立体几何之与球有关的高考试题

立体几何分类复习

一、球的相关知识

考试核心：方法主要是“补体”和“找球心”

1. 长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.

2. 正方体的内切球其棱长为球的直径.

3•正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.

4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 : 1.

5•性质的应用d? =°°； = R，构造直角三角形建立三者之间的关系。

1.（2015高考新课标2,理9）已知A,B是球°的球面上两点，/ AOB=90,C为该球面上的动点，

若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球°的表面积为（）

A. 36 n

B.64 n

C.144 n

D.256 n

2.（2015* iX宁為善）已知宜三核柱』滋的6个顶点都在球0的球面上”若AS=3t AC =4, ABX AC t 44 = 12±则球0的半径为（）

S、

3. （2016 •扶麻模拟〕若一金正四iS俸的展面叙为久其内如球妁表丙积为则g= ____________

4.四棱锥P 矽何的五个顶点帶在一个球面上’该四棱锥的三视瞬如图所示，E t F分别是按朋，他的中点，直线矿祓球面所厳得的戢段长为2边，财该球的表面抿为（

参考答案

【解听】T图所示，当点C位千垂亶于面貝OE的亶径嵋（点眄三O -.ABC的体私嚴大*设球O的半径为卫.

此时「二近口 = 说“夙=丄便=

玮・故湮=6・则球0加衰而积为

3 2 6

S=4 J R: =144^.故选G

【考点定位】外攥球展面叔和権律詢体報.

2.

輕析：选C 如国，由球芒作平面朋C菇垂线.则垂足为血的中点闍又用戶］Ott^AAx

答案:半

4.

解析：薩D该几何体妁直观囲如图所示「

该几何体可看作由正方体截得「则正方体外接球的直径餌为PG由直銭EF社蛭面所截得的坝

掘长为曲*可知正方弼曲仞对角銭M的长为2品可得a=2t 3PAG中吩匚在灵厅=曲.球的半栓片晶X

3.

解析：设正四面体棱搅为色则正四面体表面积为& =斗孑=£鎖其内切球半径为正

四面空屿

即V逹e執国此内切球表面和为知亠『则睿=豊

6^

=6T浙以球"的半径R=OA=

类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。(两题互换条件形成不同的题)

1•如图球0的半径为2,圆o,是一小圆，0Q — 2，A、B是圆O上两点，若A, B两点间的球

2TT

面距离为—，则.A0,B=.

3 ---------

2 •如图球0的半径为2,圆0i是一小圆，00 ->J2 , A B是圆0,上两点，若.A0i B=—，则

2 A,B两点间的球面距离为__________ (2009年文科)

类型二：球内接多面体，禾U用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通

c

过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径2r，从而解决问题。

si nC

3.直三棱柱ABC -ARG的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA i = 2 , . BAC =120 ,

则此球的表面积等于___________ 。

4•正三棱柱ABC -ABQ内接于半径为2的球，若代B两点的球面距离为二，则正三棱柱的体积

为____ •

5.12 .已知球的直径SC=4, A, B是该球球面上的两点，AB=、3，乙ASC ZBS^30 ,则棱锥S

—ABC的体积为_______

A. 3.3 B . 2.3 C.、3 D . 1

6.(11)已知S,代B,C 是球0表面上的点，SA_ 平面ABC , AB _ BC , SA二AB = 1 , BC =$2 ,

则球0表面积等于

(A) 4 二(B) 3 二(C) 2 二(D) ■■:

类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设0A是球0的半径，M是0A的中点，过M且与0A成45°角的平面截球0的表面得到圆

7兀

C。若圆C的面积等于，则球0的表面积等于.(2009年文科)

4

8. _________________________________________ 已知平面a截一球面得圆M，过圆心M且与a成二面角的平面B截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4二，则圆N的面积为

(A)7 二(B)9 二(C)11 二(D)13 二

9. ( 5)如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬600纬线长和赤道长的比值为

（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25

类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。

10. 圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同

的球(球的半径与圆

柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是

cm. ( 2010年理科)

11.16 •长方体ABCD - AB.C.D,的顶点均在同一个球面上，AB = AA =1 ,

BC = ..2，则A , B两点间的球面距离为___________ .

12. 体积为8的一个正方体，其全面积与球O

的表面积相等，则球O的体积等

13. 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球

3

面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积

14.如图，半径为R的球O中有内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积

16

较小者的高与体积较大者的高的比值为 _________ .

之差是

类型五：平面几何性质在球中的综合应用。

15. 已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，

AB =4 .若OM =ON =3，则两圆圆心的距离MN二______________ .

类型六：性质的简单应用。

16. 已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面

积为3兀，则球O的表面积等于________________ .

17. (15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6,BC=2、.3, 则棱锥O -ABCD的体积为_。

18. ( 9)高为上Z的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为

4

1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为__________ (2011年理科)