参数方程知识点整理
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【类型5:参数方程的综合应用】
【例1】已知直线I的参数方程是
4t
5t
23t
5
R，求过点4, 1且与I平行的直线m在y轴上的截
距;
【例2】已知直线|的参数方程为
a 2t
t为参数，圆C的参数方程为
4t
4COS
4si n
(1)求直线I和圆C的普通方程;
(2)若直线|与圆C有公共点，求实数a的取值范围；
2
［例3】曲线C的方程为xpp o,t为参数，当t1,2时，曲线C的端点为A，B,设F是y2pt
迹；
2 2
变式2:已知圆C的方程为x2y21,过点R1,0作圆C的任意弦，交圆C于另一点P2,求RP2
的中点M的轨迹方程；
变式2:如图，在△ABC中，/ABC=90,|AB|=|BC|=4，顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴（包括坐
标原点）上移动，求顶点C的轨迹的参数方程（A、B、C按逆时针方向排列）
使点P到直线x
10的距离最大;
【例2】
已知P x, y是椭圆
25Baidu Nhomakorabea
2
y
16
4
1上的一个动点，求x
5
3y的最大值;
4
变式1:
2
x
已知椭圆一
9
直线
2y18
0，试在椭圆上求一点P，使点P到这条直线的距离
最短;
变式2:
已知A、B为椭圆
2x ""2a
2yb2
上的两点，且OA OB，求△AOB的面积的最大值和
最小值;
C、一条射线
D
变式1:参数方程
x
t
1
1t为参数
表示的曲线是（）
y
1
2t
B、一条直线
B
、一个半圆
C、一条射线
D
、两条射线
、一个圆
变式2:参数方程
C、直线
tan cot
为参数表示的曲线是
、线段
、两条射线
、圆
【类型4:参数方程求最值问题】
［例1】已知点A x, y在圆C:x2
4上运动，求X
y的最大值;
变式：在圆x2y22x 0上求一点
普通方程
参数方程
直线
圆
x r cos
（0 2）
y r sin
xar cos小小
（02）
ybr sin
椭圆
x acos
（为参数、0,2）
y bsi n
双曲线
抛物线
【题型1:参数方程的定义】
1 t
t为参数与x轴焦点的坐标是(
4t
A、1,4
B
、尝0
16
C、1, 3D
25
、16
’，2,4
变式：在曲线
x
1t t
【类型3:参数方程与普通方程的互化】
【例1】分别根据下列条件，将曲线的参数方程
x
y
1 2t
2 t
化为普通方程：
(1)t
R； (2)1
t1；
x t
3
变式1:
参数方程
3t2化为普遍方程是
y4
3t
变式2:
分别根据下列条件,
将曲线的参数方程
x
cos
sin
化为普通方程:
y
cos
sin
(2)
R； (2) 一
3
4
1 tt为参数
上的点是（
)
y
t33t 2
A、0,2
B
、1,6
C、
1,2D
、3,4
【题型2:求曲线的参数方程和轨迹方程】
【例1】根据下列要求，分别写岀圆心在原点、半径为r的圆的部分圆弧的普通方程和参数方程：
（1）在x轴上方的半圆（不包括x轴上的点）；（2）在第三象限内的圆弧；
变式1: 一木棒AB的两端A、B各在相互垂直的两固定杆上滑动，且AB 8cm,求AB的中点P的轨
bt 1和直线l2:
x
y
bt 1
的位置关系是
at 1
y
x
cos 1
6、圆
的圆心的坐标是
半径是
y
sin
x a t
7、直线I的参数方程t为参数,l上的点P对应的参数是t1，则点P与P a,b之间的距离为
y b t
【例4】参数方程
x
t
—,、r、、【么f.
t t为参数表示的曲线是（
y
2
A、一条直线
B
、两条直线
曲线C的焦点，且S—FB14，求p的值；
［例4】已知过点P1, 2，倾斜角为一的直线I和抛物线x2y m，
6
(1)当m取何值时，直线I和抛物线交于两点？
(2)当m取何值时，直线I被抛物线截下的线段长为4 3 2?
3
［例5】已知点P x, y是圆x2y22y上的动点；
(1)求2x y的取值范围；
(2)若x y a0恒成立，求实数a的取值范围；
［例6】圆M的方程为x2y24Rxcos4Ry sin3R20 R 0，
(1)求该圆圆心M的坐标及圆M的半径；
(2)当R固定、变化时，求圆心M的轨迹方程，并求与圆M内切和外切的圆的方程;
4
【例2】将下列曲线的参数方程化为普通方程:
x
cos2
x
tcos
(1)
・2 sin
R；
(2)
R
y
y
3si n
变式1:作下列参数方程所表示的图形:
变式练习:
x 3 cos
3、椭圆为参数的两个焦点的坐标为
y 5si n
x 1 4cos
4、椭圆的长轴上两个顶点的坐标是
y
x
5、若t是参数，则直线l1:
at 1
【例1】已知直线I的参数方程是
4t
5t
23t
5
R，求过点4, 1且与I平行的直线m在y轴上的截
距;
【例2】已知直线|的参数方程为
a 2t
t为参数，圆C的参数方程为
4t
4COS
4si n
(1)求直线I和圆C的普通方程;
(2)若直线|与圆C有公共点，求实数a的取值范围；
2
［例3】曲线C的方程为xpp o,t为参数，当t1,2时，曲线C的端点为A，B,设F是y2pt
迹；
2 2
变式2:已知圆C的方程为x2y21,过点R1,0作圆C的任意弦，交圆C于另一点P2,求RP2
的中点M的轨迹方程；
变式2:如图，在△ABC中，/ABC=90,|AB|=|BC|=4，顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴（包括坐
标原点）上移动，求顶点C的轨迹的参数方程（A、B、C按逆时针方向排列）
使点P到直线x
10的距离最大;
【例2】
已知P x, y是椭圆
25Baidu Nhomakorabea
2
y
16
4
1上的一个动点，求x
5
3y的最大值;
4
变式1:
2
x
已知椭圆一
9
直线
2y18
0，试在椭圆上求一点P，使点P到这条直线的距离
最短;
变式2:
已知A、B为椭圆
2x ""2a
2yb2
上的两点，且OA OB，求△AOB的面积的最大值和
最小值;
C、一条射线
D
变式1:参数方程
x
t
1
1t为参数
表示的曲线是（）
y
1
2t
B、一条直线
B
、一个半圆
C、一条射线
D
、两条射线
、一个圆
变式2:参数方程
C、直线
tan cot
为参数表示的曲线是
、线段
、两条射线
、圆
【类型4:参数方程求最值问题】
［例1】已知点A x, y在圆C:x2
4上运动，求X
y的最大值;
变式：在圆x2y22x 0上求一点
普通方程
参数方程
直线
圆
x r cos
（0 2）
y r sin
xar cos小小
（02）
ybr sin
椭圆
x acos
（为参数、0,2）
y bsi n
双曲线
抛物线
【题型1:参数方程的定义】
1 t
t为参数与x轴焦点的坐标是(
4t
A、1,4
B
、尝0
16
C、1, 3D
25
、16
’，2,4
变式：在曲线
x
1t t
【类型3:参数方程与普通方程的互化】
【例1】分别根据下列条件，将曲线的参数方程
x
y
1 2t
2 t
化为普通方程：
(1)t
R； (2)1
t1；
x t
3
变式1:
参数方程
3t2化为普遍方程是
y4
3t
变式2:
分别根据下列条件,
将曲线的参数方程
x
cos
sin
化为普通方程:
y
cos
sin
(2)
R； (2) 一
3
4
1 tt为参数
上的点是（
)
y
t33t 2
A、0,2
B
、1,6
C、
1,2D
、3,4
【题型2:求曲线的参数方程和轨迹方程】
【例1】根据下列要求，分别写岀圆心在原点、半径为r的圆的部分圆弧的普通方程和参数方程：
（1）在x轴上方的半圆（不包括x轴上的点）；（2）在第三象限内的圆弧；
变式1: 一木棒AB的两端A、B各在相互垂直的两固定杆上滑动，且AB 8cm,求AB的中点P的轨
bt 1和直线l2:
x
y
bt 1
的位置关系是
at 1
y
x
cos 1
6、圆
的圆心的坐标是
半径是
y
sin
x a t
7、直线I的参数方程t为参数,l上的点P对应的参数是t1，则点P与P a,b之间的距离为
y b t
【例4】参数方程
x
t
—,、r、、【么f.
t t为参数表示的曲线是（
y
2
A、一条直线
B
、两条直线
曲线C的焦点，且S—FB14，求p的值；
［例4】已知过点P1, 2，倾斜角为一的直线I和抛物线x2y m，
6
(1)当m取何值时，直线I和抛物线交于两点？
(2)当m取何值时，直线I被抛物线截下的线段长为4 3 2?
3
［例5】已知点P x, y是圆x2y22y上的动点；
(1)求2x y的取值范围；
(2)若x y a0恒成立，求实数a的取值范围；
［例6】圆M的方程为x2y24Rxcos4Ry sin3R20 R 0，
(1)求该圆圆心M的坐标及圆M的半径；
(2)当R固定、变化时，求圆心M的轨迹方程，并求与圆M内切和外切的圆的方程;
4
【例2】将下列曲线的参数方程化为普通方程:
x
cos2
x
tcos
(1)
・2 sin
R；
(2)
R
y
y
3si n
变式1:作下列参数方程所表示的图形:
变式练习:
x 3 cos
3、椭圆为参数的两个焦点的坐标为
y 5si n
x 1 4cos
4、椭圆的长轴上两个顶点的坐标是
y
x
5、若t是参数，则直线l1:
at 1