人教A版高中数学第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (23)(含答案解析)

第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (23)

一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）

1. 已知向量a →

=(1,cos 2x −1)，b →

=(sin2x +√3+1,2√3)，f(x)=a →⋅b →

(x ∈R )．

(1)求函数f(x)的对称中心及单调减区间； (2)若x ∈[−π4,π3

]，求f(x)的值域．

2. 从①α，β都是锐角，且sinα=√5

5

，cosβ=3√1010；②α，β都是钝角，且tanα=−1

4，cosβ=−5√3434；

③α的锐角，β是钝角，且tan2α=512，tanβ=−3

2.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

已知______________________________，求α+β的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

3.设函数f(x)=cos(2x+π

3

)+2sin2x．

(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的集合；

(2)若α∈(π

4,π

2

)，且f(α)=2

5

，求sin2α．

4.观察下列等式：

分析以上各式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并对等式的正确性加以证明．

5.设关于x的方程sinx+√3cosx+m=0在(0,2π)内有相异二解α、β．

(Ⅰ)求m的取值范围;

(Ⅱ)求tan(α+β)的值．

6. 在①(b +a −c)(b −a +c)=ac ；②cos(A +B)=sin(A −B)；③tan

A+B 2

=sinC 这三个条件

中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在ΔABC ，它的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =2√2，__________，__________？

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．

7. 函数f(x)=sin 2ωx +√3sinωx ⋅cosωx(ω>0)且满足___________．

①函数f(x)的最小正周期为π；②已知x 1≠x 2，f (x 1)=f (x 2)=1

2，且|x 1−x 2|的最小值为π

2，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题． (1)确定ω的值并求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在x∈[0,π

]上的值域．

3

8.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1(x∈R).

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

]上的最大值与最小值．

(2)在区间[0,π

2

9.①角α的终边上有一点M(2,4)；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为1

；③2α为

3

=2.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答．锐角且sin 4α

cos22α−2sin22α

)的值．问题：已知角α的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴上，___________.求cos (2α+π

3注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．

10.已知a→=(√2

2,−√2

2

)，b→=(cosx−sinx,2cosx)，c→=(cosx+sinx,sinx)

(1)若a//b，求tanx的值；

(2)设f(x)=b→⋅c→，求函数f(x)在[0,π]上的单调减区间

11.已知函数f(x)=2sin x

2(cos x

2

−sin x

2

)+1，g(x)=sin2x．

(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)若mf(x)≤g(x)对任意的x∈[0,π

4

]恒成立，求m的取值范围．

12.已知函数f(x)=sin(5π

6−2x)−2sin(x−π

4

)cos(x+3π

4

)．

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若，且F(x)=−4λf(x)−cos(4x−π

3)的最小值是−3

2

，求实数λ的值．

13.已知函数f(x)=sinx−2√3cos2x

2

+√3+a．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)设x∈[0,π]时，函数f(x)的最小值是−2，求f(x)的最大值．

14.已知点P是曲线C1：x2+y2+√2x−√2y=0上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，将线段OP绕O点顺时针旋转90∘得到线段OQ，设点Q的轨迹为曲线C2．

(1)求曲线C1和C2的极坐标方程；

)，若m与曲线C2，直线l分别交于A、B两点，

(2)设直线l：y=3，射线m：θ=α，α∈(0,π

2

的最大值．

求|OA|

|OB|

15.已知函数f(x)=sin(x+π

)，g(x)=cosx，在从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已

6

知．

(1)求F(x)的最小正周期及单调区间；

,0]上的最大值．

(2)求F(x)在区间[−π

2

条件①：F(x)=f(x)⋅g(x)；条件②：F(x)=[f(x)]2+[g(x)]2．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．