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函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．

1．定义域判定法

例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．

解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，

定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．

评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原

点对称，来否定一个函数具有奇偶性．

2．定义判定法

例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．

解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．

评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．

3．等价形式判定法

例3 判定()f x =

的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．

又

0x ≠时，22

22()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．

评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()

f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或

()1()

f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()

g x x ∈R 是偶函数，

试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．

解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，

任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--，

()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，

()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．

()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．

()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．

评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．