函数的平均变化率(上课用)
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函数的平均变化率课件
T10－T0
16
(2)平均变化率为
＝－
＝－1.6.
10
10
它表示从 t＝0 到 t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃.
课堂小结
1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数 y＝f(x)在[x1，x2]
上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值
越大，函数值变化得越快．
C．2
D．0
Δy f1.1－f1 0.21
[Δx＝
＝ 0.1 ＝2.1.]
1.1－1
3.如图所示，函数 y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区
间内，平均变化率最大的一个区间是________．
[x3，x4]
[由平均变化率的定义可知，函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1
为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称
y
x
=
y 2 -y 1
x 2 -x 1
(或
f
x
=
f(x 2 )-f(x 1 )
________.
5 [因为函数 f(x)＝x2－x 在区间[－2，t]上的平均变化率是 2，
ft－f－2 t2－t－[－22－－2]
所以
＝
＝2，
t－－2
t＋2
即 t2－t－6＝2t＋4，从而 t2－3t－10＝0，解得 t＝5 或 t＝－2(舍去)．]
5.已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):
(2)运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位
16
(2)平均变化率为
＝－
＝－1.6.
10
10
它表示从 t＝0 到 t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃.
课堂小结
1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数 y＝f(x)在[x1，x2]
上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值
越大，函数值变化得越快．
C．2
D．0
Δy f1.1－f1 0.21
[Δx＝
＝ 0.1 ＝2.1.]
1.1－1
3.如图所示，函数 y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区
间内，平均变化率最大的一个区间是________．
[x3，x4]
[由平均变化率的定义可知，函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1
为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称
y
x
=
y 2 -y 1
x 2 -x 1
(或
f
x
=
f(x 2 )-f(x 1 )
________.
5 [因为函数 f(x)＝x2－x 在区间[－2，t]上的平均变化率是 2，
ft－f－2 t2－t－[－22－－2]
所以
＝
＝2，
t－－2
t＋2
即 t2－t－6＝2t＋4，从而 t2－3t－10＝0，解得 t＝5 或 t＝－2(舍去)．]
5.已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):
(2)运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位
函数的平均变化率(上课用)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
函数的平均变化率课件
函数的平均变化率ppt课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
02 教学课件_ 函数的平均变化率(2)
物体在t∈[3，5]内的位移改变量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为
ΔΔst＝428＝24 (m/s). (2)物体在t∈[1，2]内的时间改变量为Δt＝1. 物体在[1，2]内的位移改变量为Δs＝29＋3(2－3)2－29－3(1－3)2＝－9， ∴物体在 t∈[1，2]内的平均速度为ΔΔst＝－19＝－9(m/s).
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好. 答案 (1)B (2)B
一、素养落地 1.通过实例理解函数的平均变化率及实际意义，提升数学抽象素养，直观想象素养. 2.函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际
问题中表示事物变化的快慢.
二、素养训练
2.平均变化率的实际意义 Δy
(1)在以 x1，x2 为端点的闭区间上，自变量每增加 1 个单位，因变量平均将增加__Δ__x__ 个单位.
(2)函数在一个区间内的平均变化率 ，等于这个区间端点对应的函数图像上 _两__点__连__线__的__斜__率___. 3.平均速度与平均变化率 如果物体运动的位移 x m 与时间 t s h的（关t2）系－为h（x＝t1）h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2 时)或[t2， t1](t2<t1 时)这段时间内的平均速度为______t2_－__t1_______m/s，即物体在某段时间内的平均 速度等于 x＝h(t)在该段时间内的平均变化率.
【训练3】 (1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0] 这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是( )
A.v甲>v乙
《函数平均变化率》课件
函数平均变化率的性质
函数平均变化率与函数的斜率有着密切的关系，我们将深入探讨这一性质。此外，我们还将讨论函数平 均变化率是否具有单调性。
实际应用
函数平均变化率在实际应用中具有广泛的用途。我们将通过两个应用案例来探讨其在统计个人收入变化 率和计算公司股价变化率中的应用。
如何优化平均变化率
优化平均变化率的计算结果需要考虑统计样本的影响，并学习如何剔除异常 值。这将使我们能够得到更准确的结果。
结论
函数平均变化率在数据分析中起着重要的作用。我们将总结其意义，并探讨 其在数据分析中的实际应用。
参考文献
为了更深入地了解函数平均变化率，我们准备了一些参考文献，供您进一步 研究和学习。
《函数平均变化率》PPT 课件
欢迎来到《函数平均变化率》课件！在本课程中，我们将探讨函数平均变化 率的概念、计算变化率是指函数在某个区间内的平均变化速度。我们将介绍它的定 义以及一些常见的应用场景。
如何计算函数平均变化率
函数平均变化率可以通过使用定义公式来计算。我们将提供详细的计算示例， 帮助您更好地理解计算过程。
课件6：1.1.1 函数的平均变化率
试比较两人的平均速度哪个大？
解
由图象可知 s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
s1t0－s10 s2t0－s20
则
<
，
t0
t0
所以在从 0 到 t0 这段时间内乙的平均速度大．
小结
平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快
慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平
1.1.1 函数的平均变化率
知识导航
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
x －x
内不同的两点，记Δx＝ 1 0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
Δy
+∆ −()
f(x
＋Δx)－f(x
)
0
0
Δx
＝
，则当Δx≠0时，商
＝______叫
∆
做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的 平均变化率
均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．
跟踪训练 3 甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个
月时间挣到 2 万元，如何比较和评价甲、乙两人
的经营成果？
10
10 1
解 甲赚钱的平均速度为
＝ ＝ (万元/月)，乙赚钱
5×12 60 6
2
的平均速度为 (万元/月)．
5
因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，
．
fx2－fx1
∆
2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义： ＝__________
x2－x1
∆
表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线
的
6.1.1函数的平均变化率课件高二下学期数学人教B版选择性
C.0.41
(3+2.12 )-(3+22 )
解析:平均速度为
=4.1.
0.1
答案:B
D.3
3.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条,产量s(单位:个)与时间t(单位:天)
的关系如图所示,则接近t0天时,下列结论正确的是(
A.甲的日生产量大于乙的日生产量
B.甲的日生产量小于乙的日生产量
C.甲的日生产量等于乙的日生产量
均变化率是多少呢?你能估计出当x=2时y的值吗?
Δ 9-1
提示: Δ = 3-1 =4.直线AB的方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.当x=2时,y=5,故估
计y的值为5.
四、平均速度与平均变化率
1.如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)
Δ (2 )-(1 ) (1 +Δ)-(1 )
=
=
表示的是什么吗?
Δ
Δ
2 -1
提示:直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).
2.函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上
两点连线的 斜率 .如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,等于直线
Δ (4.1)-(4) 40.92-39
(2)Δ =
=
=19.2,
4.1-4
4.1-4
即 f(x)在区间[4,4.1]上的平均变化率为 19.2.
探究二
平均变化率的物理意义及应用
【例2】 已知一物体运动的位移s(单位:m)是时间t(单位:s)的函数,且当t=3
时,s=29;当t=5时,s=77.
【数学】1.1.1《函数的平均变化率》课件(新人教B版选修2-2)
x 2 − x1
O
x1
x2
x
思考 观察函数f ( x) ( 的图象图 . . ),平均 变化率 ∆f f (x ) − f (x ) = ∆x x −x ? 表示什么
图 . −
如 把 径 表 为 积 的 数那 果 半 r 示 体 V 函 , 么 r(V ) = V
π
.
当 气 积 从 增 到 L时 气 半 增 了 空 容 V 加 , 球 径 加 r( ) − r( ) ≈ . (cm), r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 类 地当 气 量 L增 到 L时 气 半 似 , 空 容 从 加 , 球 径 增 了 ( ) − r( ) ≈ . (dm), 加 r r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 可 看 ,随 气 体 逐 变 ,它 平 膨 以 出 着 球 积 渐 大 的 均 胀 逐 变 了 率 渐 小 . V V , 思考 当空气的容量从 增加到 时气球的平 ? 均膨胀率是多少
第 章 导 一 数
h(t ) = − . t + . t + 表 . 示如何求他在某时刻的 速 度?他距水面的最大 ? 高度是多少
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 . , 赛的瞬间 已知起跳 s后 运动员相对于水面的高 度 h (单位: 的 化 问 随 可 . 富 彩 变 率 题 处 见 让 们 其 的 个 题开 变 我 从 中 两 问 , 始 化 与 数 学 吧 率 导 的 习 !
探究 计算运动员在 ≤ t ≤
观 这段时间
, : 里的平均速度并思考下面的问题
( ) 运动员在这段时间里是 ? 静止的吗 ( ) 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
课件8：1.1.1 函数的平均变化率
1．理解函数的平均变化率要注意以下几点： (1)函数 f(x)在 x0 处有定义，x1 是 x0 附近的任意一点，即 Δx ＝x1－x0≠0，但可正可负． (2)如图，函数 f(x)平均变化率的几何意义：直线 AB 的斜率， 即曲线的割线的斜率． 事实上，kAB＝yxBB－ －yxAA＝fxx22－ －fx1x1＝ΔΔyx(x2≠x1)．
二、平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，如图，从 t0 到 t0 ＋Δt 这段时间内，物体的平均速度是 v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝ΔΔst. 可见平均速度 v0 就是函数 f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均变 化率．
典例探究 命题方向1：函数的平均变化率 例 1：求函数 y＝f(x)＝ 1x在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率．
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【解析】函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函
数值与在x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
【答案】D
2.一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该 质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范 围是________． 【解析】质点在 2 到 2＋Δt 之间的平均速度为 －v ＝[2＋Δt2＋Δ1t]－22＋1＝4Δt＋ΔtΔt2＝4＋Δt. 又－v ≤5，即 4＋Δt≤5，所以 Δt≤1. 又 Δt>0，所以 Δt 的取值范围为(0,1]． 【答案】(0,1]
(2)当 t0＝10s，Δt＝0.4s， 则物体在 t＝10s 到 10.4s 这段时间的平均速度 v′ ＝v0－10g－12×g×0.4＝v0－10.2g(m/s)．
高中数学同步教学课件 函数的平均变化率
反思感悟
平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、 加速度、膨胀率、经济效益等，分清自变量和因变量是解决此类问题的 关键.
跟踪训练 3 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T＝t1＋205＋15，其中 T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则从 t＝0 到 t＝ 10，蜥蜴的体温的平均变化率为__－__1_.6___℃/min.
(1)先计算函数值的改变量y2－y1.
(2)再计算自变量的改变量x2－x1.
(3)最后求平均变化率
y2－y1 x2－x1.
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝－6x，则函数 f(x)在区间[1,1.5]，[1,1.1]上的平 均变化率各是多少？
∵f(x)＝－6x， ∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－6110， ∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为 f11.5.5－－1f1＝02.5＝4， 在区间[1,1.1]上的平均变化率为f11.1.1－ －f11＝－61010.1＋6＝6110.
率为a，则
A.v＝2154 m/s，a＝2154 m/s2
B.v＝－1245 m/s，a＝2154 m/s2
C.v＝2154 m/s，a＝－2154 m/s2
√D.v＝－1245 m/s，a＝－2154 m/s2
探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以 v＝01－4×1 56000＝－2154(m/s)； 探测器的速度逐渐减小，所以 a＝01－4×1 56000＝－1245(m/s2).
，
因
为
s2 － s0>s1 － s0 ， t1 － t0>0 ， 所 以
st21－ －st00>st11－ －st00，故 C 正确，D 错误.
上课第一天：函数平均变化率
Y=f(x) y
平均变化率的几何意义:
割线的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A
B
f(x1)
O
x2-x1=△x x x1 x2
y x （1）求它在区间 1,1.1 的平均变化率 （2）求它在点 2, 4 及邻近一点 2 x, 4 y 的平均变化率
例1.已知函数
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 4.9(t ) 2 (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
1 ( 2 ) 求函数 y 在 x 0 到 x0 x 之间的平均变化率 x 1 解:当函数 y x 在 x0 到 x0 x 之间变化的时候 函数的平均变化率为 1 1 y f ( x0 x) f ( x0 ) x0 x x0 x x x 1 ( x0 x) x0
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, v △t = – 0.000001,v
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
1、x1是x0附近的任意一点,即x x1 x0 0, 但可正可负; y f ( x1 ) f ( x0 )可正可负，也可为零.
2.若函数f (x)为常函数时， △y=0；
3. 对应性：f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y x x1 x0 x
平均变化率的几何意义:
割线的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A
B
f(x1)
O
x2-x1=△x x x1 x2
y x （1）求它在区间 1,1.1 的平均变化率 （2）求它在点 2, 4 及邻近一点 2 x, 4 y 的平均变化率
例1.已知函数
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 4.9(t ) 2 (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
1 ( 2 ) 求函数 y 在 x 0 到 x0 x 之间的平均变化率 x 1 解:当函数 y x 在 x0 到 x0 x 之间变化的时候 函数的平均变化率为 1 1 y f ( x0 x) f ( x0 ) x0 x x0 x x x 1 ( x0 x) x0
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, v △t = – 0.000001,v
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
1、x1是x0附近的任意一点,即x x1 x0 0, 但可正可负; y f ( x1 ) f ( x0 )可正可负，也可为零.
2.若函数f (x)为常函数时， △y=0；
3. 对应性：f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y x x1 x0 x
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感知.体会
求函数f(x)=2x＋1在区间[－3，－1]上 的平均 变化率。
2
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 的 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 的平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0
x
之间
1 1
f (x0 x) f (x0 ) x0 x x0
这是为什么呢？ “突变”与“渐变”
变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉, 有些变化却让人感叹和惊讶!
实例分析1 北京市某年3月和4月某天日最高气温记载如下表所示：
问题1：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日， 哪一段时间气温变化得更“大”？
问题2：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日， 哪一段时间气温变化得更“快”？
x
直线AB的斜率:
k
y1 y0
y
x1 x0 x
直线CD1的斜率:k1
y3 y2 x3 x2
y x
竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，即高度的 平均变化量越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。
也就是说，“线段”所在直线的斜率的绝对值 越大，山坡越陡。
现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎 样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
110 10
例2．已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一
点A(－1, －2)及临近一点B(－1+△x, －
2+△y), 则 y 3－△x ．
x
数学应用
例3、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示 ， 试分别计算下列体重的平均变化率
理解：1、x x1 x0 0,但可正可负; y f (x1) f (x0 )可正可负，也可为零.
2.若函数f (x)为常函数时， △y=0；
3 对应性：若 x x1 x0 ,则y f (x1) f (x0 ). x x0 x1,则y f (x0 ) f (x1).
例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或[x0+△x， x0])的平均变化率。
[x0 , x x0 ]中x隐含是什么数？
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率
y x
f(x1) x1
f (x0 ) x0
y
几何意义是什么?
f(x2)
f(x1)
割线AB
的斜率
O
*
Y=f(x)
B
f(x1)-f(x0)=△y
A
x1-x0=△xx
x0
x1
13
思考：（1） △x 、△ y的符号是怎样的？ （2）该两变量应如何对应？
问题3：如何量化温度变化的“快”与“慢”？
实例分析1 温度随时间变化的图象如图所示
T(oC) 33.8
19
C(34,33.8) B(32,19)
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o1 (3月18日为第一天)
32 34 t (d)
问题4：图中哪一段曲线更为“陡峭”？
实例分析2
甲和乙两人做生意，甲挣了10万元，乙挣了2万 元。你能否判断甲、 乙两人谁的经营成果更好？
（1）从出生到第3个月
(2) 第6个月到第12个月
W(kg) 11
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重的 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重的平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
甲和乙两人做生意，甲用5年时间挣到10万元， 乙用6个月时间挣到2万元，甲、 乙两人谁的 经营成果更好？
乙的经营成果更好！
如何用数学知识 来反映山势的平缓
与陡峭程度？
例：如图，是一座山的剖面示意图: A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 ； 其中自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所
在高度。想想陡峭程度应怎样表示？
y
H E D
C
B A
O
X0
X1
X2
Xk
Xk+1
x
登山问题
y
H E D
C
B A
O
X0
X1
X2
Xk
Xk+1
y
y1
A(x0,y0)
y0
x
O
x1
B(x1,y1)
y
x2
选取平直山路AB放大研究 :
若 A( x0 , y0 ), B( x1, y1)
自变量的改变量 x x1 x0
一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段， 每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。 （举例：地球表面与平面）(微分思想)
注意各小段的 y 是不尽相同的。但不
x
管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可
以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之 差的比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率的概念。
解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或 [x0+△x，x0])的平均变化率为
f (x0 x) f (x0 ) (x0 x)2 x02
x
x
2x0 x
1、当 x 取定值, x0 取不同数值时,
该函数的平均变化率也不一样.
2、x0取正值，并不断增大时，该函数的平均
变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”
试验人员把一只青蛙投入90℃的热水盆中，这只青蛙 遇到高温刺激，迅速做出反应，“嗖”的一声蹦出了 水盆，结果安然无恙。 试验人员又把该青蛙投入30℃的冷水盆中,然后开始 慢慢加热，当水温还没有达到70℃时，这只青蛙就被 烫死了。 90℃的水烫不死青蛙，不到70℃的水反而烫死了青蛙，
函数值的改变量 y y1 y0
x
直线AB的斜率:
k y1 y0 y0 y1 y
x1 x0 x0 x1 x
y
H E D
D1 C B A
O
X0
X1
y
X2
X3
y1
A(x0,y0)
y0
O x0
B(x1,y1)
x1
x
Xk
Xk+1
y y3
x
D1(x3,y3)
y2 C(x2,y2)O来自x2x3平均变化率的概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同的两点，记△x=x1－x0，
△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).
则当△x≠0时，商
f (x0 x) f (x0 ) y
x
x
称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x， x0])的平均变化率。