第五章引力场方程

Rµναβ;ρ + Rµνβρ;α + Rµνρα;β = 0.
(5.21)
上式中将指标 ν 和 ρ 进行缩并，有
Rµναβ;ν + Rµβ;α − Rµα;β = 0.
再将指标 µ 和 α 进行缩并，得到
Rνβ;ν + Rνβ;ν − δβν R;ν = 0.
将指标 β 上升，改记成 µ，并利用Ricci张量的对称性，就得到缩并后的Bianchi恒等式
绝对不止这3条，例如可以测量空间的圆周率，测量2条测地线之间距离随测地线长度的变化等等.
用上面给出的第3条方法容易导出曲率张量的定义公式. 经过比较繁复但并无困难的推导(见习
题5.1)，对1阶张量 Tµ 进行2次协变导数，有
Tµ;αβ − Tµ;βα = Rρµαβ Tρ,
(5.2)
其中
Rρµαβ = −Γρµα,β + Γρµβ,α − ΓνµαΓρνβ + Γνµβ Γρνα.
Rµν
−
1 2
gµν
R
≡ 0.
;ν
(5.22)
很自然地定义
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Gµν
=
Rµν
−
1 2
gµν
R.
Gµν 称为爱因斯坦张量或爱因斯坦曲率张量. 显然它就是所寻求的引力场方程(5.18)的左端张量.
(5.23)
∗关于爱因斯坦发现引力场方程的艰苦过程，可参阅亚伯拉罕· 派斯著《爱因斯坦传》第14章，该书由方在庆，李勇等译，商务 印书馆2004年出版.
斯基度规，在其中所有的克氏符号及其偏导数全为零，曲率张量就是1个零张量，而且在任意的坐标系中
所有的坐标分量都是零. 曲率张量可以用来判断时空是否平直.
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第五章 引力场方程
(5.3)式表明，曲率张量是度规及其1，2阶偏导数的函数，而且是度规2阶偏导数的线性函数. 在1个 时空点，如果选取局域测地线坐标系LGS，所有的克氏符号全为零，但它们的1阶偏导数并不一定为零， 在这个特殊的局域坐标系里，曲率张量的表达式简化为
§5.2 爱因斯坦引力场方程
5
5.2 爱因斯坦引力场方程
常数 κ 的确定 在引力场方程(5.18)中还有1个常数 κ 有待确定，确定的方法是要求在弱场低速的
情形爱因斯坦引力场方程应该退化到牛顿力学中的泊松方程(5.1).
爱因斯坦引力场方程为
Rµν
−
1 2
gµν
R
=
κTµν .
(5.24)
将上式每一项的1个指标提升后与另1个指标进行缩并，得到
性，容易证明
Rµµαβ ≡ 0.
(5.11)
曲率张量对后2个指标的反对称性表明和第3或第4指标的缩并只差1个符号. 定义Ricci张量为曲率张量第1和第3个指标的缩并：
Rαβ = Rραρβ .
(5.12)
有一些广义相对论的书籍和文献中将Ricci张量定义为第1和第4个指标的缩并，结果会和这里差符号. Ricci张量是1个对称张量，证明如下：
Rρµαβ = −Γρµα,β + Γρµβ,α.
(5.4)
曲率张量的性质 曲率张量是1个4阶张量，共有256个坐标分量. 然而，由于以下一些对称和反对 称的性质，这些分量并不完全是独立的. 下面先列出这些性质，然后再一一给出证明. 这些性质用协变的 曲率张量 Rµναβ 来写出. 下面用的关于指标的圆括号和方括号运算的定义请参见附录A.
第五章 引力场方程
爱因斯坦等效原理告诉我们引力表现为时空的弯曲，并且告诉我们只要知道表示时空几何的度规， 就能计算物体如何在弯曲的时空中运动. 引力是由物质及其分布决定的，度规也应当由物质及其分布决 定. 等效原理并不能给出如何从物质及其分布来决定度规. 解决这一问题的是爱因斯坦的引力场方程，它 是牛顿力学中的泊松方程在广义相对论中的对应体. 等效原理和引力场方程是广义相对论理论的两个核 心部分.
5.1 曲率张量和爱因斯坦张量
为什么要引入曲率张量 在牛顿力学中，从物质及其分布决定引力的方程是泊松方程
∇2U = 4πGρ.
(5.1)
方程的右边是质量密度 ρ. 它在广义相对论中的对应体是能量动量张量 T µν. 方程的左边是牛顿引力势 U 的2阶偏导数的组合. 在§3.2中说到克氏符号的物理意义相当于引力或惯性力，克氏符号是度规张量的1阶 偏导数的线性组合，可以猜测度规 gµν 相当于牛顿力学中的引力势. 广义相对论的引力场方程应当是从 物质 T µν 决定度规 gµν 的偏微分方程. 建立引力场方程需要1个由度规的偏导数组成的张量. 等效原理意 味着引力可以局部地去除，所以克氏符号不可能是张量，这就需要1个由度规的2阶偏导数组成的张量.
能的值，共有 Cn2 个独立的分量. 然后探讨4个指标中有3个不同数 µ,α 和 β，这种情况有3种独立的分量 Rµαµβ，Rαµαβ 和 Rβµβα，总共有 3c3n 个独立的分量. 最后研究4个指标都不相同的情况，发现只有2种情
况 Rµναβ 和 Rµαβν . Ricci恒等式表明另1种情况 Rµβνα 不是独立的. 这一状态共有 3c4n 个独立的分量. 于
R = −κT.
(5.25)
这里 T = Tνν 是能量动量张量的迹. 于是场方程可写成
Rµν = κ
Tµν
−
1 2
gµν
T
.
(5.26)
对于弱场的情况时空近于平直，从尘埃的能量动量张量(2.22)式看，在低速的情形，T 0i 和 T ij 分量
都远小于 T 00 = ρc2 而不必考虑. 从另一角度看，在牛顿力学里，压力和速度都不会对引力有贡献. 所以
曲率张量独立的坐标分量的个数 在研究了曲率张量的前4条性质后，就可以来计算它的独立的
坐标分量的个数. 为了使讨论更具有一般性，假定每个指标从1走到 n，共有 n 种可能的取值. 首先考
虑 Rµναβ 的4个指标都相同的情况，由于反对称性质(5.5)和(5.6)，这样的坐标分量全是零. 再考虑4个指
标中只有2个不同的数 µ 和 α，前3条性质说明只有1种不为零的坐标分量 Rµαµα. 让 µ 和 α 取遍所有可
是独立的坐标分量个数共有
c2n
+
3c3n
+
2c4n
=
1 12
n2(n2
− 1).
对于广义相对论的4维时空，n = 4，在曲率张量256个坐标分量中只有20个是独立的. 对于2维空
间，只有1个独立的分量，情况退化到高斯研究的2维曲面几何.
Ricci张量和曲率标量 我们所寻求的引力方程的右端是表示物质及其分布的能量动量张量 T µν，
§5.1 曲率张量和爱因斯坦张量
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(5.3)中后面2项都是2个克氏符号的乘积，这些项求过偏导数后在LGS 中仍为零，所以仍能用(5.4)式. 于
是在LGS中有
Rµν[αβ;ρ] = −Γµν[α,βρ] + Γµν[β,αρ] ≡ 0.
这里再次应用了当1项中2个指标既是对称指标又是反对称指标时该项恒等于零.
从另一个角度讲，迄今为止我们还不知道如何来判断时空的弯曲. 度规张量当然代表时空的几何， 由于坐标系选用的任意性，很难从度规的各坐标分量判断时空是否平直. 度规的1阶偏导数组成的克氏符 号不是张量，也不能用作判断的根据，那么只有用度规的2阶偏导数组成的张量来判断. 这正是本节要建 立的曲率张量.
曲率张量的定义 到目前为止，判断时空是否平直可以用以下一些办法：(1)看向量平行移动的结
Rαβ = Rραρβ (5=.8) −Rρρβα − Rρβαρ (5.11=)(5.6) Rρβρα = Rβα.
(5.13)
证明过程中除了用定义外，用了Ricci恒等式等曲率张量的性质. Ricci张量可以进一步缩并，产生曲率标量 R，
R = Rρρ.
(5.14)
出于Ricci张量的对称性，这里不必区分哪个指标在前，哪个在后. 爱因斯坦张量 在得到Ricci张量之后，很自然地会认为引力场方程应当写成 Rµν = κT µν，其中 κ
(5.3)
在书写曲率张量的指标时，需要注意 ρ 是第一指标，而且是逆变指标，其它3个指标 µαβ 是协变指标，
在这3个指标之前要留有空格，以明确各个指标的次序. (5.2)式的两边，除 Rρµαβ 外，都肯定是张量，所以 Rρµαβ 也是1个张量，称为黎曼曲率张量，常简
称为曲率张量. 对于全局的或1个区域内平直的时空，可以选择坐标系使度规在该区域内处处成为闵可夫
F;µννµ ≡ 0.
(5.17)
注意(5.17)是恒等于零，这样才能导出电荷守恒定律(5.16). 电磁场张量 F µν是否满足(5.17)，是检验麦克 斯韦方程(5.15)是否正确的试金石之一. 习题5.2告诉我们(5.17) 确实成立.
对于引力场方程，情况完全类似. 如果把引力场方程写成
Gµν = κT µν .
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第五章 引力场方程
是常数. 这正是爱因斯坦曾经认为是正确的引力场方程.∗ 然而下面这番讨论可以立即发现这不是正确的 引力场方程.
先来看电动力学的麦克斯韦方程(4.49)和电荷守恒定律(4.37)，重写如下
F;µνν
=
4π c
j
µ,
j;µµ = 0.
(5.15) (5.16)
从物理上看电荷守恒定律一定成立，于是麦克斯韦方程表明电磁场张量 F µν 必须满足
果是否与路径有关. 关于这一点在§4.2中已有比较详尽的讨论. (2)由3条测地线组成的三角形的内角和是
否等于 π. 一个明显的例子是球面上由3条大圆弧组成的球面三角形的内角和大于 π. (3)协变导数是否与
次序有关，亦即
T
µ ;αβ
与
T
µ ;βα
是否相等.
如所周知，普通偏导数与次序无关.
当然，判断时空弯曲的方法
(5.10)
式中 ηµρ 和以前一样表示闵可夫斯基度规. 上式对指标 α 和 β 是反对称的，所以对这2个指标加上圆括号 来取其对称部分的结果恒等于零.
再来证明性质(5.7). 同样选取局域测地线坐标系LGS，用(3.11)式将(5.10)中的克氏符号写成度规的 函数. 注意在LGS中度规可写成闵可夫斯基度规，度规的1阶偏导数全为零，所以只需保留度规的2阶偏 导数. 这样，在LGS中有
Rµναβ
=
1 2
(gµβ,να
+ gνα,µβ
−
gµα,νβ
− gνβ,µα).
将指标对 µν 和 αβ 互换位置，上式保持不变，性质(5.7) 得证. 在LGS中Ricci恒等式的证明十分简单. 对(5.10)式加上方括号，有
Rµ[ναβ] = ηµρ −Γρ[να,β] + Γρ[νβ,α] .
它是1个2阶的对称张量，方程的左端应当是1个表示时空弯曲的2阶对称张量，由度规的2阶偏导数组成.
曲率张量表示时空的弯曲，由度规及其1，2阶偏导数组成，然而它是1个4阶张量. 很自然会想到用曲率
张量来构造1个对称的2阶张量. 将曲率张量 Rµναβ 的上下指标缩并1次就可以得到1个2阶张量. 从曲率张量对前2个指标的反对称
R(µν)αβ ≡ 0, Rµν(αβ) ≡ 0, Rµναβ ≡ Rαβµν , Rµ[ναβ] ≡ 0, Rµν[αβ;ρ] ≡ 0.
(5.5) (5.6) (5.7) (5.8) (5.9)
性质(5.5)表明曲率张量对前2个指标是反对称的，而(5.6)表明它对后2个指标也是反对称的. 如果把 前2个指标看成1对，后2个指标也看成1对，性质(5.7)表明曲率张量对这2对指标是对称的. 性质(5.8)称 为Ricci恒等式而性质(5.9)是著名的Bianchi恒等式.
显然，性质(5.5)，(5.6)和(5.7)是相互关联的. 例如，只要证明了后2式，第1式就不证自明了. 先来证明性质(5.6). 注意 Rµν(αβ) 是1个张量，为证明它是1个零张量，只需在1个特殊坐标系里证明 就可以了，今后将经常采用这种方法. 在LGS里，根据(5.4)式，有
Rµναβ = ηµρ −Γρνα,β + Γρνβ,α .
(5.18)
因为能量动量的局域守恒定律
T;µνν = 0.
一定成立，左边的张量 Gµν 的协变散度必须恒等于零，亦即
(5.19)
Gµ;νν ≡ 0.
(5.20)
现在来检查Ricci张量是否满足这一条件. 可以直接计算Ricci张量的协变散度 R;µνν. 一种简便的方法 是对Bianchi恒等式进行缩并. Bianchi恒等式(5.9)可以写成
附录A中指出方括号内任何1对指标都是反对称指标，而克氏符号的2个下指标是对称指标，唯一的可能 是上式恒等于零. 在§4.4中我们用过同样的逻辑.
Bianchi恒等式需要对曲率张量求协变导数，在LGS中变成求普通偏导数，问题在于这时曲率张量 Rµναβ 是否还能用(5.4)式表示. 注意虽然在LGS中克氏符号的导数不一定为零，克氏符号本身全为零.