23.3.2 相似三角形的判定SAS

(2)∵DC2＝DE·DB，AD＝DC，
∴AD2＝DE·DB，∴ADDB＝DAED.
又∵∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA. ∵△BCE∽△ADE，∴△BCE∽△BDA，
BC BE ∴BD＝BA，即
AB·BC＝BD·BE.
基本图形的形成、变化及发展过程：
平行型
.
∽
斜交型 .
旋转 .
.
平移
特 殊 垂直型
AB AC ∴AE＝AD.
又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED.
【点悟】 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
2．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且将这个四边形分成①、
②、③、④四个三角形．若 OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( B )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
△ AED∽ △ABC
6．如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC，D、E、B、C 在同一条直线上，且 AB2 ＝BD·CE，求证：△ABD∽△ECA.
证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵AB2＝BD·CE， AB BD AB BD ∴CE＝AB，即CE＝CA，
∴△ABD∽△ECA.
AB AC
简单记为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
？ 思考
对于△ABC和△A’B’C’, 如果, ∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗? 试着画画看.
A
4
3.2
50° 3.2
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
两边对应成比例且一边的对角 对应相等的两三角形不一定相似
A
4
3.2
3.2
50°
BC
G
在△ADE和△A′B′C′中,
D
E
∵AD=A′B′,∠A=∠A′ ,AE=A′C′.
.∴△ADE≌△A′B′C′, ∴△A′B′C′∽△ABC.
B
C
(SAS)判定定理：如果两个三角形的两组
对应边的比相等，并且相应的夹角相
等，那么这两个三角形相似.
A
A'BC源自B'C'
A' B' A' C' , A A' ABC∽A' B'C'
平移
.. 特 殊
小结： 相似三角形的判定方法有几种？
1、定义判定法 2、平行判定法
比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3、边角边判定法（SAS）
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
边对应成比例的两 等的两三角形 个三角形相似。 相似（AA）
类似全等三角形的判定，除AA外，还有其 他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
猜想？
类似于判定三角形全等的 SAS方法，我们能不能通过两边及 其夹角来判定两个三角形相似呢？
观察图23．3．6，如果有一点E在边AC上，那么 点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
新课讲解
已知： 如图，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′ ,
A′
A′B′:AB=A′C′:AC.求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
B′
C′
∴AD:AB=AE:AC.
A
∵A′B′:AB=A′C′:AC,AD=A′B′,，∴AE=A′C′.
如果一个三角形的两条边与 另一个三角形的两条边对应 成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似吗？
E
图中两个三角形的一组对
应 值边 为A13D．与将A点B的E由长点度A的开比始
在AC上移1动，可以发现当 A△AED＝E_与__△_A3_B_C__相A似C时．，此时 1 AD
=__________．
9 ．[2019 秋 ·浦 东 新 区 校 级月 考 ] 如 图， BD 、 CE 为 △ABC 的 高 ， 求 证 ： △AED∽△ACB.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°，且∠EAC＝∠BAD， ∴△ADB∽△AEC， AE AD ∴AC＝AB.
又∵∠EAD＝∠CAB， ∴△AED∽△ACB.
4. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角 形与△ABC相似，这样的直线有几条？
Ａ D●
Ｂ
C
这样的直线有两条：
A
A
D
E
B
C
作DE，使∠AED=∠C
∠A=∠A ∠AED=∠C
△ ADE∽ △ABC
D
E
B
C
作DE，使∠AED=∠B
∠A=∠A ∠AED=∠B
D
2
50°
1.6
E
F
归类探究
类型之一 相似三角形的判定定理 2 如图，D、E 是△ABC 的边 AB、AC 上的点，AB＝9，AD＝4，AC＝7.2，
AE＝5.求证：△ABC∽△AED.
证明：∵AB＝9，AD＝4，AC＝7.2，AE＝5，
AB 9
AC 7.2
∴AE＝5＝1.8，AD＝ 4 ＝1.8，
HS九(上) 教学课件
第23章 图形的相似
23.3.2 相似三角形的判定
第2课时 利用两边和一夹角判定两个三 角形相似
知识回顾:
定义
判定方法
全等 三角 形
相似 三角 形
三角、三边对应相 角边角 角角边 边角边 边边边 等的两个三角形全 （ASA） （AAS）（SAS） （SSS） 等。
？ ？ 三角对应相等，三 有两角对应相
11．[2018·普陀区一模]如图，已知四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 E， AD＝DC，DC2＝DE·DB.求证：
(1)△BCE∽△ADE； (2)AB·BC＝BD·BE.
证明：(1)∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA.
∵DC2＝DE·DB，∴DDCB＝DDEC. 又∵∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC， ∴∠EBC＝∠DCE＝∠DAE. 又∵∠BEC＝∠AED， ∴△BCE∽△ADE；
AB
3
实验与探究
画出A B C与DEF, 使 AB 4厘米，B 50，BC 6厘米 DE 2厘米，E 50, EF 3厘米
C与F , A与D相等吗？
量出AC, DF的长度，
并计算出 AC ,与 AB , BC DF DE EF
的值相等吗？
并如且果夹一角个相三等角，形那的么A两B这条C两与边个与D三E另F角相 一形似个相吗三似？角．形的两条边对应成比例，