高二数学极坐标系PPT教学课件 (2)

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高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt

（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置；而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（，2k ）或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标（ρ，2kπ+θ）和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z

高二数学人教版人教A版选修44课件第一讲三第2课时直线的极坐标方程

2.如图，在极坐标系中，过点 M(2，0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝π6.若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式，则 f(θ)＝________.
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正
弦定理得sin
O∠MOPM＝sin
∠OPOMP，即sinπ62－θ＝sinρ
所以圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y，
即 x2＋(y－1)2＝1，
其圆心(0,1)到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离
d＝ |22×31＋2＋1|22＝34<1，则直线与圆相交， [答案] 2
故直线与圆的公共点的个数是 2.
谢谢！
圆 C 的直角坐标方程是 x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1. 直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0. 圆心 C(1,0)，所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x＋y－1＝0. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－1＝0，即 ρcosθ－π4＝ 22.
方法·规律解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
极坐标方程为： ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α) ．
[问题思考]
1．在直线的极坐标方程中，ρ 的取值范围是什么？
提示：ρ 的取值范围是全体实数，即 ρ∈R.
2．在极坐标系中，点 M(ρ，θ)与点 P(－ρ，θ)之间有什么关系？
提示：若 ρ<0，则－ρ>0，因此点 M(ρ，θ)与点 P(－ρ，θ) 关于极点对称．
(2)设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP 为直角三角形，显比直角坐标系中直线的方程，可将(1)看成是直线方程的点斜式，不难验证当 θ0＝0，α＝π2时，直线(1)即 ρcos θ＝ ρ0；当 θ0＝π2，α＝0 时，即 ρsin θ＝ρ0.

人教版高中数学选修4-4 第一讲坐标系二极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为直0)角坐标方程的形
式是（）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知 M 点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能表示点 M 的是( )
A.5，－π3 C.5，－23π
B.5，43π D.－5，－53π
解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ， 2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选 A.
A________ B________ C________ D________
E________ F________ G________
(2) 与极坐标－2，π6 不表示同一个点的极坐标是
()
A.2，76π
B.2，－76π
C.－2，－116π
D.－2，136π
解析：(1)根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________．答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
③点 A 关于直线 θ＝π2的对称点的极坐标是_______．解析：(1)如图所示，△OAB 为等腰直角三角形，斜边 AB＝于极轴对称点为 B3，116π. ②关于极点对称点 C3，76π. ③关于直线 θ＝π2的对称点为 D3，56π.
答案：(1)2 (2)①3，116π ②3，76π ③3，56π

极坐标系

极坐标
二、常见曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的方法和步骤：和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上点的极坐标、的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程例：求极坐标系下，经过定点且关于极轴的倾斜角为的直线方程（其中为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内任一点，它的直角坐标为极坐标是，从点M作，由三角函数定义，可得出之间的关系。
2、圆的极坐标方程例：求极坐标系下，以定点为半径的圆的方程。解：如图，设所求圆上任一点在中，由余弦定理：即为所求圆方程。
为圆心，，
当圆心表示极点时，代入则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时，则圆方程化为即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程如图建立坐标系，设圆锥曲线上任一点，由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角也可以取负值，如：
5π 6
π
2

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极坐标系

ρsin θ
或
x2＋y2 ，
y x
栏目链接
x≠0.
预习思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏目链接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐标系
1.2 极坐标系
栏目链接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏目链接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏目链接
1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏目链接
栏目链接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏目链接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏目链接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：

人教B版高二数学选修4-4_4.(2)极坐标与直角坐标互化课件

y
cos sin
2、 ( , ) (x,y)2tanx2xyy2
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极坐标与直角坐标互化课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极坐标与直角坐标互化课件
课外作业
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极坐标与直角坐标互化课件
练一练
某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路.但在A 村北偏西300方向距A村500米处，发现一古代文物遗址W，经过初步勘测，文物管理部门将遗址W周围200米划为禁区。已知B地位于A村的正西方向1千米处，试问：修建高速公路的计划需要改变吗？如图示：
C
W
B
A
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极坐标与直角坐标互化课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极坐标与直角坐标互化课件
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极坐标与直角坐标互化课件
练一练
练习:已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A (3, 3) C (5,0) E (3,3)
B (1, 3) D (0,2)
F (3, 0)
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极坐标与直角坐标互化课件

化成直角坐标.
解:由5， 2
则有 x5co2s35 y5sin2 5 3
32
32
所以, 点M的直角坐标为（ 5 , 5 3 ）
22
人教B版高二数学选修4-4_4.（2）极坐标与直角坐标互化课件
特此声明
由于一个点达可式有，多对 0种时于表，上
公式仍适用！
例如：上述点也的可极写坐 -成 5，标 5（）

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》课件2

2 ＋ y2 x ρ ＝________
2
y tan θ ＝x（x≠0）
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限
取最小正角．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能提升演练
教材超级链接
名师点睛
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置． 2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点 (ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
知能提升演练
教材超级链接
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离极径，记为ρ；以极轴Ox |OM|叫做点M的_____
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
(ρ，θ) 叫做点M的极坐标，记极角，记为θ.有序数对_________ M的_____ M(ρ，θ) 为___________ ．
极角θ在后，不能把顺序搞错了． (2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除
极点外，点的极坐标是唯一确定的．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能提升演练
教材超级链接
【变式1】写出下列各点的极坐标．
解
π A(4，0)，B1， 3
2 13 5 C3， π ，D4， π ，E2， π ，， 3 12 4
对应关系？
定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．

人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)

新课标人教版课件系列选修4－4
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各坐标中, 不是M点的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结：从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
Page 25
Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系. 有时用别的坐标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)

高中数学极坐标 ppt课件

角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
ppt课件
1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ppt课件
14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
ppt课件
11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
ppt课件
12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
ppt课件

北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)

3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上截取 | OM || |；（3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X

° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).

新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(

R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：

人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT

三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是相同的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定一个长度单位和角的正方向(通常取逆时针方向)，这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解学习参数方程的缘由。

高中数学第一章坐标系 1-2-4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课件北师大版选修4-4

3．将直角坐标方程 x2＋y2＋2x＋2y＝0 化为极坐标方程为
()
A．ρ＝－2cosθ
B．ρ＝－2sinθ
C．ρ＝－2(cosθ＋sinθ)
π D．ρ＝－2cos(θ＋ 4 )
答案 C 解析依题意得 ρ2＋2ρcosθ＋2ρsinθ＝0，所以 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 或 ρ＝0，又曲线 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 经过极点，所以 ρ＝－2(cosθ＋sinθ)．故选 C.
π ∴这是过极点且倾斜角为 3 的射线的极坐标方程．
π ∴射线 y＝ 3x(x≥0)的极坐标方程为 θ＝ 3 (ρ≥0)．
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 x2＋y2＝r2，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r>0)． ∵ρ≥0，∴ρ＝r 为所求．
题型二极坐标方程化为直角坐标方程
(2)圆心为(2，23π)，半径为 3.
π (3)圆心为(2， 3 )，半径为 3.
结束语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油。
【答案】 (1)(x－12)2＋(y＋ 23)2＝1， (2)(x－ 23)2＋(y－12)2＝1， (3)x－ 3y－2＝0， (4) 3x＋y－2＝0
题型三极坐标方程的应用
例 3 (2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1: x ＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
π 由此题总结：直线 ρcosθ＝1 绕极点逆时针旋转 3 ，即得直线
π
π
ρcos(θ－ 3 )＝1，其中点(1，0)转到(1， 3 )．

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（ρ，2kπ+θ）（ ρ≥0）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
从这向西走800米。
请问：去…… 怎么走？
从这向西走 800米！
出发点
方向距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(1, ) 4
C(3, ) 4
B(2, 3) 2
D(4, 9) 4
题组三：（1）在极坐标系中，与点
(3,
3
)
关
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
（＝＿2）＿已＿知＿A 。(5, 3),B(6,23)，则｜AB｜
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
在极坐标系中，(4 , )(4 ,, 2 )(4 ,, 2 )
66
6
表示的点有什么关系？
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点 A(2,),B(2,5)，则顶点C的坐标是＿＿＿＿4＿＿。4
小结
（1）建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。（2）极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个。（3）一点的极坐标有否统一的表达式
一般地，极坐标 (,)与
( , 2 k )k ( Z )表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。
M (ρ,θ)…
O无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
例1. 将点M的极坐标( 5 , 2 )
化成直角坐标.
3
练习：已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
A (3, ) B (2, )
6
2
C (1, )
2
D (2, 3) 4
例2. 将点M的直角坐标( 3,1)
化成极坐标.
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从 OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。
指出：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，可取任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），可取任意值。
12 （ 3 ） 22 tan 3 3
1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2x 2y2,ta n y(x0 )
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.