解析几何答案 廖华奎 王宝富 第二章

第二章 直线与平面
习题
1.求通过两点(2,3,4)A 和(5,2,1)B -的直线方程。

解：直线的方向向量为(3,1,5)AB =--u u u r ，所以直线的方程为234
.315
x y z ---==--
2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。

（1）过点(1,2,0),(2,1,4),(3,1,5)----； （2）过点(3,12)-和z 轴；
（3）过点(2,0,1)-和(1,3,4)-，平行于y 轴； （4）过点(1,5,4)--，平行于平面3250x y -+=。

解：（1）平面的方位向量为12(1,3,4),(4,1,5)v v =--=--，所以平面的参数方程
14,
23,45.x y z λμλμλμ=--+⎧⎪
=--⎨⎪=-⎩
平面的普通方程为
121340,4
1
5
x y z
+---=--即19111330.x y z ++-= （2）平面的方位向量为12(3,1,2),(0,0,1)v v =-=，所以平面的参数方程
33,1,
22.x y z λλλμ=+⎧⎪
=+⎨⎪=--+⎩
因为过z 轴，所以也可选经过的点为(0,0,0)，那么参数方程也可以写为 3,,2.x y z λλλμ=⎧⎪
=⎨⎪=-+⎩
平面的普通方程为
3120,0
1
x y z
-=即30.x y -= （3）平面的方位向量为12(3,3,5),(0,1,0)v v =-=，所以平面的参数方程
23,3,15.x y z λλμλ=-⎧⎪
=+⎨⎪=-+⎩
平面的普通方程为
213350,0
1
x y z -+-=即5370.x z +-=
（4）平面的方位向量平行于平面3250x y -+=，方位向量(,,)X Y Z 满足
320X Y -=，因此可以选为12(2,3,0),(0,0,1)v v ==。

所以平面的参数方程
12,53,4.x y z λλμ=-+⎧⎪
=-+⎨⎪=+⎩
平面的普通方程为
1542300,0
1
x y z ++-=即3270.x y --=
3.在直角坐标系中，求通过点(1,0,2)-并与平面
1:220x y z ∏+--=和2:30x y z ∏---=
均垂直的平面方程。

解：平面12,∏∏的法向量分别是12(2,1,1),(1,1,1)n n =-=--，所求平面与12,∏∏均垂直，所以它的法向量n 与12,n n 均垂直，因此
12(2,1,1)(1,1,1)n n n =⨯=-⨯--(2,1,3),=--
平面的方程为2(1)3(2)0,x y z --+-+=即2360.x y z -++=
4. 在直角坐标系中，求经过点12(3,1,4),(1,0,3)M M --，垂直于平面
2510x y z +++=的平面方程。

解：设平面的法向量为n ，则它与12M M u u u u u u u r
垂直，它又与平面2510x y z +++=的法向
量(2,5,1)，故(2,1,7)(2,5,1)12(3,1,1).n =--⨯=--所以所求平面的方程为
3(3)(1)(4)0,x y z --+--=即360.x y z ---=
5. 在直角坐标系中，设平面∏的方程为0Ax By Cz D +++=，其中0ABCD ≠。

设此平面与三坐标轴分别交于123,,M M M ，求三角形123,,M M M 的面积和四面体
123OM M M 的体积。

解：由于0ABCD ≠，所以平面的三个截距分别为,,D D D
A B C
-
--。

因此四面体123OM M M 的体积为3
11()()().66D
D D D V A B C ABC =---=
三角形123,,M M M 的面积12131,2
S M M M M =⨯u u u u u u
u r u u u u u u u r
而21213111(,,0)(,0,)(,,),D D D D M M M M D A B A C BC CA AB
⨯=-⨯-=u u u u u u u r u u u u u u u r
所以2
.2D S ABC
=
6.设平面:0Ax By Cz D ∏+++=与连接两点1111(,,)M x y z 和2222(,,)M x y z 的线
段相交于点M ，且12M M kMM =u u u u u u r u u u u u u r
，证明
111222Ax By Cz D
k Ax By Cz D
+++=-
+++。

证明：因为12M M kMM =u u u u u u r u u u u u u r
，所以由定比分点的坐标公式得到点M 的坐标
121212
,,,111x kx y ky z kz x y z k k k
+++=
==+++将它们代入平面方程中得
121212
0,111x kx y ky z kz A
B C D k k k ++++++=+++整理即得
111222Ax By Cz D
k Ax By Cz D
+++=-
+++。

习题
1.求经过点(2,1,3)-，并且通过两平面27430x y z -+-=与354110
x y z -++=
的交线的平面方程。

解：经过交线的平面束方程为1(2743)x y z λ-+-+2(35411)0x y z λ-++=，其中
12,λλ不全为零。

所求平面经过点(2,1,3)-，将它代入上式得到1260λλ-=，可以取
126,1λλ==，因此平面的方程为15472870.x y z -+-=
2.判断下列各对平面的相关位置。

（1）220x y z -+-=与3210x y z +--=；
（2）39620x y z +-+=与4
26403
x y z +-+
=； （3）210x y z +--=与
2022
x z
y +-+=。

解：（1）平面的法向量分别是(1,2,1),(3,1,2)--，它们不共线，所以两平面相交。

（2）两平面的系数之比的关系为
3962
4
2643
-===-，所以两平面重合。

（3）第二个平面的方程化为240x y z +-+=，所以两平面的系数之比的关系为
1211
1214
-==≠
，所以两平面平行。

3.将下列直线的普通方程化为标准方程。

（1）320,4310;x y y z -+=⎧⎨
++=⎩（2）10,
20.
y z -=⎧⎨+=⎩
解：（1）方程可写成32,4(2)3(3),
x y y z =-⎧⎨
-=-+⎩所以标准方程为23
.134x y z -+==-
（2）标准方程为
12
.100
x y z -+== 4.求通过点0(1,4,2)N -且与两平面
12:62230,:35210x y z x y z ∏+++=∏---=
均平行的直线方程。

解：直线的方向向量(,,)v X Y Z =与已知两平面均平行，所以
6220,
3520
X Y Z X Y Z ++=⎧⎨
--=⎩得到::1:3:(6),X Y Z =- 于是直线的方程为
142
.136
x y z --+==- 5.判断下列各对直线的位置。

（1）
11265
,331123
x y z x y z +---+====
-； （2）0,10,
10,10.x y z x z y z x y ++=++=⎧⎧⎨
⎨
++=++=⎩⎩
解：（1）直线
112
331
x y z +--==
经过点1(1,1,2)M -，方向向量是1(3,3,1)v =，直线
65
123
x y z -+==
-经过点2(0,6,5)M -，方向向量是2(1,2,3)v =-。

混合积1212157
(,,)3311060,123
M M v v -==-≠-u u u u u u u r
所以两直线异面。

（2）直线0,10,10,10.x y z x z y z x y ++=++=⎧⎧⎨
⎨
++=++=⎩⎩
方程可分别化为11,011x y z
-+==- 1.111
x y z
+==-经过的点分别是1(1,1,0),M -2(1,0,0).M -方向向量分别是12(0,1,1),(1,1,1).v v =-=-混合积1212010
(,,)01110,111
M M v v =-=≠-u u u u u u u r
且120,v v =g 所
以两直线异面且互相垂直。

6.求直线2
13x z y z
=+⎧⎨
=-⎩与平面270x y --=的交点。

解：将直线方程代人平面方程得到22(13)70,z z +---=所以1z =，故交点为
(3,2,1)-。

7.求通过直线1345100
:22340
x y z l x y z -+-=⎧⎨
+--=⎩且与直线2:23l x y z ==平行的平面方程。

解：通过直线1l 的平面方程可设为
(34510)(2234)0x y z x y z λμ-+-++--=，
由于平面与直线2l 平行，所以6(32)3(42)2(53)0λμλμλμ++-++-=，即
430λμ+=，故平面方程为2027140x y z -+-=。

8. 在直角坐标系中，求直线113
:214
x y z l -+-==
-在平面:260x y ∏+-=上的垂直投影直线的方程。

解：垂直投影直线在过直线l 且垂直于平面:260x y ∏+-=的平面1∏中，平面1∏的方程为
1132
1484530,1
2
x y z x y z -+--=-++-=
所以垂直投影直线方程是
260,
84530.x y x y z +-=⎧⎨
--+=⎩
9. 在仿射坐标系中，求过直线2210
:420
x y z l x y z --+=⎧⎨++-=⎩且在y 轴和z 轴上有相同的非零
截距的平面方程。

解：通过直线l 的平面方程可设为(221)(42)0x y z x y z λμ--++++-=，由于平面在y 轴和z 轴上有相同的非零截距，所以24λμλμ-+=-+，即3λμ=，
故平面方程为72210.x y z --+=
10.在ABC ∆中，设,,P Q R 分别是直线,,AB BC CA 上的点，并且,AP PB λ=u u u r u u u r
,BQ QC μ=u u u r u u u r CR RA ν=u u u
r u u u r 。

证明三线,,AQ BR CP 共点的充要条件是1λμν=。

证明：取仿射标架{;,}A AB AC u u u r u u u r
，则点,,,,,A B C P Q R 的坐标分别是
(0,0),(1,0),A B 11(0,1),(
,0),(
,),(0,).1111C P Q R λ
μλ
μμν
++++直线,,AQ BR CP 的方程分别为
,1x y μ=1,
11x y ν-=+-1.(1)
x
y λλ-=-+三线,,AQ BR CP 共点的充要条件是
,AQ BR 的交点在直线CP 上。

,AQ BR 的交点为1(
,)11μ
μμνμμν
++++，将该点的坐
标代人直线CP 的方程中化简得到1λμν=。

11.用坐标法证明契维定理：若三角形的三边依次分割成:,:,:λμνλμν，其中,,λμν均为正实数，则此三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。

证明：由于
1λνμ
μλν
=g g ，由上题的结论知道三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。

12.证明
：
如
果
直
线
1111122220,:0
A x
B y
C z
D l A x B y C z D +++=⎧⎨
+++=⎩与直线
3333244440,
:0
A x
B y
C z
D l A x B y C z D +++=⎧⎨
+++=⎩交于一点，那么 1111222233334
4
4
4
0A B C D A B C D A B C D A B C D =。

证明：由于两直线12,l l 交于一点，所以方程组
111122223
3334444
0,0,
0,0,A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎪
+++=⎪⎨
+++=⎪⎪+++=⎩有解000(,,)x y z ， 则齐次方程组1111222233334444
0,
0,
0,0,A x B y C z D w A x B y C z D w A x B y C z D w A x B y C z D w +++=⎧⎪
+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩有解000(,,,1)x y z ，由齐次线性方程组有
解的条件得到
1111222233334
4
4
4
0A B C D A B C D A B C D A B C D =。

13. 在直角坐标系中，给定点1(1,0,3)M 和2(0,2,5)M ，直线11:
213
x y z
l -+==，设12,M M ''各为12,M M 在l 上的垂足，求12M M ''以及12,M M ''的坐标。

解：12M M ''为向量12(1,2,2)M M =-u u u u u u u r
在直线l 的方向向量(2,1,3)v =的方向上的分
量，故1212M M v M M v ''==u u u u u u u r
g
过点1(1,0,3)M 作与直线l 垂直的平面1∏，它的方程为2(1)3(3)0x y z -++-=，过点2(0,2,5)M 作与直线l 垂直的平面2∏，它的方程为223(5)0x y z +-+-=，将直线的参数方程12,1,3x t y t z t =+=-+=分别代人1∏，2∏方程中，得15,7t =
28
,7
t =所以121721523124
(
,,),(,,).777777
M M ''- 14.求与三直线123000
:,:,:10100
y x y x y l l l z z z -=+==⎧⎧⎧⎨
⎨⎨
-=+==⎩⎩⎩都相交的直线所产生的曲面的方程。

解：与三直线都相交的直线设为l ，交点可设为(,,1),(,,1),(,0,0)P m m Q n n R k --，由于三点共线，所以
1
1
m k m n k n -==
---，即有m n k ==。

直线l 的方程
1x k y z
m k m -==-，即,,
x k y kz =⎧⎨
=⎩ 消去k 得到直线l 构成的曲面方程.y xz =
15.证明：包含直线11:0y z l b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，且平行于直线21
:0
x z
l a c y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩的平面方程为
10x y z
a b c
--+=。

若2d 是12,l l 之间的距离，证明22221111d a b c =++。

证明：包含直线11
:0y z
l b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩的平面方程可设为(1)0y z x b c λμ++-=，它的法向量
为(,,)b c μμ
λ，它又与直线21
:0
x z
l a c y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩平行，此直线的方向向量是2(,0,)v a c =，所以
(,0,)(,
,
)0a c b c μμ
λ=g ，得到0a λμ+=，于是平面方程为
10x y z
a b c
--+=。

直线1l 的方向向量是1(0,,)v b c =-，经过点(0,0,)P c 。

直线2l 经过点(0,0,)Q c -，
所以两直线的距离为1212
(,,)2PQ v v d v v =
⨯u u u r
，
120
02(,,)0
20
c
PQ v v b c abc a
c
=-=-u u u r
，12(0,,)(,0,)(,,)v v b c a c bc ac ab ⨯=-⨯=-- 因此，222
221()()()44()bc ac ab d abc ++=
，故2222
1111d a b c =++。

习题
1.在直角坐标系下，求下列直线方程。

（1）过点0(1,2,9)M -且垂直于平面3250x y z +--=； （2）过点0(2,4,1)M -且与三坐标轴夹角相等。

解：（1）直线的方向向量是平面的法向量(3,2,1)v =-，所以直线的方程为
129
.321
x y z +--==- （2）设直线的方向向量是(,,)v X Y Z =，由于直线与三坐标轴的夹角相等，所以
(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1),v v v ==g g g 于是X Y Z ==。

因此直线有4条，方程为
241111
x y z --+==
，241
111x y z --+==-， 241111x y z --+==-，241111
x y z --+==
--。

2. 在直角坐标系中，求平面0ax by z c +-+=与xOy 面的夹角。

解：平面0ax by z c +-+=的法向量为(,,1)n a b =-，xOy 面的法向量为
1(0,0,1)n =
，所以夹角的余弦为cos θ=
，夹角为
θ=
π-
3.求到两个给定平面的距离成定比的点的轨迹。

解：设点(,,)M x y z 到两平面的距离之比为0k >。

如果两平面平行，则选直角坐标系使得其中一个平面为xOy 面，另一个平面的方程为0,0z d d -=>，于是k z z d =-，
当1k =时，得2
d
z =。

当1k ≠时，得(1).k z d ±= 如果两平面相交，则选两平面的角平分面为两坐标面xOy 和xOz ，则两平面的方程可设为0,0,0y cz y cz c +=-=>，于是,k y cz y cz +=-即(1)(1)0.k y k cz -±=m
4.证明：空间中满足条件(0)x y z a a ++<>的点位于中心在原点，顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为a 的八面体的内部。

证明：条件(0)x y z a a ++<>等价于八个不等式：(0)x y z a a ±±±<>，这些点对于平面(0)x y z a a ±±±=>来说都在负侧，即包含原点的那一侧。

故它们位于由八个平面(0)x y z a a ±±±=>构成顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为a 的八面体的内部。

5.在仿射坐标系中，设1111(,,)M x y z ，2222(,,)M x y z 都不在平面
:0Ax By Cz D ∏+++=
上，且12M M ≠。

证明：1M 与2M 在平面∏的同侧的充分必要条件是
1111F Ax By Cz D =+++与2222F Ax By Cz D =+++
同号。

证明：（1）12M M u u u u u u u r
与平面:0Ax By Cz D ∏+++=平行的充要条件是
12111222()F F Ax By Cz D Ax By Cz D -=+++-+++ 121212()()()0A x x B y y C z z =-+-+-=
即11110F Ax By Cz D =+++≠与22220F Ax By Cz D =+++≠同号。

（2）如果12M M u u u u u u u r
与平面:0Ax By Cz D ∏+++=不平行，则设直线12M M 与平面相交于点M ，且12M M kMM =u u u u u u r u u u u u u r。

因而1M 与2M 在平面∏的同侧的充分必要条件是0k <。

因为
11112222
0Ax By Cz D F
k Ax By Cz D F +++=-
=-<+++，
所以1111F Ax By Cz D =+++与2222F Ax By Cz D =+++同号。

6. 在直角坐标系中，求与平面0Ax By Cz D +++=平行且与它的距离为d 的平面方程。

解：设点(,,)M x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为d ，则
d =
因而所求平面的方程为0.Ax By Cz D +++±= 7.求点1(3,1,2)M -到直线210,
10
x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩的距离。

解：直线方程的标准形式为
1,011
x y z +==所以直线经过点(0,1,0)M -，方向向量为(0,1,1)v =，则1(2,3,3)MM v ⨯=-u u u u u r ，点1(3,1,2)M -
到直线的距离为1MM v d v ⨯=
==u u u u u r 8.求下列各对直线之间的距离。

（1）
115,132x y z +-+==-65
;396x y z -+==-- （2）
21,221x y z +-==--131;421
x y z --+==- （3）10,0,x y z x y +-+=⎧⎨
+=⎩2360,
2360.x y z x y z -+-=⎧⎨
-+-=⎩
解：（1）两直线分别经过点1(1,1,5)M --，2(0,6,5)M -，方向向量分别是
12(1,3,2),(3,9,6)v v =-=--，因此两直线平行，它们的距离为一直线的某点到另一直线
的距离，所以121(10,2,8)M M v ⨯=-u u u u u u u r
，它们的距离为
121
1
M M v d v ⨯=
=
=u u u u u u u r
（2）两直线分别经过点1(0,2,1)M -，2(1,3,1)M -，方向向量分别是
12(2,2,1),(4,2,1)v v =--=-，12(1,5,2),M M =-u u u u u u u r
12(4,2,12),v v ⨯=-
12121212(,,)()30M M v v M M v v =⨯=-u u u u u u u r u u u u u u u r g ，所以它们异面，它们的距离为
121212
(,,)
M M v v d v v =
=
=⨯u u u u u u u r
（3）两直线方程的标准形式可写为
1,110x y z -==-2,111
x y z -==--两直线分别经过点1(0,0,1)M ，2(0,0,2)M -，方向向量分别是12(1,1,0),(1,1,1)v v =-=--，12,v v 不平行，12(0,0,3),M M =-u u u u u u u r
12(1,1,,0),v v ⨯=12121212(,,)()0M M v v M M v v =⨯=u u u u u u u r u u u u u u u r
g ，所以它们相交，它们的距
离为0。

9.求下列各对直线的公垂线的方程。

（1）133y z x -=
=-与;212
x y z ==- （3）10,0x y z +-=⎧⎨
=⎩与10,
220.
x z y z -+=⎧⎨+-=⎩
解：（1）两直线的方向向量是12(1,3,3),(2,1,2)v v =-=-，所以公垂线的方向向量为
12(3,8,7)v v v =⨯=。

公垂线在过直线133
y z
x -=
=-且与向量(3,8,7)v =平行的平面上，平面法向量是1(3,8,7)(1,3,3)(45,2,17)n =⨯-=--，所以该平面方程是45(1)2170x y z ---=。

公垂线又在过直线
;212
x y z ==-且与向量(3,8,7)v =平行的平面上，平面法向量是2(3,8,7)(2,1,2)(23,20,13)n =⨯-=--，所以该平面方程是2320130x y z -+=，因
此公垂线的方程是
45217450,
2320130.
x y z x y z ---=⎧⎨
-+=⎩
（2）两直线方程的标准形式可为
1110x y z -==-，12
212
x y z --==
-， 所以公垂线的方向向量为(1,1,0)(2,1,2)(2,2,1)v =-⨯-=--。

公垂线在过直线
1110
x y z
-==-且与向量(2,2,1)v =--平行的平面上，平面法向量是1(1,1,0)(2,2,1)(1,1,4)n =-⨯--=---，所以该平面方程是410x y z ++-=。

公垂线又在过直线
12
212
x y z --==
-，且与向量(2,2,1)v =--平行的平面上，平面法向量是2(2,1,2)(2,2,1)(3,6,6)n =-⨯--=--，所以该平面方程是
(1)22(2)0x y z ----=，因此公垂线的方程是
410,2230.
x y z x y z ++-=⎧⎨
--+=⎩
10.求下列各对直线的夹角。

（1）
134,112x y z --+==-11
;243
x y z --==-- （2）10,210,x y z x y z ++-=⎧⎨
+++=⎩310,
320.x y y z ++=⎧⎨
++=⎩
解：（1）两直线的方向向量是12(1,1,2),(2,4,3)v v =-=--，所以夹角满足
1212
cos 0,v v v v θ=
=g 因此夹角为
2
π。

（2）两直线的方向向量是12(1,1,0),(1,3,1)v v ==-，所以夹角满足
1212
cos v v v v θ=
=
=
g
因此夹角为arccos
11θ=
或arccos .11
θπ=- 11.求下列直线与平面的夹角。

（1）11
:
,211
x y z l -+==-:2410;x y z ∏-+-=
（2）20,
:2330,x y z l x y --+=⎧⎨-+=⎩
:210.x z ∏-+=
解：（1）直线l 的方向向量为(2,1,1)v =-，平面的法向量为(1,2,4)n =-，则
4v n =-g ，
所以夹角满足1212
sin ,21
v v v v θ==
=
g
因此夹角θ= （2）直线l 的方向向量为(3,2,1)v =---，平面的法向量为(2,0,1)n =-，则
5v n =-g
，所以夹角满足1212
sin 14
v v v v θ=
=
=
g
因此夹角θ= 12.已知两条异面直线1l 与2l ，证明：连接1l 上任一点和2l 上任一点的线段的中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。

证明：以公垂线为z 轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为xOy 面，两异面直线在xOy 面上的投影直线的角平分线为x 轴和y 轴建立空间直角坐标系。

则两异面直线的方
程可设为
10x y z a k -==与,10
x y z a
k +==-其中2a 是两直线的距离，0k >。

现在从两直线上分别任取一点(,,),(,,)t kt a s ks a --，则它们的中点(,,)x y z 满足
()
,,022
t s k t s x y z +-=
==，这是公垂线段的垂直平分面的参数方程，所以中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。

13.设在直角坐标系中，平面1∏与2∏的方程分别为
2230x y z -+-=和32610x y z +--=
求由1∏与2∏构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点(1,2,3)P -。

解：角平分面上的点(,,)x y z 到两平面的距离相等，所以
2233x y z -+-=
3261
7
x y z +--，由于该二面角内有点(1,2,3)P -，且2122(3)390,-+--=-<g g 31226(3)1240+---=>g g g ，所以(1,2,3)P -在1
∏的负侧，在2∏的正侧，因此角平分面上的点在1∏的负侧，在2∏的正侧，或在1∏的正侧，
在2∏的负侧，所以角平分面上的点满足7(223)x y z -+-=3(3261)x y z -+--，整理得到234240.x y z ---=
14.证明：两异面直线1l ，2l 的公垂线段的长度就是1l ，2l 之间的距离。

证明：以公垂线为z 轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为xOy 面，两异面直线在xOy 面上的投影直线的角平分线为x 轴和y 轴建立空间直角坐标系。

则两异面直线的方
程可设为1:
10x y z a l k -==与2:,10
x y z a
l k +==-其中2a 是两直线的距离即公垂线段
的长度，0k >。

现在从两直线上分别任取一点(,,),(,,)P t kt a Q s ks a --，两点距离为
2,PQ a =≥u u u r
即公垂线段的长度是最小的，
因此两异面直线1l ，2l 的公垂线段的长度就是1l ，2l 之间的距离。