2020年6月浙江学业水平适应性考试数学学科试题

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2020年浙江省学业水平适应性数学试卷(6月份) (解析版)

2020年浙江省学业水平适应性数学试卷（6月份）一、选择题（共18小题）.1．（3分）已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1} 2．（3分）已知向量＝（1，1），则||＝（）A．1B．C．D．23．（3分）log36﹣log32＝（）A．B．1C．log34D．log3124．（3分）圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．（3分）不等式|x+1|＞2的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|x＜﹣3或x＞1}6．（3分）抛物线y2＝4x的准线方程为（）A．x＝2B．x＝﹣1C．y＝﹣1D．y＝﹣27．（3分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱8．（3分）过点A（1，﹣2），且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程（）A．2x﹣y﹣4＝0B．2x﹣y+4＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0 9．（3分）设不等式组所表示的平面区域为M，则下列各点在M内的是（）A．点（﹣1，1）B．点（1，0）C．点（1，1）D．点（1，﹣1）10．（3分）已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，那么下列结论正确的是（）A．m，n是平行直线B．m，n是异面直线C．m，n是共面直线D．m，n是不相交直线11．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边为a，b，c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）A．1：1：4B．1：1：2C．1：1：3D．1：1：12．（3分）函数f（x）＝|x|+cos x的图象可能是（）A．B．C．D．13．（3分）已知a，b是实数，则“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．15．（3分）已知平面向量，的夹角为，且对任意实数λ，恒成立，则＝（）A．1：2B．2：1C．D．16．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的是（）A．如果数列{a n}成等差数列，则a2，a8，a5成等比数列B．如果数列{a n}不成等差数列，则a2，a8，a5不成等比数列C．如果数列{a n}成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列D．如果数列{a n}不成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列17．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，过点C的直线l与抛物线交于不同两点A，B，点A在点B，C之间，则（）A．AF•AB＝BF2B．AF+AB＝2BF C．AF•AB＞BF2D．AF+AB＜2BF 18．（3分）如图，已知点P为边长等于4的正方形所在平面外的动点，|PA|＝2，PA与平面ABCD所成角等于45°，则∠BPD的大小可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题.19．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝n2，n∈N*，则a1＝，d＝．20．（3分）若cos（π﹣x）+cos（+x）＝，则sin2x＝．21．（3分）如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若正方形ABCD的面积为2，则线段AG的最大值为．22．（3分）已知函数f（x）＝和g（x）＝ax+1．若对任意的x∈（0，1），都有t1、t2∈[﹣1，a]（t1≠t2）使得f（t1）＝g（x），f（t2）＝g（x），则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题.23．已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若，（），求sin2α的值．24．已知椭圆的离心率为，右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切，且与椭圆C交于M，N两点，求MF+NF的最小值．25．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x2﹣b2|，其中a，b，x∈R．（Ⅰ）若y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．参考答案一、选择题：本小题共18小题.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．（3分）已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，3}．故选：B．2．（3分）已知向量＝（1，1），则||＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据向量的坐标即可得出的值．解：∵，∴．故选：B．3．（3分）log36﹣log32＝（）A．B．1C．log34D．log312【分析】利用对数运算法则直接求解．解：log36﹣log72＝＝3．故选：B．4．（3分）圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【分析】把圆的方程配方得到圆的标准方程后，找出圆心坐标即可．解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+2）2＝13，故选：D．5．（3分）不等式|x+1|＞2的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|x＜﹣3或x＞1}【分析】原不等式转化为x+1＞2或x+1＜﹣2，然后得到解集．解：因为|x+1|＞2，所以x+1＞2或x+1＜﹣4，所以x＞1或x＜﹣3，故选：D．6．（3分）抛物线y2＝4x的准线方程为（）A．x＝2B．x＝﹣1C．y＝﹣1D．y＝﹣2【分析】利用抛物线的标准方程，有2p＝4，，可求抛物线的准线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．故选：B．7．（3分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱【分析】直接利用三视图转换为直观图．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：故选：B．8．（3分）过点A（1，﹣2），且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程（）A．2x﹣y﹣4＝0B．2x﹣y+4＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0【分析】设出与已知直线平行的直线方程，把点A的坐标代入直线方程，即可求得所求直线方程．解：设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为2x﹣y+m＝0，把点A（1，﹣6）的坐标代入直线方程，求得m＝﹣2×1+（﹣2）＝﹣4；故选：A．9．（3分）设不等式组所表示的平面区域为M，则下列各点在M内的是（）A．点（﹣1，1）B．点（1，0）C．点（1，1）D．点（1，﹣1）【分析】画出约束条件的可行域，然后判断选项的正误即可．解：不等式组所表示的平面区域为M，如图：由可行域可知，（﹣1，5），（1，1），（1，﹣1）都不在可行域内，只有（1，2）在可行域内．故选：B．10．（3分）已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，那么下列结论正确的是（）A．m，n是平行直线B．m，n是异面直线C．m，n是共面直线D．m，n是不相交直线【分析】根据面面平行的性质定理即可得解．解：若平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，则m与n的位置关系可以是平行、异面，但一定不相交．故选：D．11．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边为a，b，c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）A．1：1：4B．1：1：2C．1：1：3D．1：1：【分析】先根据三个角的比例关系求得三个角的值，进而求得三个角的正弦的比例关系，最后利用正弦定理求得三个边的比例关系．解：设A＝t，则B＝t，C＝4t，则t+t+4t＝6t＝180°，则A＝B＝30°，C＝120°，∴a：b：c＝sin A：sin B：sin C＝1：1：．故选：D．12．（3分）函数f（x）＝|x|+cos x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性，当x＞0时，对函数f（x）求导，利用导数求函数的单调性，结合选项即可得结论．解：f（x）＝|x|+cos x，f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x+cos x，f′（x）＝1﹣sin x≥0，函数f（x）在（﹣∞，2）单调递减，结合选项，只有A满足．故选：A．13．（3分）已知a，b是实数，则“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若a|b|＞1，则a＞0，利用基本不等式a+|b|≥2＞2；反之不成立，例如取a＝﹣1，b＝﹣5，满足a+|b|＞2，而a|b|＞1不成立．解：若a|b|＞1，则a＞0，∴a+|b|≥2＞2；反之不成立，例如取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a+|b|＞2，而a|b|＞1不成立．∴“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的充分不必要条件．故选：A．14．（3分）已知双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b＝2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝2，即有b＝2a，可得e＝＝，故选：A．15．（3分）已知平面向量，的夹角为，且对任意实数λ，恒成立，则＝（）A．1：2B．2：1C．D．【分析】由已知不等式两边平方，然后结合向量数量积的性质及二次不等式的恒成立问题进行转化可求．解：因为对任意实数λ，恒成立，所以，即λ2﹣λ||||﹣||||﹣≥0对任意实数λ恒成立，整理可得，（||﹣2||）6≤0，则＝2：1．故选：B．16．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的是（）A．如果数列{a n}成等差数列，则a2，a8，a5成等比数列B．如果数列{a n}不成等差数列，则a2，a8，a5不成等比数列C．如果数列{a n}成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列D．如果数列{a n}不成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列【分析】如果数列{a n}成等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，推得a1＝﹣6d，再由等比数列的定义可得a2，a8，a5不为等比数列，再由原命题与其逆否命题等价，即可得到所求结论．解：如果数列{a n}成等差数列，设公差为d，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3+S6，化为a1＝﹣6d，a4＝a1+7d＝d，此时a2，a8，a5不为等比数列；可得其逆否命题：若a6，a8，a5成等比数列，可得数列{a n}不成等差数列，故选：C．17．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，过点C的直线l与抛物线交于不同两点A，B，点A在点B，C之间，则（）A．AF•AB＝BF2B．AF+AB＝2BF C．AF•AB＞BF2D．AF+AB＜2BF 【分析】作出图形，选取当A为BC中点时的特殊情况，求得，，AF+AB＜x1+x2+p，而，由此即可得出结论．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作BE垂直准线于点E，如图，设点A为BC中点时，则，由△＝0可得7p2n2﹣4p2＝0，解得n＝±1，此时直线l与抛物线相切，∴∠BCx＜45°，∴，∴，∴x1＜x2，故选：D．18．（3分）如图，已知点P为边长等于4的正方形所在平面外的动点，|PA|＝2，PA与平面ABCD所成角等于45°，则∠BPD的大小可能是（）A．B．C．D．【分析】设P在底面的射影为O，根据P点性质设P坐标，通过计算cos＜＞范围得出答案．解：设P在平面ABCD上的射影为O，则∠POA＝90°，∠PAO＝45°，PA＝2，∴PO＝OA＝，则D（4，0，2），B（0，4，0），设P（cosα，sinα，），∴＝4﹣4（cosα+sinα），∴cos＜＞＝，cosα+sinα＝，（3）若t＝0，则cos∠BPD＝0，∴0＜cos∠BPD≤，∴﹣≤cos∠BPD＜0．故选：C．二、填空题：本大题共4小题.19．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝n2，n∈N*，则a1＝1，d＝2．【分析】由已知令n＝1，n＝2可分别求a1，a2，进而可求公差d．解：因为等差数列{a n}中，S n＝n2，所以，a1＝S1＝1，所以a3＝3，d＝2．故答案为：1，220．（3分）若cos（π﹣x）+cos（+x）＝，则sin2x＝﹣．【分析】由已知利用诱导公式可得﹣cos x﹣sin x＝，两边平方即可求得sin2x的值．解：由cos（π﹣x）+cos（+x）＝，得﹣cos x﹣sin x＝，则，得sin2x＝﹣．故答案为：﹣．21．（3分）如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若正方形ABCD的面积为2，则线段AG的最大值为．【分析】设∠BAF＝θ，可用θ表示出AG2，再利用三角函数的性质求得最大值即可．解：设∠BAF＝θ，易知，∴，∴．故答案为：．22．（3分）已知函数f（x）＝和g（x）＝ax+1．若对任意的x∈（0，1），都有t1、t2∈[﹣1，a]（t1≠t2）使得f（t1）＝g（x），f（t2）＝g（x），则实数a 的取值范围是（0，4]．【分析】根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解．【解答】解析：由题意得，{y|y＝g（x），x∈（0，1）}⊆{y|y＝f（x），x∈[﹣1，a]}，并且对于g（x）值域中的每一个数M，都有至少两个不同数t1和t2，①当a≤0时，x∈（0，1），g（x）的值域为（a+1，1），②当0＜a≤4，g（x）的值域为（1，a+1），即，则，解得0＜a≤2．③当a＞2时，g（x）的值域为（1，a+5），由f（x）的函数图象可知，要满足（1，a+1）⊆[1，5]即可，综上所述，a的取值范围是（0，7]．故答案为：（0，4]．三、解答题：本大题共3小题.23．已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若，（），求sin2α的值．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式变形，再由周期公式列式求得ω值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的ω代入，由复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）由求得cos2α，再由同角三角函数基本关系式求sin2α的值．解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sinωx•cosωx＝sin2ωx，∴最小正周期；解得，k∈Z．（Ⅲ）∵f（x）＝sin2x，∴，又，∴sin2α＞0，则．24．已知椭圆的离心率为，右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切，且与椭圆C交于M，N两点，求MF+NF的最小值．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的焦点坐标以及离心率求解c，a然后求解b，得到椭圆方程．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切⇒m2＝k2+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），求出联立利用韦达定理，结合二次函数的性质，转化求解MF+NF的最小值．解：（Ⅰ）右焦点，所以，又，故a＝2，所以b2＝a4﹣c2＝1，（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切⇒m2＝k2+1，同理，，联立得：（1+4k2）x2+5kmx+4m2﹣4＝0，∴，则，当且仅当t＝3时取等号．MF+NF的最小值为7．25．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x2﹣b2|，其中a，b，x∈R．（Ⅰ）若y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．【分析】（Ⅰ）由偶函数的定义，计算可得所求a的值；（Ⅱ）求得f（x）的解析式，作出y＝f（x）的图象，可得单调区间；（Ⅲ）先证a+b2≥1．结合恒成立思想，考虑f（0）、f（1）≤a+b2，结合绝对值不等式的性质，可证；再证，当时，对一切x∈[0，1]时f（x）≤1恒成立，由二次函数的性质和绝对值不等式的性质，可得证明．解：（Ⅰ）y＝f（x）是偶函数，故f（﹣x）＝f（x），即|﹣x﹣a|+|（﹣x）2﹣b2|＝|x﹣a|+|x2﹣b2|⇒|x+a|＝|x﹣a|⇒a＝0；结合图象易知y＝f（x）的单调递增区间为，[1，+∞），（Ⅲ）先证a+b2≥1．∴f（0）≤a+b2⇒|a|≤a⇒a≥0，当b2＞2时，f（1）＝|1﹣a|+|1﹣b2|＝|1﹣a|+b2﹣1≤|a|+1+b8﹣1＝a+b2恒成立．当b7≤1，0≤a≤1时，由f（1）＝|8﹣a|+|1﹣b2|＝1﹣a+1﹣b2≤a+b2恒成立，可得a+b5≥1，再证，当时，对一切x∈[0，1]时f（x）≤1恒成立，∴．综上所述，a+b2的最小值为1．。

浙江杭州市萧山区2020年九年级数学下学期6月适应性试题卷(pdf)

高桥初中教育集团 2019 学年第二学期第二次中考适应性练习数学试题卷考生须知：1.本试卷满分 120 分，考试时间为 100 分钟.2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试首页的指定位置写上姓名和座位号.3.必须在答题纸对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明.4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将圈形线条描黑.5.考试结来后，试题卷和答题纸一并上交.参考公式：二次函数y=a x2+b x+c(a≠0)图象的顶点坐标公式：—b,4a䁆—b22a 4a一．选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的）1.实数2020 的相反数是( )A．-2020 B．2020 C． 12020 D．—120202.在平面直角坐标系中，点A(m，2)与点B(3，n)关于x 轴对称，则( ) A．m＝3，n＝2 B．m＝3，n＝﹣2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣33.若一组数据1，2，3，5，x，6 的众数是2，则这组数据的中位数为( )A．2 B．3 C．2.5 D．44.一只布袋里装有3 个只有颜色不同的小球，其中2 个红球，1 个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出一个球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是( )A．34B．13C．14D．125.在求2a 的值时，小慧同学误将2a 看成了2+a，她求的值比正确的答案小5．依上述情形，所列的关系式成立的是( )A．2a-2+a=5 B．2a-2-a=5 C．2+a-2a=5 D．2+a+2a=56.如图，已知两条直线被三条平行线所截，AG=2，BG=3，CD=4，则CH 的值为( )A．2 B．2.5 C．65D．857.如图，已知扇形AOB 的半径为9cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为( )(第 6 题)A．3cm B．92cm C．6cm D．923cm(第7题)2a 香1 8. 如果圆内接四边形 ABCD 的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形 ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法确定9. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦 AD 平分∠BAC ，交 BC 于点 E ，AE＝4，AD ＝6，则 AB 的长为( )A ．8B ．4 3C ．3 6D ．4 510．已知点(－2，y 1)，(6，y 2)在二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上，点(x 0，y 0)是函数图象的顶点，则()A. 当 y 1＞y 2≥y 0 时，x 0 的取值范围是 2＜x 0＜6B. 当 y 1＞y 2≥y 0 时，x 0 的取值范围是 x 0＞6C. 当 y 0≥y 1＞y 2 时，x 0 的取值范围是 x 0＜2D. 当 y 0≥y 1＞y 2 时，x 0 的取值范围是 x 0＜-2二．填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．(第 9 题)11．已知 3a =5b ，则 a =．b12．已知 x-y =1，xy =4，则 xy 2-x 2y =．(第 13 题)2313. 如图，PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 为切点，且∠OAB=38°12′，则∠P=．14. 两边长为 6，8 的直角三角形中，最小锐角的正切值是．15. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数 y 随上课时间 x （分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为 30，第 2 分钟时注意力指数为 40，前 10 分钟内注意力指数 y 是时间 x 的一次函数．10 分钟以后注意力指数 y 是 x 的反比例函数．如果讲 (第 15 题)解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于 50，为了保证教学效果，本节课讲完这道题不能超过分钟．A D 16. 如图，点 F 在矩形 ABCD 的边 CD 上，将△ADF 沿 AF 翻折，使点 D 落在 BCGF上的点 E 处，若AB = 2，CF=3，点 G 在 AE 上，∠EBG=2∠BAE ，则 S DGFCE2的面积为．△B EC(第 16 题)三．解答题：本大题有 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17.（本题满分 6 分）先化简，再求值： — ÷ a ，其中整数 a 满足 sin30°-1< a < 3tan45°． a —1a —2 a 2—1为了开展阳光体育运动，某市教体局做了一个随机调查，调查内容是：每天锻炼是否超过1h 及锻炼未．超．过．1．h．的．原．因．．他们随机调查了600名学生，用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图（图1、图2）．根据图示，请回答以下问题：（1）“没时间”的人数是，并补全频数分布直方图；（2）2016 年该市中小学生约40 万人，按此调查，可以估计2016 年全市中小学生每天锻炼超过1h 的约有万人；（3）在（2）的条件下，如果计划2018 年该市中小学生每天锻炼未超过1h 的人数降到7.5 万人，求2016 年至2018 年锻炼未超过1h 人数的年．平．均．降．低．的百分率．(第18 题)19.（本题满分8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 和BE 是高，它们交于点H，且AE=BE．（1）求∠CBE 的度数；（2）若BD=4，求线段AH 的长.20.（本题满分10 分）(第19 题)在同一平面直角坐标系中，有一次函数y1=mx＋n(m，n为常数，且m≠0，m≠－n)与反比例函数y2=N香o.x （1）若y1 与y2 的图象有交点(1，10)，且n=4m，当y1≥10时，求y2 的取值范围；（2）若y1 与y2 的图象有且只有一个交点，求n的值.o如图，已知正方形ABCD 的边长为2，对角线AC、BD 交于点O．CE 平分∠ACD 交BD 于点E．（1）求DE 的长；（2）如图（2）中，延长CE 交AD 于F，求AF 的长．(第21 题)22．（本题满分12分）设二次函数y=(x+1)(ax+2a+2)(a 是常数，a≠0)（1）若a>0，判断该函数图象顶点所在的象限.（2）若该二次函数图象经过(-1，1)，(-2，3)，(0，-2)三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.（3）若二次函数图象经过(x1，y1)，(x2，y2)两点，当x1+x2=2，x1<x2 时，y1>y2，求证：a<—2523．（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AˆC上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）设∠F=α，∠GDC=mα，∠GCD=nα，证明：n-m=2．（3）若CG = k，用k 表示tan∠ADG，并计算当∠GCD－∠GDC=90°时k 的值．AD（第23 题）1⎝ ⎭ 1高桥初中教育集团 2019 学年第二学期第二次中考适应性练习数学参考答案与评分标准二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）11、5 12、- 23313、76°24’14、3 或 74 315、 1216、265三、全面答一答（本题有 7 个小题，共 66 分） 17.（本小题 6 分）解：⎛ 2 - a - 2 ⎫ ÷ aa +1 a 2-1⎪ a -1 = 2(a -1)- (a - 2)⨯ a -1 (a +1)(a -1) a（3 分）= ( a ⨯ a -1 a +1)(a -1) a =1 a +1∵sin30°-1< a < 3tan45°∴− 1<a<3（2 分）2又∵整数 a 不等于 0，±1∴当 a=2 时，原式= 1 a +1= 1（1 分）318．（本小题 8 分）（） 600⨯ 270= 450人360450-130- 20 = 300人（2 分）（2） 40⨯90360= 10万人（2 分）（3）设 2016 年至 2018 年锻炼未超过 1h 人数的年降低率为 x ，则 30（1-x ）2=7.5x 1 = 0.5 x 2 = 1.5(舍去）2E H 答：2016 年至 2018 年锻炼未超过 1h 人数的年降低率为 50% （4 分）19.（本小题 8 分）解：(1)∵BE 是AC 边上的高，AE = CE∴∠ABE = ∠BAE = 450 ........................ 1 分∵AB = AC , AD 是BC 边上的高A∴∠CAD = 1∠BAC = 22.5°.......................... 1 分 2 ∵∠AEH = ∠HDB ,∠AHE = ∠BHD∴∠CBE = ∠CAD = 22.5°............................2 分（2）∵AB = AC , AD 是BC 边上的高 ∴BC = 2BD = 8 ............................ 1 分∵ ∠EAH = ∠CBE ,∠BEC = ∠AEH ,AE = BE ∴∆AHE ≅ ∆BCE .......................... 2 分∴AH = BC = 8 ........................ 2 分20.（本小题满分 10 分）（1）把（1,10）代入 y 1=mx +n ，得 m +n =10又∵n =4mB∴m =2，n =8 ........................................... 2 分10∴y 1=2x +8，y 2= x∴当 y 1≥10 时，x ≥1, ........................................... 1 分此时，0＜y 2≤10 ............................................ 2 分（2）令m+n =mx+n ，得 m x 2+nx -（m +n ）=0… ....................................... 2 分x由题意得， △=n 2+4m （m +n ）=（m +2n ）2=0，即 m +2n =0 ........................2 分 ∴ m = -1 ........................................ 1 分n221.（本小题 10 分）解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∠BCD ＝90°，∠ACB ＝∠ACD ＝∠BDC ＝45°，AD ∥BC∴BD ＝2（1 分）3∵CE 平分∠ACD∴∠ACE ＝∠DCE ＝22.5°∴∠BCE ＝67.5°∵∠BEC ＝∠BDC +∠DCE ＝45°+22.5°∴∠BEC ＝67.5°∴∠BEC ＝∠BCE （3 分）∴BE ＝BC ＝∴DE ＝BD ﹣DE ＝2﹣ （2 分）（2）∵AD ∥BC∴∠DFC ＝∠BCF ＝67.5°，∵∠DEF ＝∠BEC ＝67.5°∴∠DFE ＝∠DEF ＝67.5°∴DF ＝DE ＝2﹣（2 分）∴AF ＝AD ﹣DF ＝ ﹣（2﹣）＝2﹣2（2 分）┈┈22．（本小题 12 分）解：（1）二次函数与 x 轴的两个交点是（-1,0），（-2--2,0） a若a>0, -2--2<-1,函数开口向上，a所以顶点在第三象限或者，算出它的顶点是（-1.5--1,-1 a − 1 −)）∵a>0a 4a∴-1.5--1<0, -1 a − 1 − 1<0, 所以顶点在第三象限┈┈4 分a4a(2)∵x=-1,y=0,∴该二次函数一定不过（-1,1）， ∵x=-2 时，y=-2,∴该二次函数一定不过（-2,3） ∴它一定过（0，-2），代入得 2a+2=-2,∴a=-2故二次函数的表达式是 y=(x+1)(-2x-2)=-2x 2-4x-2=-2(x+1)2┈┈4 分(3)∵y=ax 2+(3a+2)x+2a+2 ∴y 1=ax 12+(3a+2)x 1+2a+2 y 2=ax 22+(3a+2)x 2+2a+2 ∴y 1-y 2=(ax 12-ax 22)+(3a+2)(x 1-x 2)= (x 1-x 2)(ax 1+ax 2+3a+2) ∵x 1<x 2 , x 1+x 2=2(第 21 题)1y-1x4（第 23 题）= ∴x 1-x 2 <0, y 1-y 2 =(5a+2) (x 1-x 2)>0, ∴5a+2<0, ∴a<−25┈┈4 分23．（本小题满分 12 分）解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ，CD ⊥AB ，∴AC ＝AD ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ....... 1 分∵四边形 ADCG 是圆内接四边形，∴∠ADC ＝∠FGC ， ....... 1 分∵∠AGD ＝∠ACD ，∴∠FGC ＝∠ADC ＝∠ACD ＝∠AGD ，∴∠FGC ＝∠AGD ； ....... 1 分（2） ∵∠GCD ＝∠F +∠FGC ，由（1）知，∠FGC ＝∠ACD ，且∠GCD ＝∠ACD +∠GCA ，∴∠F ＝∠GCA ， ....... 2 分∴∠GCD －∠GDC=n α －m α =2∠GCA=2α∴n-m=2… ........... 2 分（3）如图，设 AC 与 GD 交于点 M ，∵，∴∠GCM ＝∠ADM ，又∵∠GMC ＝∠AMD ，∴△GMC ∽△AMD ， ....... 1 分 ∴ CG = GM = kAD DM令AD ＝1,则 CG ＝k设 DM ＝x ，则 CM ＝kx由（1）知，AC ＝AD ，∴AC ＝1，AM ＝1﹣kx ，在 Rt △AMD 中，AM 2+DM 2＝AD 2， ∴（1﹣kx ）2+x 2＝12，2k1- k 21- k 2解得，x 1＝0（舍去），x 2＝ k 2 + 1 ，AM ＝1﹣kx ＝ k 2 +1 ，tan ∠ADG ＝ 2k……2 分当∠GCD－∠GDC=90°1- k 2 ∠GDA ＝∠GCA=∠F ＝45°,1，解得 k 1＝-1-（舍去），k 2＝ -1+ 2k……2 分2 2 （第 23 题）。

浙江省温州市2020届高三适应性测试(三模)数学试题(含答案)

2020年6月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页,满分150分,考试时间120分钟参考公式如果事件A 、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()1-)(0,1,2,,)k kn kn nP k C p p k n -==（台体的体积公式121()3V S S h =其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积,h 表示棱台的高；柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高；锥体的体积公式V=Sh其中S 表示锥体的底面积,h 为表示锥体的高；球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{2,1,2,3},{|1)2},M N x x x =-=+>（则M∩N= A. ∞ B.{2} .{2,3}C .{2,1,2,3}D -2.若复数1i 1iz a =+- (i 为虚数单位,R a ∈)的实部与虚部互为相反数,则a= A.-2B.-1C.0D.13.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的焦距为10,虚轴长为4,则该双曲线的渐近线方程为.340A x y ±=.430B x y ±=20C y ±=.20D x ±=4.已知直线:0,l ax by +=圆C:2220,x y x +-=则“a=0”是“直线l 与圆C 相切”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),其俯视图是两个同心圆,且小圆的内接四边形是正方形,则该几何体的体积等于 cm 3112112.8.1633A B ππ-- 28.83C π- 28.163D π-6.已知随机变量ζ的分布列如下:其中23120.x x x x --=>若E(ζ)>x 2,则12.A p p >23.B P P < 23.C p p > 13.D p p <用数学归纳法证明不等式()*1114,21225n n n N n n +++++∈时,可将其转化为证明()*11141.,2122521A n n n N n n n +++++++∈ ()*14.,2122115211B n n n N n n n +++-+++∈()*1114.,2112252C n n n n n n N +++∈+++ ()*11141.,212252D n n n n n nN +++∈-++8.定义在R 上的函数f(x)的导函数为(),f x '且()()0,xf f x x '+=则()f x 的图象可能是9.设R,a ∈若1x 对0x ≥恒成立,则a 的最大值为 A.-2 B. -32 C.-1 D.-1210.如图,二面角l αβ--的平面角的大小为60°,A,B 是l 上的两个定点,且2,AB C =∈α,,D β∈满足AB 与平面BCD 所成的角为30,且点A 在平面BCD上的射影H 在BCD ∆的内部(包括边界),则点H 的轨迹的长度等于A.B. π3C.D. 2π3 非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分 11.若实数a,b 满足2log 2log 1,3a b ==则a= ▲ ,3b = ▲ .12.二项式722x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,所有二项式系数的和是 ▲ ,含x 的项的系数是 ▲ .13.已知实数x,y 满足约束条件()||1y x y x k ⎧+⎪≤⎪⎨⎩,若可行域表示的平面区域为三角形,则实数k 的取值范围为 ▲ ,当12k =时,2z x y =+的最大值为 ▲ 14.已知函数()()()sin 0,0x x f ϕωϕπω=+>是偶函数,且在[0,π2]上是减函数,则φ= ▲ ,ω的最大值是 ▲ .15.有10个相同的小球,现全部分给甲、乙、丙3人,若甲至少得1球,乙至少得2球,丙至少得3球,则他们所得的球数的不同情况有 ▲ 种。

2020年6月浙江省学业水平适应性考试数学试题(解析版)

2020年6月浙江省学业水平适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2A x x x ==，{}1,0,1B =-，则AB =（）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】B【解析】先求出集合B ，然后再求交集. 【详解】由已知有{}{}20,1A x x x ===，{}1,0,1B =-所以{}0,1A B =故选：B【点睛】本题考查交集运算，属于基础题. 2．已知向量()1,1a =，则a =（）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】由向量模的坐标公式即可求解. 【详解】解：211a =+=故选:B. 【点睛】本题考查了向量模的求解，属于基础题. 3．33log 6log 2-=（） A ．12B ．1C ．3log 4D ．3log 12【答案】B【解析】根据对数运算性质，即可求得答案. 【详解】log log loga a aM M N N-=∴33336log 6log 2log log 312-=== 故选：B . 【点睛】本题主要考查了对数的运算，解题关键是掌握对数运算基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（） A ．()2,3- B ．()3,2-C ．()2,3-D ．()2,3【答案】C【解析】因为圆22460x y x y +-+=，将圆的方程化成标准方程，由此即可得到圆心的坐标．【详解】22460x y x y +-+=将圆的方程化成标准方程：222(2)(3)x y -++=∴圆心C 的坐标是()2,3-.故选：C . 【点睛】本题主要考查了求圆的圆心坐标问题，解题关键是掌握圆的标准方程的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．不等式12x +>的解集是（） A ．{}11x x -< C ．{}31x x -<< D ．{3x x <-或}1x >【答案】D【解析】根据绝对值的性质求解．【详解】由12x +>得12x +>或12x +<-，所以1x >或3x <-．故选：D 【点睛】本题考查解绝对值不等式，解题方法根据绝对值的性质求解：即x a >等价于x a >或x a <-，x a <等价于a x a -<<．6．抛物线24y x =的准线方程为（） A ．1x =- B ．1y =- C ．1x = D ．1y =【答案】A【解析】利用22y px =的准线方程为2p x =-，能求出抛物线24y x =的准线方程. 【详解】24,24,2y x p p =∴==， ∴抛物线24y x =的准线方程为2p x =-，即1x =-，故选A . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.7．如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是（）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．四棱柱【答案】B【解析】根据棱柱、棱锥的特征判断．【详解】对照四个选项，棱柱的三视图最多只有一个三角形，而题中有两个视图是三角形，因此几何体是棱锥，在两个视图为三角形的情况下，第三个视图是四边形，因此原几何体是四棱锥．故选：B ．【点睛】本题考查三视图，考查基本几何体的三视图，掌握柱、锥、台、球的三视图的特征是解题关键．8．过点()1,2A -，且与直线210x y -+=平行的直线方程（） A ．240x y --= B ．240x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y ++=【答案】A【解析】由题意，可设直线方程为20x y C -+=，代入点()1,2A -，可得解【详解】由题意，设直线方程为20x y C -+= 代入点()1,2A -可得2204C C ++=∴=- 故直线方程为：240x y --= 故选：A 【点睛】本题考查了与已知直线平行的直线方程求解，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题9．设不等式组0122x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为M ，则下列各点在M 内的是（）A ．点()1,1-B ．点()1,0C ．点()1,1D ．点()1,1-【答案】B【解析】依次将四个选项的坐标代入到三个不等式中，判断是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：A ：横坐标为10-<，所以()1,1-不在M 内；B ：因为横坐标10>，且101-=，2102⨯+=，满足条件，所以()1,0在M 内；C ：因为21132⨯+=>，不满足22x y +≤，所以()1,1不在M 内；D ：因为()1121--=>，不满足1x y -≤，所以()1,1-不在M 内.故选: B. 【点睛】本题考查了判断点是否在可行域内，属于基础题.10．已知平面//α平面β，m α⊂，n β⊂，那么下列结论正确的是（） A ．m ，n 是平行直线 B ．m ，n 是异面直线 C ．m ，n 是共面直线 D ．m ，n 是不相交直线【答案】D【解析】由平面//α平面β，故=αβ∅，即=m n ∅，可得解【详解】由题意，平面//α平面β，故=αβ∅又m α⊂，n β⊂，故=m n ∅ 故m ，n 是不相交直线故选：D 【点睛】本题考查了空间中点、线、面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于基础题11．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（）A ．1:1:4B ．1:1:2C ．1:1:3D ．1:1:【答案】D【解析】由三角形的内角和定理可求出30,30,120A B C =︒=︒=︒，结合正弦定理可求出::a b c . 【详解】解：设A x =，则,4B x C x ==，所以4180x x x ++=︒，解得30x =︒，则30,30,120A B C =︒=︒=︒，则::sin :sin :sin sin 30:sin 30:sin1201:1:a b c A B C ==︒︒︒= 故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用.本题的关键是由三角形内角和定理求出三个角的大小. 12．函数()cos f x x x =+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数()f x 的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，即可判断【详解】由题意，()cos()||cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 为偶函数，关于y 轴对称；且(0)cos01f ==，故排除B ；不妨令0,()cos ,'()1sin 0x f x x x f x x >=+=-≥ 故()f x 在(0,)+∞单调递增故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的性质研究函数图像，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算能力，属于基础题13．已知a ，b 是实数，则“1a b >”是“2a b +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用均值不等式，可证明2||2a b a b +≥>，充分性成立，当1100,100a b ==可说明必要性不成立【详解】若1a b >，则0,||0a b >>由均值不等式，2a b +≥>，当且仅当||a b =时等号成立，故充分性成立；当1100,100a b ==，此时2a b +>，但=1a b ，故必要性不成立故“1a b >”是“2a b +>”的充分不必要条件故选：A 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题14．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程是2y x =，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．2C D【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线方程，推出,a b 的关系，再利用222b c a =-和c e a=进行化简，即可求出双曲线的离心率. 【详解】由题意可知，双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上，且一条渐近线方程是2y x =，可得2b a =，则224b a=，又因为222b c a =-，所以2224c a a-=， 225c a∴=，即25e =，解得：e =故选：A. 【点睛】本题考查由双曲线的渐近线方程求离心率，属于基础题. 15．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且对任意实数λ，a b a b λ-≥-恒成立，则:a b =（）A ．1:2B ．2:1C ．D【答案】B【解析】转化a b a b λ-≥-为22()()a b a b λ-≥-，利用分配率打开得到222||||||+||||||0b a b a b b λλ-⋅⋅-≥，即222(||||)4||(||||||)0a b b a b b ∆=---≤，运算即得解【详解】由题意，对任意实数λ，a b a b λ-≥-恒成立故22()()a b a b λ-≥-即2222()2()()2()a a b b a a b b λλ-⋅+≥-⋅+即222||||()||||||||a b b a b b λλ-⋅+≥-⋅+ 即222||||||+||||||0b a b a b b λλ-⋅⋅-≥，对任意实数λ成立222(||||)4||(||||||)0a b b a b b ∆=---≤ 222||4(||||||)(||2||)0a a b b a b ∴--=-≤:2:1a b ∴=故选：B 【点睛】本题考查了转化法研究向量的模长，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，3S ，9S ，6S 成等差数列，则下列说法正确的是（）A ．如果数列{}n a 成等差数列，则2a ，8a ，5a 成等比数列B ．如果数列{}n a 不成等差数列，则2a ，8a ，5a 不成等比数列C ．如果数列{}n a 成等比数列，则2a ，8a ，5a 成等差数列D ．如果数列{}n a 不成等比数列，则2a ，8a ，5a 不成等差数列【答案】C【解析】根据等比数列的性质判断可得；【详解】解：若{}n a 成等差数列，由3S ，9S ，6S 成等差数列，得3692S S S +=，所以()111132663593d d a d a a ++++=，所以16a d =- 所以25a d =-，8a d =，52a d =-，当0d =时2a ，8a ，5a 成等差数列，当0d ≠时，2a ，8a ，5a 不成等差数列且不成等比数列；若{}n a 成等比数列，由3S ，9S ，6S 成等差数列，得3692S S S +=，若1q =，则3619S S a +=，91218S a =，由10a ≠得3692S S S +≠，与题意不符，所以1q ≠．由3692S S S +=，得369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---．整理，得3692q q q +=，由0q ≠，1，设3t q =，则2210t t --=，解得1t =（舍去）或12t =-，所以312q =-；所以682214a a q a =⨯=，352212a a q a =⨯=-则8258a a a a -=-，所以2a ，8a ，5a 成等差数列．故C 正确；故选：C 【点睛】本题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的前n 项和的公式化简求值，属于中档题．17．抛物线()220y px p =>的准线交x 轴于点C ，焦点为F ，过点C 的直线l 与抛物线交于不同两点A ，B ，点A 在点B ，C 之间，则（） A ．2AF AB BF ⋅= B ．2AF AB BF += C ．2AF AB BF ⋅> D ．2AF AB BF +<【答案】D【解析】采取极限的思想，即当A ，B 无限接近时，0,AB AF BF →→，从而可选出正确答案. 【详解】解：当A ，B 无限接近时，此时0,AB AF BF →→，则0AF AB ⋅→，进而可排除A ，C ；2AF AB AF BF +→<，排除B ，故选:D. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系.18．如图，已知点P 为边长等于4的正方形所在平面外的动点，2PA =，PA 与平面ABCD 所成角等于45，则BPD ∠的大小可能是（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．56π 【答案】C【解析】过点P 作PO ⊥平面ABCD ，连接OA 、OB 、OD ，计算得出2OP OA ==，设OAB θ∠=，利用余弦定理计算出2OB 、2OD ，利用勾股定理可求得BP 、PD ，利用余弦定理求得cos BPD ∠的表达式，由此可得出BPD ∠的取值范围，由此可得出结果. 【详解】过点P 作PO ⊥平面ABCD ，连接OA 、OB 、OD ，则直线PA 与平面ABCD 所成的角为45PAO ∠=，则sin 2PO PA PAO =∠=PA ⊥平面ABCD ，OA 、OB 、OD ⊂平面ABCD ，PA OA ∴⊥，PA OB ⊥，PA OD ⊥，设OAB θ∠=，则2OAD πθ∠=-，在OAB 中，由余弦定理得2222cos 18OB OA AB OA AB θθ=+-⋅=-，同理可得218OD θ=-，由勾股定理可得22220PB PO OB θ=+=-，同理可得220PD θ=-，在PBD △中，2228sin cos cos 2PB PD BDBPDPB PDθθ-++-∠==⋅1sin cos 1sin cos θθθθ++==1sin cos θθ+=，()[]12sincos 12sin 1,34πθθθ⎛⎫-+=-+∈- ⎪⎝⎭.①当)1sin cos 0θθ+=时，cos 0BPD ∠=；②当)(]1sin cos0,3θθ+∈时，令)1sin cos s θθ=+，则sin cos θθ+=cos BPD ∠===，函数()21362f s s s =++在(]0,3s ∈上单调递减，此时30cos 7BPD <∠≤； ③当)(]1sin cos 1,0θθ+∈-，令)1sin cos s θθ=+，则sin cos θθ+=cos BPD∠===令(]1,1ts=∈-∞-，则2213621362t ts s++=++，二次函数()21362g t t t=++在(],1t∈-∞-时单调递减，则213629t t++≥，此时，1cos03BPD-≤∠<.综上所述，cos BPD∠的取值范围是13,37⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因此，BPD∠的可能取值为2π.故选：C.【点睛】本题考查角的可能值的计算，考查了线面角定义的应用，解答的关键就是求出cos BPD∠的取值范围，考查计算能力，属于难题.二、双空题19．设等差数列{}n a的前n项和为n S，若2nS n=，*Nn∈，则1a=______，d=_______.【答案】1 2【解析】由等差数列{}n a的前n项和2nS n=，当1n=时，求出1a，当2n=时，求出2a，从而得出答案.【详解】因为等差数列{}n a的前n项和为n S，且2nS n=则当1n=时，111a S==当2n=时，2212221S a a a==+=+，所以23a=所以等差数列{}n a的公差21312d a a=-=-=故答案为：1； 2【点睛】本题考查根据等差数列的前n项和求数列的基本量，属于基础题.三、填空题20．若()2cos cos 22x x ππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，则sin 2x =______. 【答案】12-【解析】先用诱导公式化简，然后平方，再用正弦的二倍角公式平方关系可得．【详解】因为()2cos cos cos sin 22x x x x ππ⎛⎫-++=--=⎪⎝⎭，所以2221(sin cos )sin 2sin cos cos 1sin 22x x x x x x x --=++=+=，所以1sin 22x =-．故答案为：12-．【点睛】本题考查诱导公式，考查平方关系及正弦的二倍角公式，先用诱导公式化简，然后再选用其他三角公式变形求值是解此类题的常用方法．21．如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD ，若正方形ABCD 的面积为2，则线段AG 的最大值为______.210+35+ 【解析】2，且设BAF θ∠=，并表示直角三角形的直角边长，2AF θ= ，2BF θ=，再利用22AG AF FG +，转化为三角函数求最值. 【详解】正方形ABCD 的面积为2，设BAF θ∠=，则AF θ= ，BF θ=则FG θθ=-，则AG ==== ，tan 2ϕ=，当()cos 21θϕ+=时，AG =.故答案为：2【点睛】本题考查了“赵爽弦图”，三角函数恒等变形，以及三角函数的性质，属于基础题型，本题的关键是正确将AG 表示为三角函数.22．已知函数()()()250,410x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩和()1g x ax =+.若对任意的()0,1x ∈，都有1t ,[]21,t a ∈-()12t t ≠使得()()1f t g x =，()()2f t g x =，则实数a 的取值范围是______.【答案】04a <≤【解析】根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解. 【详解】由题意得，(){}[]{}(),0,1(),1,y y g x x y y f x x a =∈⊆=∈- ,并且对于()g x 值域中的每一个数M ，都有至少两个不同数1t 和[]21,t a ∈-，使得()()1,2i f t M i ==成立. ①当10a -<≤时， ()f x 在[]1,a -上单调递减，显然，此种情况不成立.②当02a <≤，()g x 在()0,1x ∈上的值域为()1,1a +，由()f x 的函数图象可知，只要使得()1f a a ≥+，则202,411,a a a a <≤⎧⎨-++≥+⎩解得02a <≤. ③当2a >时，()g x 在()0,1x ∈上的值域为()1,1a +，由()f x 的函数图象可知，要满足()[]1,11,5a +⊆即可，得24a <≤，综上所述，04a <≤.【点睛】本题主要考查能成立与恒成立问题、二次函数与指数函数图象，属于能力提升题.四、解答题23．已知函数()()2sin cos 0f x x x ωωω=⋅>的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）若243f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（02πα<<），求sin 2α的值. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（Ⅲ）53. 【解析】（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式化简得()sin 2f x x =，利用最小正周期公式即可求出ω的值；（Ⅱ）根据正弦函数的单调递增区间，得出222,22ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，从而可求出()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）根据题意，利用诱导公式化简得出2cos 243f παα⎛⎫+==⎪⎝⎭，且02πα<<，再利用同角的三角函数关系，即可求出sin 2α的值. 【详解】解：（Ⅰ）由题可知，()()2sin cos sin 20f x x x x ωωωω=⋅=>，而()f x 的最小正周期为π，则最小正周期22T ππω==，解得：1ω=.（Ⅱ）∵()sin 2f x x =，由222,22ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，解得:44k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴()sin 2f x x =的递增区间为,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅲ）∵()sin 2f x x =，∴sin 2cos 242f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又243f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2cos23α=，又02πα<<，∴02απ<<，则sin20α>，∴sin 2α==【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，涉及正弦型函数的周期性和单调性，以及二倍角的正弦公式、诱导公式和同角的三角函数关系的应用，考查化简计算能力.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，右焦点)F.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线()0:k y x m l m k +<=与圆222:O x y b +=相切，且与椭圆C 交于M 、N 两点，求MF NF +的最小值. 【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）2. 【解析】（Ⅰ）根据题意求得a 、b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点()11,M x y 、()22,N x y ，由直线l 与圆O 相切得出221m k =+，由两点间的距离公式可得122MF x =-，同理得出222NF x =-，再将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得MF NF +的最小值.【详解】（Ⅰ）右焦点)F，所以c =，又2c e a ==，故2a =，所以2221b a c =-=，所以，椭圆22:14x C y +=；（Ⅱ）直线()0:k y x m l m k +<=与圆222:O x y b +=1b ==，221m k ∴=+.设()11,M x y ，()22,N x y ，由于点M 在椭圆C 上，则221114x y +=，可得221114x y =-.则12MF x ===-122x =-，同理，22NF x =，)124MF NF x x ∴+=+.联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，又0km <，故122814km x x k+==+令2411t k =+≥，则12x x +==≤所以，)1242MF NF x x +=+≥. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.25．已知函数()22f x x a x b =-+-，其中a ，b ，x ∈R .（Ⅰ）若()y f x =是偶函数，求实数a 的值；（Ⅱ）当1a b ==时，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅲ）若对任意[]0,1x ∈，都有()2f x a b ≤+恒成立，求实数2a b +的最小值.【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）单调递增区间为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，[)1,+∞，单调减区间为：(],1-∞-，1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）1. 【解析】（Ⅰ）根据偶函数的性质，得出()()f x f x -=，即可求出实数a 的值；（Ⅱ）当1a b ==时，分类讨论去绝对值得出分段函数()2222,12,11,1x x x f x x x x x x x ⎧+-≥⎪=--+-<<⎨⎪-≤-⎩，画出()y f x =的图象，根据图象和二次函数的性质，即可得出函数()y f x =的单调区间；（Ⅲ）根据题意，由任意[]0,1x ∈，都有()2f x a b ≤+恒成立，得出()20f a b ≤+，得出0a ≥，再分类讨论2b 和a ，得出()f x 的最大值，从而得出2a b +的最小值. 【详解】解：（Ⅰ）()y f x =是偶函数，故()()f x f x -=，即()2222x a x bx a x b --+--=-+-，则x a x a +=-，解得：0a =. （Ⅱ）当1a b ==时，则()22222,1112,11,1x x x y f x x x x x x x x x ⎧+-≥⎪==-+-=--+-<<⎨⎪-≤-⎩，当11x -<<时，()22f x x x =--+，对称轴为12x =-，结合图象，易知()y f x =的单调递增区间为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，[)1,+∞，()y f x =的单调减区间为：(],1-∞-，1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（Ⅲ）∵对任意[]0,1x ∈，都有()2f x a b ≤+恒成立，即对任意[]0,1x ∈，都有()222f x x a x b a b =-+-≤+恒成立，∴()200f a b a a a ≤+⇒≤⇒≥，且对任意实数a ，b ，()22111f a b a b =-+-≤+恒成立，①当21b >，0a ≥时，()22221111111f a b a b a b a b =-+-=-+-≤++-=+恒成立，②当21b ≤，1a >时，()22211111f a b a b a b =-+-=-+-≤+恒成立，③当21b ≤，01a ≤≤时，由()22211111f a b a b a b =-+-=-+-≤+恒成立，则21a b +≥，④当212a b ==时，对一切[]0,1x ∈时()1f x ≤恒成立，当212a b ==时，()21122f x x x =-+-，∵[]0,1x ∈，∴202x x ≤+≤， ∴()22111122f x x x x x =-+-≤+-≤，综上所述，2a b +的最小值为1. 【点睛】本题考查含绝对值的函数的基本性质，利用函数的奇偶性求参数和利用分类讨论法去绝对值求函数的单调性，以及根据不等式恒成立求最值，考查分类讨论思想和数形结合思想.。

浙江省温州市2020届高三下学期6月高考适应性测试数学试题 Word版含解析

同理，
所以是方程的两根，由得，
时方程无解，故且，，
，，
所以，，
所以，
由且得的范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设后通过数量积的运算把是方程的两根，这样可用韦达定理求得，从而求得目标关于的函数，属于难题．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
11.若实数a，b满足则a=__________， __________．
【答案】 (1). 2 (2). 2
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则和概念求解．
【详解】因为，所以，因为，所以，所以．
故答案为：2；2．
【点睛】本题考查对数的概念与运算法则，属于基础题．
12.二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x的项的系数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
联立与确定两点的坐标，取特殊的点，则容易确定，求出，先求的平方再开方即可.
【详解】解：由题意知，联立与
，不妨设，
不妨设，
因为点Q满足，根据椭圆的对称性，所以，
又不妨设，
，
所以 .
故答案为：
【点睛】考查求直线和椭圆的交点坐标、椭圆的对称性、直线和直线的垂直关系以及对根式的恒等变形的求解能力，同时考查了特殊与一般的思想方法；中档题.
②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有种分法；两人都是2个有3种分法；
③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法，
按照分类加法计数原理可得一共有种；

2020年浙江省初中数学毕业学业水平适应性测试题含答案

2020浙江省初中数学毕业学业水平适应性测试题亲爱的考生：欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平。

答题时，请注意以下几点：1.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效。

3.答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题。

4.本次考试不得使用计算器。

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．－2的倒数是( ▲ ).A．2 B．－12C．12D．－22. 如图的几何体是由四个大小相同的小正方体拼成，则这个几何体的左视图是( ▲ ).从正面看 A． B． C． D．3．台州是“山海水城”, 2017年春节“黄金周”旅游总收入3784000000元,用科学记数法表示为( ▲ ).A．3.784×109B．3.784×1010 C．3784×106D．0.3784×10104．两名同学都进行了5次立定跳远测试.经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩谁更稳定，通常还需要比较他们成绩的( ▲ ).A．众数B．中位数 C．方差D．以上都不对5．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，∠ADC=26º，那么∠AOB的度数为( ▲ ).A．64ºB．26º C．52º D．38º6．下列计算正确的是( ▲ ).A．2ab ab ab⋅=B．()3322a a=C．()330a a a-=≥D．()0,0a b ab a b⋅=≥≥B CDO(第5题图)7．如图，点E ，F 是□ABCD 对角线上两点，在条件①DE=BF ； ②∠ADE=∠CBF ；③AF =CE ; ④∠AEB=∠CFD 中，添加一个条件，使四边形DEBF 是平行四边形，可添加的条件是( ▲ ).A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8. 王老师坚持绿色出行，每天先步行到离家500米的公共自行车点取车，然后骑车 4.5千米到校.某天王老师从手机获知，骑车平均每小时比步行多10千米，共用时24分钟.设步行的平均速度为每小时x 千米，则可列方程 ( ▲ ).A ．24105.4500=++x x B ．6024105.45.0=++x x C ．24450010500=+-x x D ．60245.4105.0=+-x x 9．如图，直线l ：x y 21=，点A 1(0，1)，过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 轴于点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，OA 2017的长为( ▲ ). A ．2016)5( B ．2017)5( C ．20162 D ．20172 10．小东同学对图形世界充满兴趣，他先把一个面积为34272cm 的正三角形绕着它的中心旋转60°，旋转前后的两个正三角形构成如图（1）的一个六角星；然后将该六角星按图（2）分割后拼成矩形ABCD . 请你思考小东的问题：若将该矩形围成圆柱，则圆柱的高为( ▲ ). A ．32cm B ．33cm C ．32cm 或6 cm D ．3cm 或33cm 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．因式分解：299x -= ▲ ． 12．若⎩⎨⎧=+=+,623,432b a b a 则b a += ▲ ． 13．现有一个圆心角为90 º，半径为12 cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），该圆锥底面圆的半径为 ▲ cm ．14．一个三位数，若百位、十位、个位上的数字依次增大，就称为“阶梯数”.如123就是(第9题图)yxOB 3B 2B 1A 4A 3A 2 A 1 x y l 21:=(1)(2)B(第10题图)CAEF (第7题图)一个阶梯数.若十位上的数字为5，则从1，6，8中任选两数，与5组成“阶梯数”的概率是 ▲ ．15．如图，连接正五边形ABCDE 的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR .图中有很多顶角为36 º的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为215-.若 AB =215-,则MN = ▲ ． 16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90º，∠CAB =30º， BC =1，将△ABC绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的21，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP +CP 的最小值为 ▲ ．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）17．计算：()020171(3)2sin 60---+-⋅︒．18．解不等式组：231,20,x x +>⎧⎨-≥⎩并把解集在数轴上表示出来．19．已知y 是x 的函数，表格中给出了几组x 与y 的对应值．（1）以表中各对对应值为坐标，在给定的直角坐标系中描出各点，用光滑曲线顺次连接.由图象知，它是我们已经学过的哪类函数？求出函数解析式，并直接写出a 的值；（2）如果一次函数图象与（1）中图象交于（1,3）和（3,1）两点，在第一象限内，当x 在什么范围时，一次函数的值小于（1）中函数的值？D(第16题图)(第19题图)20．台州湾循环经济产业集聚区正在投资建设无人机小镇,无人机已运用于很多行业.一测绘无人机从A 处测得某建筑物顶部B 的仰角为37°，底部C 的俯角为60°，此时无人机与建筑物水平距离为30米，建筑物的高度BC 约为多少米?(参考数据：sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.7,3 1.7 ）21．为了解某市的空气质量情况，校环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了若干天的空气、量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的不完整条形统计图和扇形统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数.（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示天气“优”的扇形的圆心角度数. （3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．本市若干天天气情况条形统计图2040101051015202530354045优良好轻微污染轻度污染重度污染本市若干天天气情况扇形统计图优轻微污染轻度污染重度污染良好40%（第21题图）(第20题图)CBA22．如图，点P 在菱形ABCD 的对角线AC 上，PA ＝PD ，⊙O 为△（1）求证：△APD ∽△ADC .（2）若AD ＝6，AC ＝8，求⊙O 的半径．23．抛物线214y x bx c =++经过点(1,0)-和(3,0)．（1）求该抛物线的解析式及顶点A 的坐标．（2）当33x -<<时，使y m =成立的x 的值恰好只有一个，求m 的值或取值范围．OPDC图1yx3-1OAByx 3-1OACD24．同一平面内的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为等边三角形，则称点P 为图形G 的特征点，图形G 为点P 的特征线，△PMN 为图形G 关于点P 的特征三角形．（1）如图1，⊙O 的半径为1， 3OA =，3OB =．在A ，B 两点中，⊙O 的特征点是．若点C 是⊙O 的特征点，求OC 长度的取值范围．（2）如图2，在Rt △ABC 中，90o C ∠=，AC =1，BC m =．线段AB 是点C 的特征线，线段AB 关于点C 的特征三角形的面积为39，求m 的值．（3）如图3,直角坐标系中的点A （-2，0），B （0，23），点C ，D 分别是射线AB 和x轴上的动点，以CD 为边作正方形角形.当正方形CDEF 的一个顶点落在y 轴上时，求此时正方形的边长.图3xyCOAD FE B图1A OB图2Bxy OAB备用图(第24题图)初中毕业升学适应性测试数学参考答案和评分细则一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBACCDDBAD二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分) 11．9(1)(1)x x +- 12. 2 13. 3 14.1315. 52- 16. 3 三、解答题(本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．（8分）解：原式3112=-++……………………………………………6分 32=……………………………………………2分 18．（8分）解：解①得：1x >-， ………………………………………2分解②得：2x ≤ . ………………………………………2分不等式组的解集：12x -<≤ . .............................................2分在数轴上表示略. (2)分19．（8分）（1）画图略. ………………………………2分是反比例函数. (1)分3y x=（若没有过程直接写出也给分） ………………………………2分65a =. …………………………………1分（2）01x << 或 3x >. …………………………………2分20．（8分）解：过A 作AD ⊥CB ，垂足为点D ． …………1分在Rt △ADC 中， AD =30，∠CAD =60°,∴CD =tan 6030351AD ⨯=⨯≈o ． …………3分在Rt △ADB 中，∠BAD =37°,∴BD =ο37tan ⨯AD ≈30×0.7=21． ……………3分 ∴512172BC =+=．答：建筑物的高度BC 约为72米． ……………1分21．（10分）解：(1) 4040÷%=100抽取了100天． ……………………3分 (2)图略． ……………………2分 20÷100×360º=72°表示天气“优”的扇形的圆心角度数圆心角72°． (2)分(3) （20+40）÷100=60%，36560⨯%=219．这一年（365天）达到优和良的总天数为219天．…………………3分22．（12分）(1) 证明：∵PA =PD ， ∴∠PDA = ∠PAD ． ………………1分∵四边形ABCD 是菱形，∴DA=DC ． ………………1分 ∴∠DAC = ∠DCA ．∴∠PDA = ∠DCA ． ………………1分 ∵∠PAD = ∠DAC ，∴△APD ∽△ADC. ………………2分(2) ∵△APD ∽△ADC , ∴ACAD AD PA =. 可得AP 92=. ………………2分连接PO 并延长交AD 于点Q , ∵ PA =PD ,根据圆的轴对称性, ∴PQ 垂直平分AD .D B AC(第20题图)Q(第22题图)∴PQ 52322=-=AQ AP . ………………2分连接AO ,设半径为r , 解得52027=r . ………………3分 23. （12分）解：(1)由题意)3)(1(41-+=x x y ，∴2113424y x x =--. …………………………2分顶点A (1,-1) (2)分(2)当3x =-时，3y =；当3x =时，0y =. …………………………2分由图象得，直线y m =与抛物线恰只有一个交点时，1m =- 或03m ≤<. …2分(3)设抛物线向右平移a 个单位,向上平移b 个单位,平移后的抛物线解析式： 21(1)14y x a b =---+ ∵抛物线过点A (1,-1)，把A (1,-1)代入21(1)14y x a b =---+，得214b a =-. ∴21(1,1)4B a a +--，21(1,1)4D a a +-，(12,1)C a +- ∴212BD a =，2AC a =. ∵四边形ABCD 的面积为4，∴211124222AC BD a a ⋅=⨯⨯=，解得2a =. ∴(3,2)B -. (4)分24．（14分）解：(1) A ； ………………………1分02OC ≤≤. ……………………3分(2)作CD ⊥AB 于点D .∵ 线段AB 是点C 的特征线，∴ CD 为线段AB 关于点C 的特征三角形的高. ∵线段AB 关于点C，∴CD = …… 1分 ∵ 1AC =，∴AD =. .……… 1分 ∴cos AD A AC ==.∵∠ACB =∠CDA =90°，∴∠A =∠B CD ，∴cos CD BC BCD ===∠.∴m =. ……………2分 (3) ①点E 落在y 轴上时，CD8=- ; ……… 2分 ②点F 落在y 轴上时， CD2=- ; ……… 2分（不化简也给分） ③点D 落在y 轴上时，此时点D 与点O 重合，CD =2； ………1分。

浙江省永康市 2020届高三数学6月适应性试题(无答案)

(1)证明： CF AE ； (2)求直线 AE 与平面 FCC ' 所成角的正弦值．
20：已知数列 an,bn 的前 n 项和分别为 An , Bn ,a1 1 ，且 2 An =anan1,bn Bn 1 ．（1）求数列an,bn 的通项公式；（2）令 Tn a1b1 a2b2 L anbn ，若对任意的 n N * ．不等式 nTn 2bn An 2 n 3bn 恒成立，试求实
D． 2
3：设 A ， B ， C 在一条直线上， O 在该直线外，已知 OC 3xOA (2 5x )OB ，则 x 等于（）
A． 0
B． 0.5
C． 1
D． 1.5
4：已知数列 an 满足
a1
0
，
a2
1，
an
2 2
an2，n为奇数，则数列 an1，n为偶数，
an
的前
10
项和为
（
）
恒成立，则 n 的最大值为
（）
A． 5
B． 7
C． 9
11：已知双曲线 5x2 4 y2 20 的焦点坐标为
D． 11 ，离心率为
x 2
12：已知在平面直角坐标系中，不等式组
y
2
表示的平面区域面积是
x y 3
，周长为
13：若 x 15 a0 a1x a2x 2 a3x 3 a4x 4 a5x 5 ，则 a0
， a0 a1 a2 a3 a4 a5
14：某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积为
cm3 ，若线段 AB 全部在该几何体内部（含表面），
则 AB 长度的最大值为
cm ．
15：过定点 P(4,t) 作直线 l ，使 l 被圆 C : x2 y2 6x 6 y 9 0截得的弦长为 4 ，若这样的直线 l 只有1

2023年6月浙江省学业水平适应性考试数学试题(解析版)

2023年6月浙江省学业水平适应性考试数学学科试题考生须知1.本试题卷共4页，满分100分，考试时间80分钟.2、答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1. 已知全集，集合，，则（）{2,4,6,8,10}U ={2,4}A ={1,6,8}B =()U B A ⋂=ðA. {2，4} B. {6，8，10} C. {6，8} D. {2，4，6，8，10}【答案】C 【解析】【分析】先求出集合的补集，再求即可 A ()U A B ⋂ð【详解】因为全集，集合， {2,4,6,8,10}U ={2,4}A =所以， {}6,8,10U A =ð因为， {1,6,8}B =所以， (){}6,8U A B = ð故选：C2. 函数的定义域是（）2()log (3)(2)f x x x =+++A. B. [3,)-+∞(3,2)(2,)--⋃-+∞C. D.(3,)-+∞[3,2)(2,)-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可.【详解】由题意知，且， 30320x x x +>⎧⇒>-⎨+≠⎩2x ≠-故函数的定义域为. ()f x (3,2)(2,)--⋃-+∞故选：B.3. 设，则“”是“”的（） x ∈R |1|1x -<22x x <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值不等式以及一元二次不等式化简不等式，即可由充要条件进行判断.【详解】由得，由得，所以“”是“”的充要条件， |1|1x -<02x <<22x x <02x <<|1|1x -<22x x <故选：C4. 已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为（）A.B.C.D.2π23π【答案】A 【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开图即可求解,由体积公式即可求解. 1πr =【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由侧面展开图的内切圆半径为1可知：r h ，12,2π2πh r r ==⇒=所以圆柱的体积为， 2212ππ2ππr h ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故选：A5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则角C 为(sin 1)B b -=（） A.B.或C.D.或π4π43π4π3π32π3【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理化简可得，结合角的范围求角即可.sin C【详解】，(sin 1)B b -=-，sin B b =由正弦定理，,sin sin C B B =由角B 为三角形内角，则，可得， sin 0B ≠sin C =由，可得或， 0πC <<π4C =3π4故选：B6. 下列说法正确的是（）A. 一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行B. 和同一条直线都相交的两条直线一定相交C. 经过空间中三个点有且只有一个平面D. 经过两条相交直线有且只有一个平面【答案】D 【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.【详解】对于A, 一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面可能相交也可能平行，例如在正方体中, 平面中的点到平面的距离均相等，但是平面与11CDD C 1,,C C M 11ADD A 11CDD C 平面相交，不平行，故A 错误，11ADD A 对于B, 和同一条直线都相交的两条直线不一定相交，例如正方体中均与相交，但是,CD AB BC 不相交，故B 错误，,CD AB 对于C ，经过空间中三个不共线的点有且只有一个平面，故C 错误，对于D, 两条相交直线可以确定一个平面,因此经过两条相交直线有且只有一个平面，故D 正确，故选：D7. 函数的大致图象是（）33()|2||2|x xf x x x --=++-A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断BC 错误，再由函数自变量趋向正无穷大时，函数值的变化趋势判断AD.【详解】因为定义域为，33()|2||2|x xf x x x --=++-R 且， 3333()|2||2|)|2|(|2|x x x xf f x x x x x x -----==--++--+-=+所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC 错误；当趋向正无穷时，显然的分子增长快于分母增长，趋向正无穷，故A 正确x 33()|2||2|x xf x x x --=++-y B 错误. 故选：A8. 已知点在角的终边上，则角的最大负值为（） 2)-ααA. B. C. D.5π6-2π3-π6-5π3【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义以及终边相同的角即可求解.【详解】由题意可知点在第四象限，且, tan α==π2π,Z 6k k α=-+∈故当此时为最大的负值， π0,6k α==-故选：C9. 正实数x ，y 满足，则的最小值是（） 231x y +=22y x y++A. 3B. 7C. D.10+10+【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 231x y +=312y x =-2263261227223333y y x x y x y x y x y +++-+=+=+=+-由于， ()7227227423103333y xx y x y x y x y⎛⎫+-=++-=++ ⎪⎝⎭由于为正数，所以，当且仅当,x y 74101010y x x y ++≥+=+时等号成立， 2x y x =⇒==故选：C10. 已知函数的定义域是R ，值域为，则下列函数中值域也为的是（） ()y f x =[2,8]-[2,8]-A. B.C.D.3()1y f x =+(31)y f x =+()y f x =-|(2)|y f x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义及定义域求解即可. 【详解】根据函数的定义域为，值域为，R [2,8]-可知，的值域为，的值域为，3()1y f x =+[5,25]-()y f x =-[8,2]-的值域为，的值域为，|(2)|y f x =[0,8](31)y f x =+[2,8]-故选：B11. 下列命题中，正确的是（） A. 第三象限角大于第二象限角B. 若P (2a ，a )是角终边上一点，则 0a ≠αcos α=C. 若、的终边不相同，则αβcos cos αβ≠D. 的解集为tan x =ππ,Z 3xx k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭∣【答案】D 【解析】【分析】利用象限角的定义，结合反例即可判断AC,由三角函数的定义即可判断B,由正切函数的性质即可判断D.【详解】对于A,若分别为第三象限以及第二象限的角，但是，故A 错150,120,,αβαβ=-=αβ<误，对于B ，B 错误，cos α对于C ，当时，，故C 错误， 2π,Z k k αβ=-+∈cos cos αβ=对于D ，，所以D 正确， tan x =ππ,Z 3x k k =-∈故选：D12. 已知函数则函数的零点个数是（）2332,2()log (2),2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩19()[()]2()9F x f f x f x =--A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】【分析】通过换元，，则可以转化为与的交点的个数，画出图像既可以解()f x t =()y f t =1929y t =+决.【详解】设，则， ()f x t =1919()[()]2()()299F x f f x f x f t t =--=--令，即， ()0F x =19()209f t t --=转化为与的交点，画出图像如图所示：()y f t =1929y t =+由图像可知，，所以函数有一个解，120,(2,3)t t =∈1()0f x t ==有两个解，故的零点个数是4个. 2()(2,3)f x t =∈19()[()]2()9F x f f x f x =--故选：C 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）13. 已知是虚数单位，，复数是共轭复数，则下列结论正确的是（） i 11i z =-2z 1z A. B.C.D.122z z +=122z z ⋅=12z z >12i z z =-【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可得，再根据复数代数形式的运算法则一一判断即可. 2z 【详解】因为，复数是共轭复数, 11i z =-2z 1z 所以，所以，故A 正确；21i z =+121i 1i 2z z +=-++=，故B 正确；()()22121i 1i 1i 2z z ⋅=-⋅+=-=因为虚数不能比较大小，故C 错误；，故D 正确； ()()()2121i 1ii 1i 1i 1i z z --===-++-故选：ABD14. 给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的（） A. 中位数为5 B. 方差为C. 平均数为5D. 85%分位数为885【答案】ACD 【解析】【分析】将数据从小到大排列，再求出平均数、中位数、方差及第分位数.85%【详解】将数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8按小到大的顺序排列为： 1,3,3,3,4,6,6,8,8,8则这组数据的中位数为，故A 正确； 4652+=平均数为：，故C 正确；13383462510+⨯+⨯++⨯=则方差为，故B 错误； ()()()()()2222211545353853652 5.810⎡⎤-+-+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦因为，所以第分位数是从小到大第9个数字为，故D 正确， 1085%8.5⨯=85%8故选：ACD15. 已知向量，，则下列说法正确的是（）(2,1)a =(6,2)b =-c = A.B. 向量在向量上的投影向量为6a b ⋅=-a b 14b -C.D.()()a b a b +⊥- a c ⊥ 【答案】BD 【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标运算判断A ，由投影向量的定义利用坐标运算即可判断B ，根据垂直的数量积表示判断CD.【详解】因为，，，(2,1)a =(6,2)b =-c = 所以，故A 错误；122106a b ⋅=-+=-≠-向量在向量上的投影向量，故B 正确； ab14||||a b b b b b b ⋅⋅==-⋅因为，，(4,3)a b +=- (8,1)a b -=-所以，故C 错误；()()323350a b a b +⋅-=--=-≠因为，所以，故D 正确.20a c ⋅== a c ⊥ 故选：BD16. 已知且，，则下列说法正确的是π()sin 22cos(2)3f x x x ϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭π(0)6f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ22ϕ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭（）A. 一条对称轴方程为 ()f x π12x =B. 时值域为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []3,3-C. 的图像可由的图像向左平移个单位得到 ()f x ()3sin(2)g x x =π3D. 的一个对称中心为 ()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】根据代入求出，再利用诱导公式化简，最后根据正弦函数的性质一一分π(0)6f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ()f x 析即可.【详解】因为且， π()sin 22cos(2)3f x x x ϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭π(0)6f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以， π2ππsin2cos sin 2cos 333ϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭即，所以 ππ2cos 2cos cos 2sin sin 33ϕϕϕ=-tan ϕ=因为，所以，ππ22ϕ-≤≤π6ϕ=-所以 ππ()sin 22cos 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππsin 22c 2os 23sin 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为，所以一条对称轴方程为，故A 正确； 31212ππππ3sin 23si 2n 3f ⎛⎫⎛⎫⨯+==⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭()f x π12x =当时，，所以，则，故B 错π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,πsin 23x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()f x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦误；将的图像向左平移个单位得到，故C 错误；()3sin(2)g x x =π3π2π3sin 23sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以的一个对称中心为，故D 正确； πππ3sin 23sin 03066f ⎛⎫⎛⎫--⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：AD非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17. 计算__________，__________. 132764-⎛⎫= ⎪⎝⎭1lg 2lg5-=【答案】 ①.②. 431【解析】【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则计算可得. 【详解】， 111333332734644433⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 11lg 2lglg 2lg10155⎛⎫-=÷== ⎪⎝⎭故答案为：； 43118. 一个袋中有6个大小形状完全相同的小球，其中黄色球有4个，红色球有2个，现在从中取出2个小球，则2个小球恰好一个红色一个黄色的概率为__________. 【答案】815【解析】【分析】根据组合数公式及古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意将个黄色球看做不一样，个红色球也看做不一样， 42从中取个球一共有种取法， 226C 其中恰好一个红色一个黄色的有种取法，所以概率. 1142C C⋅114226C C 8C 15P ⋅==故答案为：81519. 在矩形ABCD 中，，M 、N 满足，，6AB =AD =2AM MB = 12DN NC =，则__________.1344AE AN AM =+ AM AE ⋅=【答案】14 【解析】【分析】根据向量的线性运算，由基底表示向量，由数量积的运算即可求解.,AD AB,AM AE【详解】, 13113217444343412AE AN AM AD AB AB AD AB ⎛⎫=+=++⨯=+ ⎪⎝⎭,所以, 23AM AB = 22171773614341261818AM AE AB AD AB AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：1420. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是2，且所在的平面互相垂直.可以滚动的弹珠M ，N 分别从A ，F 出发沿对角线AC ，FB 匀速移动，已知弹珠N 的速度是弹珠M 的速度的3倍，且当弹珠N 移动到B 处时试验终止，则弹珠M ，N 间的最短距离是__________.【解析】【分析】设出与长度，根据已知的面面垂直得到，再利用余弦定理与勾股定理求得AM NF MH NH ⊥的长度表达式，即可得到最小值.MN MN 【详解】过点M 做MH 垂直AB 于H ，连接NH ，如图所示，因为面面，面面，MH 在面ABCD 内，ABCD ⊥ABEF ABCD ⋂ABEF AB =，则面，面，所以.MH AB ⊥MH ⊥ABEF NH ⊂ABEF MH NH ⊥由已知弹子N 的速度是弹子M 的速度的3倍，设，则， AM a =30NF a a ⎛=≤≤ ⎝因为，为正方形，ABCD ABEF，则，2AB =AC BF ==45CAB ABF ∠∠==︒所以， MH AH ==所以，， 2BH =3BN a =-由余弦定理可得 2222cos 45NHBH BN BH BN =+-⋅︒()()2223223a a ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22148932a a a a =-++-+--24213a =-+所以， 222274,0MN a MH NH a ⎛=-+≤≤ ⎝+ =当时，， a =2min 107MN =所以, min MN =四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21. 已知函数. 2()sin 2cos 22f x x x x =+（1）求的最小正周期及其图象的对称轴方程；()f x （2）若，且，求的值. π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭325f α⎛⎫= ⎪⎝⎭π28f α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）； π2()ππZ 244k x k =+∈（2） 45-【解析】【分析】（1）先根据三角恒等变换，将原式化简整理，得到，再结合正弦函数的周()πsin 43f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭期性和对称性，即可求出结果；（2）先根据题中条件，确定，再由同角三角函数基本关系，以及诱导公式，即可求2ππ52π336a <+<出结果.【小问1详解】因为， ()21πsin 2cos 22sin 44sin 423f x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期为； ()f x 2ππ42T ==由可得， ()ππ4πZ 32x k k +=+∈()ππZ 244k x k =+∈即的对称轴为； ()f x ()ππZ 244k x k =+∈【小问2详解】因为，所以， π0,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π2,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又，所以， π3sin 2235f a α⎛⎫⎛⎫=+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5π2336a <+<因此， 4cos 235a π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭故. πππ4sin 2c 5π28os 2233f a a α⎛⎫+ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫=+=⎭++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22. 浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为15和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A ，乙小组开发芯片B ，351223假设甲、乙两个小组的开发相互独立.（1）求两种芯片都开发成功的概率；（2）政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率.【答案】（1）125（2） 2350【解析】【分析】（1）分别计算甲乙小组研发成功的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率求解；（2）根据对立事件，计算甲乙小组同时研发不成功的概率，即可得解.【小问1详解】甲小组研发芯片A 成功的概率为，乙小组研发芯片B 成功的概率为， 11115210p =⨯=2322535p =⨯=由于甲、乙两个小组的开发相互独立,所以两种芯片开发都成功的概率. ,A B 1212110525P p p =⋅=⨯=【小问2详解】该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功，根据对立事件可知获奖的概率： . 121293231(1)(1)1(1110510550P p p =---=---=-⨯=23. 已知函数，.1()2x f x +=()|2|g x x x a =-（1）若是奇函数，求a 的值并判断的单调性（单调性不需证明）；()g x ()g x （2）对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a 的取值范1[1,)x ∈-+∞2[2,)x ∈+∞()()12f x g x =围.【答案】（1），在上单调递增0a =()g x R （2） 3544a ≤<【解析】【分析】（1）函数为奇函数，举特例求出的值，再证明函数为奇函数，根据的正负，可观察出 a x 在上单调性.()g x x x =R （2）由题意可知，而，分，，讨()[)11,f x ∈+∞()222,22,2x ax x a g x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩2a ≤2224a <<24a ≥论求解.【小问1详解】∵为奇函数，()g x则，解得.()()1212011g g a a +=---+=0a =此时，()||g x x x =又，又的定义域为，()()||||0g x g x x x x x +-=-=()g x R 此时为奇函数()g x 所以若为奇函数，，()g x 0a =当时，在上单调递增， 0x ≥()2g x x =[)0,∞+当时，在上单调递增， 0x <()2g x x =-(),0∞-又为定义在上的连续函数，()g x R 故在上单调递增.()g x R 【小问2详解】当时，，∴[)1,x ∈-+∞1()2x f x +=()[)1,f x ∈+∞. ()222,22,2x ax x a g x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩①当时，在上单调递增，∴，，∴. 2a ≤2()g x [)2,+∞()2441g a =-≤34a ≥314a ≤≤②当时，在上单调递减，在上单调递增.224a <<()g x []2,2a [)2,a +∞∴，，∴. ()2441g a =-+<54a <514a <<③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 24a ≥()g x []2,a [],2a a [)2,a +∞∴，，不成立. ()()2221g a a a =-+<11a -<<综上可知，. 3544a ≤<【点睛】关键点点睛：本题中对任意，总存在唯一的，使得成1[1,)x ∈-+∞2[2,)x ∈+∞()()12f x g x =立的理解及合理转化是解题的关键所在，先处理任意，求出函数的值域，为，则总1[1,)x ∈-+∞[1,)+∞存在唯一的，使得成立转化为值域包含且在时函数单2[2,)x ∈+∞()()12f x g x =()g x [1,)+∞()1g x ≥调，据此可分类讨论，列出不等式求解.。

2020届浙江省绍兴市柯桥区高三下学期6月适应性考试数学试题(解析版)

【答案】A
【解析】令，整理即可得渐近线方程.
【详解】
双曲线的渐近线方程满足，整理可得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查已知双曲线求解渐近线的方法，属于基础题.
3．复数的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则在复平面内，对应的点坐标可求．
【答案】1220
【解析】根据题意，分配方案可以分为以下情况：甲分2本，乙分4本；甲分3本，乙分3本；甲分4本，乙分2本；甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班；甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班；甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班；甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，分别计算即可求出.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】结合函数图象比较与的大小，求出成立的的范围，求出的导数，判断其与的关系即可.
【详解】
结合图象：和时，，即，
而，故在，递减，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断与的大小是解题的关键，属于中档题.
【详解】
是以为圆心的单位圆上的个点,
,
故
而，，
，
故，
当且仅当点与点重合时等号成立，
即的最小值是 ,
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数量积的性质，考查了分析推理能力，入手困难，属于难题.
二、填空题
11．已知函数 ( 且 )在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是________.

2020年浙江省精诚联盟高考数学适应性试卷(6月份) (含答案解析)

2020年浙江省精诚联盟高考数学适应性试卷（6月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 集合A ={0,2}，B ={x ∈N|x <3}，则A ∩B =( )A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则“S n <na n 对n ≥2恒成立”是“数列{a n }为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知双曲线y 2a 2−x 2b 2=1的离心率为√5，则两条渐近线的斜率为( ) A. ±2 B. ±√3C. ±12D. ±√334. 若复数z =2i(3+i)，则z 的共轭复数z −=( )A. 6−2iB. −2+6iC. −2−6iD. −6+2i5. 已知实数x ，y 满足{2x +y −2⩾0x −2y +4⩾0x −y −1⩽0，则z =x 2+y 2的最小值为( )A. 15B. 45C. 2√55D. 16. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BDD 1B 1所成的角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. 函数y =sin3x1+cosx ，x ∈(−π,π)图象大致为( )A. B.C. D.8.掷1枚骰子，设其点数为ξ，则()A. E(ξ)=3.5，D(ξ)=3.52B. E(ξ)=3.5，D(ξ)=3512C. E(ξ)=3.5，D(ξ)=3.5D. E(ξ)=3.5，D(ξ)=35169.把函数f(x)=sin(−2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的值为()A. 5π6B. π3C. π12或7π12D. 5π12或11π1210.已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上任意一点，则z=2x+y的最大值为()A. √5B. 2√5C. 6D. 4√5二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.如图所示，则这个几何体的体积等于______．12.(2x2−1x)5的展开式中x4的系数为______.(用数字作答)13. 有6位同学站成一排，其中A ，B 两位必须相邻，C ，D 两位不能相邻的排法有______种(数字作答)14. 已知函数f(x)=10x −10−x +1，则f(lg2)+f(lg 12)=______．15. 等差数列{a n }满足a 1=1，a 3=5，若a 2，a 5，a m 成等比数列，则m =______． 16. 设A 、B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点，点P 在C 上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为−13，则C 的离心率为______ ．17. 在△ABC 中，点D 是BC 中点，若∠A =60°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C −sinBsinC ．(Ⅰ)求角A 的大小(Ⅱ)求sinB +sinC 的取值范围．19. 如图所示，菱形ABCD 的边长为2，，点H 为DC 中点，现以线段AH 为折痕将菱形折起使得点D 到达点P 的位置且平面平面ABCH ，点E ，F 分别为AB ，AP 的中点．(1)求证：平面PBC//平面EFH ；(2)求平面PAH 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．20.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S1=2，S n+1=3S n+2．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)设b n=a n，求证：b1+b2+⋯+b n<1．S n221.过抛物线x2=4y的焦点作斜率为−1的直线l．(1)求直线l的方程；(2)设直线l与抛物线交于A、B两点，求|AB|．22.设一元二次方程mx2+(m+2)x+9m=0的两根满足x1<1<x2，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．d<n[a1+(n−1)d]，化简即可判断出结论．由S n<na n对n≥2恒成立，可得na1+n(n−1)2【解答】解：S n<na n对n≥2恒成立，设等差数列{a n}的首项为a1公差为d，d<n[a1+(n−1)d]，解得d>0．则na1+n(n−1)2∴数列{a n}为递增数列，反之也成立．∴“S n<na n对，n≥2恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的充要条件．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意有离心率分析a、b的关系，属于基础题．根据题意，由双曲线的标准方程分析其渐近线方程，即可得渐近线的斜率，由双曲线的离心率公式可得e =c a =√5，即c =√5a ，进而可得b =√c 2−a 2=2a ，则有ba =2，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线y 2a2−x 2b2=1(a >0,b >0)的焦点在x 轴上，其渐近线方程为y =±ab x ，其斜率为±ab ；若双曲线的离心率e =√5，则e =ca =√5，即c =√5a ，则b =√c 2−a 2=2a ，则有ab =12，即双曲线的两条渐近线的斜率为±12；故选C ．4.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．【解答】解：由z =2i(3+i)=−2+6i ，得z −=−2−6i ．故选C ．5.答案：B解析：【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．【解答】解：实数x ，y 满足{2x +y −2⩾0x −2y +4⩾0x −y −1⩽0，如图所示可行域，由z=x2+y2结合图象，z的最小值可看作原点到直线2x+y−2=0的距离d的平方，根据点到直线的距离可得d=√22+12=√5，故z min=x2+y2=d2=45．故选：B．6.答案：A解析：解：连接A1C1，交B1D1于O，连接BO，得到∠OBC1是BC1与平面BDD1B1所成的角，设正方体的棱长为2，在直角三角形OBC1中，由题意，得OC1=√2，BC1=2√2，∴sin∠OBC1=√22√2=12，∴∠OBC1=30°，故直线BC1与平面BDD1B1所成角的大小是：30°．故选A．连接A1C1，交B1D1于O，连接BO，得到∠OBC1是BC1与平面BDD1B1所成的角，然后再在三角形OBC1中求出此角即可．本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：函数y=sin3x1+cosx 满足f(−x)=−sin3x1+cosx=−f(x)，函数为奇函数，排除A，由于f(π2)=sin3π21+cosπ2=−1，f(π3)=sinπ1+cosπ3=0，f(2π3)=sin2π1+cos2π3=0故排除B，C故选：D．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．8.答案：B解析：【分析】这是一道关于离散性随机变量的题目，关键是掌握数学期望、方差的计算公式；分析题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，6，它们对应的概率分别是16，利用数学期望、方差公式计算即可得到答案．【解答】解：ξ的可能取值为1，2，3，4，5，6．P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)=16；所以E(ξ)=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，Dξ=(1−3.5)2×16+(2−3.5)2×16+(3−3.5)2×16+(4−3.5)2×16+(5−3.5)2×16+(6−3.5)2×16=3512．故选B．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于一般题．根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得函数g(x)=−sin(2x −2φ−π3).再根据g(x)为偶函数，可得2φ+π3=kπ+π2，k ∈Z ，结合φ的范围，求出φ的值．【解答】解：把函数f(x)=sin(−2x +π3)=−sin(2x −π3)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位，可以得到函数g(x)=−sin[2(x −φ)−π3]=−sin(2x −2φ−π3)的图象．再根据g(x)为偶函数，可得2φ+π3=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ2+π12，k ∈Z ．∵0<φ<π， ∴φ=π12或 φ=7π12，故选C ．10.答案：B解析：【解答】解：由题意，圆的圆心(0,0)到直线2x +y −z =0的距离d =√5≤2，∴−2√5≤z ≤2√5，∴z =2x +y 的最大值为2√5，故选B ．【分析】由题意，圆的圆心(0,0)到直线2x +y −z =0的距离d =√5≤2，即可求出z =2x +y 的最大值．本题考查z =2x +y 的最大值，考查直线与圆的位置关系，利用圆的圆心(0,0)到直线2x +y −z =0的距离d =√5≤2是关键．11.答案：4解析：解：由三视图复原几何体，如图：它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：V=1 3×2+42×2×2=4故答案为：4．该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．本题考查三视图、棱锥的体积；简单几何体的三视图的运用；考查空间想象能力和基本的运算能力．12.答案：80解析：解：∵(2x2−1x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x10−3r，令10−3r=4，求得r=2，故展开式中x4的系数为C52⋅23=80，故答案为：80．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.答案：144解析：解：根据题意，设6位同学中出A、B、C、D之外的2人为甲乙，分2步进行分析：①将A、B看成一个整体，与甲乙全排列，有A22A33=12种排法，②排好后，有4个空位可用，在其中任选2个，安排C、D，有A42=12种排法，则一共有12×12=144种不同的排法；故答案为：144．根据题意，分2步进行分析：①将A、B看成一个整体，与甲乙全排列，有A22A33=12种排法，②排好后，有4个空位可用，在其中任选2个，安排C、D，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，注意常见问题的处理方法．14.答案：2解析：解：根据题意，函数f(x)=10x−10−x+1，则f(−x)=10−x−10x+1，则有f(x)+f(−x)=2，又由lg12=lg2−1=−lg2，则f(lg2)+f(lg12)=2；故答案为：2．根据题意，由函数的解析式可得f(−x)=10−x−10x+1，进而可得f(x)+f(−x)=2，又由lg12= lg2−1=−lg2，计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析f(−x)与f(x)的关系，属于基础题．15.答案：14解析：解：等差数列{a n}满足a1=1，a3=5，所以a2=3，可得a5=2×5−1=9．a2，a5，a m成等比数列，可得：92=3⋅a m，∴a m=27，27=1+(m−1)×2，解得m=14．故答案为：14．利用等差数列求出a5，然后通过a2，a5，a m成等比数列，列出方程求解m即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．16.答案：√63解析：解：由题意可得A(−a,0)，B(a,0)，设P(x0,y0)，则由P在椭圆上可得x02a2+y02b2=1，∴y02=a2−x02a2·b2，①∵直线AP与BP的斜率之积为−13，∴y0x0+a ·y0x0−a=−13，∴y02x02−a2=−13，②把①代入②化简可得b2a2=13，即a2−c2a2=13，∴c2a2=23，∴离心率e=ca=√23=√63故答案为：√63 由题意可得A(−a,0)，B(a,0)，设P(x 0,y 0)，由题意可得ab 的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．17.答案：√32解析：解：如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 中点，∴2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∠A =60°．∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=12，∴cb =1．∴4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗=c 2+b 2+1≥2bc +1=3，当且仅当b =c =1时取等号．∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√32．∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是√32．故答案为：√32．利用向量的平行四边形法则、数量积运算、基本不等式即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算、基本不等式，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)∵sin 2A =sin 2B +sin 2C −sinBsinC ，∴由正弦定理可得：a 2=b 2+c 2−bc ，∴由正弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵A ∈(0,π)，∴A =π3．(Ⅱ)sinB +sinC =sinB +sin(A +B)=sinB +sinAcosB +cosAsinB=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)；∵B∈(0,2π3)，∴B+π6∈(π6,5π6)，sin(B+π6)∈(12,1]．∴sinB+sinC的取值范围为(√32,√3].解析：(Ⅰ)由正弦定理化简已知可得a2=c2+b2−bc，根据余弦定理可求cos A，结合范围A∈(0,π)，即可解得A的值．(Ⅱ)利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB+sinC=√3sin(B+π6)，结合范围B∈(0,2π3)，可求B+π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的性质即可解得sinB+sinC的取值范围．本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．19.答案：(1)证明：菱形ABCD中，E，H分别为AB，CD的中点，∴BE//CH且BE=CH，∴四边形BCHE为平行四边形，则BC//EH，又EH⊄平面PBC，，∴EH//平面PBC，又点E，F分别为AB，AP的中点，则EF//BP，∵EF⊄平面PBC，BP⊂平面PBC，∴EF//平面PBC，∵EF∩EH=E，∴平面EFH//平面PBC．(2)解：菱形ABCD中，∠D=60°，则△ACD为正三角形，∴AH⊥CD，AH=√3，DH=PH=CH=1，折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，交线为AH，∴PH⊥平面ABCH，∵AH⊥CD，∴HA，HC，HP三条线两两垂直，以HA，HC，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，C(0,1，0)，B(√3,2,0)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0m ⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,−√3)，平面PAH 的法向量n⃗ =(0,1，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7=−√217， ∴平面PAH 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为√217．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出四边形BCHE 为平行四边形，从而BC//EH ，进而EH//平面PBC ，推导出EF//BP ，从而EF//平面PBC ，由此能证明平面EFH//平面PBC ．(2)以HA ，HC ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAH 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．20.答案：(Ⅰ)解：∵S n+1=3S n +2，∴S n+1+1=3(S n +1)．又∵S 1+1=3，∴{S n +1}是首项为3，公比为3的等比数列，∴S n =3n −1,n ∈N ∗．n =1时，a 1=S 1=2，n >1时，a n =S n −S n−1=(3n −1)−(3n−1−1)=3n−1(3−1)=2×3n−1．故a n =2×3n−1,n ∈N ∗．(Ⅱ)证明：∵b n =2×3n−1(3n −1)2<2×3n−1(3n−1−1)(3n −1)=13n−1−1−13n −1,(n >1)∴b 1+b 2+⋯+b n <12+(131−1−132−1)+(132−1−133−1)+⋯+(13n−1−1−13n −1)=12+12−13n −1<1．解析：(Ⅰ)利用S n+1=3S n +2，推出{S n +1}是首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，然后求解a 1，n >1时，利用a n =S n −S n−1，即可求通项公式a n ；(Ⅱ)化简b n =a nS n 2，通过裂项法求和，得到b 1+b 2+⋯+b n 与1的大小即可．本题考查数列的求和，裂项法的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力． 21.答案：解：(１)抛物线x 2=4y 的焦点为(０,１)，且斜率为−1，则直线方程为y−１=−x，即ｘ+ｙ−１=０；(２)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，把ｘ+ｙ−１=０代入抛物线方程x2=4y得：ｙ2−6ｙ+1=0，∴ｙ1+ｙ2=6，根据抛物线的定义可知|AB|=ｙ1+p2+ｙ2+p2=x1+x2+p=6+2=8．解析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质，属于基础题．对学生基础知识的综合考查．(１)根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程；(２)直线方程与抛物线方程联立，消去ｘ，根据韦达定理求得ｙ1+ｙ2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=ｙ1+p2+ｙ2+p2，求得答案．22.答案：解：记f(m)=mx2+(m+2)x+9m，依题意有{m>0,f(1)<0,或{m<0,f(1)>0,,解得−211<m<0，故m的取值范围为(−211,0)．解析：本题考查了函数的零点与方程根的关系，记f(m)=mx2+(m+2)x+9m，依题意有{m>0,f(1)<0,或{m<0,f(1)>0,，解出即可．。

2020年浙江省金华市永康市高考数学适应性试卷(6月份)

2020年浙江省金华市永康市高考数学适应性试卷（6月份）一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知集合A ={2,4，6，8，10}，B ={3,6，9}，C ={x ∈Z|1≤x ≤10}，则∁C (A ∪B)的元素个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 若复数z =1+i ，则|iz|=( )A. 0B. 1C. √2D. 23. 设A ，B ，C 在一条直线上，O 在该直线外，已知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−5x)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 等于( ) A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 1.54. 已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，a n ={2+a n−2,n 为奇数2×a n−1,n 为偶数(n ≥3)，则数列{a n }的前10项和为( ) A. 48 B. 49 C. 50 D. 615. 随机变量ξ的分布列如表，则P 在(0,0.5)增加时，D(ξ)的变化是( )ξ 1 234P p 0.5−p 0.5−p pA. 一直增加B. 一直减小C. 先增加后减小D. 先减小后增加6. 连接正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为( )A. 112B. 16C. 14D. 137. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列φ值最符合的是( )A. −5π6 B. −π6 C. 3π4 D. 5π68. 已知P 为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆焦点，且|PF 1|=3|PF 2|，则椭圆离心率的范围是( ) A. (0,13]B. [13,1)C. (0,12]D. [12,1)9. 设a =lg3，b =log 23，c =b+ab−a ，则( )A. c <0B. 0≤c <137C. c =137D. c >13710. 在方程x y =y x (2≤x <y)的任意n 组解(x i ,y i )(i =1,2，3，…，n)中，都有不等式y 1+y 2+⋯+y n−1<10y n 恒成立，则n 的最大值为( )A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）11.过定点P(4,t)作直线l，使l被圆C：x2+y2−6x−6y+9=0截得的弦长为4，若这样的直线l只有1条，则直线l在y轴的截距为______．12.用1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数，满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为______．13.已知单位向量a⃗，b⃗ ，满足a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=0，则|(1−x)a⃗+b⃗ |+|x a⃗−y b⃗ |+|a⃗+(1−y)b⃗ |的最小值为______．三、多空题（本大题共4小题，共12.0分）14.已知双曲线5x2−4y2=20的焦点坐标为(1)，离心率为(2)．15.已知在平面直角坐标系中，不等式组{x≤2y≤2x+y≥3表示的平面区域面积是(1)，周长为(2)．16.若(x−1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0=(1)，−a0+a1−a2+a3−a4+a5=(2)．17.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为(1)cm3，若线段AB全部在该几何体内部(含表面)，则AB长度的最大值为(2)cm．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数f(x)=sinxcosx−cos2x+12．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)设方程f(x)=√64在(0,a]上恰有5个实数解，求a的取值范围．19.如图，三棱柱ABC−A′B′C′中，侧面BB′C′C和侧面ABB′A′为正方形，且两个侧面互相垂直，E是A′C′的中点，将三角形AA′E绕AE向上翻折为三角形FAE，使面FAE⊥面ACC′A′．(1)证明：CF⊥AE；(2)求直线AE与平面FCC′所成角的正弦值．20.已知数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n，a1=1，且2A n=a n a n+1，b n+B n=1．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)令T n=a1b1+a2b2+⋯…+a n b n，若对任意的n∈N∗.不等式λnT n+2b n A n<2(λn+3b n)恒成立，试求实数λ的取值范围．21.已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点P(p,1)．(1)若点P到抛物线准线的距离是点P到焦点距离的√3倍，求抛物线的方程；(2)若线段PF的垂直平分线交抛物线于A、B两点，求三角形ABP面积的最小值．22.设a>0，函数f(x)=lnx−ax+3a．g(x)=xe x−1−ln xe x−1．(1)讨论f(x)和g(x)单调性；(2)若f(x)存在两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，问当a取何值时，x2x1有最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A∪B={2,3，4，6，8，9，10}，C={x∈Z|1≤x≤10}，∴∁C(A∪B)={1,5，7}，∴∁C(A∪B)的元素个数为3．故选：A．进行并集和补集的运算即可求出∁C(A∪B)，从而可得出元素的个数．本题考查了列举法、描述法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由z=1+i，得iz=i(1+i)=−1+i，∴|iz|=|−1+i|=√(−1)2+12=√2．故选：C．由已知求得iz，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：因为A，B，C三点共线，所以3x+(2−5x)=1，解得x=0.5．故选：B．利用三点共线向量表达式得出系数关系即可求解．本题考查平面向量三点共线的向量表达式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由a1=0，a2=1，当n≥3时，a n={2+a n−2,n为奇数2×a n−1,n为偶数，可得a3=2，a4=2×2=4，a5=2+2=4，a6=2×4=8，a7=2+4=6，a8=2×6=12，a9=2+6=8，a10=2×8=16，则S10=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=(0+2+4+6+8)+(1+4+8+12+16)=20+41=61．故选：D．由数列的递推式，可求出数列的前10项，再计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列的求和，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由随机变量ξ的分布列的性质得：Eξ=p+1−2p+1.5−3p+4p=2.5，Dξ=(1−2.5)2×p+(2−2.5)2×(0.5−p)+(3−2.5)2(0.5−p)+(4−2.5)2p=4p+0.25，∴P在(0,0.5)增加时，D(ξ)的变化是递增的．故选：A．由随机变量ξ的分布列的性质求出期望，然后求解方程的表达式，然后判断单调性，推出结果即可．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】B【解析】解：解：设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，以上面一个正四棱锥为例，它的高等于正方体棱长的一半12，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是√22，∴这个正四棱锥的体积是13×√22×√22×12=112，∴构成的八面体的体积是2×112=16，∴八面体的体积是V1，正方体体积是V2，V1：V2=1：6．故选：B．设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是√22，求出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积，得到比值．本题考查棱锥，正方体的体积，是一个计算题，这种题目可以作为选择和填空出现，这是一个结构非常规则的几何体，是中档题．7.【答案】C【解析】解：由图象得，A=1，12T=54−14=1，则T=2，由T=2πω=2得，ω=π，因为过点(14,0)，所以sin(14π+φ)=0，则14π+φ=kπ(k∈Z)，可得：φ=−π4+kπ(k∈Z)，又|φ|<π，则φ=−π4或3π4．由于当φ=−π4时，取x=0，则f(0)<0与题图不符，故φ=3π4．故选：C．由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，可判断出A；把点(14,0)代入解析式化简后，由题意求出φ的值本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=32a≤a+c，∴e≥12．∴椭圆离心率的范围是[12,1)故选：D．利用已知条件以及椭圆的性质，列出不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：由0<lg3<1，log23>1，c=b+ab−a =lg3+log23log23−lg3=lg3+lg3lg2lg3lg2−lg3=lg2+11−lg2=lg20lg5=log520=1+log54>0．由137=1+log5567，比较567与4的大小即可；∵(567)7=56=15625；47=16384∴567<4，即c>137故选：D．利用对数函数运算的性质和换底公式化简即可求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．10.【答案】B【解析】解：对方程x y=y x两边同时取自然对数得lnx y=lny x，化简得lnxx =lnyy，令f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx2，易知函数f(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，且x→0时，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→0，f(e)=1e，其图象如下图所示，令lnxx=lnyy=t，依题意，函数y=f(x)与直线y=t在[2,+∞)上有两个不同的交点，则ln22≤t<1e，由于ln22=ln44，且2≤x<y，故e<y i≤4，∴y1+y2+⋯…+y n−1≤4(n−1)，10y n>10e，要使不等式y1+y2+⋯+y n−1<10y n恒成立，则只需4(n−1)≤10e，解得n≤5e2+1≈7.8，∴n的最大值为7．故选：B．对方程x y=y x两边同时取自然对数得lnx y=lny x，令f(x)=lnxx ，作出函数y=f(x)的图象，令lnxx=lnyy=t，则函数y=f(x)与直线y=t在[2,+∞)上有两个不同的交点，由图象观察可知，e<y i≤4，再根据题设条件即可建立关于n的不等式，解出即可得到n的范围，进而得解．本题考查运用导数研究函数的最值，考查转化思想及数形结合思想，解题的关键是通过图象得到y i的范围，进而建立关于n的不等式，培养了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．11.【答案】−1或7【解析】解：由圆C：x2+y2−6x−6y+9=0，得(x−3)2+(y−3)2=9，则圆心C(3,3)，半径为3．如图，要使过定点P(4,t)的直线l被圆C：x2+y2−6x−6y+9=0截得的弦长为4，且这样的直线l只有1条，则P在圆C内部，且直线l是过P且与CP垂直的直线．∵圆C的半径为3，弦长为4，则|CP|=√32−22=√5．即|CP|=√(4−3)2+(t−3)2=√5，解得t=1或t=5．当t=1时，P(4,1)，k CP=1−34−3=−2，k l=12，此时直线l的方程为y−1=12(x−4)，即x−2y−2=0，直线l在y轴上的截距为−1；当t=5时，P(4,5)，k CP=5−34−3=2，k l=−12，此时直线l的方程为y−5=−12(x−4)，即x+2y−14=0，直线l在y轴上的截距为7．综上，直线l在y轴的截距为−1或7．故答案为：−1或7．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，可知满足条件的直线l是过P且与CP垂直的直线，由已知圆的半径、弦长及垂径定理求得|CP|，再由两点间的距离公式列式求得t，分类写出l的方程，则答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】276【解析】解：根据题意，用1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数，其中0不能在首位，共可以组成5A55=600个六位数，其中1和2相邻的六位数有A22×A55−A22×A44=192个，5和0相邻的六位数有A22×A55−A44=240−24=216个，1和2相邻且5和0相邻的六位数A22×A22×A44−A22×A33=84个，则有600−192−216+84=276个符合题意的六位数；故答案为：276．根据题意，由间接法分析：先计算全部六位数的数目，再计算其中“1和2相邻”和“5和0相邻”以及“1和2相邻且5和0相邻”的数目，据此分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．13.【答案】32+√3【解析】解：设a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(m,n)，则m 2+n 2=1，∵a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=0，∴(1,0)⋅(1−2m,−2n)=0，∴m =12，n =±√32，不妨取b ⃗ =(12,√32). ∴(1−x)a ⃗ +b ⃗ =(32−x,√32)，x a ⃗ −y b ⃗ =(x −12y,−√32y)，a ⃗ +(1−y)b ⃗ =(32−12y,√32(1−y))，∴|(1−x)a ⃗ +b ⃗ |+|x a ⃗ −y b ⃗ |+|a ⃗ +(1−y)b ⃗ |=√(3−x)2+3+√(x −1y)2+3y 2+√(3−1y)2+3(1−y)2=√(x −32)2+34+√x 2−xy +y 2+√(y −32)2+34≥√(x −32)2+34+√2xy −xy +√(y −32)2+34≥√34+√32×32+√34=32+√3，当且仅当x =y =32时，等号成立．∴|(1−x)a ⃗ +b ⃗ |+|x a ⃗ −y b ⃗ |+|a ⃗ +(1−y)b ⃗ |的最小值为32+√3．故答案为：32+√3．设a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(m,n)，由m 2+n 2=1和a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=0可解出m 与n 的值，从而得向量b ⃗ ；再根据平面向量的线性坐标运算和模长的计算方法可推出原式=√(x −32)2+34+√x 2−xy +y 2+√(y −32)2+34；然后利用基本不等式的性质即可得解．本题考查平面向量的线性和数量积的坐标运算、模长问题，还涉及基本不等式的性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．14.【答案】(±3,0)3【解析】解：双曲线C ：5x 2−4y 2=20的标准方程为：x 24−y 25=1，焦点坐标在x 轴上，可得a =2，b =√5，c =3．双曲线的焦点坐标：(±3,0)，离心率为：e =ca =32．故答案为：利用双曲线方程求出双曲线的几何量，即可得到结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．15.【答案】122+√2【解析】解：不等式组{x ≤2y ≤2x +y ≥3表示的可行域为：如图所示：所以{x =2x +y =3，解得{x =2y =1，即B(2,1)．同理{y =2x +y =3解得{x =1y =2，A(1,2)所以S △ABC =12×1×1=12． l △ABC =1+1+√2=2+√2．故答案为：12，2+√2首先求出不等式所表示的可行域，进一步求出区域的周长和面积．本题考查的知识要点：可行域，线性规划，三角形的周长和面积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.【答案】−132【解析】解：(x−1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x=0，可得：a0=−1，令x=−1，可得：a0−a1+a2−a3+a4−a5=(−2)5=−32．∴−a0+a1−a2+a3−a4+a5=32．故答案为：−1，32．令x=0，可得：a0=−1；令x=−1，可得：a0−a1+a2−a3+a4−a5=(−2)5，进而得出答案．本题考查了二项式定理的应用、求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】9+3π23√3【解析】【解析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为长方体，底面是边长为2的正方体，高为1，上半部分为四分之一圆锥，圆锥的底面半径为3，高为2．由长方体体积公式及圆锥体积公式求得该几何体的体积，说明连接圆锥顶点与长方体下底面顶点M所得线段PM在几何体内部，可得PM为所求线段AB的最大长度．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下半部分为长方体，底面是边长为2的正方体，高为1，上半部分为四分之一圆锥，圆锥的底面半径为3，高为2．则该几何体的体积V=3×3×1+14×13×π×32×2=9+32πcm3，由已知求得圆锥的母线长为√22+32=√13．连接图中PM，求得PM=√32+32+32=3√3，设PM交长方体上底面于N，由相似三角形对应边成比例可得PN=2√3=√12<√13，则A，B分别与P，M重合时，满足AB全部在该几何体内部，且AB长度最大为3√3cm．故答案为：9+3π2；3√3．18.【答案】解：(1)函数f(x)=sinxcosx−cos2x+12=12sin2x−cos2x+12+12=√22sin(2x−π4)．令−π2+2kπ≤2x−π4≤2kπ+π2(k∈Z)，整理得−π8+kπ≤x≤kπ+3π8(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为[−π8+kπ,kπ+3π8](k∈Z)．(2)设方程f(x)=√64在(0,a]上恰有5个实数解，令√22sin(2x−π4)=√64，即sin(2x−π4)=√32，整理得2x−π4=2kπ+π3或2kπ+2π3(k∈Z)，解得x=kπ+7π24或x=kπ+11π24．所以当k=3时，a=3π+7π24=79π24或83π24时，由于恰好有5个实数解．故a∈[79π24,83π24)．【解析】(1)首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．(2)利用(1)的结论，进一步利用三角方程的应用求出参数的a的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：连结A′C，交AE于点M，连结FM，设AB=1，由已知得BB′⊥B′C′，BB′⊥B′A′，∴BB′⊥平面A′B′C′，∴三棱柱ABC−A′B′C′是直三棱柱，在矩形AA′C′C中，AB=1，AC′=√2，A′E=√22，∴tan∠AEA′=tan∠CA′A=√2，∴∠AEA′=∠CA′A，∴∠CA′A+∠EAA′=∠AEA′+∠EAA′=90°，∴A′C⊥AE，∴CF⊥AE．(2)解：取AC的中点N，连结FN，NC′，FC，FC′，∵AN−//EC′，∴四边形ANC′E是平行四边形，∴AE//C′N，∴直线AE 与平面FCC′所成角是直线C′N 与平面FCC′所成角，设所成角为θ， ∵平面FAE ⊥平面ACC′A′，且AE ⊥FM ，平面FAE ∩平面ACC′A′=AE ，∴FM ⊥平面ACC′A′， ∴FM 是三棱锥F −NCC′的高，在Rt △FMC 中，FM =√33，CM =2√33， ∴FC =√FM 2+MC 2=√153．【解析】(1)连结A′C ，交AE 于点M ，连结FM ，推导出BB′⊥B′C′，BB′⊥B′A′，从而BB′⊥平面A′B′C′，三棱柱ABC −A′B′C′是直三棱柱，由此能证明CF ⊥AE ．(2)取AC 的中点N ，连结FN ，NC′，FC ，FC′，推导出四边形ANC′E 是平行四边形，AE//C′N ，直线AE 与平面FCC′所成角是直线C′N 与平面FCC′所成角，设所成角为θ，推导出FM ⊥平面ACC′A′，FM 是三棱锥F −NCC′的高，由此能求出FC ．本题考查线线垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)∵2A n =a n a n+1，①∴2A n+1=a n+1a n+2，②由②−①得，2a n+1=a n+1(a n+2−a n )，显然a n ≠0，故a n+2−a n =2，又a 1=1，故a 2=2，∴数列{a n }是偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，奇数项以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n =n ； ∵b n +B n =1．∴b 1=12，且b n+1+B n+1=1， ∴b n+1−b n +b n+1=0，即b n+1b n=12，∴数列{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴b n =(12)n ；(2)依题意，a n b n =n ⋅(12)n ，∴T n =1⋅(12)1+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯…+(n −1)⋅(12)n−1+n ⋅(12)n ，则12T n =1⋅(12)2+2⋅(12)3+3⋅(12)4+⋯…+(n −1)⋅(12)n +n ⋅(12)n+1，∴12T n =12+(12)2+(12)3+⋯…+(12)n−n ⋅(12)n+1=12[1−(12)n ]1−12−n ⋅(12)n+1=1−(12)n −n ⋅(12)n+1，∴T n =2−(12)n−1−n ⋅(12)n ，不等式λnT n +2b n A n <2(λn +3b n )即为λn(T n −2)<2b n (3−A n )，即λn ⋅[−(12)n−1−n ⋅(12)n ]<2⋅(12)n ⋅[3−n(n+1)2]，亦即λ⋅n(n+2)2>n 2+n−62，即(1−λ)n 2+(1−2λ)n −6<0对任意n ∈N ∗恒成立，设f(n)=(1−λ)n 2+(1−2λ)n −6(n ∈N ⋅)，当λ=1时，f(n)<0恒成立，符合题意；当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立，不合题意；当λ>1时，由于对称轴x =−1−2λ2−2λ<0，故f(n)在[1,+∞)单调递减， ∴f(n)≤f(1)<0恒成立，符合题意；综上，实数λ的取值范围为[1,+∞)．【解析】(1)由2A n =a n a n+1，可得2A n+1=a n+1a n+2，两式相减可得a n+2−a n =2，结合a 1=1，可求得数列{a n }的通项公式；由b n +B n =1，可得b n+1+B n+1=1，两式相减转化可知数列{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列，由此求得数列{b n }的通项公式；(2)先利用错位相减法求得T n ，再将原不等式转化为(1−λ)n 2+(1−2λ)n −6<0对任意n ∈N ∗恒成立，构造函数分类讨论得解．本题考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与数列通项的关系，考查不等式的恒成立问题，涉及了错位相减法以及函数思想，分类讨论思想的运用，考查运算求解能力及推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F(p 2,0)，准线为x =−p2，点P(p,1)，若点P 到抛物线准线的距离是点P 到焦点距离的√3倍，可得p +p 2=√3⋅√(p −p2)2+(1−0)2，解得p =√2，则抛物线的方程为y 2=2√2x ；(2)线段PF 的中点为(34p,12)，直线PF 的斜率为1p 2=2p ，则线段PF 的垂直平分线方程为y −12=−p 2(x −34p)，与抛物线y 2=2px(p >0)联立，消去x ，可得2y 2+8y −3p 2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，△=64+8(3p 2+4)>0恒成立，则y 1+y 2=−4，y 1y 2=−3p 2+42，可得|AB|=√1+4p2⋅|y1−y2|=√1+4p2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+4p2⋅√16+2(3p2+4)=√6(4+p2)p，又P到AB的距离为12|PF|=12√(p−p2)2+(1−0)2=12√1+p24，则三角形ABP面积S=12⋅√6(4+p2)p⋅12√1+p24=√68√p4+12p2+64p2+48，设f(p)=p4+12p2+64p2+48，f′(p)=4p3+24p−128p−3=0，即p6+6p4−32=0，化为(p2−2)(p2+4)2=0，由p>0，可得p=√2，当0<p<√2时，f′(p)<0，f(p)递减；当p>√2时，f′(p)>0，f(p)递增，可得f(p)的最小值为f(√2)=108，可得三角形ABP面积的最小值为9√28．【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程，结合两点的距离公式，可得p的方程，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；(2)求得线段PF的垂直平分线方程，与抛物线的方程联立，消去x，可得y的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两点的距离公式和三角形的面积公式，结合导数的运用：求最值，可得所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x −a=1−axx，当a>0时，在(0,1a)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(1a,+∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；令t(x)=xe−1(x≠0)，则t′(x)=e x−1−e x⋅x(e x−1)2=(1−x)e x−1(e x−1)2，令ℎ(x)=(1−x)e x−1，则ℎ′(x)=−e x+(1−x)e x=−xe x，在(0,+∞)上，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，在(−∞,0)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)max=ℎ(0)=0，所以ℎ(x)≤0，即t′(x)≤0，所以t(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，y=t−lnt，y′=1−1t，故y=t−lnt在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，∴g(x)=xe x−1−ln xe x−1在xe x−1∈(0,1)上递增，在xe x−1∈(1,+∞)上递减，即g(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增；(2)f(x)存在两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，即a =lnxx−3有两解，∴a >0，x 1<1<3<x 2，∴lnx 1−ax 1+3a =0，lnx 2−ax 2+3a =0， ∴ln x 2x 1−a(x 2−x 1)=ln x 2x 1−ax 1(x2x 1−1)=0，令t =x 2x 1，则lnt −ax 1(t −1)=0，∵a =lnx 1x1−3，∴lntt−1=ax 1=x 1lnx 1x 1−3,0<x 1<1，令n(t)=lnt t−1(0<t <1),n′(t)=1−1t−lnt (t−1)<0，∴当t 取最小值时，n(t)取得最大值， ∴x 1lnx 1x 1−3可在x 1∈(0,1)取得最大值；令d(x)=xlnx x−3(0<x <1),d′(x)=x−3lnx−3(x−1)2，∴由零点存在性定理可知，d′(x)在x ∈(0,1)上存在零点x 0，且x ∈(0,x 0)时，d′(x)>0，当x ∈(x 0,1)时，d′(x)<0， ∴d(x)max =d(x 0)，∴x 0−3lnx 0−3=0， ∴此时a =lnx 0x−3=13，故a =13．【解析】(1)对f(x)和g(x)分别求导，然后根据导数的符号，判断函数单调性即可；(2)令t =x 2x 1，结合题意可得lntt−1=ax 1=x 1lnx 1x 1−3,0<x 1<1，可知当t 取最小值时，x 1lnx 1x1−3可在x 1∈(0,1)取得最大值，构造函数d(x)=xlnx x−3(0<x <1)，再利用导数转化求解即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查降元思想，运算求解能力，逻辑推理能力，属于较难题目．。

【附加15套高考模拟试卷】浙江省2020届高三6月普通高中学业水平模拟考试数学试题含答案

浙江省2020届高三6月普通高中学业水平模拟考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在矩形ABCD 中的曲线是sin y x =，cos y x =的一部分，点,02B π⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)D ，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．4(31)π-B ．4(21)π-C ．4(31)π-.D ．4(21)π-2．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图像与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图像，则()y g x =是减函数的区间为（）．A ．,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±4．空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A ．该地区在该月2日空气质量最好B ．该地区在该月24日空气质量最差C ．该地区从该月7日到12日持续增大D ．该地区的空气质量指数与这段日期成负相关5．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）A ．283πB ．323π C ．523π D ．563π6．在区间[1,2]-上随机取一个数k ，使直线(4)y k x =-与圆224x y +=相交的概率为（）A ．3B ．3C ．23D ．37．若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（）A ．0a C ．0a ≤D ．0a ≥8．设实数x ，y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是（）A ．[]4,1- B ．33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(][),31,-∞-+∞U D ．[]3,1-9．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（）A ．B ．C ．D ．10．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（） A ．726+ B ．722+C ．326+ D ．322+11．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为（）A ．4B ．2C ．0D ．1412．已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80- B ．40- C ．40 D ．80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年浙江省教育绿色评价联盟高考数学适应性试卷(6月份) (解析版)

2020年高考数学适应性试卷（6月份）一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，2]2．双曲线﹣＝1的渐近线方程式为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．6B．5C．4D．24．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．25．在同一直角坐标系中，函数y＝a x+b，y＝log a（x+b）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知，则“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．随机变量X，Y的分布列如表，其中n∈N+，则（）X n n+1n+2PY n n+2n+4PA．D（X）＝D（Y）B．D（X）＜D（Y）C．D（X）＞D（Y）D．无法判断D（X）与D（Y）的大小关系8．三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，BC⊥BD，记AD与BC所成角为α，AB与平面BCD所成角为β，锐二面角A﹣BD﹣C的大小为γ，则（）A．γ＞α＞βB．α＞γ＞βC．α＞β＞γD．γ＞β＞α9．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞110．对于数列{a n}：a1＝a，a n+1＝，有以下结论：①若a＜0，则a n＜1；②若0＜a＜1，则a n+1＜a n；③对a∈R，均有0≤a n+1≤2；④对于任意正整数n，均有（a﹣1）（a n﹣1）≥0．则（）A．仅①②正确B．仅②③正确C．仅①③④正确D．①②③④均正确二、填空题（共7小题）.11．已知复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝，|z|＝．12．已知圆O：x2+y2＝1，l为过点（0，2）的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为；若l与圆O相交于A、B两点，则当△OAB的面积最大时AB的弦长为．13．已知（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），则展开式中二项式系数最大的项是第项；若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C＝b+c，则A＝；若a＝，且△ABC只有唯一解，则b的范围为．15．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的内切圆的半径r的范围为．16．设a，b∈R，不等式|x2+ax+b|≤1对所有的x∈[m，n]成立，则n﹣m的最大值是．17．已知平面向量，，满足，，则的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0，0＜θ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的单调递增区间；19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被经过BD1的动平面α所截，α分别与棱CC1，AA1交于点M，N，得到截面BMD1N，已知AB＝BC＝1，DD1＝．（Ⅰ）求证：MN⊥BD；（Ⅱ）若直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值为，求AN的长．20．已知正项数列{a n}满足a1＝9，．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）若数列的前n项和为S n，求证：．21．如图，已知经过F（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，记直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）若k1+k2＝﹣4，求l的斜率；（Ⅱ）求的最小值．22．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝lnx+1．（Ⅰ）求证：f（x）＝g（x）有两个不同的实数解；（Ⅱ）若g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，求整数m的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，2]【分析】根据全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，易知∁U A＝{x|x≥2}，再根据交集定义即可求解．解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，∴∁U A＝[2，+∞），∴（∁U A）∩B＝[2，+∞）．故选：A．2．双曲线﹣＝1的渐近线方程式为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【分析】由双曲线﹣＝1，直接可得双曲线的渐近线方程．解：由双曲线﹣＝1，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．3．某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．6B．5C．4D．2【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示：此几何体为斜棱柱，V＝S•h＝1×2×2＝4．故选：C．4．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．2【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解最值即可．解：画出可行域，，解得A（1，0），由z＝x+y，即y＝﹣x+z，则z表示y＝﹣x+z在y轴截距，结合图象可知在点（1，0）处，在y轴上的截距取得最小值，此时目标函数取得最小值，x＝1，y＝0代入z＝x+y，可得：目标函数的最小值1．故选：C．5．在同一直角坐标系中，函数y＝a x+b，y＝log a（x+b）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】从选项着手，结合指数函数和对数函数的图象与性质分析，找出选项中函数图象的矛盾之处，即可作出选择．解：对于B，两函数单调性不一致，错误；对于C，函数y＝a x+b中b＜0，而函数y＝log a（x+b）中b＞0，互相矛盾，错误；对于D，函数y＝a x+b中b＞0，函数y＝log a（x+b）中b＜0，互相矛盾，错误．故选：A．6．已知，则“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】令f（x）＝x﹣tan x，x∈（﹣，），利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．解：令f（x）＝x﹣tan x，x∈（﹣，），则f′（x）＝1﹣≤0，∴函数f（x）在x∈（﹣，）上单调递减，∵，α﹣β＞1．∴f（α）＜f（β），∴α﹣tanα＜β﹣tanβ，∴tanα﹣tanβ＞α﹣β＞1；反之也成立．故“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的充分必要条件，故选：C．7．随机变量X，Y的分布列如表，其中n∈N+，则（）X n n+1n+2PY n n+2n+4PA．D（X）＝D（Y）B．D（X）＜D（Y）C．D（X）＞D（Y）D．无法判断D（X）与D（Y）的大小关系【分析】根据方差的概念，观察并对比随机变量X与Y的分布集中程度即可得解．解：由方差的概念，易知随机变量X的分布比随机变量Y的分布集中，所以D（X）＜D（Y）．故选：B．8．三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，BC⊥BD，记AD与BC所成角为α，AB与平面BCD所成角为β，锐二面角A﹣BD﹣C的大小为γ，则（）A．γ＞α＞βB．α＞γ＞βC．α＞β＞γD．γ＞β＞α【分析】画出图形，判断直线与直线所成角以及直线与平面所成角，二面角的大小关系，推出结果．解：如图，因为AB＝AD，故AB与面BCD所成角即AD与面BCD所成角，由线面角小于或等于线线角知：AD与面BCD所成角小于AD与BC所成角，即β＜α；由线面角小于或等于二面角知：AB与面BCD所成角小于锐二面角A﹣BD﹣C，即β＜γ，因为BC⊥BD，故锐二面角A﹣BD﹣C即BC与面ABD所成线面角（作AO⊥BD于O．作BE⊥BD于B，作AE∥BD，连接EO，∠EBC就是BC与面ABD 所成线面角），故BC与面ABD所成线面角小于BC与AD所成角，即γ＜α，故α＞γ＞β．故选：B．9．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞1【分析】分别求出f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于原点O和y轴对称的解析式，通过构造函数，求得函数的导数，根据函数的单调性判断答案即可．解：由关于原点对称的点的特点，可将x换为﹣x，y换为﹣y，可得f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于原点O对称的解析式g（x）＝x2﹣2x﹣a（x≥0），令h（x）＝e x﹣x2+2x+a（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2x+2，h''（x）＝e x﹣2，由x＞ln2可得h′（x）递增；0＜x＜ln2时，h′（x）递减，所以h'（x）≥h′（ln2）＝4﹣2ln2＞0，因此，h（x）是单调递增的，且h（x）＝e x﹣x2+2x+a≥h（0）＝1+a，故当a＜﹣1，h（x）有唯一零点，当a≥﹣1时，h（x）不存在零点，故A正确；B不正确；由关于y轴对称的点的特点，可将x换为﹣x，y不变，可得f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于y轴对称的解析式m（x）＝﹣x2+2x+a（x≥0），令n（x）＝e x+x2﹣2x﹣a（x＞0），n′（x）＝e x+2x﹣2，n″（x）＝e x+2，所以n″（x）＞0，n′（x）递增，n′（x）≥n′（0）＝﹣1，因此，n（x）不单调，当a＜0时，n（x）有零点，当a＝1时，n（x）存在两对零点，故C，D都不正确．故选：A．10．对于数列{a n}：a1＝a，a n+1＝，有以下结论：①若a＜0，则a n＜1；②若0＜a＜1，则a n+1＜a n；③对a∈R，均有0≤a n+1≤2；④对于任意正整数n，均有（a﹣1）（a n﹣1）≥0．则（）A．仅①②正确B．仅②③正确C．仅①③④正确D．①②③④均正确【分析】若a＝0时，a n＝0，若a≠0时，利用递推关系式，结合二次函数的性质，求解判断③，利用数学归纳法证明判断①；若0＜a＜1时，易知a n＞0，利用放缩法判断②；当a＝1时，a n＝1；当a＞1时，利用放缩法判断④．解：若a＝0时，a n＝0，若a≠0时，＝＝，表达式的分母的最小值为，所以的最大值为：2，∴a n≤2，故③正确；若a＜0时，a n＜1，证明：若a＜0时，易知a n＞0，当n＝1时，a1＜0，假设n＝k时，0＜a k＜1，（k≥1），则n＝k+1时，，这就是说对于任意的n，a＜0时，a n＜1，所以①正确；若0＜a＜1时，易知a n＞0，当n＝1时，0＜a1＜1，假设n＝k时，0＜a k＜1，（k≥1），则n＝k+1时，，所以0＜a n＜1，因此，即a n+1＜a n，故②正确；当a＝1时，a n＝1；当a＞1时，，综上可得（a﹣1）（a n﹣1）≥0．故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝﹣1，|z|＝1．【分析】根据纯虚数的要求求出a，进而求出|z|．解：复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则1+a＝0且a≠0，故a＝﹣1，所以：z＝﹣i；故|z|＝1．故答案为：﹣1，1．12．已知圆O：x2+y2＝1，l为过点（0，2）的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为或；若l与圆O相交于A、B两点，则当△OAB的面积最大时AB的弦长为．【分析】由题意设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列式求k，则直线的倾斜角可求；当△OAB为等腰直角三角形时面积最大，由勾股定理求弦长．解：由题意，若直线l与圆相切，则l的斜率肯定存在，设l：y＝kx+2，则，解得，∴直线l的倾斜角为或；直线l交圆于A，B两点，可知△OAB为等腰三角形，其面积S＝|OA|•|OB|sin∠AOB＝∠AOB，可知当sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°时△AOB面积最大，即当△OAB为等腰直角三角形时面积最大，∴|AB|＝2×．故答案为：或；．13．已知（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），则展开式中二项式系数最大的项是第1011项；若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．【分析】根据二项式系数的性质填第一个空；分别令x＝﹣1以及x＝1求解第二个空即可．解：因为（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），展开共有2021项；由二项式系数的性质得，最大，所以填第1011项；令x＝1得，（1+a）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，令x＝﹣1得，（﹣1+a）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020，而＝（a0+a1+a2+…+a2020）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020）＝（1+a）2020（﹣1+a）2020＝[（1+a）（﹣1+a）]2020＝（a2﹣1）2020＝1，解得（负值和0舍）．故答案为：1011，．14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C＝b+c，则A＝；若a＝，且△ABC只有唯一解，则b的范围为．【分析】由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，可得，由正弦定理得b＝2sin B，而△ABC只有唯一解时，，利用正弦函数的性质可求．解：因为，所以，则，所以sin A sin C＝cos A sin C+sin C，因为C为三角形内角，sin C≠0，所以，则，所以；由正弦定理得，，所以b＝2sin B，而△ABC只有唯一解时，，所以．故答案为：；．15．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的内切圆的半径r的范围为．【分析】设出AB坐标，表示出三角形的面积，利用椭圆的性质，转化求解即可．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，即4ar＝|y1﹣y2|2c，即8r＝2|y1﹣y2|，所以，设AB的方程为：x＝my﹣1，代入椭圆方程可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣11＝0，所以y1+y2＝y1y2＝，所以|y1﹣y2|＝＝＝＝，函数是减函数，m＝0时，表达式取得最大值3，最小值大于0，∴|y1﹣y2|∈（0，3]，所以．故答案为：．16．设a，b∈R，不等式|x2+ax+b|≤1对所有的x∈[m，n]成立，则n﹣m的最大值是．【分析】法1：令f（x）＝x2+ax+b，x∈[m，n]，则f（x）∈[﹣1，1]，通过f（m）＝m2+am+b ≤1①f（n）＝n2+an+b≤1②③，推出．即可；法2：通过，令，则f（m）＝f（n），即f（x）为平口单峰函数，极值点为，然后求解即可．解：法1：令f（x）＝x2+ax+b，x∈[m，n]，则f（x）∈[﹣1，1]，于是f（m）＝m2+am+b≤1①，f（n）＝n2+an+b≤1②，③由①+②﹣2×③，得，故．此时．法2：因为，令，则f（m）＝f（n），即f（x）为平口单峰函数，极值点为，故|x2+ax+b|的最大值的最小值为，所以．故答案为：．17．已知平面向量，，满足，，则的取值范围为[﹣12，4]．【分析】法1：利用已知条件，结合向量的数量积的运算法则，画出图形转化求解即可．法2：设，，，设x＝2cosφ+1，y＝2sinφ，化简，通过令，转化求解即可．解：法1：由，∴可得，，∴，＝3+||||cos，故，，如图，可得．法2：设，，，则由得，x2+y2﹣2x＝3即（x﹣1）2+y2＝4，可知，可设x＝2cosφ+1，y＝2sinφ，而＝2x cosθ﹣2x+2y sinθ＝2（2cosφ+1）cosθ﹣2（2cosφ+1）+4sinθsinφ＝，令，所以，．故．故答案为：[﹣12，4]．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0，0＜θ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的单调递增区间；【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）先利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求出函数的增区间．解：（1）由图知A＝1，周期T＝2（﹣）π，故ω＝2，将点代入解析式得：，因0＜θ＜π，故，所以，．（2）＝＝．令，解得：，k∈Z，所以函数的单增区间：，k∈Z．19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被经过BD1的动平面α所截，α分别与棱CC1，AA1交于点M，N，得到截面BMD1N，已知AB＝BC＝1，DD1＝．（Ⅰ）求证：MN⊥BD；（Ⅱ）若直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值为，求AN的长．【分析】（Ⅰ）以D为原点，分别以DA，DC，DD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，通过计算证明，推出MN⊥BD．（Ⅱ）求出平面BMD1N的法向量，利用向量法求出直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值求出参数，再求解AN．解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），．依题意，，设，则，所以，而，所以，所以MN⊥BD．（Ⅱ）因为，，，设平面BMD1N的法向量为，则，令z＝1，则，设直线AB与截面BMD1N所成角为θ，所以，解得，所以．20．已知正项数列{a n}满足a1＝9，．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）若数列的前n项和为S n，求证：．【分析】（Ⅰ）直接利用关系式的变换的应用和等差数列的定义的应用求出结果．（Ⅱ）直接利用裂项相消法在数列求和中的应用及放缩法的应用求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）由，得，即，由于，所以，即（常数）所以，数列为等差数列；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，因为，所以＝，所以，．21．如图，已知经过F（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，记直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）若k1+k2＝﹣4，求l的斜率；（Ⅱ）求的最小值．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：x＝my+1，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合直线的斜率，转化求解即可．（Ⅱ）利用弦长公式结合距离公式，推出，然后利用换元法，利用函数的单调性求解最值即可．解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，设直线l的斜率为k，则，同理，，所以，所以k＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝4（m2+1），而＝＝，所以，令，则，所以＝，当且仅当m＝0时取到最小值．22．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝lnx+1．（Ⅰ）求证：f（x）＝g（x）有两个不同的实数解；（Ⅱ）若g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，求整数m的最大值．【分析】（Ⅰ）由f（x）＝g（x）得x﹣lnx﹣2＝0，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，证明结论即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+x＞m（x﹣1）在x＞1时恒成立，即在x＞1时恒成立，设，根据函数的单调性求出m的最大值即可．解：（Ⅰ）证明：由f（x）＝g（x）得x﹣lnx﹣2＝0，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．所以h（x）的最小值为h（1）＝﹣1＜0，而当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，故f（x）＝g（x）有两个不同的实数解．（Ⅱ）g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，即xlnx+x＞m（x﹣1）在x＞1时恒成立，所以在x＞1时恒成立，设，则，由（Ⅰ）m'（x）＝0有唯一零点x0＞1，即x0﹣lnx0﹣2＝0，又h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，所以x0∈（3，4），且当x∈（1，x0）时，m'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m'（x）＜0，所以，由题意，得m＜x0，且x0∈（3，4），因此整数m的最大值为3．。

绍兴市柯桥区2020届高三数学下学期6月适应性考试试题含解析

作平面于点，则 .
作于点，连接。
由于，则平面 .
故，则即为二面角的平面角，
即。
由于平面，则即为直线与平面所成角。
即 .
由于 ,则，
而，，则，
又因为为锐所成角等于直线与直线等于所成角，
即。
作于点 ,连接，则 ,而，
【答案】（1）. （2）。
【解析】
【分析】
由辅助角公式、二倍角公式对所给解析式进行整理可得，从而可求最小正周期和最值.
【详解】解：
，
当时，函数有最大值，为 ,
所以最小正周期为 ,最大值为。
故答案为：；。
【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了三角函数的性质.本题的关键是对解析式进行整理化简.
A. 1B。 C。 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程结合隐含条件求得c，再由离心率列式求解m值．
【详解】由曲线C: ，得，且 , ．
,
则，解得．
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的简单性质,考查离心率的求法，是基础题．
3.若实数x,y满足，则的最小值是（）
A. B. C. 0D. 2
【详解】设 ,
由b的任意性，结合题意可知，对于任意，
即，
又 ,易知函数在单调递减，在上单调递增，
①当时, 在上单调递增，
则
故，解得，此时无解.
②当时，在上单调递减,
则
故，解得
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
则 ,
故只需且
记函数，则 ,函数在上递增，

浙江省宁波市2020年高中数学6月学业水平考试试卷

浙江省宁波市 2020 年高中数学 6 月学业水平考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、选择题(本大题共 18 小題，每小题 3 分，共 54 分。

) (共 18 题；共 54 分)1. （3 分） (2019 高一上·西安期中) 已知集合 A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜ }，则（）． A . A∩B＝ B . A∪B＝R C.B A D.A B2. （3 分） (2020 高二上·宜秀开学考) 若 A.B.C.D.3. （3 分） (2019 高一下·辽源期末) 圆A.，2B.，2C.，4D.，4，，，则（）的圆心坐标和半径分别为（）4. （3 分）设全集是实数集 ,集合，，则为（）A.B.第 1 页共 21 页C.D. 5. （3 分）设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A.B. C . 2-D . -16. （3 分）已知 =(m+1,0,2m), =(6,2n-1,2)若，则 m 与 n 的值分别为（）A. B. C . 5,2 D . -5,-2 7. （3 分）已知 A. B. C. D.，则（）第 2 页共 21 页8. （3 分） (2020 高一下·嘉兴期中) 在大值为，则的最小值是（）A.的条件下，目标函数的最B.C.D. 9. （3 分）平面 ∥ 的一个充分条件是（） A . 存在一条直线， ∥ ， ∥ B . 存在一条直线， ⊂ ， ∥ C . 存在两条平行直线，， ⊂ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ D . 存在两条异面直线，， ⊂ ， ⊂ ， ∥ ， ∥10. （3 分） (2017 高三上·河北月考) 已知函数，给出以下四个命题：①，有；②且，有③，有④，.其中所有真命题的序号是（） A . ①②B . ③④；；第 3 页共 21 页C . ①②③ D . ①②③④ 11.（3 分）(2017 高一上·淄博期末) 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是（） A . 若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α B . 若 l⊥m，m⊂ α，则 l⊥α C . 若 l∥α，m⊂ α，则 l∥m D . 若 l∥α，m∥α，则 l∥m 12. （3 分） (2017 高一下·衡水期末) 如图所示，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A. B. C.1 D. 13. （3 分） (2017 高二下·广州期中) x=1 是 x2﹣3x+2=0 的（） A . 充分不必要条件 B . 既不充分也不必要条件 C . 必要不充分条件第 4 页共 21 页D . 充分必要条件 14. （3 分） (2019 高一下·天长月考) △ABC 中，a．b，c 分别为∠A：∠B．∠C 的对边，如果 a．b．c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么 b 等于（）A. B.C.D.15. （3 分）已知二面角度的直线的条数为（）的大小为 50 度，P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面和所成角都是 30A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条16. （3 分）如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，，双曲线虚轴的端点，为右焦点，延长与交于点，若的取值范围是（）为双曲线的顶点，，为为锐角，则该双曲线的离心率A.第 5 页共 21 页B.C.D. 17. （3 分）数列 2，3，4，5，…的一个通项公式为（）A . an=nB . an=n+1C . an=n+2D . an=2n18. （3 分） (2018·河北模拟) 设正三棱锥锥体积的最大值为（）的每个顶点都在半径为 2 的球的球面上，则三棱A.B.C.D.二、填空题(本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分。

2020年浙江省精诚联盟高考数学适应性试卷(6月份)

2020年浙江省精诚联盟高考数学适应性试卷（6月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1. 若x ∈R ，集合A ＝{x|x 2+2x ≤0}，B ＝{x||x −1|≤1}，则A ∩B ＝（） A.[−2, 0] B.[0, 2] C.{0} D.[−2, 2]2. 已知数列{a n }的项都是实数，则对于一切n ∈N +，“数列{a n }为递减数列”是“√a n ⋅a n+1<a n ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知双曲线x 2m+y 2n=1(m ≠n)）的离心率为2√33，则双曲线的两条渐近线所夹的锐角为（） A.π6 B.π4 C.π3D.5π124. 没i 是虚数单位，非零复数z 满足z +z ¯=0（其中z ¯为复数z 的共轭复数），若z =a+i1+3i 则实数a 为（） A.−3 B.−2 C.2 D.35. 在平面直角坐标系中，点M(x, y)为不等式{2x +y −2≥0x +y −2≤0y ≥0 所表示的区域上一动点，则x 2+y 2的最小值为（）A.2√55B.45C.2D.46. ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方体，则DB 与平面A 1BCD 1所成的角为α，则tan α的值为（）A.√33B.12C.√3D.27. 函数f(x)＝4sin 3x2cos x2在[−π, π]的图象大致为（）A. B.C. D.8. 现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球．用X ，Y 分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记ξ＝|X −Y|，求随机变量ξ的数学期望Eξ为（） A.12881 B.13581C.14081D.148819. 将函数f(x)=12cos (2x −π2)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足f(x 1)g(x 2)=−14的x 1，x 2，有|x 1−x 2|的最小值为π3，则φ＝（） A.5π12 B.π3C.π4D.π610. 点M 为圆C:x 2+y 2＝20上的任意一点，则点M 到直线x ＝−8与直线y ＝−1的距离之积的最大值为（） A.50 B.54C.56D.58二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是________；体积为________．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五，六次幂的二项式系数表，已知a ≠0，(ax −1)6的展开式中各项系数之和为1，则展开式中x 5的系数为________．（用数字作答）将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，其中A ，B 相邻，且C ，D 在A ，B 的两侧，则不同的排法共有________种．（用数字作答）已知函数f(x)＝3x −3−x +2，则(log 32)＝________；关于x 的不等式f(3x)+f(4−x)>4的解集为________．若x 1，x 2是函数f(x)＝x 3−mx 2+nx(m >0, n >0)的两个不同的零点，且x 1，x 2，−3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m ＝ 152 ，n ＝________．如图，椭圆E 的方程为x26+y 23=1，过点P(0, 1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．点Q 为y 轴上异于点P 的一点，且QP 为∠AQB 的平分线，则点Q 的坐标为________．△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90∘，BC =√2，点D 满足DA →=AC →，点E 是BD 所在直线上一点．如果CE →=xCA →+yCB →，则x +2y ＝________；CA →在CE →上的投影的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，三个内角为A ，B ，C 且满足(tan A −sin C)⋅(tan B −sin C)＝sin 2C ． (Ⅰ)如果C =π4，求sin A sin B 的值； (Ⅱ)求cos C 的最小值．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60∘，G 为BC 的中点，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥DG ． (Ⅰ)求证：平面ADE // 平面BCF ；(Ⅱ)若CD ＝CF ＝2，AE ＝DE ，且AE ⊥DE ，求二面角B −EF −D 的余弦值．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足8S n ＝16a n 2+n −1，数列{b n }满足b n =√2b n−1(n ≥2)，b 1=√22． (Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(Ⅱ)记数列{c n }满足c n ＝[(−1)n−1+1]a n +[(−1)n +1]b n ，设数列{c 2n−1c 2n}的前n 项和为A n ，数列{2c 2n−1C 2n+1}的前n 项和为B n ，试比较A n 与B n 的大小．已知抛物线C 的方程为x 2＝2y ，A ，B 为抛物线上两点，且MA ⊥MB ，其中M(2, 2)，过A ，B 分别作抛物线C的切线l 1，l 2，设l 1，l 2交于点P ．(I)如果点P 的坐标为(−2, 0)，求弦长|AB|；(Ⅱ)O 为坐标原点，设抛物线C 的焦点为F ，求|OP|2|AF|+|BF|的取值范围．已知函数f(x)=x e x，g(x)＝−2(x −1)2+k ，若方程f(x)＝g(x)在x ∈[0, +x)上有解．(Ⅰ)求实数k 的取值范围；(Ⅱ)当k 取到最小值时，对于a >0，记方程f(x)＝a 的两根为x 1，x 2(x 1≠x 2)，方程g(x)＝a 的两根为x 3，x 4(x 3≠x 4)，证明：|x 1−x 2|>2|x 3−x 4|．参考答案与试题解析2020年浙江省精诚联盟高考数学适应性试卷（6月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{x|x2+2x≤0}＝{x|−2≤x≤0}，B＝{x||x−1|≤1}＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{0}．2.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由√a n⋅a n+1<a n，得a n>0，且a n⋅a n+1<a n2，可得数列{a n}为递减数列；反之不成立，a n＝2−n，即可判断出结论．【解答】由√a n⋅a n+1<a n，得a n>0，且a n⋅a n+1<a n2，所以a n+1<a n，即数列{a n}为递减数列；若数列{a n}为递减数列，如a n＝2−n，则结论√a n⋅a n+1<a n就不成立．∴ “数列{a n}为递减数列”是“√a n⋅a n+1<a n”的必要不充分条件．3.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，然后求出渐近线的倾斜角，推出结果．【解答】由双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=2√33得ba=√33，渐近线y=√33x的倾斜角为：π6．所以双曲线的两条渐近线所夹的锐角为π3，4.【答案】A 【考点】复数的运算【解析】与题意可知，z为纯虚数，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由实部为0且虚部不为0列式求解a．【解答】由z+z¯=0，知z为纯虚数，∵z=a+i1+3i=(a+i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=(a+3)+(1−3a)i10，∴{a+3=01−3a≠0，即a＝−3．5.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】首先根据题意做出可行域，由其几何意义为点O(0, 0)到直线2x+y−2＝0距离的平方为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O(0, 0)到直线2x+y−2＝0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d=√22+(−1)2=√5，；所以(x2+y2)min=45；6.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】连接DC 1交D 1C 于O ，则BC ⊥平面DCC 1D 1，DC 1⊥D 1C ，推导出DO ⊥平面A 1BCD 1，从而DB 与平面A 1BCD 1所成的角α＝∠DBO ，由此能求出tan α．【解答】连接DC 1交D 1C 于O ，∵ ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方体， ∴ BC ⊥平面DCC 1D 1，DC 1⊥D 1C ， ∴ DO ⊥BC ，DO ⊥D 1C ，∵ BC ∩D 1C ＝C ，∴ DO ⊥平面A 1BCD 1，∵ DB 与平面A 1BCD 1所成的角为α，∴ α＝∠DBO ，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则BD =√2，DO =√22，BO =(2)=√32，∴ tan ∠DBO =DO BO=√22√32=√33，∴ tan α=√33． 7.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】先根据函数奇偶性判断出函数f(x)为奇函数，排除选项B ；当x →0+时，f(x)>0，排除选项A ；利用二倍角公式将函数f(x)化简为f(x)＝sin x(1−cos x)，可得当x ∈[0,π2]时，f(x)∈[0, 1]，且f(π2)＝1，排除选项D ，从而得解．【解答】∵ f(−x)＝4sin 3(−x2)cos (−x2)=−4sin 3x2cos x2=−f(x)， ∴ f(x)在[−π, π]上为奇函数，排除选项B ；当x →0+时，f(x)>0，排除选项A ； f(x)=4sin 3x 2cos x2=2sin x 2cos x2⋅2sin 2x2=sin x(1−cos x)，当x ∈[0,π2]时，sin x ∈[0, 1]，1−cos x ∈[0, 1]， ∴ f(x)∈[0, 1]，且当x =π2时，f(π2)＝1，排除选项D ． 8.【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】判断ξ的所有可能取值为0，2，4．由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．【解答】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为13，去打乒乓球的概率为23，设“这4个人中恰有i 人去打篮球”为事件A i (i ＝0, 1, 2, 3, 4)，则PP(A i )=C 4i(13)i (23)4−i ，ξ的所有可能取值为0，2，4．由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P(ξ=0)=P(A 2)=827，P(ξ=2)=P(A 1)+P(A 3)=4081， P(ξ=4)=P(A 0)+P(A 4)=1781．所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望Eξ=0×827+2×4081+4×1781=14881．9. 【答案】 D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得φ的值．【解答】将函数f(x)=12cos (2x −π2)=12sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后，得到函数g(x)=12sin (2x −2φ)的图象．由题意，f(x 1) 和g(x 2)一个为最大值12，另一个为最小值−12．不妨设2x 1=2k 1π+π2，2x 2−2φ=2k 2π−π2(k 1,k 2∈Z)，所以，|x 1−x 2|=|(k 1−k 2)π+π2−φ|，故当|x 1−x 2|min =π3时，由0<φ<π2，得π2−φ=π3，所以φ=π6， 10.【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系【解析】设M(x, y)，则点M 到直线x ＝−8与直线y ＝−1的距离之积为|x +8|⋅|y +1|＝|xy +8y +x +8|，由不等式xy ≤x 2+14y 2，8y ≤y 2+16，x ≤14x 2+1，作和即可求得答案．【解答】设M(x, y)，则点M 到直线x ＝−8与直线y ＝−1的距离之积为|x +8|⋅|y +1|，由题意，只需求(x +8)(y +1)＝xy +8y +x +8的最大值． ∵ xy ≤x 2+14y 2，8y ≤y 2+16，x ≤14x 2+1，三式相加得：xy +8y +x ≤54(x 2+y 2)+17=42，当且仅当x =12y ，y ＝4，12x =1，同时成立，即x ＝2，y ＝4时，(x +8)(y +1)的最大值为50．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．【答案】三棱锥,403【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为5和4，高为4．再由棱锥体积公式求体积．【解答】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为5和4，高为4．则该三棱锥的体积V =13×12×4×5×4=403．【答案】 −192 【考点】二项式定理及相关概念【解析】先令 x ＝1求得a ，再借助于通项公式即可求解结论．【解答】令x ＝1，得展开式各项系数和为(a −1)6＝1，所以正实数a ＝2，由通项公式，得x 5的系数为C 6525(−1)1=−192；【答案】80【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分3步进行分析：①A ，B 相邻，用捆绑法将AB 看成一个整体，②将C ，D 安排在A ，B 的两侧，③将E 、F 安排在4人的空位中，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分3步进行分析：①A ，B 相邻，将AB 看成一个整体，考虑其间的顺序，有2种情况， ②将C ，D 安排在A ，B 的两侧，有2种情况，③四人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选一个，安排E ，有4种情况，五人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选一个，安排E ，有5种情况，则有2×2×4×5＝80种情况，【答案】72,(−2, +∞)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】直接根据指数以及对数的运算性质求解第一个空，构造新函数，借助于其单调性和奇偶性即可求解第二个空．【解答】由题意f(log 32)=3log 32−3−log 32+2=2−12+2=72；设g(x)＝f(x)−2，则g(x)为奇函数，而且为R 上的增函数，因为f(3x)+f(4−x)>4，所以g(3x)+g(4−x)>0，即g(3x)>g(x −4)，从而3x >x −4，解得x >−2．【答案】 9【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由题意可得x 1>0，x 2>0，不妨设x 1<x 2，由等差数列和等比数列的中项性质，解方程可得x 1，x 2，即可得到所求m ，n ．【解答】由题意，x 1，x 2为方程x 2−mx +n ＝0的两根，且由m >0，n >0得x 1>0，x 2>0，不妨设x 1<x 2，x 1，x 2，−3这三个数适当排列后可以成等差数列，则x 1必是中间项，所以2x 1＝x 2−3，又x 1，x 2，−3这三个数适当排列后成等比数列，则−3必是中间项，所以x 1⋅x 2＝9，解得x 1=32，x 2＝6，从m =x 1+x 2=152，n ＝x 1x 2＝9，【答案】 (0, 3)【考点】椭圆的离心率【解析】由题意设出AB 所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，Q(0, m)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，利用根与系数的关系结合直线AQ 与直线BQ 的斜率之和为0列式求解m 值，即可求得Q 的坐标．【解答】由题意，直线AB 的斜率存在，且直线AQ 与直线BQ 的斜率之和为0．设直线AB 的方程为y ＝kx +1，Q(0, m)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则直线AQ 与直线BQ 的斜率之和： k AQ +k BQ =y 1−m x 1+y 2−m x 2=kx 1+1−mx 1+kx 2+1−mx 2=2k +(1−m)⋅x 1+x 2x 1x 2，将直线AB 的方程与椭圆E 的方程联立可得(2k 2+1)x 2+4kx −4＝0，则x 1+x 2=−4k2k 2+1，x 1x 2=−42k 2+1．∴ k AQ +k BQ ＝2k +(1−m)⋅k ＝k(3−m)，解得m ＝3．即Q 的坐标为(0, 3)．【答案】 2;(−√22,1] 【考点】平面向量数量积的含义与物理背景【解析】直接利用平面向量线性运算即可得到且CE →=xCA →+yCB →=x2⋅CD →+yCB →，结合B ，D ，E 三点共线，即得到x 2+y =1，进而求出x +2y ＝2；先把CA →在CE →上的投影用x ，y 表示出来，结合x +2y ＝2代入消元，则只剩下一个变量y ，再利用函数思想求出m 的范围即可．【解答】解：由CA →=DA →知，D 在边 CA 的延长线上，且 A 为 CD 的中点，因为点 E 是 BD 所在直线上一点，且CE →=xCA →+yCB →=x2⋅CD →+yCB →， ∴ x2+y =1，即x +2y ＝2， ∵ CA →⋅CE →=xCA →2+yCA →⋅CB →，由题意|CA →|=1，CA →⋅CB →=1，∴ CA →⋅CE →=x +y ，因为|CE →|2=|xCA →+yCB →|2，所以|CE →|=√x 2+2xy +2y 2， ∴CA →⋅CE →|CE →|=22，令m =√x 22，由于x +2y ＝2，∴ m =√22⋅√(y−1)2+1，令 t ＝1﹣y ，则y ＝1﹣t 且m =√22⋅√(t−1)2+1，当t ＝0时，m ＝0，当t ＞0时，y =√22⋅√2(1t −12)+12，由于√2(1t −12)2+12≥√22，当且仅当 t ＝2时等式成立，可得0＜m ≤1．当t ＜0时，m =−√22⋅√2(1t −12)+12，则√2(1t −12)2+12>1， ∴ 可得 m >−√22. 综上可得，m ∈(−√22,1]．故答案为：2；(−√22,1]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】（1）因为(tan A −sin C)⋅(tan B −sin C)＝tan A tan B −sin C tan A −sin C tan B +sin 2C ＝sin 2C ，所以可得：sin C ⋅(tan A +tan B)=tan A ⋅tan B ，即sin C ⋅(sin A cos B +cos A sin B)＝sin A sin B ，可得：sin C sin (A +B)＝sin A sin B ，因为A +B ＝π−C ，所以sin 2C ＝sin A sin B ．因为C =π4，所以sin A sin B =12．(II)设三角形ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则由(I)与正弦定理可得：c 2＝ab ，因为cos C =a 2+b 2−c 22ab =a 2+b 2−ab2ab≥2ab−ab 2ab=12，即cos C 的最小值为12．【考点】正弦定理余弦定理【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin 2C ＝sin A sin B ，结合C =π4，可求sin A sin B =12． (II)设三角形ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，由(I)与正弦定理可得：c 2＝ab ，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解cos C 的最小值．【解答】（1）因为(tan A −sin C)⋅(tan B −sin C)＝tan A tan B −sin C tan A −sin C tan B +sin 2C ＝sin 2C ，所以可得：sin C ⋅(tan A +tan B)=tan A ⋅tan B ，即sin C ⋅(sin A cos B +cos A sin B)＝sin A sin B ，可得：sin C sin (A +B)＝sin A sin B ，因为A +B ＝π−C ，所以sin 2C ＝sin A sin B ．因为C =π4，所以sin A sin B =12．(II)设三角形ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则由(I)与正弦定理可得：c 2＝ab ，因为cos C =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−ab2ab≥2ab−ab 2ab=12，即cos C 的最小值为12．【答案】（I ）证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60，G 为BC 的中点， ∴ DG ⊥AD ，又AE ⊥DG ，∴ DG ⊥面ADE ． ∵ DG ⊂面ABCD ，∴ 面ADE ⊥面ABCD ，又FC ⊥平面ABCD ，∴ FC // 面ADE ． ∵ BC // AD ，∴ BC // 面ADE ，且BC ∩FC ＝C ，∴ 平面ADE // 平面BCF ．(II)由题意得：FE =FB =FD =2√2，BE ＝BD ＝2，DE =√2，由对称性可知：过B 向面EFD 作垂线，垂足为H ，H 在△EFD 的中线上，由题意得BH =√5，△BEF 的边EF 上的高为ℎ=√7√2，设二面角B −EF −D 的平面角为θ，则sin θ=BHℎ，∴ sin θ=√5√7√2=√2√35， ∴ cos θ=√3√35=√10535，故二面角B −EF −D的余弦值为√10535．【考点】平面与平面平行的性质二面角的平面角及求法平面与平面平行的判定【解析】（I ）推导出DG ⊥AD ，AE ⊥DG ，从而DG ⊥面ADE ，进而面ADE ⊥面ABCD ，推导出FC // 面ADE ．BC // 面ADE ，由此能证明平面ADE // 平面BCF ．(II)由对称性可知：过B 向面EFD 作垂线，垂足为H ，H 在△EFD 的中线上，求出BH =√5，△BEF 的边EF 上的高为√7√2，由此能求出二面角B −EF −D 的余弦值．【解答】（I ）证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60，G 为BC 的中点， ∴ DG ⊥AD ，又AE ⊥DG ，∴ DG ⊥面ADE ． ∵ DG ⊂面ABCD ，∴ 面ADE ⊥面ABCD ，又FC ⊥平面ABCD ，∴ FC // 面ADE ． ∵ BC // AD ，∴ BC // 面ADE ，且BC ∩FC ＝C ，∴ 平面ADE // 平面BCF ．(II)由题意得：FE =FB =FD =2√2，BE ＝BD ＝2，DE =√2，由对称性可知：过B 向面EFD 作垂线，垂足为H ，H 在△EFD 的中线上，由题意得BH =5，△BEF 的边EF 上的高为ℎ=√72，设二面角B −EF −D 的平面角为θ，则sin θ=BH ℎ，∴ sin θ=4√5√7√2=√2√35， ∴ cos θ=√3√35=√10535，故二面角B −EF −D 的余弦值为√10535．【答案】（I ）在8S n =16a n 2+n −1中，令n ＝1，有8a 1=16a 12，因为数列{a n }各项均为正数，所以a 1=12．当n ≥2时，由8S n =16a n 2+n −1，可知8S n−1=16a n−12+n −1−1，两式相减可得，8a n =16a n 2−16a n−12+1，即(4a n −1)2=(4a n−1)2，所以a n +a n−1=14或a n −a n−1=14(n ≥2)．①当a n +a n−1=14时，由于a 1=12，所以a 2=−14<0，不合题意，舍去；②当a n −a n−1=14时，可知{a n }为等差数列，所以a n =12+14(n −1)，即a n =n+14(n ≥2)，令n ＝1，则a 1=1+14=12，符合题意，故数列{a n }的通项公式为a n =n+14(n ∈N ∗)．由于b n =√2b n−1(n ≥2)，所以{b n }是首项为√22，公比为√2的等比数列，所以b n =√22⋅(√2)n−1=2n−22，故数列{b n }的通项公式为b n =2n−22(n ∈N ∗)．（2）因为c n =[(−1)n−1+1]a n +[(−1)n +1]b n ，所以c 2n−1＝2a 2n−1=2×2n−1+14=n ，c 2n ＝2b 2n ＝2×22n−22=2n ，所以c 2n−1c 2n=n 2n ，故A n =121+222+323+424+⋯+n2n ，12A n =122+223+324+⋯+n−12n +n 2n+1，两式相减得，12A n =121+122+123+124+⋯+12n −n2n+1=12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−n+22n+1，所以A n =2−n+22n．同理，有c 2n+1＝2a 2n+1＝n +1，所以2c 2n−1c 2n+1=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，故B n =2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)]=2−2n+1，要比较A n 与B n 的大小，只需比较n+22n 与2n+1的大小，两者作差，有2n+1−n+22n=2n+1−(n+2)(n+1)2n ⋅(n+1)，当1≤n ≤3时，2n+1<n+22，即A n 0，此时，2n+1>n+22，即A n >B n ．综上所述：当1≤n ≤3时，A n B n ．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（I ）易求得a 1=12．当n ≥2时，由8S n =16a n 2+n −1，可知8S n−1=16a n−12+n −1−1，两式相减整理后有a n +a n−1=14或a n −a n−1=14(n ≥2)，然后分两类讨论，前者推出a 2=−14<0，不合题意；后者推出{a n }是首项为12，公差为14的等差数列，再使用等差数列的通项公式即可得解；易知{b n }是首项为√22，公比为√2的等比数列，直接使用等比数列的通项公式即可得解；(Ⅱ)由题可知，c 2n−1＝2a 2n−1＝n ，c 2n ＝2b 2n ＝2n ，c 2n+1＝2a 2n+1＝n +1，于是有c 2n−1c 2n=n 2n和2c 2n−1c 2n+1=2(1n −1n−1)，然后分别用错位相减法和裂项相消法计算A n 与B n ．在用作差法比较两者的大小时，分1≤n ≤3和n ≥4两类讨论，其中当n ≥4时，还涉及组合数与放缩法，有一定难度．【解答】（I ）在8S n =16a n 2+n −1中，令n ＝1，有8a 1=16a 12，因为数列{a n }各项均为正数，所以a 1=12．当n ≥2时，由8S n =16a n 2+n −1，可知8S n−1=16a n−12+n −1−1，两式相减可得，8a n =16a n 2−16a n−12+1，即(4a n −1)2=(4a n−1)2，所以a n +a n−1=14或a n −a n−1=14(n ≥2)．①当a n +a n−1=14时，由于a 1=12，所以a 2=−14<0，不合题意，舍去； ②当a n −a n−1=14时，可知{a n }为等差数列，所以a n =12+14(n −1)，即a n =n+14(n ≥2)，令n ＝1，则a 1=1+14=12，符合题意，故数列{a n }的通项公式为a n =n+14(n ∈N ∗)．由于b n =√2b n−1(n ≥2)，所以{b n }是首项为√22，公比为√2的等比数列，所以b n =√22⋅(√2)n−1=2n−22，故数列{b n }的通项公式为b n =2n−22(n ∈N ∗)．（2）因为c n =[(−1)n−1+1]a n +[(−1)n +1]b n ，所以c 2n−1＝2a 2n−1=2×2n−1+14=n ，c 2n ＝2b 2n ＝2×22n−22=2n ，所以c 2n−1c 2n=n2，故A n =121+222+323+424+⋯+n2n ，12A n =122+223+324+⋯+n−12n +n 2n+1，两式相减得，12A n =121+122+123+124+⋯+12n−n 2n+1=12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−n+22n+1，所以A n =2−n+22n．同理，有c 2n+1＝2a 2n+1＝n +1，所以2c 2n−1c 2n+1=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，故B n =2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n+1)]=2−2n+1，要比较A n 与B n 的大小，只需比较n+22n与2n+1的大小，两者作差，有2n+1−n+22n=2n+1−(n+2)(n+1)2n ⋅(n+1)，当1≤n ≤3时，2n+1<n+22n，即A n 0，此时，2n+1>n+22n，即A n >B n ．综上所述：当1≤n ≤3时，A n B n ．【答案】（1）设A(x 1,12x 12)，B(x 2,12x 22)，因为抛物线C 的方程为x 2＝2y ，所以y =x 22，则y ′＝x ，则过A 、B 的切线方程分别为l:y −12x 12=x 1(x −x 1)，l 2:y −12x 22=x 2(x −x 2)，联立两条切线方程可得交点P(x 1+x 22,x 1x 22)，又由MA ⊥MB ，可知MA →⋅MB →=0，即(12x 12−2)(12x 22−2)+(x 1−2)(x 2−2)=0，所以(x 1+2)(x 2+2)+4＝0，从而x 1x 2＝−2(x 1, +x 2)−8，因为点P 的坐标为(−2, 0)，则x 1x 2＝0，不妨设x 1＝0，则x 2＝−4，所以A(0, 0)，B(−4, 8)，因此|AB|=4√5．（2）令t ＝x 1+x 2，由(I)可得x 1x 2＝−2t −8，所以P(t2,−t −4)，因此|OP|2=54t 2+8t +16，因为F(0,12)，所以|AF|+|BF|=y 1+12+y 2+12=12x 12+12x 22+1=12t 2+2t +9，所以|OP|2|AF|+|BF|=54t 2+8t+1612t 2+2t+9=5t 2+32t+642t 2+8t+36，令5t 2+32t+642t 2+8t+36=m ，则(5−2m)t 2+8t(4−m)+64−36m ＝0，由t ∈R 得△≥0，即64(4−m)2−4(5−2m)(64−36m)≥0，解得45−√12928≤m ≤45+√112928．即|OP|2|AF|+|BF|的取值范围为[45−√112928,45+√112928]．【考点】抛物线的性质直线与抛物线的位置关系【解析】(Ⅰ)设A ，B 的坐标，由抛物线的方程求导可设在A ，B 处的切线的方程，两条切线联立可得P 的坐标，再由MA ⊥MB ，可知MA →⋅MB →=0，进而可得A ，B 横坐标的关系，由交点P 的坐标可得A ，B 的坐标，进而求出弦长AB 的值；(Ⅱ)令t ＝x 1+x 2，由(Ⅰ)可得P 的坐标，可得|OP|的值，由焦点F 的坐标，可得|AF|+|BF|的表达式，进而求出|OP|2|AF|+|BF|的代数式，换元，整理由方程有根可得|OP|2|AF|+|BF|的取值范围．【解答】（1）设A(x 1,12x 12)，B(x 2,12x 22)，因为抛物线C 的方程为x 2＝2y ，所以y =x 22，则y ′＝x ，则过A 、B 的切线方程分别为l:y −12x 12=x 1(x −x 1)，l 2:y −12x 22=x 2(x −x 2)，联立两条切线方程可得交点P(x 1+x 22,x 1x 22)，又由MA ⊥MB ，可知MA →⋅MB →=0，即(12x 12−2)(12x 22−2)+(x 1−2)(x 2−2)=0，所以(x 1+2)(x 2+2)+4＝0，从而x 1x 2＝−2(x 1, +x 2)−8，因为点P 的坐标为(−2, 0)，则x 1x 2＝0，不妨设x 1＝0，则x 2＝−4，所以A(0, 0)，B(−4, 8)，因此|AB|=4√5．（2）令t ＝x 1+x 2，由(I)可得x 1x 2＝−2t −8，所以P(t2,−t −4)，因此|OP|2=54t 2+8t +16，因为F(0,12)，所以|AF|+|BF|=y 1+12+y 2+12=12x 12+12x 22+1=12t 2+2t +9，所以|OP|2|AF|+|BF|=54t 2+8t+1612t 2+2t+9=5t 2+32t+642t 2+8t+36，令5t 2+32t+642t 2+8t+36=m ，则(5−2m)t 2+8t(4−m)+64−36m ＝0，由t ∈R 得△≥0，即64(4−m)2−4(5−2m)(64−36m)≥0，解得45−√12928≤m ≤45+√112928．即|OP|2|AF|+|BF|的取值范围为[45−√112928,45+√112928]．【答案】（1）令f(x)＝g(x)得xe x =−2(x −1)2+k ⇔k =xe x +2(x −1)2，x ∈[0, +∞) 记ℎ(x)=xe x +2(x −1)2，x ∈[0, +∞)，ℎ′(x)＝e −x (1−x)+4(x −1)＝(x −1)(4−e −x )，ℎ(x)在(0, 1)上单调减，在(1, +∞)上单调增，而ℎ(0)＝2，ℎ(1)=1e ，当x →+∞时，ℎ(x)→+∞，由此k ≥1e ．（2）证明：当k =1e 时，构造函数q(x)=g(12x +12)=−12(x −1)2+1e ，令G(x)=f(x)−q(x)=xe x +12(x −1)2−1e ， G ′(x)＝(1−x)(e −x −1)，G(x)在(0, 1)上单调减，在(1, +∞)上单调增，G(x)≥G(1)=1e −1e =0，即f(x)≥q(x)，当x ＝1 时取“＝”号．记q(x)＝a 的两根为x 5，x 6，(x 5≠x 6)，则|x 1−x 2|>|x 5−x 6|，而{12x 5+12=x 312x 6+12=x 4 得到12|x 5−x 6|=|x 3−x 4|，所以|x 1−x 2|>|x 5−x 6|＝2|x 3−x 4|．【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】(Ⅰ)f(x)＝g(x)推出k =xe +2(x −1)2，x ∈[0, +∞)记ℎ(x)=xe +2(x −1)2，求出函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最小值，即可得到k 的范围．(Ⅱ)当k =1e时，构造函数q(x)=g(12x +12)，令G(x)=f(x)−q(x)=x e x+12(x −1)2−1e，利用函数的导数判断函数的单调性，结合函数的零点，推出所证明的不等式即可．【解答】（1）令f(x)＝g(x)得xe x =−2(x −1)2+k ⇔k =xe x +2(x −1)2，x ∈[0, +∞)记ℎ(x)=x e x+2(x −1)2，x ∈[0, +∞)，ℎ′(x)＝e −x (1−x)+4(x −1)＝(x −1)(4−e −x )，ℎ(x)在(0, 1)上单调减，在(1, +∞)上单调增，而ℎ(0)＝2，ℎ(1)=1e，当x →+∞时，ℎ(x)→+∞，由此k ≥1e．（2）证明：当k =1e 时，构造函数q(x)=g(12x +12)=−12(x −1)2+1e ，令G(x)=f(x)−q(x)=xe +12(x −1)2−1e ， G ′(x)＝(1−x)(e −x −1)，G(x)在(0, 1)上单调减，在(1, +∞)上单调增，G(x)≥G(1)=1e−1e=0，即f(x)≥q(x)，当x ＝1 时取“＝”号．记q(x)＝a 的两根为x 5，x 6，(x 5≠x 6)，则|x 1−x 2|>|x 5−x 6|，而{12x 5+12=x 312x 6+12=x 4得到12|x 5−x 6|=|x 3−x 4|，所以|x 1−x 2|>|x 5−x 6|＝2|x 3−x 4|．。