平行线之“拨云驱雾”说证明

1、“拨云驱雾”说证明

2、“平行线”新题例析

3、开放探究型好题一例

4、活用“三角形内角和”定理解题

5、学好“命题与证明”一二三

6、平行线与相交线应用点击

1、“拨云驱雾”说证明

有些同学做证明题时总是东一榔头、西一棒槌，思路混乱，导致感觉“无从下手”． 下面给大家讲讲做证明题的几种常用的解题思路：

一种方法是从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因．．．．”。有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果．．．．

”；或者也可以顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑．．．”。 例1．已知如图，AOC 为一直线，OB 为任一射线，OP 平分∠AOB ，OE 平分∠BOC ， 求证：OE ⊥OP ．

【分析】本例我们用“由因导果．．．．

”来思维：由AOC 为直线推出∠AOB+∠BOC=180°，又因OP ，OE 分别为∠AOB ，∠BOC 平分线，所以可推得∠2=

12∠AOB ，∠1=12∠BOC ，而∠POE=∠1+∠2=12

(∠AOB+∠BOC)，所以推得∠POE=90°，再推得OP ⊥OE 。 证明：∵OP ，OE 分别平分∠AOB ，∠BOC ，

∴ ∠2=12∠AOB ，∠1=12

∠BOC ， ∵ AOC 为直线， ∴∠AOB+∠BOC=180° ∵∠POE=∠1+∠2=

12(∠AOB+∠BOC)， ∴ ∠POE= 12

×180°＝90°． ∴ OP ⊥OE （垂直定义）

例2．如图2，已知：∠ADC ＝∠ABC ，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，且∠1=∠2，

求证：∠A=∠C.

【分析】本例我们采用“执果索因．．．．

”来思维：欲证∠A=∠C ，因已知∠ADC ＝∠ABC ，故只需证AB ∥CD ；因而又想到要证∠2＝∠3，而∠1＝∠2已知，所以应设法证∠1＝∠3． 证明：∵BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，

∴ ∠1＝21∠ABC ，∠3＝2

1∠ADC. ∵∠ABC ＝∠ADC, ∴21∠ABC ＝2

1∠ADC ，∴∠1＝∠3。 ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，

∴AB ∥CD ，∴∠A ＋∠ADC ＝180º ，∠C ＋∠ABC ＝180º。

∴∠A＝∠C。

点评：尽管有时用“执果索因”，有时用“由因导果”，但不管那一种思路，在书写证明过程时，必须都用顺推的方法来书写。

2、“平行线”新题例析

一、实际应用型

例1．如图1是一个木版，如果要检验一下木版的对边AB和CD是否平行？请你给出一种可行的方法．

图1 图2

解析：本题是一道可以利用平行线识别方法来解决的实际问题，其解题方法较多，解决问题的方法是从实际问题中构造出内错角，根据内错角相等与否，确定木版的对边是否平行．如图2，在木板上任画一条和AB，CD相交的线段，可以量∠1和∠2，如果∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”可确定AB//CD，否则不平行．也可以量∠1和∠3，若∠1+∠3=180°，同样可以确定AB//CD．

例2．木工师傅在画线时，用一种叫做角尺的工具画榫眼线，如图3把角尺的一边紧靠木料的边AB，滑动尺子画出的两条直线CD和EF就是平行线，你能说出他们这样做的依据吗？

图3

解析：解析：本题是一道与平行线的识别有关的实际问题，由于角尺的角为直角，当角尺的一边紧靠木料的边AB时，另一边和AB垂直，所以由此画出来的直线CD、EF都与AB垂直，根据“在同一平面内，如果两直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行”可知CD 和EF平行。本题也可以从同位角相等两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行的角度进行说理。

二、探索开放型

例3．如图4，直线a，b均与c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请填上你认为适当的一个条件：，使得a∥b．

解析：析解：本题的结论已经给定，需要我们补充条件，使结论

成立，运用的是“执果索因”的逆向思维模式。

因此运用平行线的判定定理，可以得到很多种填法。

图4

利用“同位角相等，两直线平行”可知，所填条件可以是∠1＝∠5，或∠2＝∠6，或∠3＝∠7，或∠4＝∠8；利用“内错角相等，两直线平行”可知，所填条件可以是∠3＝∠6，或∠4＝∠5；利用“同旁内角互补，两直线平行”，所填条件可以是∠3+∠5＝180°，或∠4+∠6＝180°；结合“对顶角相等”等性质可知，所填条件还可以∠1＝∠8，或∠2＝∠7，或∠3＝∠6，或∠4＝∠5；或∠3+∠8＝180°，或∠4+∠7＝180°；或∠2+∠8＝180°，或∠1+∠7＝180°；等等。

三、实验操作型

例4． 如图5，有一张不规则的纸，你能不用任何工具，在纸上折出两条平行的折痕吗？若能，请说出你的方法及理由。

解析：解析：可以。如图6，先将纸折一次①，再将纸沿折痕对折②，再沿着折痕对折一次③，即可得到平行的折痕。理由：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两直线平行。

四、学科渗透型

例5． 如图7所示，潜望镜的两个镜子是平行放置的，光线经过镜子反射后，有∠1＝∠3，∠4＝∠6，请你解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？

解析：本题先从平行线的性质：“两直线平行，内错角相等”

出发，利用已知条件可得出∠2＝∠5，再利用平行线的判定：

“内错角相等，两直线平行”即可。

因为镜子是平行的，所以可以看作是两条平行线，根据两直

线平行，内错角相等，∴∠4＝∠3，又∵∠1＝∠3，∠4＝

∠6，∴∠1＝∠3＝∠4＝∠6，∴∠2＝180°－∠1－∠3＝

180°－∠4－∠6＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，∴

进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。

3、开放探究型好题一例

最近，我们学习了平行线的判定定理及性质定理、三角形内角和定理及推论，解决了一些简单的证明问题．为了用好这些定理，下面以一道中考题为例加以分析说明．

例．如下图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0

角．）

（1）当动点P 落在第①部分时，如图1—(1)，求证：∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD ；

（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD

是否成立（直接回答成立或不成图

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