+Δx)，使得Φ(x+Δx) - Φ(x) = Φ’(ξ)Δx。
3. 根据Φ(x) = f(x) - F(x)，我们可以得到Φ(x+Δx) - Φ(x) = f(x+Δx) - f(x) - [F(x+Δx) - F(x)]。
证明中值定理
证明中值定理
中值定理是微积分基本定理之一，用于说明在某一段区间上连续函数的导数存在一个特定值。
中值定理可以分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三种形式。
1. 罗尔中值定理：
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c) = 0。
2. 拉格朗日中值定理：
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)上至少存在一个点c，使得[f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c)。
3. 柯西中值定理：
假设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x) ≠ 0。
那么在开区间(a, b)上至少存在一个点c，使得[f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)] = f'(c) / g'(c)。
证明中值定理的关键是利用连续函数和导数的性质，将函数的均值和导数联系起来。
具体证明过程根据中值定理的不同类型而有所区别，但关键思路是通过构造辅助函数、使用辅助函数的导数性质或应用罗尔定理来推导出中值点的存在性。
总的来说，中值定理对于数学分析、微积分和实分析等领域的
发展起到了非常重要的作用，也是解决许多数学问题的重要工具。
拉格朗日中值定理和柯西中值定理
拉格朗日中值定理和柯西中值定理引言在微积分中，拉格朗日中值定理和柯西中值定理是两个重要的中值定理。
它们在数学分析和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将深入探讨这两个定理的历史背景、定义和具体应用，并对它们的证明进行简要介绍。
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日在18世纪提出的。
该定理给出了函数在闭区间上的导数与函数在开区间上的连续性之间的关系。
定理的表述设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一个c∈(a,b)，。
使得f′(c)=f(b)−f(a)b−a定理的意义和应用拉格朗日中值定理的意义在于将函数在闭区间上的平均变化率与函数在开区间上的瞬时变化率联系起来。
它可以用于证明一些重要的极值存在性定理，如费马定理和罗尔定理。
定理的证明我们可以利用罗尔定理和费马定理来证明拉格朗日中值定理。
首先，由于函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续的，根据最值存在性定理（罗尔定理），存在c∈(a,b)，使得f(c)取得最大值或最小值。
若f(c)为最大值，则f′(c)=0；若f(c)为最小值，则f′(c)=0。
根据费马定理，如果函数f(x)在点c∈(a,b)处可导，并且在该点的导数为零，那么在该点处函数的局部极值存在。
假设f(c)为最大值，因为导数f′(c)的存在性和费马定理，我们可以找到一个x1∈(a,c)和一个x2∈(c,b)，使得f′(x1)=0且f′(x2)=0。
根据罗尔定理，存在一个x=c，使得f′(x)=0，即拉格朗日中值定理得证。
类似地，假设f(c)为最小值，我们可以得到同样的结论。
柯西中值定理柯西中值定理是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪提出的。
它是拉格朗日中值定理的推广形式，适用于多元函数。
定理的表述设函数f(x,y)在闭区域D上连续，在开区域D内可微，则对于D内的任意两个点(x1,y1)和(x2,y2)，存在一个点(x,y)在线段[(x1,y1),(x2,y2)]上，使得f(x2,y2)−f(x1,y1)=∇f(x,y)⋅[(x2,y2)−(x1,y1)]，其中∇f(x,y)表示f(x,y)的梯度。
中值定理证明方法总结
f (a) g (a) h( a )
f (b) g (b) h(b)
f ′(ξ ) g ( a ) g (b ) ′ f (ξ ) g ′(ξ ) = h(a ) h(b) h′(ξ )
f (a) − h( a ) f (b) ′ f (a) g (ξ ) + h(b) g (a) f (b) ′ h (ξ ) g (b)
y
y = f ( x)
o
aξ
b x
在( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使 f ′(ξ ) = 0. 故在[ a , b ]上取得最大值 证: 因 f ( x) 在[ a , b] 上连续，
M 和最小值 m .
若 M = m , 则 f ( x ) ≡ M , x ∈ [ a , b] , 因此 ∀ξ ∈ (a , b) , f ′(ξ ) = 0 .
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三、柯西(Cauchy)中值定理
f ( x) 及 F ( x) 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 F ′( x) ≠ 0 f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = . 至少存在一点 ξ ∈ ( a, b) , 使 F (b) − F (a ) F ′(ξ ) a <η < b 分析: F (b) − F (a ) = F ′(η )(b − a ) ≠ 0 f (b) − f (a ) F ′(ξ ) − f ′(ξ ) = 0 要证 ′(ξ ) ϕ F (b) − F (a ) f (b ) − f ( a ) ϕ ( x) = F ( x) − f ( x) F (b ) − F ( a )
用五种方法证明柯西中值定理1
（ " % ）) ( （ !% ） ， 由闭区间套定理， 存在 #" ［ !， ［ #， $］ ， 使 "］ 4
%/ (
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根据引理 # 得： (& （ #）) %&’ ( （ " % ）* ( （ !% ） ) $， %/ ( "% * !%
# 这与条件 (& （ "） （ )" " （ #， $） ） 相矛盾’ 再根据引理 + 有， 存在 ［ ## ， $# ］ ［ #， $］ ， 且 $# * ## ) （ $ * # ） ， 使 #$ 4 ! （ ! $# ）*（ ! ## ） （ ! $）*（ ! #） ) ’ ( （ $# ）* ( （ ## ） ( （ $）* ( （ #） 反复利用引理 + ， 类似与前面的证明， 可得闭区间套｛ ［ #% ， $% ］ ｝ ， 满足 %&’ （ $ % * # % ）) $ ， 且
!" 利用闭区间套定理证明柯西中值定理
引理 #" 设函数 （ ! "） 在 ［ #， $］ 上有定义， 且在 "$ " （ #， $） 处可导， 又｛ ［ !% ， ｝ 为一闭区间套， 且 %&’ ! % ) "% ］
%/ ( %/ (
则 %&’ " % ) "$ ， （ ! " % ）*（ ! !% ） !& （ "）) %&’ ’ %/ ( "% * !% # 引理 !" 设函数 （ ! "） 在 ［ #， $］ 上连续， 则存在 ［ ## ， $# ］ ［ #， $］ ， 且 $# * ## ) （ $ * # ） ， 使得 4 ! （ ! $# ）*（ ! ## ） （ ! $）*（ ! #） ’ ) $# * ## $ *# 现在把引理 ! 推广为： # 引理 +" 设 （ ! "） ， ( （ "） 在 ［ #， $］ 上连续， 且( （ "） 是单射， 则存在 ［ ## ， $# ］ ［ #， $］ ， 且 $# * ## ) （ $34; " " " " " " " " " " " " " 黄德丽： 用五种方法证明柯西中值定理
中值定理的证明与应用
中值定理的证明与应用中值定理是微积分中的重要概念，它揭示了函数在某一区间内存在特殊点的性质。
本文将对中值定理进行详细的证明及其应用进行探讨。
一、中值定理的证明中值定理是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它包含了三个不同的形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
下面将对这三个形式进行证明。
1. 拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理是中值定理中最基本的形式，它表述为：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
证明的思路如下：首先将函数f(x)进行泰勒展开，得到f(x) = f(a) +f'(c)(x - a)。
根据泰勒展开，我们可以看到在点c处，f(c)恰好等于f(a)加上一个与f'(c)成正比的量，而这个比例恰好等于(f(b) - f(a))/(b - a)。
因此，可以得出结论：在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) -f(a))/(b - a)。
这就完成了拉格朗日中值定理的证明。
2. 柯西中值定理的证明柯西中值定理是中值定理的一种推广形式，它表述为：若函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且g'(x)≠0，则在(a, b)内至少存在一点c，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]。
证明的思路如下：首先定义一个函数h(x) = f(x) - [f(b) - f(a)]/[g(b) -g(a)] * g(x)，则h(a) = f(a)- (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))*g(a) = 0，h(b) = f(b)- (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))*g(b) = 0。
柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法
。
由此解得 ，代入< 2 >中可得
证毕。
证法二：行列式法
不难发现Cauchy中值定理的结论有着独特的形式， 和 与二阶行列式 和 有着密切的联系，根据此关系可构造一个行列式作为辅助函数
显然该函数满足Roller中值定理的所有条件。于是，根据Roller中值定理的结论可得，至少少存在一个 ，使得 ，
即
解得
因为 ，且 和 不同时为零，所以上式可改写成
证毕。
不难发现Lagrange中值定理的结论有着独特的形式， 和 与二阶行列式 和 有着密切的联系，根据此关系可构造一个行列式作为辅助函数
显然该函数满足Roller中值定理的所有条件。于是，根据Roller中值定理的结论可得，至少少存在一个 ，使得 ，
其中， ，
。
故曲线L在新坐标系 下的参数方程为
记
，
则 式可化为
显然，对于任意 ， 与 均存在。
设 ，则方程< 3 >在 上满足Roller中值定理的所有条件并且有：
即至少存在 ，使得：
经化简可得便可知道，它们的区别仅仅在于区间端点的函数值相等与不相等，如果将Lagrange中值定理中函数所对应的图象通过旋转坐标使得该函数两端点的函数值相等。于是旋转后图像所对应的新函数则满足Roller中值定理的所有条件，从而证明Lagrange中值定理。先引入坐标系的旋转变换 ,即：
证毕。
定理2（Lagrange中值定理）若函数 满足如下条件：
在 上都连续；
在 上都可导，
则在 内至少存在一点 ，使得
。
证明：做辅助函数
显然， 且 在 上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在 ，使得
移项后即可得
证毕。
关于高等数学常见中值定理证明及应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用中值定理是微积分中的重要定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理在数学中有广泛的应用，尤其在求解函数的零点、证明不等式等问题上起到了重要的作用。
下面我将详细介绍这些中值定理的证明及应用。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：拉格朗日中值定理是微积分中最基本的中值定理之一、设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在xi∈(a, b)，使得f'(xi) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换句话说，函数在开区间内其中一点的导数等于函数在闭区间两端的函数值之差与区间长度的比值。
证明：我们可以通过引入辅助函数g(x)=f(x)-kx来证明，其中k是一个常数，使得g(a)=g(b)。
然后根据罗尔中值定理，我们得到存在一个ξ∈(a, b)，使得g'(ξ)=0。
进而，我们得到f'(ξ)-k=0，即f'(ξ)=k。
由于k=(f(b)-f(a))/(b-a)，得到f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
应用：拉格朗日中值定理常用来证明不等式、求解方程和不定积分等问题。
例如，若函数在区间[a, b]上连续且处处大于零，则存在一个ξ∈(a, b)，使得f(ξ)>(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx。
这可以直接利用拉格朗日中值定理证明。
2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它描述的是两个函数之间的关系。
设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在xi∈(a, b)，使得(f'(xi)/g'(xi))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
中值定理证明方法总结
在( a, b) 内至少存在一点 ξ, 使 f′(ξ) = 0.
f(a+ ), x= a
证明提示: 设 F(x) =
f(x), f(b− ),
a< x< b x= b
证 F(x) 在 [a, b] 上满足罗尔定理 .
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二、拉格朗日中值定理
y
y= f(x)
证毕
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三、柯西(Cauchy)中值定理
f(x) 及 F(x) 满足 :
(1) 在闭区间 [ a, b] 上连续
(2) 在开区间 ( a, b) 内可导
(3)在开区间 ( a, b) 内F′(x) ≠ 0 至少存在一点 ξ∈(a,b) , 使
f(b) F(b)
− −
f(a) = F(a)
• g(b) − g(a)
•
原函数法
F(x) = f(x)
−
f(b)
−
f(a)
g(
x)
g(b) − g(a)
* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此
可适当减弱.
例如, 设 f(x) 在(a,b) 内可导,且 f(a+ 0) = f(b− 0), 则至少存在一点 ξ∈(a,b), 使 f′(ξ) = 0 .
方程两边同时积分
f(b)))) −−−− ff((((aaaa)))) xxxx++++ CCCC ==== ff((((xxxx)))) b− a
解出积分常数 ，则
令辅助 直接积分消不去导数，故变形为 方程两边同时积分
解出积分常数 ，则 令辅助函数
(整理)拉格朗日中值定理的几种特殊证法
届学士学位毕业论文关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法学号：姓名：班级：指导教师：专业：系别：完成时间：年月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。
指导教师签名：时间：摘要拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中.关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理Several Special Proofs on the Lagrange’s Mean Value Theorem 08404141 ZHAO Xia-yan Mathematics and Applied MathematicsTutor WANG Jian-zhenAbstractLagrange’s mean value theorem plays an important role in some theory educations in Higher algebra and Mathematical analysis, this thesis introduces several particular methods proving methods in order to comprehend Lagrange’s mean value theorem precisely. First of all, applying analysis and geometry with constructing auxiliary function to prove Lagrange’s mean value theorem, in the aspect of analysis, the methods of constructing auxiliary function include the reasoning method, original function method, the determinant method and chord angle method, In the aspect of geometric, the methods of constructing auxiliary functions include the poor construction method, area structure method and the rotating coordinate transformation method; secondly, also use the theorem of nested interval proving method and the Banach fixed point theorem to prove it; finally, this article applies Lagrange’s mean value theorem to the specific question in the limit, proving the function of state and other issues.Key Words: Lagrange’s mean value theorem; The theorem of nested interval; The Banach fixed point theorem目录1．引言 (1)2. 利用分析法构造辅助函数 (1)3. 利用几何法构造辅助函数 (4)4. 利用区间套定理证明 (6)5. 利用巴拿赫不动点定理证明 (7)6．拉格朗日中值定理的应用 (8)7. 结语 (11)参考文献 (12)致谢 (12)关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法08404141 赵夏燕 数学与应用数学指导教师 王建珍1.引言微分中值定理作为微分学中的重要定理,是微分学应用的理论基础,是微分学的核心理论.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理,它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具,其中拉格朗日中值定理是核心,从这些定理的条件和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况,柯西定理和泰勒定理是其推广.首先回顾下拉格朗日中值定理以及它的预备定理—罗尔中值定理.定理1.1 (罗尔中值定理)]1[ 若函数f 满足如下条件:(ⅰ)f 在闭区间],[b a 上连续;(ⅱ)f 在开区间),(b a 内可导;(ⅲ))()(b f a f =;则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf .定理1.2 (拉格朗日中值定理)]2[ 若函数f 满足如下条件:(ⅰ)f 在闭区间],[b a 上连续;(ⅱ)f 在开区间),(b a 内可导;则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得=')(ξf ab a f b f --)()(. 课本上给出了拉格朗日中值定理的基本证法,在此基础上,下面给出了拉格朗日中值定理的几种特殊证明方法.2.利用分析法构造辅助函数拉格朗日中值定理中的两个条件与罗尔中值定理中的前两个条件相同,二者的区别仅仅在于区间端点处的函数值是否相等,基于这种关系,自然想到构造一个辅助函数,使它满足罗尔中值定理的条件,从而是否由罗尔中值定理的结论导出拉格朗日中值定理的结论呢?事实上解决问题的关键是构造的这个辅助函数)(x F 要在],[b a 的端点有相同的函数值,即)()(b F a F =,以下将对如何利用分析法构造辅助函数进行深入的分析.证明方法2.1（推理法）由拉格朗日中值定理结论=')(ξf a b a f b f --)()( ,可知其右端是一个常数,故可设ab a f b f --)()(k =,则有)()()(a b k a f b f -=-,即ka a f kb b f -=-)()(仔细观察其特点,不难发现一个能使)()(b F a F =的新函数:kx x f x F -=)()(,故)(x F 就是证明中所要利用的辅助函数.证明过程如下:令kx x f x F -=)()(,其中=k ab a f b f --)()(,由题设可知,)(x F 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b F a F =,即)(x F 满足罗尔中值定理,故在),(b a 内至少存在一点ξ,使得)(ξF ')(ξf '=0=-k ,即=')(ξf ab a f b f --)()( 证毕. 证明方法2.2（原函数法）这种方法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数.由拉格朗日中值定理的变形))(()()(a b f a f b f -'=-ξ得)(ξf '0)]()([)(=---a f b f a b , 令ξx =得 )(x f '0)]()([)(=---a f b f a b ,两边积分可得 0)]()([))((=+---c x a f b f a b x f ,取0=c 得 0)]()([))((=---x a f b f a b x f ,若令 ()=x F x a f b f a b x f )]()([))((---,容易验证)()(b F a F =)()(b af a bf -=,知()x F 满足罗尔中值定理的条件,所以()x F 就是所求的辅助函数,证明过程如下:令()x F =x a f b f a b x f )]()([))((---,x ∈],[b a ,因为函数在闭区间],[b a 内连续,在开区间),(b a 内可导,且)()(b F a F =,所以至少存在一点ξ∈),(b a ,使得)(ξF '0=,又=')(ξF )(ξf ')]()([)(a f b f a b ---,所以即)(ξf '=a b a f b f --)()(,证毕.证明方法2.3 (行列式法)由于想得到)()(b F a F =,故可根据行列式的性质]3[,设()x F =1)(1)(1)(x f xb f b a f a ，所以可以得到辅助函数并且满足0)()(==b F a F .证明如下:设()x F =1)(1)(1)(x f x b f ba f a x ∈],[b a ,则由行列式的性质可得0)()(==b F a F ,所以()x F 满足罗尔中值定理,因而至少存在一点ξ∈),(b a ,使得)(ξF '0=,又)(x F '=0)(11)(1)(x f b f ba f a '0)(11)(0)()(x fb f b b f a f b a '--=+-=)()(b f a f ))((a b x f -', 所以0))(()()()(=-'+-='a b f b f a f F ξξ,即)(ξf '=ab a f b f --)()(. 证明方法2.4 (弦倾角法) 目的是为了得到()=a F ()b F ,设连接连续曲线L :))(,{(x f x |}b x a ≤≤, 两端点A 和B 的弦为AB (图1),其倾倾斜角为θ,则 －2π<<θ2π， =θtan =θθcos sin a b a f b f --)()(, 也即有 ()θθθθcos cos )(sin cos a a f b b f -=-,所以令θθsin cos )()(x x f x F -=,如此所得到的辅助函数)(x F 就能满足要求,证明如下:图 1 设θθsin cos )()(x x f x F -=,其中曲线L :))(,{(x f x |}b x a ≤≤,如上图所示,且－2πθ<2π<,则可得()x F 满足罗尔中值定理的条件,故至少存在一点ξ∈),(b a ,使得0)(='ξF ,又=')(ξF )(ξf 'θθsin cos -,所以=')(ξf ab a f b f --)()(,证毕. 3. 利用几何法构造辅助函数利用数形结合的思想方法解决数学问题有着非常直观的效果,对于微分中值定理的证明,利用几何图形的特性观察分析,同样可以作出合适的辅助函数,下面用不同的方法来加以说明.证明方法3.1 (作差法）因为曲线L 与其弦AB 分别在a x =和b x =两点的高度对应相同（如图1），所以不妨考虑过曲线方程和弦方程的差来构造辅助函数,于是令)(x F =)(x f [-ab a f b f --)()()()(a f a x +-], 或 )(x F =)(x f [-a b a f b f --)()()()(b f b x +-], 则可得)()(b F a F =,因此所构函数)(x F 满足罗尔中值定理.证明方法如下:设)(x F -=)(x f [ab a f b f --)()()]()(a f a x +-,)(x F 在闭区间],[b a 上连续, )(x F 在开区间),(b a 内可导,且)()(b F a F =,所以)(x F 满足罗尔中值定理,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使)(ξF '0=,即0)()()()(=---'='ab a f b f f F ξξ, 整理可得 =')(ξf a b a f b f --)()(.证明方法3.2 （面积法）如图1所示,曲线L 上任意一点))(,(x f x P 与弦AB 组成ABP ∆的面积)(x S 恰好在区间],[b a 上满足罗尔中值定理的三个条件,ABP ∆的面积=)(x S 211)(1)(1)(x f x b f b a f a , 而当点P 与点A 或B 重合时,即a x =或b x =时,0)(=x S ,因此加以化解可引入辅助函数=)(x F 1)(1)(1)(x f x b f b a f a ,],[b a x ∈,此时0)()(==b F a F .证明方法如下: 令=)(x F 1)(1)(1)(x f xb f b a f a ,],[b a x ∈,则由行列式性质容易验证0)()(==b F a F ，所以)(x F 满足罗尔中值定理的三个条件,所以在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξF ，又)(x F '=0)(11)(1)(x f b f ba f a'=0)(11)(0)()(x f b f b b f a f b a '--))(()()(a b x f b f a f -'+-=, 所以 0))(()()()(=-'+-='a b f b f a f F ξξ,即=')(ξf ab a f b f --)()(. 证明方法3.3 （旋转坐标轴法） 如下图2所示,按弦AB 的倾斜角旋转坐标系,可使新坐标系的X 轴与原坐标系中的弦AB 平行,则原曲线的方程在旋转变换下一定满足罗尔中值定理的条件,通过罗尔中值定理则可得出结论.证明如下:图 2根据新旧坐标之间的关系⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin sin cos y x Y y x X , 可令θθcos )(sin )(x f x x Y +-=，则可以验证.证明过程如下:令θθcos )(sin )(x f x x Y +-=,因为函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 上可导,所以函数)(x Y 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 上可导,又由θtan =a b a f b f --)()(,即θθcos sin =ab a f b f --)()(,可得θθθθcos )(sin cos )(sin b f b a f a +-=+-,即)(a Y =)(b Y ,从而由罗尔中值定理可得,在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξY ,即0cos )(sin )(='+-='θξθξf Y ,故)(ξf '=ab a f b f --)()(. 4. 利用闭区间套定理证明引理1（区间套定理）]4[如果闭区间系列]},{[n n b a 满足下列条件],[],[11n n n n b a b a ⊂++,0)(lim =-∞→n n n a b ， 则存在唯一实数],[n n b a ∈ξ ),2,1( =n ,且有 n n n n b a ∞→∞→==lim lim ξ. 引理2]5[ 如果)(x f 在],[b a 上连续,那么必定存在),(,b a d c ∈,使得2a b c d -=-,ab a f b fcd c f d f --=--)()()()(.使用引理1和引理2，即可证明拉格朗日中值定理，反复使用引理2则可得区间序列]},{[n n b a ,满足⊃⊃⊃],[],[],[2211b a b a b a ,=-n n a b )(21a b n- , ab a f b f a b a b f n n n n --=--)()()(, 由区间套定理得必有),(],[b a b a n n ⊂∈ξ ),2,1( =n ,使得 ξ==∞→∞→n n n n b a lim lim , 因为)(x f 在ξ处可导,所以由导数的定义得 )()()(lim )()(limξξξξξf a f a f b f b f n n n n n n '=--=--∞→∞→, 从而当∞→n 时，有)()()()()(ξοξξξ-+-⋅'=-n n n b b f f b f , )()()()()(ξοξξξ-+-⋅'=-n n n a a f f a f ,nn n n n n n n n n a b a a b b f a b a b f -----+'=--)()()()(ξοξοξ, 又因为 0))((lim )(lim =--⋅--=--∞→∞→nn n n n n n n n n a b b b b a b b ξξξοξο, 0))((lim )(lim =--⋅--=--∞→∞→n n n n n n n n n n a b a a a a b a ξξξοξο, 所以 )()()(limξf a b a f b f n n n n n '=--∞→， 从而有 )()()(ξf ab a f b f '=--． 5. 利用巴拿赫不动点定理证明引理3 （巴拿赫不动点定理）]6[在完备的度量空间中的压缩映射必存在唯一的不动点.显然,任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的,由此可证在],[b a 上凸或凹的函数)(x f 的拉格朗日中值定理.对任意小的0>ε,在闭区间],[εε-+b a 上构造自映射+'-=)(x f x Ax ab a f b f --)()( . 可以证明A 是一个压缩映射]7[,事实上,对于],[,21εε-+∈b a x x ,不妨设21x x <,则有)]()([)(121212x f x f x x Ax Ax '-'--=-,假设)(x f 在区间],[b a 上是凹的,那么)(x f '在区间],[εε-+b a 内单调增加,所以-')(2x f 0)(1>'x f ,从而一定存在一个数λ∈)1,0(,使得<-<)(012x x λ)()(12x f x f '-', 因此)1(1212λ--≤-x x Ax Ax ,所以A 是闭区间],[εε-+b a 上的压缩映射,由引理3得,存在唯一的一点),(b a ∈ξ,使得ξξ=A ,于是)()()(ξf ab a f b f '=--, 故定理得证.6．拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为中值定理的核心,有着广泛的应用,在很多题型中都起到了化繁为简的作用.6.1 求极限由拉格朗日中值定理指出,如果f 在],[b a 连续,在),(b a 可导,则有b a a b f a f b f <<-'=-ξξ))(()()(,因此对),(b a x ∈∀,有x a a x f a f x f <<-'=-ξξ))(()()(, (1)公式(1)表明,求某些差式的极限,可转化为求积式型的极限,以化简极限的计算或解决某些运算,用别的方法求不出极限式子.当然也要具体情况具体分析，并不是所有差式型的极限都能适合于运用中值定理,应以简便为原则选用.问题6.1.1 求 )(lim 12+∞→-n n n x x n )0(>x . 解 令t x t f =)(,则对任何自然数n ,)(t f 在]1,11[nn +上满足拉格朗日中 值定理的条件,而且x x t f t ln )(='是t 上的严格单调函数，因而在]1,11[n n +上由拉格朗日中值定理,得 x x n n n n n f n n f n f n x x n n n ln )1()111)(()]11()1([)(22212ξξ+=+-'=+-=-+， 11+n <<ξn1，当+∞→n 时,0→ξ, 故原极限=x x x n n n n ln ln )1(lim 2=+∞→ξ. 6.2 证明不等式证明不等式的方法有很多,但对于某些不等式,用初等解法不一定能解得出来，例如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等的题型.这时如果考虑用拉格朗日中值定理,会比变较容易简单.问题6.2.1 证明y x y x -≤-sin sin .证明 设x x f sin )(=,显然)(x f 在],[y x 上满足拉格朗日中值定理条件,所以存在),(y x ∈ξ,使得))(()()(y x f y f x f -'=-ξ,即ξcos )(sin sin y x y x -=-, 又因为1cos ≤ξ,因此有y x y x -≤-sin sin .6.3 证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是其应用中很重要的一项.证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子.问题6.3.1 证明当1≤x 时,有2arccos arcsin π=+x x .证明 设()x x x f arccos arcsin +=,[]1,1-∈x ,显然]1,1[)(-∈C x f ,并且)(x f 在)1,1(-上可微,01111)arccos (arcsin )(22=---='+='x x x x x f ,由拉格朗日中值定理的推论可得常数=)(x f ,[]1,1-∈x ,又因为)1,1(0-∈,且 ()20arccos 0arcsin 0π=+=f ,故2arccos arcsin π=+x x ,[]1,1-∈x .6.4 证明函数性态因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助它的导数,研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识.例如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性、凸性等,都可能用到拉格朗日中值定理的结论.通过对函数局部性质的研究把握整体性质,是数学研究中的一种重要方法.问题6.4.1 设),()(+∞∈a C x f ,)(x f '在),(+∞a 存在,并且0)(=a f ,当a x >时,0)(>'x f ,求证当a x >时,0)(>x f .证明 a x >∀1,由已知得)(x f 在],[1x a 上满足拉格朗日中值定理,],[1x a ∈∃ξ,使()a x f a f x f -'=-11)()()(ξ,因为0)(>'ξf ,01>-a x ,所以0))(()(11>-'=a x f x f ξ,所以a x >∀1,有0)(1>'x f ,即),(+∞∈∀a x ,有0)(>x f .6.5 估值问题证明估值问题,一般情况下选用泰勒公式证明比较简便.特别是二阶及二阶以上的导函数估值时.但对于某些积分的估值,可以采用拉格朗日中值定理来证明.问题6.5.1 设)(x f ''在],[b a 上连续,且0)()(==b f a f ,试证明⎰''ab dx x f )()(max 4x f a b bx a ≤≤-≥. 证明若0)(≡x f ,不等式显然成立.若)(x f 不恒等于0,存在),(b a c ∈,使 )()(max c f x f bx a =≤≤,在],[c a 及],[b c 上分别用拉格朗中值定理,得=')(1ξf a c c f -)(,=')(2ξf bc c f -)(， 从而⎰''ab dx x f )())((1))(()()()()(121212a c c b a b c f f f dx x f dx x f ---='-'=''≥''≥⎰⎰ξξξξξξ 再由4)())((2a b c b a c -≤--,即可得证. 6.6 证明级数收敛问题6.6.1 若一正项级数)0(1>∑∞=n n n a a 发散，n n a a a s +++= 21,证明级数∑∞=+11n n n s a δ (0>δ) 收敛. 证明 作辅助函数δx x f 1)(=,则δδ+-='1)(xx f ,当2≥n 时,在],[1n n s s -上用拉格朗日中值定理,可得 )()()(11n n n n n f s s s f s f ξ'=---- (n n n s s <<-ξ1), 于是)11(1111δδδδδξn n nn n n s s a s a -=<-++， 由)11(112δδδn n n s s --∞=∑收敛]8[,可得所证. 7. 结语本文初步探讨了拉格朗日中值定理定理的几种特殊证法，其中给出了分析法构造辅助函数、几何法构造辅助函数、区间套定理法和巴拿赫不动点定理法.几何法是利用图形的特征进行分析,从而构造出需要的辅助函数,与分析法有异曲同工之妙;区间套定理法和巴拿赫不动点定理法,它们不需要构造辅助函数,也可以证明,虽说是一种很好的证法,但是比较抽象难懂.最后对拉格朗日中值定理在求极限、证明不等式、证明等式、证明函数性态、估值问题、证明级数敛散性六方面的应用做了简单的介绍,从而使我们加深对拉格朗日中值定理的认识.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.[2] 同济大学应用数学系主编.高等数学(上册)[M].第五版.北京:高等教育出版社,2002.[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003.9.[4] 许在库.用区间套定理证明Rolle定理Lagrange定理[J].安徽大学学报,2003.27(2): 18－21．[5] 张恭庆,林源渠.泛函分析讲义:上册[M].北京:北京大学出版社,2003.5.[6] 周建伟.微分几何[M].北京:高等教育出版社,2008.4.[7] 程其襄等编.实变函数与泛函分析基础[M].第三版.北京:高等教育出版社,2010.6.[8] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.[9] 陈文灯,黄先开.数学题型集粹与练习题集[M].世界图书出版公司,2001.3.[10] 钱昌本.高等数学解题过程的分析和研究[M].科学出版社,2000.[11] 周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用[J].高等数学研究,1999,2(3).致谢在这收获的季节里，当我捧着这大学里最后的一次作业，回首想来，百感交集，一次次的欢笑与泪水，一次次的跌倒与爬起，要感谢的人实在太多太多。
微分中值定理的证明及应用
微分中值定理的证明及应用微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，可以用来证明一些关于连续函数、可导函数以及函数的性质的定理，也可以用于解决一些实际问题。
下面将从两个方面，即证明与应用，进行详细讨论。
一、微分中值定理的证明1.拉格朗日中值定理的证明：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。
根据费马定理，我们可以知道在(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=0。
即斜率为0.如果c点不是唯一，则取多个c点即可。
下面分两种情况进行讨论。
情况一：如果c=a或c=b，即在区间开头或结尾处取得斜率为0的点。
不妨设c=a，那么有f(a+h)-f(a)=f'(c)×h=0（因为斜率为0），所以得到f(b)-f(a)=0。
这个结论即为拉格朗日中值定理的结论。
情况二：如果c在(a,b)内，即在区间内部取得斜率为0的点。
定义一个新函数g(x) = f(x) - kc (k为实数)，显然g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(a)=g(b)。
根据罗尔定理（Rolle's theorem），在(a,b)上存在一个点d，使得g'(d)=0，也就是说f'(d)-kc=0。
解得f'(d)=kc，而c点为f(x)在(a,b)上的极大值点或极小值点，即斜率为0。
故存在一个点d在(a,b)内，使得f'(d)=0；再利用拉格朗日中值定理的情况一即可得拉格朗日中值定理的结论。
2.柯西中值定理的证明：设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则存在一个点c在(a,b)内，使得(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)。
定义一个新函数h(x) = f(x) - kg(x)（k是实数），显然h(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且h(a)=h(b)。
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文章一开始先给出Roller中值定理，因为Cauchy中值定理和Lagrange中值定理的多种证明过程都会用到Roller中值定理的结论。然后给出北师大版的数学分析上册书中的Cauchy中值定理和Lagrange中值定理及其证明过程，目的在于让读者发现其与其它证明方法的联系。
证毕。
定理2（Lagrange中值定理）若函数 满足如下条件：
在 上都连续；
在 上都可导，
则在 内至少存在一点 ，使得
。
证明：做辅助函数
显然， 且 在 上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在 ，使得
移项后即可得
证毕。
接下来将给出Cauchy中值定理和Lagrange中值定理的其他证明方法：
证法一：常数k法
，
因为其系数行列式
所以还存在变换 的逆变换 ,即：
不难求得当
时， 同时可知Y(x)在 上连续，在(a，b)内可微，
故知Y(x)满足罗尔定理条件，则存在一点 使得 ，
即：
因为 ，所以 ，从而上式可转化为
证毕。
微分中值定理的进一步探讨
□孙莹
摘要：
微分中指定理中的Cauchy中值定理与Lagrange中值定理是数学分析学习内容的重中之重，其具有较强的理论性,其揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。我们ห้องสมุดไป่ตู้处理数学证明题中会经常用到这两个定理，但是课本中给出的证明方法单一而且独特，较难掌握，为弥补此不足之处，本课题将帮助大家多角度地了解微分中值定理的证明方法，以便更深刻地理解Cauchy中值定理与Lagrange中值定理，学会用多种方法处理同一问题的思想。
（Cauchy中值定理）利用常数k的辅助函数来证明一个等式往往是通过待定系数法的思路来完成证明的，其符合人的认识规律，易于理解。
将Cauchy中值定理的结论改写成：
由条件 可知，一定存在一个常数k使得：
成立。将上式中的常数b换成变量x,可以得到辅助函数
< 1 >
经检验， 在在 上都连续，在 上都可导，而且 满足Roller中值定理的所有条件，于是根据Roller中值定理可知：至少 ，使得 即
其中， ，
。
故曲线L在新坐标系 下的参数方程为
记
，
则 式可化为
显然，对于任意 ， 与 均存在。
设 ，则方程< 3 >在 上满足Roller中值定理的所有条件并且有：
即至少存在 ，使得：
经化简可得：
证毕。
比较Lagrange中值定理和Roller中值定理便可知道，它们的区别仅仅在于区间端点的函数值相等与不相等，如果将Lagrange中值定理中函数所对应的图象通过旋转坐标使得该函数两端点的函数值相等。于是旋转后图像所对应的新函数则满足Roller中值定理的所有条件，从而证明Lagrange中值定理。先引入坐标系的旋转变换 ,即：
定理1（Roller中值定理）若 满足如下条件：
在 上都连续；
在 上都可导；
，
则在 内至少存在一点 ，使得 。
定理2（Cauchy中值定理） ， 满足以下几个条件：
在 上都连续；
在 上都可导
和 不同时为零
则存在 使得
。
证明：作辅助函数
易见F(x)在 上满足罗尔定理条件，故存在 使得
因为 （否则由上式可知 ），所以可把上式改写成
即
解得
因为 ，且 和 不同时为零，所以上式可改写成
证毕。
不难发现Lagrange中值定理的结论有着独特的形式， 和 与二阶行列式 和 有着密切的联系，根据此关系可构造一个行列式作为辅助函数
显然该函数满足Roller中值定理的所有条件。于是，根据Roller中值定理的结论可得，至少少存在一个 ，使得 ，
即
。
由此解得 ，代入< 2 >中可得
证毕。
证法二：行列式法
不难发现Cauchy中值定理的结论有着独特的形式， 和 与二阶行列式 和 有着密切的联系，根据此关系可构造一个行列式作为辅助函数
显然该函数满足Roller中值定理的所有条件。于是，根据Roller中值定理的结论可得，至少少存在一个 ，使得 ，
即
由此可得
因为 ，所以上式可以改写为
证毕。
证法三：坐标旋转法
考察参数方程
由Cauchy中值定理的条件可知，方程< 3 >的图像是XOY平面上一条连续且光滑的曲线L，其端点分别为 和 。
如图1，设弦AB与 轴正方向的夹角为 ，且 。旋转 轴，使得 平行于AB，曲线L在 上的投影分别为 ，则曲线上一点 在新坐标系 的坐标为
由此解得
代入< 1 >中可得
证毕。
（Lagrange中值定理）
将Lagrange定理的结果改写成
由 可知，必定存在一个常数 使得：
< 2 >
将上式中的常数 换成变量 ，得到辅助函数
经检验， 满足Roller中值定理的全部条件： 在 上都连续， 在 上都可导，且 。于是根据Roller中值定理可知，至少存在一个 ，使得 ，