有关中线和中位线问题

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

暑假专题——有关中点、中位线的问题

二. 教学目标：

1. 利用有关中点定理和中位线定理解题。

2. 灵活运用中点、中位线的性质，巧妙添加辅助线解决几何证明问题。

三. 教学重点和难点：

重点：有关中点定理和中位线定理的灵活运用。

难点：巧妙添加辅助线。

四、方法技巧规律总结：

1. 中点类：

（1）等腰三角形的底边中点：构造三线合一的基本图形。

（2）直角三角形斜边中点：作斜边中线的基本图形。

（3）有中线时：加倍中线构造平行四边形的基本图形。

（4）梯形腰的中点：往往连结顶点与一腰的中点并延长，交底的延长线于一点，构成中心对称的两个三角形。

（5）正方形一边有中点：延长构造全等三角形。

2. 中位线类：

（1）有中点并求线段的倍数关系时，经常构造三角形中位线来解决。

（2）利用三角形、梯形中位线直接证题或计算。

（3）没有中位线，常构造中位线证题。

【典型例题】

例1. MN为过Rt△ABC的直角顶点A的直线，且BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，AB=AC，F为BC中点。

求证：DF=EF。

分析：由F为斜边BC中点，想到连斜边中线AF，则有BF=AF=CF，这样把DF、EF 分别放到△ADF、△CEF（或△DBF与△EAF）中，可考虑证它们全等。

证明：连结AF，则有BF=AF=CF

N

∵∠BAC=90°∴∠BAM＋∠NAC=90°

又∵BD⊥MN，CE⊥MN

∴∠BAM＋∠DBA=90°∠BDA=∠CEA=90°

∴∠DBA=∠NAC

∵AB=AC ∴△DBA≌△EAC（AAS）

∴DB=AE

∵AB=AC，∠BAC=90°F为BC中点

∴∠ABC=∠FAC=45°

∴∠DBA＋∠ABC=∠CAF＋∠CAN ∴∠DBF=∠FAE

又∵DB=AE，AF=BF

∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF=EF

点拨：在直角三角形中，有斜边中点常连斜边中线

例2. 已知：梯形ABCD中，AB//CD，且BM⊥CM，M是AD的中点，试说明AB＋CD=BC。

分析：这是一道证明两条线段的和等于第三条线段的问题，这样的问题关键是将AB、CD转化到一条直线上去，题中有梯形腰的中点，通常通过中心对称的知识将问题转化。

解：延长BM交CD延长线于N点

B A

C D N

∵M是AD的中点，AB//CD ∴△ABM与△DNM关于点M成中心对称

∴AB=DN，MB=MN

∵BM⊥CM ∴CB=CN，CD＋ND=BC

∵AB=DN ∴AB＋CD=BC

点拨：遇到梯形腰的中点，往往连结顶点与一腰的中点并延长交底的延长线于一点，构成中心对称的两个全等的三角形。

例3. 已知：在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD＋CP。

求证：AQ平分∠DAP。

分析：（1）此题中出现AP=CD＋CP，通常想到的方法就是截长补短法，即在PC的延长线上截一条线段等于CD

（2）同时此题出现了Q是CD边上的中点，所以也可延长AQ交BC的延长线于E，也可达到同样的效果。

证明：延长AQ交BC的延长线于E

A D

B P

C E

∵四边形ABCD为正方形∴AD=CD，AD//BC，DC⊥BC，∠D=90°

∴∠D=∠DCE=90°

又∵∠1=∠2，DQ=CQ ∴△ADQ≌△ECQ（ASA）

∴AD=EC，∠DAQ=∠E

∵AP=PC＋CD ∴AP=PC＋AD=PC＋CE=PE

∴∠PAQ=∠E ∴∠DAQ=∠PAQ ∴AQ 平分∠DAP 点拨：有以正方形一边中点为端点的线段时，常把它延长构造全等三角形，从而为证题构造条件。

例4. 已知：D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 为等边三角形。 求证：EP=FM 。 分析：由D 、E 、F 为三角形三边的中点，想到连中位线DE 、DF ，这样把EP 、FM 放到△DPE 、△DMF 中，从而证明它们全等即可。 证明：连结DF 、DE 。

∵D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点

∴DF BC DE AC

////121

2，

∴DF DE

//CE ∴四边形DECF 为平行四边形

∴∠C=∠EDF

∵△ABC 、△DPM 为等边三角形

∴BC=AC ，∠C=60°，DP=DM ，∠PDM=60° ∴DF=DE ，∠EDF=∠PDM=60° 又∵∠EDP=∠EDF －∠PDF ∠FDM=∠PDM －∠PDF ∴∠EDP=∠FDM ∴△DEP ≌△DFM （SAS ）

∴EP=FM

例5. 已知：AB=CD ，AN=ND ，BM=CM 。求证：∠1=∠2。 分析：AB 与CD 是四边形的边，怎样把它们建立起联系呢？而由M 、N 分别为BC 、

AD BD G NG MG 的中点，如连结，取其中点

，连结、，则有，，NG

AB MG CD ////121

2

这样就把∠1与∠2通过中位线移到同一个△GMN 中，故问题得证。

证明：连结BD ，取BD 中点G ，再连结MG 、NG

B

C

M