解析几何七种常规题型及方法
高考复习中解析几何题型分析及解法梳理
一、解析几何题型分析：
1. 直线问题：主要考察直线的性质及其特征，如平行、垂直、中心弦定理等。
2. 圆形问题：主要考察圆形的性质及其特征，如圆心角定理、外切内接定理等。
3. 正多面体问题：主要考察正多面体的性质及其特征，如三角形内心定理、四面体最大最小化原理等。
4. 三角形问题：主要考察三角形的性质及其特征，如勾股定理、海伦-泰勒斯定理等。
5. 几何评价法问题: 主要是透过几何图型来评价各部分之间的大小或者数量上的差异,例如由于不同图彩之间存在一些明显差异,所以能够根据这些差异来作出正确判断或者作出正确估测。
二、解法收拾:
1. 第一步应该是将所有信息数字化,即将所有信息由文字表述方式数字化;
2. 第二步应该是根据所数字化后的信息来选用适合的几何方法;
3. 第三步应该是根据前两部中所使用方法来进行相应的代数或者几何运算;
4. 最后一步应该是核对并汇总前三部中所得到的信息,然后作出最合适书写样子上呈上。
解析几何常见方法
一、基本问题1.求曲线方程；2.确定轨迹形状；3.判定两图形的位置关系；4.研究曲线的性质；5.确定长度、角、面积、体积等相关量的值、取值范围及最值；6.确定参数的值、取值范围或最值；二、基本题型判断题、证明题、计算题、开放性题（探索性题）三、基本策略1.第一层：定义、方程（坐标）与性质之间的选择2.第二层：（1）用定义：分为直接或间接用第一定义、第二定义；（2）方程（坐标）法：分为直角坐标、向量、极坐标与参数坐标3.第三层：数形结合、分类讨论、化归与转化、函数方程不等式是常用的数学思想，换元引参、以算代证是常用的数学方法。
四、方法研究（一）曲线方程的求法1.动点法（也叫直接法）2.待定系数法（）3.定义法4.相关点法（也叫代入法，含交轨法）5.参数法【注意1】求曲线方程的参数法、曲线的参数方程是既有区别又有联系的；教材上的直线、圆及圆锥曲线的参数方程与平时的通过“换元引参”得到的参数方程是不一样的，前者的参数具有需要大家掌握的几何意义而后者显然具有情境性。
【注意2】1.相关点法是参数法的一种；2.参数法重在引参消参——引入多少个参数？怎样消去参数？引参消参是一门集观察、推演、综合等多领域的高技术活。
下面举一个例子说明：【例1】已知抛物线y2=4px （p>0）,O 为顶点,A 、B 为抛物线上的两动点,且满足OA ⊥OB,如果OM ⊥AB 于M 点,求点M 的轨迹方程。
法1设OA ：y=kx ，则OB ：y=x k 1-.联立y=kx 与y2=4px 得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛k p k p 4,42，.联立y=x k 1-与y2=4px 得B ()kp p k 4,42- 所以AB ：22141k kp x k k y ---=，OM ：x kk y 21--=，消去k 得px y x 422=+。
【点评】设了一个参数，消参数容易，也可看做“交轨法”。
一个参数k ，两个方程，消一个参数就少一个方程，最后得到的是关于x 、y 的方程，但由于本题求的就是x 、y 的方程，恰好。
高考数学：解析几何常考题型及解题方法汇总（含详解），
相信很多同学都知道，解析几何其实并不难，解题思路也相对简单，但是它却折磨着大多数的考生们！
为什么？因为它的计算量实在是太大了，想找个简单快捷的方法去做都是很不容易的一件事。
在高考数学中，解析几何属于必考题，而且其所占的分值和函数也相差不大，都是在3 0分左右，但是它并没有像函数压轴题一样，让人看了就想放弃。
但是只要找对方法，你会发现其实解析几何也没有想象中的那么折磨人，而且出乎意料的简单。
今天，学长就为同学们整理了高考数学中解析几何的热点常考题和解题方法的汇总，希望同学们好好把握，在高考中取得一个更好的成绩！
需要电子打印版的同学可以私信发送，解析几何，就可以打印出来了！用起来超方便！！！。
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。
平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。
下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。
一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。
常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。
这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。
例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。
解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。
解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。
3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。
通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。
二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。
常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。
这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。
例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。
解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。
当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。
当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。
解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
2.求解二次方程，得到x的值。
解析几何题型及解题方法总结
解析几何题型及解题方法总结
题型：1、求曲线方程(类型确定、类型未定)；2、直线与圆锥曲线的
交点题目(含切线题目)；3、与曲线有关的最(极)值题目；4、与曲线有关
的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；5、探求曲线方程中几
何量及参数间的数目特征。
解题方法：
1、紧密结合代数知识解题：“求到两定点的距离之比等于常数的点
的轨迹”问题的求解过程中，取平面直角坐标系，使两定点的连线为x轴，且连线段的中点为原点，并设两定点的距离为2b，则两定点分别为M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是轨迹上任意一点，常数为n，最终得到轨迹
方程（n2-1）（x2+y2）+2b（n2+1））x+b2（n2-1）=0。
2、充分利用几何图形性质简化解题过程：在对曲线轨迹方程求解的
过程中，通过几何条件，可以对轨迹的曲线类型进行判断，然后通过待定
系数法来求解。
3、用函数（变量）的观点来解决问题：对于解析几何问题而言，由
于线或点发生改变，从而导致图形中其他量的改变，这样类型的题目，往
往可以使用函数的观点来求解。
例如，在次全国高中数学竞赛题中，已知
抛物线y2=6x上的2个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且
1+2=4。
线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求AABC面积的最大值。
数学空间解析几何常见题型解析
数学空间解析几何常见题型解析解析几何是数学中的一门分支，它将代数与几何相结合，通过代数方法来研究几何问题。
其中，数学空间解析几何是解析几何的重要内容之一。
在解析几何中，有一些常见的题型，下面我们将对这些题型进行详细解析。
一、直线方程在数学空间解析几何中，直线是最基本的几何对象之一。
我们可以通过给定直线上两个点的坐标，来确定直线的方程。
设给定的两个点分别为$P(x_1, y_1, z_1)$和$Q(x_2, y_2, z_2)$，则直线的方程可以表示为：$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$或者经过化简：$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=k=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$其中$k$为常数。
二、平面方程除了直线，平面也是解析几何中常见的几何对象。
同样地，我们可以通过给定平面上三个点的坐标来确定平面的方程。
设给定的三个点分别为$P(x_1, y_1, z_1)$，$Q(x_2, y_2, z_2)$和$R(x_3, y_3, z_3)$，则平面的方程可以表示为：$$\begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\x_2-x_1 & y_2-y_1& z_2-z_1\\x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix}=0$$或者经过化简：$$\begin{vmatrix}x & y & z\\x_1 & y_1 & z_1\\x_2 & y_2 & z_2\\x_3 & y_3 & z_3\end{vmatrix}=0$$三、直线与平面的交点在解析几何中，求直线与平面的交点是一种常见的问题。
数学解析几何的常见题型解析
数学解析几何的常见题型解析解析几何是数学中的分支学科，通过运用代数和几何的知识，以方程和不等式为工具，研究几何对象的性质和关系。
解析几何的题型主要包括直线方程、曲线方程、平面方程和空间曲面方程等。
本文将对解析几何的常见题型进行解析。
一、直线方程的解析1. 一般式方程直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
2. 斜截式方程直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
3. 点斜式方程直线的点斜式方程为(y - y₁) = k(x - x₁)，其中（x₁，y₁）是直线上的一点，k是直线的斜率。
二、曲线方程的解析1. 圆的方程圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中（a，b）是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 双曲线的方程双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
三、平面方程的解析1. 一般式方程平面的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数，且A、B和C不同时为0。
2. 法向量和点的关系式平面的法向量为（A，B，C），平面上一点为（x₁，y₁，z₁），则平面方程为A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0。
四、空间曲面方程的解析1. 球的方程球的标准方程为(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²，其中（a，b，c）是球心的坐标，r是球的半径。
2. 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程根据不同类型的圆锥曲线而不同，比如椭圆锥的方程为(x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²) = 0，双曲锥的方程为(x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²)= 1等。
初中解析几何题型及解题方法
初中解析几何题型及解题方法解析几何是初中数学中的一个重要部分，主要涉及直线、圆、抛物线、双曲线等图形的性质和特点。
以下是一些常见的初中解析几何题型及解题方法：1. 求直线的方程题型描述：给定直线上两点或一点及斜率，要求求出直线的方程。
解题方法：+ 两点式：$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$+ 点斜式：$y - y_1 = m(x - x_1)$2. 求圆的方程题型描述：给定圆上的三点或两点及半径，要求求出圆的方程。
解题方法：$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆心，$r$ 是半径。
3. 直线与圆的位置关系题型描述：给定直线和圆的方程，要求判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）。
解题方法：计算圆心到直线的距离，与半径比较。
4. 求抛物线的方程题型描述：给定抛物线上的两点或一点及焦点，要求求出抛物线的方程。
解题方法：标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$。
如果知道焦点和准线，则可以求出 $a$ 和 $b$ 的值。
5. 求最值问题题型描述：在给定的图形中，求某一点的坐标或某条线段的长度，使得该值最大或最小。
解题方法：使用配方法、顶点式、导数等方法求最值。
6. 实际应用题题型描述：给定生活中的实际问题，如最短路径、最大面积等，要求用解析几何知识求解。
解题方法：建立数学模型，转化为几何问题，然后使用解析几何的知识求解。
在解决解析几何问题时，除了掌握上述方法外，还需要培养自己的空间想象能力和逻辑推理能力。
同时，多做练习题也是提高解题能力的有效途径。
高考解析几何的题型及思路
高考解析几何的题型及思路解析几何是必考的，常作为压轴题，特点是计算量大。
不过解几题其实很有规律性，解题思路并不难掌握，就是要用代数方法（方程、函数、不等式的思想和方法）研究几何问题，而数形结合思想（主要是利用定义或平面几何知识分析问题）是减少解几综合题计算量的主要手段。
常见的类型题有：（1）、求曲线（动点）的方程：若曲线类型已知，用待定系数法列方程组求解即可。
若给出了单个动点满足的条件，可先判断其是否符合某种曲线的定义，符合即可用待定系数求解，否则用直接法求解。
若条件有两个动点，一般用代入法求解；若条件有三个以上的动点，一般用参数法求解。
（2）求参数或曲线的特征量（如a、b、c、p、离心率、斜率、倾角、面积等）的值。
这类题要用到方程思想求解，即想办法把题目的条件（等量关系）转化为所求变量的方程（组）解之。
（3）求参数或几何量（如角、面积、斜率）的取值范围的问题。
主要是利不等式法或函数法求解。
其中判别式是列不等式的一个重要途径。
通常用韦达定理或题目给出的其它条件来列出变量间的等量关系，再把等量关系代入判别式消元化简解出相关参数的范围。
或利用韦达定理或其它等量关系建立变量间的关系式，把所求变量表示为其它变量的函数，利用求函数值域的方法确定变量的取值范围。
这个函数的定义域通常由判别式或其它条件确定。
（4）直（曲）线过定点问题：关键是求出直（曲）线的方程，当然这个方程必定含有一个参数。
求出方程后观察什么定点的坐标满足。
若观察不出，只要令参数取两个特殊值，然后把得到的两条具体的直（曲）线求交点即得所求定点。
（5）证明定值：证某个式子为定值，即是要求出这个式子的值是什么。
把条件转化为相关的方程（组），消去其中的参数即得。
（6）探索性（存在性）问题：通常转化为对方程根的存在性的讨论。
▲注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的解析几何问题都是以向量作为背景编拟的；▲判别式和韦达定理是解决以直线和圆锥曲线的位置关系为背景的综合问题的必用工具。
高考数学解析几何9种题型的解题技巧!
解析几何命题趋向：
1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以填空题的形式出现，每年必考
2.考查直线与二次曲线的普通方程，属容易题，对称问题常以填空题出现
3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题。
考点透视
一．直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
3．了解二元一次不等式表示平面区域．
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．
二．圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．。
解析几何题型及解题方法
解析几何题型及解题方法
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
以下是一些常见的解析几何题型及其解题方法：
1. 求轨迹方程：给定一些条件，求动点的轨迹方程。
解题方法包括直接法、参数法、代入法等。
2. 判断位置关系：判断两条直线、两个圆、两条圆锥曲线等是否相交、相切、相离。
解题方法包括联立方程组消元法、判别式法、一元二次方程根的判别式法等。
3. 求弦长、面积、体积等：给定一个几何对象，求其长度、面积、体积等。
解题方法包括公式法、参数法、极坐标法等。
4. 求最值：给定一个几何对象，求其长度的最大值、最小值等。
解题方法包括导数法、不等式法、极坐标法等。
5. 证明不等式：通过几何图形证明不等式。
解题方法包括构造法、极坐标法、数形结合法等。
6. 探索性问题：通过观察、猜想、证明等方式探索几何对象的性质。
解题方法包括归纳法、反证法、构造法等。
以上是一些常见的解析几何题型及其解题方法，掌握这些方法可以帮助我们更好地解决解析几何问题。
同时，需要注意题目中的条件和限制，以及图形的位置和形状，以便更准确地解决问题。
解析几何的常见题型解题方法
解析几何的常见题型解题方法几何学是数学的一个分支，研究与形状、大小、位置等相关的问题。
在解析几何中，常见的题型包括直线方程、平面方程、距离公式、中点公式、向量运算等。
本文将从这些常见题型出发，介绍解析几何的解题方法。
1. 直线方程直线方程是解析几何中常见的题型之一。
一条直线可以用斜率截距法、两点法或点斜式等多种方式表示。
例如，已知直线过点A(2,3)且斜率为2，求直线的方程。
解法如下：首先，利用点斜式可以得到直线的方程为y-3=2(x-2)。
进一步化简，得到直线方程为y=2x-1。
2. 平面方程平面方程是解析几何中另一个常见的题型。
平面可以用点法、法向量法或截距法表示。
例如，已知平面过点A(2,3,4)、B(1,2,3)和C(3,4,5)，求平面的方程。
解法如下：首先，利用两个向量来确定平面的法向量。
设AB和AC两向量，则平面的法向量可以通过叉积运算得到。
即AB×AC=(-1,1,1)。
进一步，利用点法可得平面的方程为-1(x-2)+1(y-3)+1(z-4)=0。
化简可得-x+y+z-5=0，即平面的方程为x-y-z+5=0。
3. 距离公式在解析几何中，我们常需要计算两点之间的距离。
两点间的距离可以通过距离公式来计算。
例如，已知点A(2,3)和点B(4,5)，求AB两点间的距离。
解法如下：根据距离公式，AB的距离可以表示为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
带入坐标可得√[(4-2)²+(5-3)²]，化简后得√8。
因此，点A(2,3)和点B(4,5)之间的距离为√8。
4. 中点公式中点公式是解析几何中常见的一个定理，用来求线段的中点坐标。
例如，已知线段AB的两个端点A(2,3)和B(4,5)，求线段AB的中点坐标。
解法如下：根据中点公式，线段AB的中点坐标可以表示为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。
带入坐标可得[(2+4)/2, (3+5)/2]，化简后得(3,4)。
2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析
2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。
数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。
为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。
1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。
1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。
2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。
其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。
2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。
掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。
3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。
根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。
3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。
根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。
4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。
通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。
4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。
对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。
解析几何题型方法归纳(配例题)
解析几何解题方法归纳一．求轨迹方程（常出现在小题或大题第一问）： 1.【待定系数法】（1）已知焦点在x 轴上的椭圆两个顶点的坐标为（4,0±），离心率为12，其方程为 ．2211612x y += 提示：2a c =，且24,2,12a c b =∴==.（2）已知椭圆中心在原点，焦距为2倍，则该椭圆的标准方程是 ．提示：已知2222242,16b a b c a a b c⎧⎧===⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩221164x y +=与221416x y +=为所求. (3)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； 解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x2. 【定义法】由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为 ．解：设(,)P x y ，连结OP ,则90,30PAO APO ∠=︒∠=︒, 所以22OP OA ==. 3.【几何性质代数化】与圆2240x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________．y 2=8x （x >0）或y =0（x <0） 提示：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴．4.【相关点法】P 是抛物线2210x y -+=上的动点，点A 的坐标为（0,1-），点M 在直线PA 上，且2PM MA =，则点M 的轨迹方程为解：设点(,)M x y ，由2PM MA =，()3,32P x y ∴+，代入2210x y -+=得22(3)3210x y --+=即218310x y --=5.【参数法】一元二次函数22()(21)1()f x x m x m m R =+++-∈的图象的顶点的轨迹方程是提示：设22(21)1()y x m x m m R =+++-∈顶点坐标为(,)x y ，则22211224(1)(21)544m x m m m y m +⎧=-=--⎪⎪⎨--+⎪==--⎪⎩，消去m ，得顶点的轨迹方程34x y -= 二．常见几何关系转化与常见问题类型 （1）中点问题：韦达定理、点差法变式：A 、B 、C 、D 共线且AB ＝CD 问题，可以转化为共中点问题，或者弦长相等； 例1:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 。
高考解析几何压轴题型归类总结
几何题是高考数学中的重要题型，占比较大且常常作为压轴题出现。
解析几何是几何题中的一大重点，需要掌握的知识点较多且难度较高。
下面对高考解析几何常见的压轴题型进行归类总结。
1. 平面几何1.1 直线方程直线方程的求解是解析几何中的基础内容，常常作为考查点。
包括一般式、斜截式、点斜式等形式的直线方程。
总结如下：1.直线一般式方程：Ax + By + C = 0；2.直线斜截式方程：y = kx + b；3.直线点斜式方程：y - y₁ = k(x - x₁)。
1.2 平面方程平面方程是通过点法式方程和一般式方程进行求解。
常见的平面方程有以下几种：1.点法式方程：A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0；2.一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0。
1.3 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系主要有平行、垂直以及相交三种情况。
常见的题型包括：1.求直线的交点；2.判断两直线是否平行/垂直；3.确定两直线的夹角。
1.4 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系常常涉及到直线在平面上的投影、直线与平面的交点等问题。
常见的题型如下：1.直线在平面上的投影；2.直线与平面的交点；3.判断直线与平面的位置关系。
1.5 圆的方程圆的方程是解析几何中的重要内容。
常见的圆的方程有以下几种形式：1.圆心半径式方程：(x−a)2+(y−b)2=r2；2.一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0。
1.6 圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系涉及到切线的斜率、交点的确定等问题。
常见的题型包括：1.确定直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）；2.求直线与圆的交点；3.求直线在圆上的切点。
2. 空间几何2.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系同平面几何中的情况类似，常见的题型包括：1.直线是否平行/垂直；2.直线的交点；3.两直线的夹角。
2.2 空间曲线空间曲线主要涉及到直线、平面和曲线的方程及其位置关系。
(完整版)解析几何七种常规题型及方法
解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法 A ：常规题型方面 一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为3e =,过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB, ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度。
思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求解.解析:⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得228a b +=，………①又e =，即2223c a =，所以223a b =………………………….②联立①②得226,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22162x y +=.⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为:)2y x -, 代入椭圆C 的方程,化简得,251860x x -+= 由韦达定理知，1212186,55x x x x +==从而12x x -==由弦长公式，得12AB x =-==，即弦AB 的长度为5点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,常用韦达定理与弦长公式.二、中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）:设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2,1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
分析：设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。
两式相减得()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=.又设中点P(x,y ），将x x x 122+=,y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x yy y x x ---=·。
高考专题_解析几何常规题型和方法
高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。
选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。
二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与 几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分” 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有 时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。
鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很 大。
有容易题，有中难题。
因此在复习中基调为狠抓基础。
不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。
三、高考核心考点1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
高考数学 专题22 解析几何高考常考题型方法总结(解析版)
专题22 解析几何高考常考题型方法总结一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =．(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆．(5) ,,a b c 的关系：222c a b =-.4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=>(5) 渐近线方程by x a=±.7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =.三．【题型归纳】 （一）斜率问题 （二）面积问题（三）参数的范围问题 （四）轨迹问题 （五）最值（六）圆锥曲线的性质 （七）与向量的综合 （八）轨迹方程与面积 （九）定值问题（十）圆与圆锥曲线 （十一）最值 四．【题型方法】 （一）斜率问题例1．设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）A.||||42OM ON +≥B.O 到直线MN 的距离不大于2C.直线MN 过抛物线2y x =的焦点D.MN 为直径的圆的面积大于4π【答案】B【解析】当直线MN 的斜率不存在时，设，由斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =，∴MN 的直线方程为2x =；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=．设()1122(),,M x y N x y ，，则，∴121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=， 即2m k =-．∴直线方程为()22y kx k k x =-=-． 则直线MN 过定点()2,0．则O 到直线MN 的距离不大于2．故选B ．练习1.已知点(),P x y 在圆()()22:111C x y -+-=上,则2y x+的最小值是（ ） A ．23B ．34C ．43 D ．32【答案】C【解析】由题意，设2y k x+=，整理得20kx y --=， 又由圆()()22:111C x y -+-=的圆心坐标为(1,1)，半径为1， 当直线20kx y --=与()()22:111C x y -+-=有交点时，2231(1)k k -≤+-，解得43k ≥，即2y x +的最小值为43，故选C.（二）面积问题例2．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y m m +=>和双曲线()2210x y n n-=>，点P 是它们的一个交点，则12F PF ∆面积的大小是（ ） A.122 C.1 D.2【答案】C【解析】如图所示，不妨设两曲线的交点P 位于双曲线的右支上，设1PF s =，2PF t =．由双曲线和椭圆的定义可得 2s t m s t n⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2222 s t m n st m n⎧+=+⎨=-⎩，在12PF F △中，()2221222414cos 222m n m s t c F PF st m n +--+-∠==-， ∵11m n -=+，∴2m n -=，∴12cos 0F PF ∠=，∴1290F PF ∠=︒．∴12F PF △面积为1 12st =， 故选：C ．练习1.设12,F F 是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且128F F =,1210PF PF +=,则12PF F ∆面积的最大值为 ( )A ．6B ．12C ．15D ．20【答案】B【解析】根据128F F =,1210PF PF +=可知28,210c a ==，故2229b a c =-=，所以3b =.由于12PF F ∆底边12F F 长度一定，故高最高的时候取得最大值，高最高为3b =，所以三角形面积的最大值为121122F F b ⋅⋅=.故选B. 练习2.设经过点M(2,1)的等轴双曲线的左、右焦点分别为F 1,F 2,若此双曲线上的一点N 满足12NF NF ⊥u u u v u u u u v ，则△NF 1F 2的面积为_______. 【答案】3【解析】设该等轴双曲线的方程为()220x y λλ-=≠,Q 该双曲线经过点()2,1,41M λ∴-=，即3λ=,该双曲线的方程为223x y -=,易得())126,0,6,0F F -，Q 该双曲线上的一点N 满足12NF NF ⊥u u u v u u u u v ,设()00,N x y ,可得2200220036x y x y ⎧-=⎨+=⎩，062y ∴=，则12NF F ∆的面积1322S =⨯=，故答案为3. 练习3.椭圆22221x y a b+=(a>b>0)中,F 1,F 2分别为其左、右焦点,M 为椭圆上一点且MF 2⊥x 轴,设P 是椭圆上任意一点,若△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍(O 为坐标原点),则该椭圆的离心率e=____.【解析】由题意，可得2b Mc a（，）， ∵△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍，211223223b c b c b a a ⨯⨯=⨯⨯⨯∴=，，，∴c ==， ∴e c e a ==．（三）参数的范围问题例3．若函数||1y x =-的图像与曲线22:1C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ） A.[1,1)-B.(1,0)-C.(,1][0,1)-∞-UD.[1,0](1,)-+∞U【答案】A【解析】由y ＝|x |﹣1可得，x ≥0时，y ＝x ﹣1；x ＜0时，y ＝﹣x ﹣1， ∴函数y ＝|x |﹣1的图象与方程x 2+λy 2＝1的曲线必相交于（±1，0）所以为了使函数y ＝|x |﹣1的图象与方程x 2+λy 2＝1的曲线恰好有两个不同的公共点，则 y ＝x ﹣1代入方程x 2+λy 2＝1，整理可得（1+λ）x 2﹣2λx +λ﹣1＝0 当λ＝﹣1时，x ＝1满足题意， 由于△＞0，1是方程的根，∴11λλ-+＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意； y ＝﹣x ﹣1代入方程x 2+λy 2＝1，整理可得（1+λ）x 2+2λx +λ﹣1＝0 当λ＝﹣1时，x ＝﹣1满足题意， 由于△＞0，﹣1是方程的根，∴11λλ-+＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意； 综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1） 故选：A ．练习1.已知椭圆222:1x M y a+=，圆222:6C x y a +=-在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为1k ，椭圆M 在点P 处的切线斜率为2k ，则12k k 的取值范围为（ ） A.(1,6) B.(1,5)C.(3,6)D.(3,5)【答案】D【解析】因为椭圆222:1x M y a +=和圆222:6C x y a +=-在第一象限有公共点P ，所以222661a a a ⎧>-⎨->⎩，解得235a <<.设椭圆222:1x M y a+=和圆222:6C x y a +=-在第一象限的公共点()00,P x y ，则椭圆M在点P 处的切线方程为0021x x y y a +=，圆C 在点P 处的切线方程为2006x x y y a +=-，所以010x k y =-，0220x k a y =-，所以()2123,5k a k =∈，故选D.（四）轨迹问题例4．已知动点M的坐标满足方程12512x y =+-，则动点M 的轨迹为（ ） A.抛物线 B.双曲线C.椭圆D.以上都不对【答案】A【解析】由题意，动点M的坐标满足方程12512x y +-，1251213x y +-=，可得上式表示动点(,)M x y 到定点(0,0)的距离与到定直线125120x y +-=的距离相等，且定点不在定直线上，结合抛物线的定义可知：动点M 轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线. 故选A.练习1．已知两点()12,0F -、()22,0F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=【答案】D 【解析】由题设可得121228PF PF F F +==，即2216,16412a b ==-=，应选答案D 。
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解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为22，且63e =，过椭圆C 的右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为22，得228a b +=，………①又63e =，即2223c a =，所以223a b =………………………….②联立①②得226,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22162x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：()32y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，251860x x -+= 由韦达定理知，1212186,55x x x x +== 从而()21212122645x x x x x x -=+-=， 由弦长公式，得()2212264611355AB k x x =+-=+⨯=， 即弦AB 的长度为465点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。
两式相减得()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=。
又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x yy y x x ---=·。
又k y y x x y x =--=--121212， 代入得24022x y x y --+=。
当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。
因此所求轨迹方程是24022x y x y --+=说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。
思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则有2211228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=- 又12128,2x x y y +=+= 则21214y y k x x -==-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=. 解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+由()2418y k x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，整理得283280ky y k --+=.设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128y y k+=，又∵P 是AB 的中点，∴1212y y +=，∴824k k=⇒= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=.由241508x y y x --=⎧⎨=⎩ 整理得，22300y y --=，则12122,30y y y y +==- 有弦长公式得，()222111212125271142k k AB y y y y y y =+-=+⨯+-=. 点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为： ()32y x =-，代入椭圆C 的方程()2232162y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简得，251860x x -+=由韦达定理知，1212186,55x x x x +== 由2l 过右焦点，有焦半径公式的弦长为()124625AB a e x x =-+=. 即弦AB 的长度为465点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式a k x x k AB /1||1||2212∆+=-+=就能解决问题。
但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。
本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。
一、两线段相等类型I 有相同端点的不共线线段 例1、（2204，北京西城区二模） 已知定点)4,2(--A ，过点A 做倾斜角为︒45的直线L ，交抛物线)0(22>=p px y 于A 、B 两点，且||||||AC BC AB 、、成等比数列 （1）求抛物线方程；（2）问（1）中抛物线上是否存在D ，使得||||DC DB =成立？若存在，求出D 的坐标。
策略分析：由于D 、B 、C 三点不共线，要使得||||DC DB =成立，只需取BC 中点P ，满足BC DP ⊥。
由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习： 例2、（2005，孝感二模）已知)2()2(),,1(),0,(b a b a y b x a-⊥+== （1）求点P(x,y)的轨迹方程C ；（2）若直线L ：b kx y +=（0≠k ）与曲线C 交与AB 两点，D(0,－1)，且有||||BD AD =，试求b 的取值范围。
类型II 共线线段例3、直线L 与x 轴不垂直，与抛物线22+=x y 交于AB 两点，与椭圆2222=+y x 交于CD 两点，与x 轴交于点M )0,(0x ，且||||BD AC =，求0x 的取值范围。
策略分析：不妨设A ),(11y x 在B ),(22y x 下方，C ),(33y x 在D ),(44y x 下方，由于ABCD 共线，要使||||BD AC =,只需4213x x x x -=-，即4321x x x x ==+，结合韦达定理可得结果。
二、三线段相等 类型I 正三角形 例 4、（2003，北京春招）已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L ：x=－1相切，点C 在L 上 （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P 且斜率为3-的直线与曲线M 相交于AB 两点①问三角形ABC 能否为正三角形？若能，求点C 坐标；若不能，说明理由；②问三角形ABC 能否为钝角三角形？若能，求点C 纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。
策略分析：对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。
所以，只需设C （－1，y ），根据||||AB BC =和||||AB AC =分别列方程求y 值，判断两个y 值是否相等。
例5、（2005，学海大联考六）如图，在直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y))0(≠y ，设BP OP AP ,,，与x 轴正方向的夹角分别为αβγ，且πγβα=++ (1)求点P 的轨迹G 的方程；(2)设过点C )1,0(-的直线L 与轨迹G 交于 不同的两点MN ，问在x 轴上是否存在一点 E )0,(0x 使MNE ∆为正三角形？策略分析：设直线L ：y=kx-1，由韦达定理求出MN 中点F 的坐标，再根据1-=•MN EF k k ，求出)0,34(2kkE --；利用弦长公式求出｜MN ｜，再根据||||23EF MN =解得3±=k 。
注意代入∆验证。
类型II 共线线段例6、（2004，广东高考卷）设直线λ与椭圆1162522=+y x 相交于AB 两点，λ又与双曲线122=-y x 相交于CD 两点，CD 三等分线段AB ，求λ的方程。
策略分析：实质是||||||DB CD AC ==。
当λ与x 轴垂直时，λ方程为24125±=x ；当λ与x 轴不垂直时，先由||||DB AC =，利用例3的方法，求得0=k 或0=b ，然后分类讨论求出ABCD 的横坐标，利用CD AB 3=，得出1316±=b 和2516±=k 。
三、线段成比例类型I 两个已知点一个未知点 例7、（2005，黄冈调研）已知椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b x a x ，双曲线12222=-bx a x 的两条渐近线为21,L L ，过椭圆的右焦点F 做直线L ，使1L L ⊥，又L 与2L 交于点P 。
设L 与椭圆的两个交点由上到下依次为AB ， （1）当21L L 与夹角为︒60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程； （2）当AP FA λ=时，求λ的最大值。
策略分析：F 点和P 点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A 点坐标，代入椭圆方程即可。
类型II 一个已知点两个未知点 例8、(2004，全国卷)设双曲线C ：1222=-y ax （a>0）与直线L ：1=+y x 相交于两个不同的点AB（1）求双曲线的离心率e 的取值范围；（2）设直线L 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=，求a 值。
策略分析：设A ),(11y x 、B ),(22y x 、)1,0(P ，由PB PA 5=知21125x x =，于是，2211217x x x =+，2221125x x x =，前式平方除以后式消掉2x ，结合韦达定理即可求出a 。
注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB ，且PB PA λ=，其中，),(00y x P ，则)()(0201x x x x -=-λ，可以算出)()(0201x x x x -+-和))((0201x x x x --，利用例8思想求解；或者，使用以下技巧22102122102122101020201)()(22)(1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++--+=--+--=+λλ，结合韦达定理。