二次函数在闭区间上最值求法讲解

二次函数在闭区间上最值问题

影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。就高中学生而言，感到困难的主要是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。

一、动函数定区间

例1：求函数)11(2≤≤-+=x tx x y 的最小值。

解:函数的对称轴是2t x -

=。 （1）当2t x -=在区间[]1,1-的左侧时, 则12

-<-t 即2>t 时，所以，当1-=x 时，t y -=1min ； （2）当2t x -=在区间[]1,1-上时, 则 -1≤-2t ≤1 即 22≤≤-t 时，所以，当2

t x -=时42min t y -=； （3）当2t x -=在区间[]1,1-的右侧时, 则 12

>-t 即2-

（2）求二次函数a ax x y -++-=122

在[]1,0∈x 上的最小值。 例2：求12)(2

--=ax x x f 在区间[]2,0上的最大值与最小值。 解：1)()(22---=a a x x f ，按直线a x =与区间[0,2]的不同位置关系分类讨论：

（1）若a f x f f x f a 43)2()(1

)0()(0max min -==-==<，，则； （2）若a f x f a a f x f a 43)2()(1)()(10max 2min -==--==≤≤，，则；

（3）若1)0()(1)()(21max 2min -==--==≤

（4）若1)0()(43)2()(2max min -==-==>f x f a f x f a ，，则。

二、定函数动区间

例1：求函数1222

+≤≤+-=t x t x x y 在上的最小值。 解：11

)1()(2

=+-=x x x f ，按直线与区间1+≤≤t x t 的不同位置关系分类讨论： 若1>t ，则1)1(2min +-==t y ； 若1101

1min =≤≤+≤≤y t t t ，则，即； 若11<+t ，即0

min +=t y 。

练习：求函数122

-+=x x y 在区间2+≤≤t x t 上的最小值。 例2：求函数1222

+≤≤+-=t x t x x y 在上的最大值。

解：分析：只要对区间中点是在对称轴1=x 的左侧还是右侧进行讨论就可以了。 （1）当

121≤++t t ，即2

1≤t 时，当t x =时，222max +-=t t y ； （2）当121≤++t t ，即21>t 时，当1+=t x 时，12max +=t y 。 练习：求函数122

-+=x x y 在区间2+≤≤t x t 上的最大值。