直线与椭圆位置关系专题经典讲义
第五节椭圆第二课时直线与椭圆的位置关系讲
第二课时直线与椭圆的位置关系一.课标要求，准确定位1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.会解简单的直线与椭圆相关的综合问题.二．考情汇总，名师解读1.会判断直线与圆锥曲线的位置关系，解决弦长、中点弦的计算问题；2.会从不同角度体现判别式、根与系数的关系、点差法、圆锥曲线的性质、线段垂直平分线的性质等知识在直线与圆锥曲线的位置关系中的作用．1．点与椭圆的位置关系，椭圆＋＝）在椭圆内⇔＋<1⇔＋＝⇔＋>1.，椭圆＋＝，联立得（|x或＝·|＝，＝＝·|＝·|＝·（程有解的情况下进行的，不要忽略判别式>0这一前提方法二：几何法对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线考向二 求面积或已知面积求参数17．已知椭圆C ：22221x y a b +=223过椭圆上一点只能作一条切线．若椭圆的方程为＋＝）处的切线方程为＋＝=，过点1参考答案：【点睛】本题考查椭圆方程的求解4．A【分析】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式设1122(,),(,)M x y N x y ，由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得因为直线l 与椭圆相交，所以0∆>，即22483(k m -）由题意得解得．所以椭圆的方程为．）由得．的坐标分别为，，则，，，．|MN|===．）到直线的距离的面积为．由，解得，经检验，所以．26．8140-+=x y 或2x =【分析】首先判断点P 与椭圆1C 的位置关系，分类讨论切线的斜率是否存在，设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程Δ0=【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，答案第21页，共21页所以CA CB ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．。
直线和椭圆的位置关系公开课课件
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法： 弦长公式： |AB|= = （适用于任何二次曲线）
与椭圆
相交、相切、相离？
解：联立方程组
消去y
相切
相离
相交
l
m
m
o
x
y
思考：最大的距离是多少？
o
x
y
例1.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。
x2+4y2=2
解：联立方程组
消去y
∆=36>0，
因为
所以方程（１）有两个根，
变式1：交点坐标是什么？
弦长公式：
小 结
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
则原方程组有两组解.
----- (1)
所以该直线与椭圆相交.
变式2：相交所得的弦的弦长是多少？
由韦达定理
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
考点二：弦长公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
弦长公式： 设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 直线AB的斜率为k．
例1：已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
直线与椭圆的位置关系
202X
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演讲人姓名
一：直线和椭圆的位置关系
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
Ax+By+C=0
<0
方程组无解
无交点
=0
>0
方程组有两解
3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
直线与椭圆专题讲义
直线与椭圆专题讲义题型一：直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠52．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．思维升华：研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二：弦长及弦中点问题命题点1：弦长问题典例 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105命题点2：弦中点问题典例 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 命题点3：椭圆与向量等知识的综合典例 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值．思维升华：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0，4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．题型三：高考中求椭圆的离心率问题典例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 典例2如图，设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)． (1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．反馈练习1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.1033．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝15．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22 D.326．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23 D.137．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. 9．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是______．10．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则椭圆C 的离心率为________．11.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．12．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．。
高三数学课件：直线和椭圆的位置关系
把直线方程代入圆的方程得到一元二次方程计算判别式A>0,相交△ = 0，相切A<0?离程和椭圆方程组成的方程组 [2]把直线方程代入椭圆方程后，若一元二次方程好 解，则应解方程；若一元二次方程不好解，则计算 判别式。
[1]入椭圆方程把直线方程代得到二兀二次方程不程解方好判算式计别交点个数位置关系把直线方程代入抛物线方程直线与曲线位置关系典型例题题组一——（幻灯片§ & 4. 3A） 1・当加取何值时，直线/与椭圆9X2+W2=144相切、相交、相离.2・求直线兀cos&+ysin&=2和椭圆并3/= 6有公共点时』的取值范围・（0€低兀）・题组二二：(幻灯片§ & 4・3B)1・已知直线Q，双曲线工2 >2=4,试讨论实数k的取值范围・(1〉直线I与双曲线有两个公共点•(2〉直线I与双曲线有且只有一个公(3〉直线I与双曲线没有公共点• 2*若| a | V ~~，问a取何值时,j/ = ( 1 —工)tana 与；y ' cos2a一JC Z ~ 1 相切？3・K为何值时，直线L： y=kx+1与抛物线：y2=4x 相切、相交、相离？1,只有一个公共点，求直线I 的方程. 条互相垂直的直线，且 Z 与双曲线『 / = 1各有两个交点，且分别为和(1)求A 的斜率居的取值范围;(2)若人恰是双曲线的一个顶点，求 \A 2B 2\ 的值.2 21.过点(0,3)的直线Z2. 已知厶、乙2是 过点P(-V2,0)的两。
直线与椭圆位置关系专题经典课件讲义.doc
a
y2
2
b
1(a
b 0) 的左焦点为 F, 离心率为
3 , 过点 F 且 3
与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
4 3. 3
( Ⅰ ) 求椭圆的方程 ;
( Ⅱ ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点 . 若
AC·DB AD·CB 8 , 求 k 的值 .
x2 2.椭圆 C : a 2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
3 ，且过 (2,0) 点。 2
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）设直线 l : y x m 与椭圆 C 交于 A，B 两点， O 为坐标原点， 若 OAB 直角三角形，求 m
的值。
4．椭圆 C 的对称中心为原点 （ I）求椭圆 C 的方程；
2
求点 M 的坐标。
M，
练习、如果椭圆 x 2 y 2 1的弦被点 (4,2) 平分，则这条弦所在的直线方程是（
）
36 9
A. x 2 y 0 B. x 2 y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0
例 6..已知椭圆
x2 E : a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点。
x2 x b 与椭圆 C： a 2
y2 a 2 1 1 (a 1) 相交于 A ， B 两点，且 l 过椭圆 C 的右焦
点，若以 AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆
C 的方程。
8.[2014 北·京卷 ] 已知椭圆 C：x2＋ 2y2＝ 4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝ 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段
直线与椭圆的位置关系(精品复习课件).ppt
5
5
8
55
【备用例题】 已知椭圆 4x2+y2=1,直线 y=x+m,设直线与椭圆相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.
解:可求得 O 到 AB 的距离 d= m ,又|AB|= 2 10 8m2 ,
2
5
所以 S = △AOB 1 |AB|·d= 1 × 2 10 8m2 · m
直线与椭圆的位置关系
yy
OO
xx
1.直线 y kx 1 与椭圆
x2 5
y2 m
1 总有公共
点，则 m 的取值范围是
.
分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在
椭圆上或内部，即 02 12 1 且 m 5
5m
2.直线 y kx k与椭圆 x2 y2 1 有几个公共点？
4
例2.若点 O,F 分别为椭圆 x2 + y 2 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任一点,求 95
OP · FP 的最小值.
y
P
FＯxyB来自CＯ Axy
N
Ｏ
M
x
练习3.
已知椭圆 x2 + y 2 = 1的左顶点为A(-2,0). 4
过（- 6 ,0）作一条斜率不为0的直线L. 5
2
25
2
=2
(5
m2)m2
≤
5 2 4
m2
m2
=1
.
54
5
2
4
当且仅当“ 5 -m2=m2”时,上式取“=”. 4
此时 m=± 10 ∈[- 5 , 5 ].
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。
1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。
3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。
题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。
解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。
另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。
因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。
解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。
因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。
另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。
直线与椭圆的位置关系PPt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
求解直线与二次曲线有
关问题旳通法
③ 相离 ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
例：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们 旳位置关系. 2
解：联立方程组
y x1 2
x2+4y2=2
消去y 5x2 4x 1 0 ----- (1)
因为∆=36>0
所以，方程有两个根， 故直线与椭圆有两个交点
则x1
x2
83 5
, x1x2
8 5
从而有 AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
＝ ２（8 3）2 -４ 8 ＝8
5
55
归纳： 求直线与椭圆旳弦长环节：
①联立方程组 ②消去一种未知数 ③利用弦长公式:
通法 | AB | 1 k 2 | xA xB |
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共点
2
2
探究二：直线与椭圆旳相交弦长旳求法
直线方程为: y kx m ，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交旳弦长：
a2 b2
|AB| =
A（x1,y1）
B（x2,y2）
例： 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的 右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长．
到直线旳距离最小？最小距离是多少？
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40 且 x02 y02 1
42 52
41
25 9
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
直线与椭圆的位置关系(上课课件)
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第二课时 直线与椭圆的位置关系
人A数学选择性必修第一册
课前预习
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6 1．若直线 y＝kx＋2 与椭圆x2＋y2＝1 相切，则斜率 k 的值为_±__3_____．
32
人A数学选择性必修第一册
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
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[例 2] 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于
A，B 两点，求|AB|.
分析：求出直线 l 方程，联立椭圆方程利用弦长公式求出|AB|.
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有关直线与椭圆相交弦的问题，主要思路是联立直线 和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知 识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距 离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是 用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A，B的坐标，常用来解决与弦中点有关 的问题．
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3.已知椭圆方程是x92＋y42＝1，则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程为__4_x_＋__9_y_－__1_3_＝__0____．
人教版高中数学选修一3.1.2.2直线与椭圆的位置关系 课件
其判别式 Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＝8(4k2＋1)>0， 设 A、B 坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k42＋k 1，x1x2＝－2k22＋1(*)，
所 以 |AB| ＝
1＋k2
A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1，x2 是方程的两个根， 于是 x1＋x2＝842kk22＋－1k.
又 M 为 AB 的中点，∴x1＋2 x2＝442kk22＋－1k＝2，
解得 k＝－12. 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线与椭圆的位置关系
[识要点]
要点 直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系：
y＝kx＋m， 联立 ax22＋by22＝1， 消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ 的取值
相交 __两__解 Δ__>__0 相切 __一__解 Δ_＝___0 相离 __无__解 Δ__<__0
∴直线 l 的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 x＋2y－8＝0.
解法二 设直线 l 与椭圆的交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴
x21＋4y21－36＝0， x22＋4y22－36＝0.
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴yx11－－yx22＝－12，
即 k＝－12.∴直线 l 的方程为 x＋2y－8＝0.
答案：(2)见解析
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直线与椭圆的位置关系专题讲义知识点1：直线与椭圆位置关系、弦长问题：将直线方程b kx y +=（或b my x +=）代入椭圆方程：12222=+by a x )0(>>b a ，整理得到关于x （或y ）的一个一元二次方程02=++C Bx Ax （或02=++C By Ay ） 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相交； 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相切； 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相离。
若直线l ：b kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A ，B 两点，弦长公式：=||AB ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 或=||AB ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。
通径公式为：__________ . 例1.当m 为何值时，直线y=x+m 与椭圆191622=+y x 相交？相切？相离？练习、直线y =mx +1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点，则m 2=（ ）(A )21 (B )32 (C ) 43 (D ) 54例2、直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆x 2/9+y 2/m=1总有公共点，求实数m 的取值范围是（ ）A 、1/2≤m ＜9B 、9＜m ＜10C 、1≤m ＜9D 、1＜m ＜9练习、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围例3、求直线x －y ＋1=0被椭圆141622=+y x 截得的弦长练习、已知椭圆：1922=+y x ，右顶点为A ，过左焦点1F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于N M 、两点，求弦MN 的长及AMN ∆的面积。
知识点2：中点弦问题（点差法）例4 椭圆141622=+y x 内有一点P （2，1），求经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程。
练习、如果椭圆193622=+y x 的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A.02=-y x B.042=-+y x C.01232=-+y x D.082=-+y x例5、求直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4截得的弦的中点坐标。
练习、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例6..已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。
若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ()A .2214536x y +=B .2213627x y +=C.2212718x y += D.221189x y +=练习、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
知识点3：椭圆中的最值问题例7. 已知椭圆：，，是椭圆上一点E x y P x y 2225161+=()（1）求x+y 的最大值（2）求点P 到直线x-y+10=0的距离的最小值。
练习：求椭圆13422=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最小距离知识点4.直线椭圆综合问题例8（12北京）已知椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为22， 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与不同的两点M,N（Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 的面积为103时，求k 的值练习【12陕西】已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。
（1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程。
例9．(2013课标全国2)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1x ya b+(a＞b＞0)右焦点的直线30x y+=交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．例10（2014新课标2）设F1 ，F2分别是椭圆C：12222=+byax（a>b>0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。
（I）若直线MN的斜率为43，求C的离心率；（II）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b直线与椭圆的位置关系专题基础训练一、选择题1.已知椭圆C:2244x y +=,过点()2,0P -与椭圆C 只有一个交点的直线方程是 （ ）（A ）x+2=0 （B ）x-2=0 （C ）y+2=0 （D ） y-2=02．直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为 （ ） （A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）不确定 3．椭圆221164x y+=上的点到直线220x y +=的最大距离是 （ ） （A ）3 （B ）11（C ）22 （D ）104.直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截的弦的中点坐标是 （ ）（A ）(31, －32) （B ）(－32, 31) （C ）(21, －31) （D ）(－31, 21)5.已知椭圆221369x y +=，椭圆内一点(4,2)P ,则以P 为中点的弦所在的直线的斜率是 （ ） （A ）21 （B ）－21（C ）2 （D ）－26．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段二、填空题7.方程11922=-+-k y k x 表示椭圆，则m 的取值范围为 ． 8. 椭圆221259x y 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为 ____________9． 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 ．10.（浙江卷13）已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB = 。
11.（海南卷15）过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________12.经过椭圆2212x y +=的一个右焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA OB ⋅等于 。
三、简答题13、已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求|AB|及AB F 2∆的面积14. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．15.已知椭圆方程为2212x y +=，内有一条以点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭为中点的弦AB ，求AB 所在的直线l 的方程及AB 的弦长。
16、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆,c a 32=，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程。
17.椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F1,F2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.18.已知圆22:(1)16B x y ++=及点(1,0)A ，M 为圆B 上任一点，线段AM 的垂直平分线与线段BM 的交点为P ，设点P 的轨迹为曲线C 。
（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点(2,4)-且倾斜角为34π的直线与曲线C 交于,E F 两点，O 为原点，求OEF ∆的面积；（3）过点(1,1)-的直线l 与曲线C 交于,R S 两点，且线段RS 被点(1,1)-平分，求直线l 的方程。
6422455BAoMPxy1-1直线与椭圆的位置关系专题能力提高1.设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线L 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。
⑴求AB ⑵若直线L 的斜率为1，求b 的值。
2.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，且过(2,0)点。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆直角三角形，求m 的值。
3.（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.4．椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12， 且点（1，32）在该椭圆上. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.5．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 33, 过点F 且与x 433(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.6.设直线:l y x b =+与椭圆C ：112222=-+a ya x (1)a >相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆C 的方程。
7.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．8.[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．。