最新大学物理-量子力学基础习题思考题及答案

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大学物理-量子力学基础习题思考题及答案

习题

22-1.计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长,(1)电子;(2)质子。

解:(1) 电子高速运动,设电子的总能量可写为:20K E E m c =+ 用相对论公式,

22224

0E c p m c =+ 可得

p =

=

=

h p

λ=

=

834

-=

131.210m -=⨯

(2)对于质子,利用德布罗意波的计算公式即可得出:

3415h 9.110m p λ--====⨯

22-2.计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长,已知加速电压为kV 0.25,(1)用非相对论公式;(2)用相对论公式。

解:(1)用非相对论公式:

m

meU h mE h 123

193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ(2)用相对论公式:

4

20222c m c p +=E

eU E E k ==-20c m

m eU eU c m h

mE

h 122

20107.722p

h -⨯=+=

==

(λ

22-3.一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ,中子的动能eV 20.4k =E ,求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.

解:先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长:

34

11

h 1.410p m λ--====⨯

再利用晶体衍射的公式,可得出:2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…

1111

1.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ , 5.48ϕ=

22-4.以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速,为使电子波长

A 1=λ,电子在此场中应该飞行多长的距离?

解:34

10

h 110p m λ--====⨯

可得:U=150.9V ,所以 U=Ed ,得出d=30.2cm 。

22-5.设电子的位置不确定度为

A 1.0,计算它的动量的不确定度;若电子的能量约为keV 1,计算电子能量的不确定度。

解:由测不准关系: 34

2410

1.0510 5.2510220.110h p x ---⨯∆===⨯∆⨯⨯ 由波长关系式:E

c

h

=λ 可推出: E E c h ∆=∆λ

2

151.2410E E E J hc pc

λ-∆∆===⨯∆ 22-6.氢原子的吸收谱线

A 5.4340=λ的谱线宽度为

A 102

-,计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解:能量hc

E h νλ

==

,由于激发能级有一定的宽度ΔE ,造成谱线也有一定宽度Δλ,两

者之间的关系为:2

hc

E λ

λ∆=∆

由测不准关系,/2,E t ∆∆≥平均寿命τ=Δt ,则

22224t E hc c λλτλπλ=∆===∆∆∆102112108

(4340.510)510s 4 3.141010310

----⨯=

=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22-7.若红宝石发出中心波长m 103.67-⨯=λ的短脉冲信号,时距为

)s 10(ns 19-,计算该信号的波长宽度λ∆。

解:光波列长度与原子发光寿命有如下关系:

x c t ∆=∆

22

24x x p λλπλλ∆==≈

∆∆∆ 72

2389

(6.310) 1.32310nm 31010

c t λλ---⨯∆===⨯∆⨯⨯

22-8.设粒子作圆周运动,试证其不确定性关系可以表示为h L ≥∆∆θ,式中L ∆为粒子角动量的不确定度,θ∆为粒子角位置的不确定度。

证明:当粒子做圆周运动时,半径为r ,角动量为:L=rmv=rp 其不确定度

P r L ∆=∆

而做圆周运动时: θ∆=∆r x

利用:h x P ≥∆•∆ 代入,可得到:h L ≥∆∆θ。

22-9.计算一维无限深势阱中基态粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率。设粒子的势能分布函数为:

⎨⎧><∞=<<=L x x x U L x x U 和0,)(0,0)(

解:根据一维无限深势阱的态函数的计算,当粒子被限定在0

一化的波函数为:⎪⎩⎪⎨⎧><=ψ<<=

ψL x x x L x x l

n l x n

n 和0,0)(0,sin 2)(π

概率密度为: L x x l

n l x P n <<=0,sin 2)(2π

粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率:3

2sin 2131sin 2)(230

πππn n x l n l x P l

n -==⎰

如果是基态,n=1,则3

20

2112()sin sin 0.195323

l

n P x x l l πππ=

=-=⎰

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