直线与椭圆位置关系专题经典讲义

直线与椭圆的位置关系专题讲义

知识点1：直线与椭圆位置关系、弦长问题：

将直线方程b kx y +=（或b my x +=）代入椭圆方程：122

22=+b

y a x )0(>>b a ，

整理得到关于x （或y ）的一个一元二次方程02

=++C Bx Ax （或02=++C By Ay ） 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相交； 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相切； 当＿＿＿＿＿＿＿⇔直线l 与椭圆相离。

若直线l ：b kx y +=与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于A ，B 两点，

弦长公式：

=||AB ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 或=||AB ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。通径公式为：__________ . 例1.当m 为何值时，直线y=x+m 与椭圆

19

162

2=+y x 相交？相切？相离？

练习、直线y =mx +1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点，则m 2=（ ）

(A )21 (B )32 (C ) 43 (D ) 5

4

例2、直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆x 2/9+y 2/m=1总有公共点，求实数m 的取值范围是（ ）

A 、1/2≤m ＜9

B 、9＜m ＜10

C 、1≤m ＜9

D 、1＜m ＜9

练习、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152

2=+m

y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围

例3、求直线x －y ＋1=0被椭圆14

162

2=+y x 截得的弦长

练习、已知椭圆：1922=+y x ，右顶点为A ，过左焦点1F 作倾斜角为6

π

的直线交椭圆于N M 、两点，求弦MN 的长及AMN ∆的面积。

知识点2：中点弦问题（点差法）

例4 椭圆14

162

2=+y x 内有一点P （2，1），求经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程。

练习、如果椭圆

19

362

2=+y x 的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A.02=-y x B.042=-+y x C.01232=-+y x D.082=-+y x

例5、求直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4截得的弦的中点坐标。

练习、已知椭圆

1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

例6..已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。

若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 (

)

A .

22

14536

x y +=

B .

22

13627

x y +=

C.

22

12718x y += D.

22

1189

x y +=

练习、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2

1

，求椭圆的方程。

知识点3：椭圆中的最值问题

例7. 已知椭圆：，，是椭圆上一点

E x y P x y 22

25161+=()

（1）求x+y 的最大值

（2）求点P 到直线x-y+10=0的距离的最小值。

练习：求椭圆13

42

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最小距离

知识点4.直线椭圆综合问题

例8（12北京）已知椭圆C ：22x a +2

2y b

=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为22， 直

线y=k(x-1)与椭圆C 交与不同的两点M,N

（Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 的面积为10

3

时，求k 的值

练习【12陕西】已知椭圆2

21:14

x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。 （1）求椭圆2C 的方程；

（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程。

例9．(2013课标全国2)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

22

22

=1

x y

a b

+(a＞b＞0)右焦点的直线

30

x y

+=交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1

2

.

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．例10（2014新课标2）设F1 ，F2分别是椭圆C：1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

（a>b>0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。

（I）若直线MN的斜率为

4

3

，求C的离心率；

（II）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b