有关中线和中位线问题
三角形的中线与中位线综合练习题
三角形的中线与中位线综合练习题三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一。
在三角形中，中线与中位线是常见的几何概念，具有重要的性质和应用。
本文将围绕三角形的中线与中位线展开综合练习题，通过解答问题来加深对这两个概念的理解。
问题一：证明三角形三条中线交于一点。
解答：我们知道，三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段。
设三角形ABC的顶点为A，对边BC的中点为D，对边AC的中点为E，对边AB的中点为F。
由于D是BC的中点，所以BD=DC；同理，AE=EC，AF=FB。
假设三条中线AD，BE，CF不相交，即它们三个没有公共交点。
那么可以得出如下结论：（1）由于BD=DC，AE=EC，根据两点之间的距离公式可知AD=BD+BA=DC+CA；BE=AE+AB=EC+CB；（2）由于AF=FB，AD=DC+CA，根据两点之间的距离公式可知AD=AF+FD=FB+BD。
上述两个关系可合并为：DC+CA=FB+BD。
将等式两边同时减去BD和CA，并整理得到：DC-CA=FB-BD。
由于BC=BD+DC，AC=CA+DC，可将上式改写为：BC-AC=FB-AB，即CB-CA=FB-AB。
根据三角形的顶点角定理，若有一个三角形的两条边上的两个顶点分别与另一条边上的两个点重合，那么这个三角形一定是等边三角形。
因此CB=CA，FB=AB。
上式可改写为：0=0，这与初设的三条中线不相交的假设矛盾。
所以可以得出结论，三角形三条中线交于一点。
问题二：证明三角形三条中位线交于一点，并求出该点与三角形的关系。
解答：我们知道，三角形的中位线是连接两个顶点的中点的线段。
设三角形ABC的顶点为A，对边BC的中点为D，对边AC的中点为E，对边AB的中点为F。
首先，连接AD。
由于A、B、C三点在一条直线上，所以AD平行于BC。
同理，连接BE和CF，可以得到BE平行于AC，CF平行于AB。
根据平行线的性质，可以得出以下结论：（1）由BD是BC的中点可知，AD平分BC。
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线三角形是中学数学中重要的几何形状之一，它具有丰富的性质和特点。
本文将重点讨论三角形中的两条特殊线段：中线和中位线。
一、中线中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点D的线段AD称为三角形ABC的中线。
同样地，连接顶点B与对边AC的中点E的线段BE和连接顶点C与对边AB的中点F的线段CF也是三角形ABC的中线。
中线的性质之一是：三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。
重心是三角形的重要性质之一，它与三角形的形心、外心和垂心等地位相当。
重心离三个顶点的距离满足一定的关系，具体推导可以参考数学教材。
二、中位线中位线是连接三角形的两个顶点的中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与顶点B的中点M的线段AM称为三角形ABC的中位线。
同样地，连接顶点B与顶点C的中点N的线段BN和连接顶点C与顶点A的中点L的线段CL也是三角形ABC的中位线。
中位线的性质之一是：三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心，与中线的重心重合。
这是因为中位线的中点正好是中线的重心。
三、中线与中位线的关系中线与中位线有一定的关系。
以三角形ABC为例，连接三角形的两个顶点的中点分别为M、N和L，连接顶点A与对边BC的中点为D，连接顶点B与对边AC的中点为E，连接顶点C与对边AB的中点为F。
则有以下关系：1. 中线与中位线的长度比为1:2，即AD:AM = BE:BN = CF:CL = 1:2。
2. 以中位线的中点为圆心，边长为中位线长度的圆可内切于三角形中。
三角形的中线和中位线是三角形的重要构造元素，它们具有一定的性质和关系，通过研究和应用这些性质，可以进一步深入理解和探究三角形的特点。
在解决一些与三角形相关的问题时，中线和中位线也常常被用作推理和证明的重要工具。
因此，对于掌握三角形的基本性质和几何关系具有重要的意义。
综上所述，中线与中位线是三角形的重要特殊线段。
八年级全等三角形中的中点、中线问题
全等三角形中的中点、中线问题三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．FEDCBA【巩固】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．DCBA【例2】 如图，已知AB DC =，AD BC =，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E F ，．求证：E F ∠=∠21OFEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥． OF E DBA【巩固】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例4】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【例6】 已知ACB ∆，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交底BC于G ，求证GD GE =．GED C BA【例7】 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．F EDCBA【例8】 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．MFED CB A【例9】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCBA【例10】 在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【例11】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBA【例12】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【例13】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【例14】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFACD E B【例15】 ABC ∆中，AB AC >，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和A ∠的平分线，则AD 和AE 的大小关系是AD ______AE ．(填“>”、 “<”或“=”)E AB CD 【例16】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C【巩固】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBA【例17】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBA【巩固】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA【例18】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．ECB A【例19】 已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证2CD CE =EDCB A1. 如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．ABCDO2. 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF3. 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．DCB AD'C'B'A'4. 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBA5. 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECBA。
三角形中的中线与中位线的性质
三角形中的中线与中位线的性质在几何学中，三角形是最基本的多边形之一，由三个边和三个顶点组成。
在三角形中，中线和中位线是两个重要的概念。
本文将探讨这些线段的性质，展示它们在三角形中的重要作用。
一、中线的性质中线是指连接三角形的一个顶点和对应边中点的线段。
在任何三角形中，都存在三条中线，它们相交于一个点，称为三角形的重心。
以下是中线的性质：1. 中心位置：三角形的三条中线的交点即为三角形的重心。
重心将三角形划分为三个面积相等的三角形。
2. 等长性：三角形的三条中线长度相等。
即，连接三角形的一个顶点和对边中点的线段长度相等。
3. 三点共线：三角形的顶点和对边中点以及重心共线。
这意味着无论三角形是等腰、等边还是普通三角形，其中心点都位于三角形内部，并且与三角形的顶点与边具有一定的关系。
二、中位线的性质中位线是指连接三角形的两个顶点中点的线段。
在任何三角形中，存在三条中位线，也具有一些重要的性质。
以下是中位线的性质：1. 中点连线：三角形的三条中位线的交点即为三角形内心。
2. 等长性：三角形的三条中位线长度相等。
即，连接三角形的两个顶点中点的线段长度相等。
3. 平分性：中位线将三角形的面积平分为两部分。
即，三角形内所有通过一个顶点的中位线所对应的两个小三角形面积之和等于大三角形的一半。
三、中线与中位线的关系中线和中位线是三角形中具有重要关系的特殊线段。
以下是它们之间的一些关系：1. 位置关系：三角形的三条中线相交于三角形的重心，而三条中位线相交于三角形的内心。
2. 长度比较：在同一个三角形中，中位线的长度大于中线的长度。
3. 关于重心的性质：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段与连接该顶点与三角形的重心的线段之间的比值为2:1。
4. 关于内心的性质：连接三角形的两个顶点中点的线段与连接这两个顶点与三角形的内心的线段之间的比值为1:1。
结论：通过对三角形中的中线与中位线的性质进行分析，我们可以得出以下结论：1. 中线和中位线都是三角形中的重要线段，它们与三角形重心和内心的位置关系密切。
三角形的中线和中位线
三角形的中线和中位线三角形是几何学中最基本的图形之一。
它由三条边和三个顶点组成，具有丰富的性质和特点。
本文将重点介绍三角形的中线和中位线。
一、中线中线是指从一个顶点连到对边中点的线段。
一个三角形有三个顶点，因此它有三条中线。
用示意图表示，如下所示：（插入示意图）中线的特点如下：1. 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 中线的长度相等，且等于三角形两边的和的一半。
3. 三角形的重心到顶点的距离是中线长度的2/3。
二、中位线中位线是指连接三角形两个顶点的中点的线段。
一个三角形有三个顶点，因此它有三条中位线。
用示意图表示，如下所示：（插入示意图）中位线的特点如下：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 中位线的长度相等，且等于三角形两边的和的一半。
3. 重心到中位线的交点的距离是中位线长度的1/3。
三、中线和中位线的关系中线和中位线都是连接顶点和对边中点的线段，它们有一些共同的性质和特点：1. 三角形的三条中位线和三条中线都会交于同一个点，这个点就是三角形的重心。
2. 中线和中位线的长度相等，都等于三角形两边的和的一半。
3. 重心到中线的交点和重心到中位线的交点之间的距离关系为2:1。
4. 中位线的交点将中线一分为二，且分割的线段长度与两条中位线的长度之间的关系为1:2。
四、中线和中位线的应用中线和中位线在几何学中具有广泛的应用，特别是在解决三角形相关问题时：1. 利用中线和中位线的性质可以求解三角形的重心，从而确定三角形的位置和形状。
2. 中线和中位线的长度关系可以用来推导其他三角形边长和角度的关系。
3. 基于中线和中位线的性质，可以证明一些三角形的定理和性质，如垂心定理和松弛定理等。
综上所述，三角形的中线和中位线是三角形的重要属性和特点，它们有着丰富的性质和应用。
通过研究中线和中位线，我们可以更好地理解和分析三角形，深入掌握几何学的知识。
对于几何学的学习和应用来说，中线和中位线是必不可少的重要内容之一。
2020年初中数学《斜边中线、中位线》重难点整理
《斜边中线、中位线》重难点整理最近的中位线学习，很多同学掌握不到位，遇到题目中有直角三角形斜边上的中点，经常视而不见，从而想不到斜边中线处理线段之间数量关系时的妙用；而有时出现多个中点，想不到再找中点，从而也就看不见隐藏的中位线了，本讲就精选几道例题帮助同学们突破难点．一、想不到的斜边中线例1：如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为________．分析：根据DE是中位线，可知DE长是第三边BC长的一半，点D是AB的中点．由∠AFB＝90°，则Rt△ABF中，可知DF作为斜边中线，长度等于斜边AB长的一半，将DE的长减去DF的长，即可得到EF的长．解答：例2：如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF．分析：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DE∥AC，EF∥AB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)D，F分别作为Rt△ABH，Rt△ACH斜边AB，AC上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DH＝AD，FH＝AF，∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，即∠BAC＝∠DHF，由平行四边形对角相等可得∠DEF＝∠BAC，等量代换即可得证．解答：证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF是△ABC的中位线，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形．(2)∵AH是边BC上的高，D，F分别是AB，CA中点∴Rt△ABH中，DH＝AD，Rt△ACH中，FH＝AF，∴∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，∴∠DHF＝∠BAC，∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．本题也可连接DF，证明△DEF≌△FHD小结：许多题目中，会出现多个中点，有的中点与另一中点相连，作为中位线；而有的中点与直角顶点相连，就成了斜边中线，而这都涉及到线段长度之间的倍数关系，尤其是后者，不能忽视．二、看不见的中位线(1)补全三角形例1：在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于D，E是AB中点，AC＝15，BC＝27，求DE的长．分析：本题中，点E已经是AB的中点，由CD平分∠ACB，AD⊥CD，想到可以构造等腰三角形，利用三线合一，使点D成为另一个中点，从而让ED变成“看得见”的中位线．解答：例2：如图△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求证：GH∥BC；(2)若AB＝9，AC＝14，BC＝18，求GH．(3)若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B的平分线及∠C的外角平分线”(如图2所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图3所示)，其余条件不变，求证：结论GH∥BC仍成立．分析：与上例类似，有角平分线，有垂直，延长构造等腰三角形，利用三线合一．解答：(1)证明：分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中∵BG平分∠ABM，BG⊥AM，∴∠ABG＝∠MBG，∠BGA＝∠BGM＝90°∴∠BAM＝∠BMA．∴BA＝BM，G是AM的中点．同理CA＝CN，H是AN的中点，∴GH是△AMN的中位线，HG∥MN，HG∥BC．(2)由(1)知，△ABG≌△MBG，△ACH≌△NCH，∴AB＝BM＝9，AC＝CN＝14．∴MN＝BM＋CN－BC＝AB＋AC－BC＝9＋14－18＝5 (3)无字证明如下，相信同学们都能看懂．(2)找边的中点例1：分析：根据要证明的结论，我们可以发现这与三角形三边关系有关，因此，要构造一个以CD长的一半，AB长的一半，EF长为三边的三角形，自然想到中位线，取BC边的中点即可．解答：变式：已知在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AB、DC的中点．求证：OM＝ON．要证OM＝ON，可以从等角对等边入手，证∠OMN＝∠ONM，考虑到对角线AC＝BD，能不能再来一次等边对等角呢？构造AC，BD的一半即可，则需要构造中位线，自然想到BC的中点．解答：(3)找对角线的中点例1：如图，四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC中点．求证：AB＋CD＞2EF．分析：根据要证明的结论，，似乎又与三角形三边关系有关，将不等式两边同除以2，则只需构造以EF，AB长的一半，DC长的一半为边的三角形，想到连接对角线取中点．变式：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．分析：与例1的变式类似，要借助其他两个相等的角转化，考虑到对边相等，则构造AD，BC的一半即可，则需要构造中位线，自然想到对角线AC的中点．解答：小结：对于以上4题，我们都需要找中点，构造中位线，但方法各异，有取四边形边的中点，有取四边形对角线的中点，能否找到一些规律呢？其实不难！例1，例2，最后证明的结论都与一组对边有关．例1，要证明的一组对边必作为第三边，已经给出对角线的中点，那么必然要再取另一对边中的一条的中点．例2，要证明的一组对边必作为第三边，已经给出另一组对边的中点，，那么必然再取一条对角线的中点．例1的变式，例2的变式，最后要证明的结论都是角等，也就是边等．例1的变式中，对角线相等，必作为第三边，给出一对边的中点，那么必然再取另一组对边中的一条的中点．例2的变式中，一组对边相等，必作为第三边，给出另一组对边的中点，那么必然再取一条对角线的中点．由此可见，关键在于选择谁作第三边．有些结论比较明显的，直接以结论中涉及的边为第三边，对于不明显的，则需要转换，但一般如果题目中有两条线段相等的条件，则这两条相等的线段必然作第三边．思考题如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为________．3。
中线、中位线专题
中线、中位线专题例题1．（ 04南通）已知：△ABC 中，AB=10．（1）如图①，若点D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，求DE 的长；（2）如图②，若点A 1，A 2把AC 边三等分，过A 1，A 2作AB 边的平行线，分别交BC•边于点B 1，B 2，求A 1B 1+A 2B 2的值；（3）如图③，若点A 1，A 2，…，A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，•分别交BC 边于点B 1，B 2，…，B 10．根据你所发现的规律，直接写出A 1B 1+A 2B 2+…+A 10B 10的结果．B A①ED C变式．(2009年温州)如上图，一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张例题2、已知：如图：四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线交FE 延长线于H 、G 。
求证：∠BHF=∠CGF变式：已知如图，四边形ABCD 中，E 、F 为AD 、BC 中点，AB 与CD 不平行.B 2B 1A 1A 2B A②C B 10B 3A 3A 10B 2B 1A 1A 2BA③C求证：)(21EF CD AB +<例题3. 已知如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，BE 平分∠dbc 交AC 于F 交DC于E ，求证：OF=12QE例题4.已知：如图27-3-45①所示，BD 、CE 分别是△ABC•的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ．连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，•易证FG=12（AB+BC+AC ）．若（1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）•BD•为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，•线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，•并对其中的一种情况给予证明．练习1．梯形上底长为L ，中位线长为m ，则连结两条对角线中点的线段长为（ ）A ．m-2LB ．2m-L C ．2m-L D ．m-L 2.（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°3． 如图所示，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，•垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积等于_________．4. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．5. （2008桂林市）如图，矩形A 1B 1C 1D 1的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形A 2B 2C 2D 2，再顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2四边中点得到四边形A 3B 3C 3D 3，依此类推，求四边形A n B n C n D n 的面积是 。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线三角形是初中数学中的重要内容之一，不仅在初中阶段被广泛地研究和应用，而且在高中以及大学阶段也是必不可少的基础知识。
其中，三角形的中线与中位线是三角形的重要性质之一，本文将详细讨论它们的定义、性质以及相关的应用。
首先，让我们来了解一下三角形的中线和中位线的定义。
对于任意一个三角形ABC来说，如果D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，那么AD、BE、CF就是三角形ABC的中线。
而如果G、H、I分别是BC、AC、AB的中点，那么AG、BH、CI就是三角形ABC的中位线。
接下来我们来分析中线与中位线的性质。
首先，中线与中位线都可以相交于一点。
对于任意一个三角形ABC来说，它的中线AD、BE、CF寻找的交点就是三角形的重心G。
重心是三角形三条中线的交点，它具有很多有趣的性质，例如：重心将中线划分成2:1的比例，即AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1。
而对于中位线而言，它们的交点H、I、G正好重合，即三角形的中位线既是重心连线，也是三条中线的交点。
其次，中位线有着很多与中线相似的性质。
例如，中位线分为两段线段时，每段线段的长度都是另一段线段的两倍。
这就意味着，通过连接三角形的三个顶点与中点，我们可以将三角形分为6个三角形，其中三个小三角形的面积之和等于整个三角形的面积的3/4。
另外，中位线还与平行线有着重要的联系。
如果通过三角形的一个顶点A作一条平行于BC的直线，它将分别与BE和CF相交于点M和N，那么AM/MB=AN/NC=2:1，即AM是MB的两倍，AN是NC的两倍。
这说明了中位线与平行线之间的关系，且结构类似于中线。
最后，让我们来看一下三角形的中线与中位线的一些应用。
首先是定理的应用，利用中线和中位线定理可以快速求解三角形的面积，特别是对等腰三角形以及直角三角形更加有效。
此外，中位线还可以帮助解决与三角形形心有关的问题，例如形心与重心的距离是重心与顶点的距离的2/3。
总之，三角形的中线与中位线是初中数学中的重要内容，通过研究它们的定义、性质和应用，不仅能更好地理解三角形的特点，还能够提高解决问题的能力。
中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型教学案(模型辨析+例题讲解+练习题)
中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型在中位线的学习，很多同学掌握不到位，遇到题目中有直角三角形斜边上的中点，经常视而不见，从而想不到斜边中线处理线段之间数量关系时的妙用；而有时出现多个中点，想不到再找中点，从而也就看不见隐藏的中位线了，本讲就精选几道例题帮助同学们突破难点．一、想不到的斜边中线例1：如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB ＝6，BC＝8，则EF的长为________．分析：根据DE是中位线，可知DE长是第三边BC长的一半，点D是AB的中点．由∠AFB＝90°，则Rt△ABF中，可知DF作为斜边中线，长度等于斜边AB长的一半，将DE的长减去DF的长，即可得到EF的长．解答：例2：如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF．分析：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DE∥AC，EF∥AB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)D，F分别作为Rt△ABH，Rt△ACH斜边AB，AC上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DH＝AD，FH＝AF，∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，即∠BAC＝∠DHF，由平行四边形对角相等可得∠DEF＝∠BAC，等量代换即可得证．证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF是△ABC的中位线，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形．(2)∵AH是边BC上的高，D，F分别是AB，CA中点∴Rt△ABH中，DH＝AD，Rt△ACH中，FH＝AF，∴∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，∴∠DHF＝∠BAC，∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．本题也可连接DF，证明△DEF≌△FHD。
初中数学知识归纳三角形的中线与中位线
初中数学知识归纳三角形的中线与中位线初中数学知识归纳：三角形的中线与中位线在初中数学中，我们学习了许多三角形的性质和相关定理。
其中，三角形的中线与中位线是三角形研究中非常重要的概念。
它们不仅可以帮助我们理解三角形的特性，还可以应用于解决实际问题。
本文将对三角形的中线与中位线进行归纳，帮助我们更好地理解和应用这些知识。
一、三角形的中线1. 定义：三角形的中线是连接三角形任意两个顶点与对边中点的线段。
2. 性质：a. 三角形的三条中线交于一点，称为重心。
三角形的重心离三角形的各顶点的距离满足重心判定定理，即离重心的距离比离顶点的距离小两倍。
b. 重心将各中线分成两比一的部分，即重心到中点的距离是中心到对边两个端点的距离的两倍。
3. 应用：中线的性质在许多三角形问题中都有重要应用，如：a. 判断三角形形状：如果三角形的中线相等，则该三角形是等边三角形。
b. 计算面积：可以利用中线分割三角形，将大三角形的面积拆分成三个小三角形的面积之和，进而进行计算。
二、三角形的中位线1. 定义：三角形的中位线是连接三角形任意两个中点的线段。
2. 性质：a. 三角形的三条中位线交于一点，称为重心。
与中线的性质相同，重心将各中位线按照两比一的比例分成两部分。
b. 三角形的中位线和中线互称，即可称中线为中位线，也可称中位线为中线。
3. 应用：中位线的性质同样在解决三角形问题中具有重要作用：a. 判断三角形形状：如果三角形的中位线相等，则该三角形是等边三角形。
b. 计算面积：利用中位线将大三角形分割成三个小三角形，可以计算出大三角形的面积。
三、中线与中位线的关系1. 中线和中位线的共点：三角形的中线和中位线都经过三角形的重心，即共点于重心。
2. 中线与中位线的比例关系：a. 在任意三角形中，重心到顶点的距离与重心到中点的距离之比是2:1。
b. 重心到中位线的交点的距离与重心到顶点的距离之比也是2:1。
综上所述，初中数学中关于三角形的中线与中位线的知识归纳如上。
中位线、中线的应用
中位线、中线在等腰直角三角形旋转题中的妙用旋转是初中几何三大变换中（平移、对称、旋转）最难的，最复杂的。
往往出现在压轴题中，所以拿分都比较难。
但是只要我们抓住旋转图形的性质来添加辅助线，很多问题都可以迎刃而解。
一、旋转的性质：①转后的图形与原图形是全等/相似的，进而得到相等/成比例的线段、相等的角； ②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，进而得到等腰三角形)；③对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转前后对应线段的夹角都等于旋转角，若有特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形； 二、解旋转题的思路解旋转题有两个关键点：①一般找全等/相似三角形，最多的是SAS ，等角都是由旋转角和已知固定角组成；②找旋转中心和做辅助线时，一定找相等线段的公共端点。
考试中最常见的旋转就是等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形。
但是由于旋转中心和角度的变化，所有旋转题变化多样，辅助线也很难找到规律，几乎初中阶段学过的辅助线作法都有可能会用到。
但是对于一些特殊的图形，还是有一般通法的。
下面介绍下中位线、中线在等腰直角形旋转模型中的妙用。
例：2011广州中考数学第25题：如图所示，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，45ABC ∠=︒，等腰直角三角形DCE 中DCE ∠是直角，点D 在线段AC 上。
（1）证明：B 、C 、E 三点共线；（2）若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：2MN OM =； （3）将DCE 绕点C 逆时针旋转α（090α︒︒<<）后，记为11D CE （图8），若1M 是线段1BE 的中点，1N 是线段1AD 的中点，1112M N OM =是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。
25、（1）证明：略(2)证明：连接ON 、AE 、BD ，延长BD 交AE 于点F ∵ ∠ABC=45°，∠ACB=90°∴ BC=AC ，又∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC ∴ △BCD ≌△ACE∴ BD=AE ，∠DBC=∠CAE∴∠DBC ＋∠AEC=∠CAE ＋∠AEC=90° ∴ BF ⊥AE∵ AO=OB ，AN=ND 1FN MD OBCA E∵ AO=OB ，EM=MB∴ OM=12AE ，OM ∥AE∴ OM=ON ，OM ⊥ON∴ ∠OMN=45°，又 cos ∠OMN=OMMN∴ 2MN OM =(3) 1112M N OM =成立，证明同（2）。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而其中线和中位线则是与三角形密切相关的概念。
本文将重点探讨三角形的中线与中位线，并阐述它们在三角形属性研究和实际应用中的重要性。
一、中线的概念首先，我们来介绍三角形的中线。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的直线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点M的线段AM就是该三角形的中线。
中线有以下两个重要性质：1. 中线的长度相等：在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段的长度相等。
即AM = BM = CM。
2. 中线互相平分：在任意三角形中，中线互相平分。
即AM与BM 的长度相等，BM与CM的长度相等，CM与AM的长度相等。
二、中位线的概念接下来，我们来介绍三角形的中位线。
中位线是连接三角形的两个顶点的中点与对边中点的直线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A 与对边BC中点M以及连接顶点B与对边AC中点N的线段AM和BN就是该三角形的中位线。
中位线有以下两个重要性质：1. 中位线长度：在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段的长度等于对边的一半。
即AM = 0.5 BC，BN = 0.5 AC。
2. 中位线交点：在任意三角形中，三条中位线的交点被称为三角形的重心G，也就是三角形的质心。
重心G将每条中位线都平分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
三、中线和中位线的应用中线和中位线是研究三角形属性时经常使用的重要工具。
它们有多种应用，如下所示：1. 确定三角形的重心：通过连接三角形的顶点和对边中点，可以确定三角形的重心G。
重心G在三角形内部，对于一些三角形问题的解决具有重要作用。
2. 判断三角形的形状：根据中线和中位线互相平分的性质，可以判断三角形的形状。
例如，如果三角形的三条中位线相等，则该三角形是等边三角形；如果三角形的中线相等，则该三角形是等腰三角形。
3. 解决三角形的证明问题：在三角形的证明中，利用中线和中位线的性质可以简化问题的证明过程。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线在解析几何中，三角形是一个基础而重要的概念，而其中线和中位线则是三角形中的两个重要线段。
本文将介绍三角形的中线和中位线，并探讨它们的性质和应用。
一、中线的定义和性质中线是连接三角形两个顶点与对应边中点的线段。
在任意三角形ABC中，连结A与BC的中点D，B与AC的中点E，C与AB的中点F，则线段DE称为三角形ABC的中线。
中线有以下几个重要性质：1. 中线长度相等在任意三角形中，三条中线的长度是相等的。
这一性质可以用中位线定理进行证明。
假设DE为中线，在三角形ABC中，连接EF和FD，由中位线定理可知，EF和FD分别是AC和AB的中位线，所以EF=FD=1/2AC=1/2AB，因此DE与EF长度相等。
2. 中线互相平分在任意三角形中，三条中线相互平分。
换句话说，三条中线的交点是三角形的重心。
设三条中线相交于点G，则可以证明GD:GA=GE:GB=GF:GC=1:2。
3. 中线与对应边平行在任意三角形中，中线与对应边是平行的。
即DE∥AB，EF∥BC，FD∥AC。
这一性质可以通过向量法进行证明，利用向量的平行性质和中点的定义可以推导出这一结论。
二、中位线的定义和性质中位线是连接三角形的两个边中点的线段。
在任意三角形ABC中，连结AB的中点D，AC的中点E，BC的中点F，则线段DE称为三角形ABC的中位线。
中位线有以下几个重要性质：1. 中位线长度相等在任意三角形中，三条中位线的长度是相等的。
由于中位线连接对边的中点，而对边的长度相等，所以中位线的长度也相等。
2. 中位线与对边平行在任意三角形中，中位线与对边是平行的。
即DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB。
这一性质同样可以通过利用向量法进行证明。
3. 中位线与中线交点在任意三角形中，三条中位线的交点是三角形的重心。
与中线类似，重心是三角形内部的一个特殊点，可以用中位线的交点来确定。
重心具有平分中线和平分面积的性质，是三角形的一个重要参考点。
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。
中考数学二轮复习专题关于中点的联想2倍长中线及中位线
1.6 关于中点的联想（二）三、倍长中线法思考1：如图，△ABC中，AD为中线，延长AD至点E，使得DE=DA，连接CE，BE，你能得到哪些结论？例1如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是________。
（限时训练第4题）思考2：如图，△ABC中，D为中点，E为AB上一点，延长DE至点F使得DFDE ，连接CF，你能得到哪些结论？例2 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE.（限时训练第5题）四、构造中位线思考3：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，你能得到哪些结论？思考4：如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC交AC与E，你能得到哪些结论？例3如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是________（限时训练第3题）【变式练习1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分．【拓展提升】如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，M,N分别是AD，BC的中点，AB=4，DC=2，则MN的长不可能是( )A. 3B. 2.5C. 2D. 1.51.6 关于中点的联想（二）限时训练1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°2.如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为( )A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它是矩形3.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC 的长是________4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是________。
中线与中位线(培优)复习过程
中线与中位线(培优)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除直角三角形斜边上的中线的应用知识储备：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.根据这个性质可知，直角三角形被分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形.灵活运用此性质在解答一些与中点或中线有关的问题时，常能收到事半功倍之效. 例1 如图1，已知△ABC 中，∠ACB =90°，OA =OC ,求证：OB =OC基本结论：①若OA =OB ，则OA =OB =OC , ②若OA =OC ，则OB =OC ，③若OB =OC ，则OA =OC .例2（1）如图1，已知△ABC 和△ABD 中，∠ACB =∠ADB =90°，点O 是AB 的中点，求证：OC =OD（2）在上述条件下，如图2，（1）中结论还成立吗？为什么？基本结论：若OA =OB ，则OA =OB =OC =OD例3 如图，∠DBC =∠BCE =90°，M 为DE 的中点，求证：MB =MCDE例4 如图,在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =90°，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且AE =EF ，点M 分别为AF ，CE 的中点，求证：（1）OM =12CE ；（2）OBOM例5 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠CBD . DE ⊥BD ,DE 交BC 于E .求证：CD =12BE.例6 如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,点M ,N 分别是BC ，DE 的中点，（1）求证：MN ⊥DE ；（2）连ME ，MD ，若∠A =60°，求MNDE的值.图1图2例7 △BCD和△BCE中，∠BD C=∠BEC=90°，O为BC的中点，BD，CE交于A，（1）如图1，若∠BAC=120°，求证：DE=OE.（2）如图2，若∠BAC=135°，求证：DEOE.（3）若∠BAC=α，则∠EOD的度数为 .（用α表示）构造三角形中位线知识储备：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.这个定理的特点是：同一题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系.应用这一定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系.常用构造三角形中位线的方法处理中点问题. 题型一利用角平分线和垂直构造中位线例1 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME.题型二倍长构造三角形中位线例2如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M 为AF的中点，求证：ME=12CF题型三取中点构造三角形中位线例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E，F分别为CA，CB上的一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=MN.EF图1 图2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除题型四连接两点构造三角形中位线例4 如图，在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D,点E，F分别为AB，BC的中点.求证：DE=DFA例5 已知∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC，CD=CE.（1）如图1，AE与BD的大小关系为，位置关系为 .（2）如图2，点P，M,N分别为AB，AD，BE的中点，试探究：PM与PN之间的数量关系和位置关系；（3）将图2中的△CDE绕点C旋转至如图3所示的位置，其余条件不变，则MN与PN的数量关系为 .图1 图3图2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例7 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点.求证：AB=2DM.例5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD∥BC，∠ABE=2∠CBE.求证：DE=2AB.（提示：取DE的中点F，连接AF）DB收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。
相似三角形的中位线和中线的关系
相似三角形的中位线和中线的关系在数学中，三角形是基本的几何形状之一。
相似三角形也是中学数学中的一个基本概念。
本文将介绍相似三角形的中位线和中线的关系。
首先，让我们来了解一下什么是相似三角形。
相似三角形是指在形状上相似但不同于大小的两个三角形。
即它们的三个角度相等，但它们的三条边长比例不一定相等。
现在，让我们来研究相似三角形的中位线和中线。
一个三角形的中位线是一个从一个角移动到其对面线的中点的线段，而中线是一个连接三角形的一条边中点和另一个角的线段。
第一个结论是：在任何三角形ABC（其中AB≠AC）中，AD（其中D是BC的中点）是三角形ABC的一条中位线。
同理，BE（其中E是AC的中点）和CF（其中F是AB的中点）也分别是三角形ABC的中位线。
第二个结论是：在任何三角形ABC中，AM（其中M是BC的中点）与AN（其中N是角A的对边BC的中点）是三角形ABC的中线。
同理，BM和BN以及CM和CN也分别是三角形ABC的中线。
通过上述结论，我们可以得出以下关于相似三角形中位线和中线的关系：当两个三角形相似时，它们的中线与中位线的比例是相同的。
这也适用于与这些线段平行的线。
具体来说，假设三角形ABC和DEF是相似的，且它们的对应点分别是A和D，B和E，C和F，则有以下比例关系成立：AD/DE = BE/EF = CF/DF = 1/2AM/DF = BN/DE = 1/2AN/EF = CM/DE = 1/2其中，AD、BE和CF是对应三角形ABC的中位线，AM、BN和CN是对应三角形ABC的中线，DE、EF和DF是对应三角形DEF的中位线。
综上所述，对于相似的三角形，在它们的中线和中位线之间存在着固定的比例关系，这对于解决一些三角形问题很有用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
暑假专题——有关中点、中位线的问题
二. 教学目标：
1. 利用有关中点定理和中位线定理解题。
2. 灵活运用中点、中位线的性质，巧妙添加辅助线解决几何证明问题。
三. 教学重点和难点：
重点：有关中点定理和中位线定理的灵活运用。
难点：巧妙添加辅助线。
四、方法技巧规律总结：
1. 中点类：
（1）等腰三角形的底边中点：构造三线合一的基本图形。
（2）直角三角形斜边中点：作斜边中线的基本图形。
（3）有中线时：加倍中线构造平行四边形的基本图形。
（4）梯形腰的中点：往往连结顶点与一腰的中点并延长，交底的延长线于一点，构成中心对称的两个三角形。
（5）正方形一边有中点：延长构造全等三角形。
2. 中位线类：
（1）有中点并求线段的倍数关系时，经常构造三角形中位线来解决。
（2）利用三角形、梯形中位线直接证题或计算。
（3）没有中位线，常构造中位线证题。
【典型例题】
例1. MN为过Rt△ABC的直角顶点A的直线，且BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，AB=AC，F为BC中点。
求证：DF=EF。
分析：由F为斜边BC中点，想到连斜边中线AF，则有BF=AF=CF，这样把DF、EF 分别放到△ADF、△CEF（或△DBF与△EAF）中，可考虑证它们全等。
证明：连结AF，则有BF=AF=CF
N
∵∠BAC=90°∴∠BAM＋∠NAC=90°
又∵BD⊥MN，CE⊥MN
∴∠BAM＋∠DBA=90°∠BDA=∠CEA=90°
∴∠DBA=∠NAC
∵AB=AC ∴△DBA≌△EAC（AAS）
∴DB=AE
∵AB=AC，∠BAC=90°F为BC中点
∴∠ABC=∠FAC=45°
∴∠DBA＋∠ABC=∠CAF＋∠CAN ∴∠DBF=∠FAE
又∵DB=AE，AF=BF
∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF=EF
点拨：在直角三角形中，有斜边中点常连斜边中线
例2. 已知：梯形ABCD中，AB//CD，且BM⊥CM，M是AD的中点，试说明AB＋CD=BC。
分析：这是一道证明两条线段的和等于第三条线段的问题，这样的问题关键是将AB、CD转化到一条直线上去，题中有梯形腰的中点，通常通过中心对称的知识将问题转化。
解：延长BM交CD延长线于N点
B A
C D N
∵M是AD的中点，AB//CD ∴△ABM与△DNM关于点M成中心对称
∴AB=DN，MB=MN
∵BM⊥CM ∴CB=CN，CD＋ND=BC
∵AB=DN ∴AB＋CD=BC
点拨：遇到梯形腰的中点，往往连结顶点与一腰的中点并延长交底的延长线于一点，构成中心对称的两个全等的三角形。
例3. 已知：在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD＋CP。
求证：AQ平分∠DAP。
分析：（1）此题中出现AP=CD＋CP，通常想到的方法就是截长补短法，即在PC的延长线上截一条线段等于CD
（2）同时此题出现了Q是CD边上的中点，所以也可延长AQ交BC的延长线于E，也可达到同样的效果。
证明：延长AQ交BC的延长线于E
A D
B P
C E
∵四边形ABCD为正方形∴AD=CD，AD//BC，DC⊥BC，∠D=90°
∴∠D=∠DCE=90°
又∵∠1=∠2，DQ=CQ ∴△ADQ≌△ECQ（ASA）
∴AD=EC，∠DAQ=∠E
∵AP=PC＋CD ∴AP=PC＋AD=PC＋CE=PE
∴∠PAQ=∠E ∴∠DAQ=∠PAQ ∴AQ 平分∠DAP 点拨：有以正方形一边中点为端点的线段时，常把它延长构造全等三角形，从而为证题构造条件。
例4. 已知：D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 为等边三角形。
求证：EP=FM 。
分析：由D 、E 、F 为三角形三边的中点，想到连中位线DE 、DF ，这样把EP 、FM 放到△DPE 、△DMF 中，从而证明它们全等即可。
证明：连结DF 、DE 。
∵D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点
∴DF BC DE AC
////121
2，
∴DF DE
//CE ∴四边形DECF 为平行四边形
∴∠C=∠EDF
∵△ABC 、△DPM 为等边三角形
∴BC=AC ，∠C=60°，DP=DM ，∠PDM=60° ∴DF=DE ，∠EDF=∠PDM=60° 又∵∠EDP=∠EDF －∠PDF ∠FDM=∠PDM －∠PDF ∴∠EDP=∠FDM ∴△DEP ≌△DFM （SAS ）
∴EP=FM
例5. 已知：AB=CD ，AN=ND ，BM=CM 。
求证：∠1=∠2。
分析：AB 与CD 是四边形的边，怎样把它们建立起联系呢？而由M 、N 分别为BC 、
AD BD G NG MG 的中点，如连结，取其中点
，连结、，则有，，NG
AB MG CD ////121
2
这样就把∠1与∠2通过中位线移到同一个△GMN 中，故问题得证。
证明：连结BD ，取BD 中点G ，再连结MG 、NG
B
C
M
∵G、N、M均为中点 G CD NG AB
//
//
1
2
1
2
，
∴∠1=∠GNM，∠2=∠GME
又∵AB=CD ∴MG=NG
∴∠GNM=∠GME ∴∠1=∠2
点拨：有中点常构造中位线，连BD是构造中位线的基本图形，连AC也可以。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的角平分线于点N，则DM与MN相等吗？为什么？
D C
N
A M
B E
2. 已知：正方形ABCD，E、F分别为AB、AD的中点，CE、BF相交于G。
求证：DG=CD。
D C
F
G
A E B
3. 已知：在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，延长AD、BC 与MN的延长线交于点E、F。
求证：∠AEM=∠BFM。
E
F
D
N C
A M B
【试题答案】
1. 解：相等，即DM=MN
理由如下：
取AD的中点F，连结FM
D C
F
A M
B E
∵四边形ABCD是正方形∴∠A=90°，AB=AD 又∵F、M分别是AD、AB的中点∴DF=MB=AF=AM
∴△AFM是等腰直角三角形∴∠AFM=45°
∴∠DFM=135°
∵∠ABC=90°，BN平分∠CBE ∴∠MBN=135°
∴∠DFM=∠MBN=135°
∵∠ADM＋∠AMD=90°∠NMB＋∠AMD=90°
∴∠ADM=∠NMB
∴在△DFM和△MBN中
∠∠
∠∠
FDM BMN DF MB
DFM MBN
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
∴△DFM≌△MBN ∴DM=MN
2. 证明：延长BF交CD延长线于H
A E B
∵四边形ABCD是正方形∴AB//CD
∴∠1=∠H
又∵∠A=∠HDF=90°AF=DF
∴△ABF≌△DHF（AAS）∴DH=AB=DC
∵FA=EB ∴△FBA≌△ECB（SAS）∴∠1=∠2
∵∠1＋∠FBC=90°∴∠2＋∠FBC=90°
∴CG⊥BF ∴DG=1/2CH=CD
3. 证明：连结AC，并取AC中点P，连结PM，PN
A M B
∵MN分别是AB、CD的中点
∴PN//AD，PM//BC，PN=1/2AD，PM=1/2BC
∴AD=BC ∴PN=PM ∴∠1=∠2
又∵∠1=∠AEM，∠2=∠BFM ∴∠AEM=∠BFM。