函数的平均变化率(上课用)

解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或 [x0+△x，x0])的平均变化率为
f (x0 x) f (x0 ) (x0 x)2 x02
x
x
2x0 x
1、当 x 取定值, x0 取不同数值时,
该函数的平均变化率也不一样.
2、x0取正值，并不断增大时，该函数的平均
变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。
甲和乙两人做生意，甲用5年时间挣到10万元， 乙用6个月时间挣到2万元，甲、 乙两人谁的 经营成果更好？
乙的经营成果更好！
如何用数学知识 来反映山势的平缓
与陡峭程度？
例：如图，是一座山的剖面示意图: A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 ； 其中自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所
[x0 , x x0 ]中x隐含是什么数？
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率
y x
f(x1) x1
f (x0 ) x0
y
几何意义是什么?
f(x2)
f(x1)
割线AB
的斜率
O
*
Y=f(x)
B
f(x1)-f(x0)=△y
A
x1-x0=△xx
x0
x1
13
思考：（1） △x 、△ y的符号是怎样的？ （2）该两变量应如何对应？
x
直线AB的斜率:
k
y1 y0
y
x1 x0 x
直线CD1的斜率:k1
y3 y2 x3 x2
y x
竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，即高度的 平均变化量越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。
也就是说，“线段”所在直线的斜率的绝对值 越大，山坡越陡。
现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎 样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
（1）从出生到第3个月
(2) 第6个月到第12个月
W(kg) 11
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重的 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重的平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
110 10
例2．已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一
点A(－1, －2)及临近一点B(－1+△x, －
2+△y), 则 y 3－△x ．
x
数学应用
例3、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示 ， 试分别计算下列体重的平均变化率
函数值的改变量 y y1 y0
x
直线AB的斜率:
k y1 y0 y0 y1 y
x1 x0 x0 x1 x
y
H E D
D1 C B A
O
X0
X1
y
X2
X3
y1
A(x0,y0)
y0
O x0
B(x1,y1)
x1
x
Xk
Xk+1
y y3
x
D1(x3,y3)
y2 C(x2,y2)
O x2
x3
理解：1、x x1 x0 0,但可正可负; y f (x1) f (x0 )可正可负，也可为零.
2.若函数f (x)为常函数时， △y=0；
3 对应性：若 x x1 x0 ,则y f (x1) f (x0 ). x x0 x1,则y f (x0 ) f (x1).
例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或[x0+△x， x0])的平均变化率。
在高度。想想陡峭程度应怎样表示？
y
H E D
C
B A
O
X0
X1
X2
Xk
Xk+1
x
登山问题
y
H E D
C
B A
O
X0
X1
X2
Xk
Xk+1
y
y1
A(x0,y0)
y0
x
O
x1
B(x1,y1)
y
x2
选取平直山路AB放大研究 :
若 A( x0 , y0 ), B( x1, y1)
自变量的改变量 x x1 x0
一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段， 每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。 （举例：地球表面与平面）(微分思想)
注意各小段的 y 是不尽相同的。但不
x
管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可
以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之 差的比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率的概念。
这是为什么呢？ “突变”与“渐变”
变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉, 有些变化却让人感叹和惊讶!
实例分析1 北京市某年3月和4月某天日最高气温记载如下表所示：
问题1：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日， 哪一段时间气温变化得更“大”？
问题2：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日， 哪一段时间气温变化得更“快”？
感知.体会
求函数f(x)=2x＋1在区间[－3，－1]上 的平均 变化率。
2
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 的 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 的平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0
x
之间
1 1
f (x0 x) f (x0 ) x0 x x0
平均变化率的概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同的两点，记△x=x1－x0，
△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).
则当△x≠0时，商
f (x0 x) f (x0 ) y
xHale Waihona Puke Baidu
x
称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x， x0])的平均变化率。
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”
试验人员把一只青蛙投入90℃的热水盆中，这只青蛙 遇到高温刺激，迅速做出反应，“嗖”的一声蹦出了 水盆，结果安然无恙。 试验人员又把该青蛙投入30℃的冷水盆中,然后开始 慢慢加热，当水温还没有达到70℃时，这只青蛙就被 烫死了。 90℃的水烫不死青蛙，不到70℃的水反而烫死了青蛙，
问题3：如何量化温度变化的“快”与“慢”？
实例分析1 温度随时间变化的图象如图所示
T(oC) 33.8
19
C(34,33.8) B(32,19)
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o1 (3月18日为第一天)
32 34 t (d)
问题4：图中哪一段曲线更为“陡峭”？
实例分析2
甲和乙两人做生意，甲挣了10万元，乙挣了2万 元。你能否判断甲、 乙两人谁的经营成果更好？