周培源力学竞赛试题与解答
第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角°≈63.4 ϕ时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）。
二、杂耍圆环(40分)1. 圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。
开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。
2.（1）圆环自己滚回的条件为：rv 00>ω 方向如图所示。
（2）距离： s20221s 8g )v -(r )(g 21s f t t f ω=−⋅⋅= （3）圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为 ：g )h r (4r )h 2r (v hg 4r 22212−<−< 3．当接触点A 与圆环中心C 的连线与铅垂线间的夹角t arctan arctanf r −=δα时，推力F 取最小值。
三、趣味单杠(30分)（1）结构中的最大应力][MPa 143max max σσ<==W M （2）结构中的最大应力][MPa 132max max σσ<==WM （3）在结构中增加拉杆后，（2）中为反对称结构，在对称面上只有反对称内力，故AB 杆轴力为零，无影响；（1）中为对称结构，在对称面上只有对称内力，故AB 杆轴力不为零，有影响。
四、跳板跳水(30分)（1）根据跳板的受力情况，可以将其简化为下图所示外伸梁。
（2）最小水平速度为 ==t s v 2/0.714m/s（3）跳板的最大动应力为==WM K B d d max σ78.02MPa （4）如运动员为弹性体，冲击时跳板中的最大动应力将减小。
（5）跳板的最大动应力为MPa 06.712162max max =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==a g bha Ga bh K W M K d d d γσ。
第十届全国周培源大学生力学竞赛详细参考解答及评分标准
出题学校：
评分总体原则 各题均不限制方法。若方法与本文不同，只要结果和主要步骤正确，即给全分；若方法不同而 结果不正确，各地自行统一酌情给分。本文中多处用图形解释，若试卷中未出现相应图形但已表达 了同样的意思，则同样给分。计算结果用分数或小数表达均可。 本文中用浅黄色标识的公式和文字是给分的关键点，其后圆圈内的数字仅为本处的所得分值。
(1-9)
F
(1-10a) (1-10b) (1-11)
y
0，
FN G cos 0 ，
式中，
FI2 ma2 Gsin f cos 。
利用式 (1-10)、(1-11) 得 b x2 1 f 。 ② 2 由于 0 f 1 ，所以式 (1-9) 和式 (1-12) 满足
当货箱与传送带同速的瞬间，二者相对静止，无滑动摩擦。货箱的最大静摩擦力
Fmax f s FN f s G cos 。
受力如图 1-b(A) 所示，此时满足
(1-3)
此后，若货箱重力沿斜面向下的分量 G sin 大于该静摩擦力，货箱还将继续向下做加速运动，并且
G sin f s G cos 。
M F 0 ，G sin 2 G cos 2 F F 0 ， F G cos 0 。
M y
N
b
b
I1
b ① FN x1 0 ， 2
(1-7a) (1-7b) (1-8)
式中，
FI1 ma1 G sin f cos 。
由式 (1-7)、(1-8) 得 b x1 1 f 。 ① 2 再分析货箱绕左下角 N 点倾倒情况。设 FN 距 N 点距离为 x2，如图 1-b(B)所示，同样有 b b b M N F 0 ， G sin G cos FI 2 FN x2 0 ， ② 2 2 2
第十届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题参考答案
度 v0 作匀速运动，此时若 v0 > v1 min，则
√
smin = 4
2b [1 − sin(45◦ + θ)] 3(sin θ + f cos θ)
若 v0 < v1 min，s 不管取何值，均无法满足要求.
当 θ > arctan fs，货箱与传送带同速后还将继
续向下作加速运动，此时若 v0 v1 min，smin 的表达
堆放多少块金属板？
第十届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛） 试题参考答案
出题学校：山东科技大学
第 1 题 (30 分)
(1) 不会翻倒.
(2) 货箱与刚支承碰撞前至少具有如下速度
v1 min
=
2 3
√ 6 2gb [1 − sin(45◦ + θ)]
当 θ arctan fs，货箱与传送带同速后，将以速
林清华 天津大学
陈 桥 南京航空航天大学 郭宏达 哈尔滨工业大学 杨唯超 北京航空航天大学 冯 瑞 北京航空航天大学
二等奖获得者
王祥宇 天津大学
武 迪 清华大学
汤学璁 北京航空航天大学 崔 达 国防科大
王再兴 浙江大学
谢金哲 武汉大学
张旭波 武汉大学
欧吉辉 天津大学
厉晓侠 南京理工大学
胡云皓 南京航空航天大学 陈思诺 南京航空航天大学 孙伟召 华中科技大学
张佳鑫 西南交大峨眉校区 柳超然 中南大学
赵志晔 中国科学技术大学 卓荣枢 武汉理工大学
吴 稳 同济大学
黄 彪 同济大学
王 聪 同济大学
张昱哲 南京理工大学
邢 占 南京航空航天大学 张 宇 华中科技大学
吴 迪 华中科技大学
第六届第七届全国周培源大学生力学竞赛试题及答案
第六届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：清华大学满分：120 分时间：3小时一、声东击西的射击手（30 分）射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。
欢迎来到这个与众不同的射击场。
在这里，共有 10 个小球 P i（号码从0 到9），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。
假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。
圆弧 AB的半径为R，B点与地面的高度为H 。
均质细杆CD的质量为M ，长为 L=0.5H ，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S 。
小球 P i 质量均为m，不计半径，小球 iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为 e i，且满足。
（1）为使小球 1 P击中杆上D点，试确定静止释放时的θ ，距离S 有何限制？（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的θ ，此时CE的距离是多少？（3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的θ ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？二、骄傲自满的大力士（35 分）有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。
正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为 H =2.4m ，横梁 AB平行于地面，沿z 轴负方向，长为L=H 。
立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为 D = 0.06m 。
夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。
比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。
绳索的重量不计，长度不限。
球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力σS =57MPa 。
大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是μ =0.5 ，自己重量为 G1 = 700N ，夫人重量为 G2 = 700N。
9第九届全国周培源大学生力学竞赛试题及详细参考答案和评分标准
-1-
器之中时，他们意外发现，尽管各次放入后杆件滑动和滚动的情况都不一样，但最终静止时与水平面的夹
L 各处铰的重量均可以忽略。
(1) 暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时 O′ 处轴套向上升
起的高度 H = L 是额定的工作状态，那么相应的转速 ω0 是多少？ (2) 当转速恒定于 ω0 时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算
图示角度 ∠OAO′ 相对于把金属片视为刚体的情况而言的变化量。
A ωb
角每次基本上都是 45o ，如图 3 所示。小明兴奋地认为，由此就可以确定抛物线方程了。小刚对此表示怀
疑，他把杆水平地放在容器里，杆照样静止了下来。他认为，说不定杆的平衡状态有很多，利用这根杆件
来确定抛物线方程的想法不可靠。小明有些懊丧，一赌气把那根静止的水平杆拨弄了一下，那根杆立刻滑
动起来，最终又静止在 45o 的平衡角度上。小刚再次拨弄这根杆，杆运动一番后，仍然回到 45o 的平衡角
求得 J 截面上各个内力的数值？
图4
第 5 题（25 分）
在收拾整理第 3 题中所用的光滑均质杆时，小刚不小心将一根杆件滑落在 地上。小明“当心”的话还未说出口，就被杆件撞击地面时的现象所吸引，感 觉与自己的想象并不一致。两人找出几根材质不同但长度均为 2L 的杆件，让它 们在高度为 2L 处与铅垂线成θ ( 0 ≤ θ < 90o ) 角无初速地竖直落下，并与固定的 光滑水平面碰撞，如图 5 所示。
9第九届全国周培源大学生力学竞赛试题及详细参考答案和评分标准
与圆杆相撞。不考虑可能存在的间隙。
(1) 若要使每根圆杆都不会失稳，安全因数取 n ，重 物（包含内芯）的重量 F 最多允许为多大（用 σ p 、d 和 n 表示）？
(2) 如果 F 的取值在上小题的许用范围内，内芯的圆
D1 D2 F
心位置会不会因为圆杆变形而在滚动过程中产生微小的
波动？试证明你的结论。
(1) 暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时 O′ 处轴套向上升
起的高度 H = L 是额定的工作状态，那么相应的转速 ω0 是多少？ (2) 当转速恒定于 ω0 时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算
图示角度 ∠OAO′ 相对于把金属片视为刚体的情况而言的变化量。
A ωb
L O′ H
图1
第 2 题（25 分）
3在保持原结构和构件的形式不变例如不允许将实心圆杆改为空心圆杆连接方式不变安全因数不变不减小外环外径不增加材料用量不更换材料的前提下能否重新设计和制作这一道具使f在第1小题所得到的许用值得到提高
第九届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校：
本试卷共 5 题 满分 120 分 时间 3 小时 30 分
注意：答卷中各题所得的最后计算结果用分数表示或用小数表示均可。
θb − θu = 2θ1 。
(1-6)
故所求角度的变化量即为图 1-4(a) 所示简支梁 A 端转角的 2 倍。 ①
如果说明了在转速 ω0 下离心力的作用远大于重力的作用，从而可以忽略重力的影响，同时又有 上述两处得分点的结论，此处也算全对。
-3-
O EI L
(a)
q1
A
O
q1 / 2
(b) 图 1-4
ω02
x
，其合力为
第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
一、看似简单的小试验（30 分） 【解】：（1）小球出手后开始作抛物线运动，可以证明，在题目所给条件下，小球击中 A 点之 前，一定会和圆盘边缘上其它点碰撞，即小球不可能直接击中 A 点。
证明：如果想求出抛物线与圆的交点表达式，会很复杂。下面采用很简单的方法。
圆盘的边界轨迹为 x2 + y2 = r2 ，在 A 点右边的 x = −r + Δx 处（设 Δx 为一阶小量），圆 盘的高度为 (−r + Δx)2 + y12 = r2 ， y12 = 2rΔx − Δx2 ，略去高阶小量，即 y1 ∼ Δx0.5 ；
ε1
=
1 E
⎡⎣σ1
−ν
(σ 2
+ σ3 )⎤⎦
=
−
p E
(1−
2ν
)
代入(2-5)式，有： − FpL (1− 2ν ) = − pΔV ( F ) ，
E
从而得到体积改变量：
(2-5) 1 分 1分
(2-6) 2 分
ΔV ( F ) = FL (1− 2ν ) = σπ D2L (1− 2ν )
E
2
（1－1） 1 分
系统机械能守恒
1 2
mx2
+
1 2
m(x2
−
2xrϕ
sin
ϕ
+
r
2ϕ
2
)
+
mgr
sin
ϕ
=
mgr
拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理
mx = −N cosϕ
由（1－1）和（1－2）得到
x
=
−
1 2
rϕ
sin
ϕ
第十三届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案及详细解答
第十三届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题参考答案及详细解答出题学校：南京航空航天大学（本试卷分为基础题和提高题两部分，满分120分，时间3小时30分）评分总体原则采用扣分制或加分制。
采用扣分制时，建议最终所扣分数总和不超过题目（或问题）总分的一半。
采用加分制时，建议最终所给分数总和不超过题目（或问题）总分的一半。
如果学生的解题方法和参考答案不同，则按以下几种情况分别处理：（1）如果学生给出的最终结果和参考答案相同，建议采用扣分制：侧重检查学生的解题过程有无不严谨的地方或小的概念错误（未影响结果），如果有的话，建议每一处错误可酌情扣1~2分。
（2）如果学生给出的最终结果和参考答案不同：（A）如果学生解答的总体思路合理、清晰，建议采用扣分制：在检查学生的解题过程时侧重区分某错误是概念错误还是计算错误。
建议对于每一处概念错误扣5分或以上，对每一处计算错误酌情扣1~2分。
对于由一处计算错误所引起的后续计算结果错误，只按一次错误扣分，计算错误不累计扣分。
（B）如果学生解答的总体思路不清晰，建议采用加分制：在检查学生的解题过程时侧重寻找其局部正确、合理的部分，酌情给分。
一、参考答案第一部分基础题部分参考答案（共60分）第1题(18分)1）CDE ωω=-，11C DE ωω=（5分）2）2=41)2F ka a+（5分）3）223[+4(28ABC M ka maα=-（8分）第2题(12分)1）1058B B ωω=（3分）2）1min A ω（4分）3）25sin 39[1cos30)]0θθ---≥（（5分）第3题(15分)1）AC BC 7.338kNF F ==（拉）CD CE 10.377kNF F ==（拉）（7分）2）AC BC =33.125kN F F =（拉）CD CE 43.155kN F F ==（压）（8分）第4题(15分)1）31232(1)cos e E D M πβμβ=∆+（5分）2）222(1)sin 2E D F πβμβ=∆+（5分）3）22.5β=︒（5分）第二部分提高题部分参考答案（共60分）第5题(15分)1）当θ=0°或θ=180°时，解不唯一。
全国周培源大学生力学竞赛个人赛试题解析
第4期小问题479个人赛试题不仅需要考虑基础课的特点，能考察参赛者对基础理论与基本假设的深入领悟和融会贯通能力，而且又要使参赛者在较短时间内展现出较强的分析问题、解决问题的能力。
试题本身要具有新颖性和原创性，这对命题者来说是一项富有挑战性的工作。
本次个人赛命题过程中，命题组在新颖性和原创性，尤其是与工程、生活和科技前沿问题结合方面做了大量的工作。
命题组提炼了多个问题，力求使试题不仅能够反映出学生对基本概念和基本假设的理解程度，还能够考核学生在力学模型的构建和求解方面的能力，引导学生深入思考工程、生活和科技中的本质科学问题。
本次力学竞赛对湖南大学力学教学起到了极大的提高和促进作用，期待全国周培源大学生力学竞赛越办越好，进一步激发学生学习力学的热情和创新欲望，推动力学教学水平的提升。
同时希望各兄弟院校对我们的工作进行批评指正。
致谢感谢李俊峰教授、武际可教授、梅凤翔教授、徐秉业教授和刘又文教授在命题过程中所提供的无私帮助，中国力学学会刘俊丽副主任、胡漫老师和郭亮老师做了大量的组织协调工作，在此表示感谢。
参考文献1王振东.关于力学竞赛的琐忆.力学与实践，2017，39(3):311-3142蒋持平.全国周培源大学生力学竞赛20年总结.力学与实践，2007，29(2):91-923竞赛组委会.第六届全国周培源大学生力学竞赛初试试题.力学与实践，2007，29(3):94-954西北工业大学.第七届全国周培源大学生力学竞赛试题.力学与实践，2009，31(4):103-1055清华大学.第八届全国周培源大学生力学竞赛试题.力学与实践，2001，33(3):102-1036四川大学.第九届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题.力学与实践，2013，35(3):109-1107山东科技大学.第十届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题.力学与实践，2015，37(4):551-5538高云峰，蒋持平.全国大学生力学竞赛赛题详解及点评(2015年版).北京：机械工业出版社，20159高云峰.第六届全国周培源大学生力学竞赛出题思路及说明.力学与实践，2007，29(4):93-9510蒋持平.发展创新挑战——第6届全国周培源大学生力学竞赛总结.力学与实践，2007，29(5):89-9111秦世伦.全国周培源大学生力学竞赛命题工作的体会.力学与实践,2016,38(6):395-39712秦世伦,魏泳涛,李晋川.第九届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)命题工作小结.力学与实践,2013,35(3):111-11213湖南大学.第十一届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题.力学与实践，2017，39(3):314-31814李道奎,肖万伸,任毅如等.一道力学竞赛题的多种解法及其相关问题讨论.力学与实践,2017,39(5):544-547(责任编辑:周冬冬)《小问题》栏欢迎来稿出题(请自拟题目或注明题目来源),题目及解答请寄《力学与实践》编辑部,采用后将致薄酬.2018-3一个质量为m，半径为R的薄壁匀质小球壳与桌面发生碰撞，碰撞前小球壳角速度为零、质心速度为v，如图1所示。
第十一届全国周培源大学生力学竞赛答案
第一部分 基础题部分（填空题，共60分）
第 1 题（6 分） (1)、
6 2 3 Fa c Fb c ； 6 3
(2)、
Fb
1 2 2 2 。 Fa ； (3)、 2 Fc 4
第 2 题（6 分） (1)、3； (2)、
3 2 gt 。 8
第 3 题（6 分） (1)、 F (受拉）或 F ；(2)、
O
vB
（1 分）
B
3 g 代入式(3)，有 (顺时针） （1 分） h
-5-
mg
4
aO
A
mg
2
问题（3）—— B 点速度 vB=0，由式(2)知
h b 6
C
（1 分）
BD 0
0
O
I B
由对 B 点的动量矩守恒得到
m 5 m 5 h vb h J B0 vb 21 6 21 6 (3) （1 分）
0
O v O
5 ，得 3
( 0 )
（1 分）
J O 2mr 2 cos2 5 d r sin 2 9mgr (1 cos ) 2mr 20 3
其中， 0 2
mgr 2 , 0 cos 1 。 3J O 3
l0
F0 nD ES A
(1 分)
由此得钢丝的张力
F0
P (1 e2 n ) 2 n
(1 分)
③环管的应力 求管道横截面上的应力 l ： （a） 0
l
(1 分)
求环管柱面形纵截面上的应力 v ：先用一个竖直平面沿管道环线的直径切开，再用过管道轴 线的竖直圆柱面将管道切成两半，可知
周培源力学竞赛试题与解答
� �DC 和 DB 界边含包不但�CB 含包�DCB 形角三为区力受腿五得即�CB 上加�式等不个两这
得
据根�足满然自均
据根�足满然自均得求�)5(程方去舍� 0=1N 令�力受不 1 腿设�力受腿五�b� 。形情种几他其论讨限�象一第面桌于位儿特模设面下 为标坐点 B 中其� �界边含不�IHCB 形菱为域区的解到得
。亮全灯盏六此因。盾矛起引会就�亮不灯分部一另�亮灯分部有 设假果如。变不度长�压受不腿桌的应对示表亮不灯而�短变度长�压受腿桌的应对示表亮灯 。同相也态状的灯 5 与 2 而�的同相是总态状的灯 6、4、3 、1 以所。亮不灯 6 和灯 4�称对�轴 x�下上据根又。亮会不也灯 3�称对�轴 y�右左据根则 �亮不灯 1 果如�称对荷载与构结于由。下如号标的灯各及系标坐设。法证反及性称对用利 �来起亮灯盏几有会�央中正的台舞在站儿特模果如�2� 。件条调协的形变�衡平力受�词键关 �系关有容内么什的中学力与题问本�1� 台舞型新与儿特模、二 �3.oN�6891�题 021 第题问小》践实与学力《 �祥道周�自写改题本� 。过通全安 可亦人个一另�间之 m)57.0-635.0 (为离距座支左离段伸外左于立再人的桥木独过通。桥木 独过通全安可人一另�时间之 m)57.0-635.0(为离距的座支右离段伸外侧右于立人个一当以所 m5.7 ≤1x 得� ]M[ ≤1M 到虑考 64.7 ≤ 1x≤ 635.0 得解 需则�立成恒式上使欲 得据数如代� ]M[≤ 2M ]M[ ≤1M � 求要�过通全安要欲
子箱的师术魔 3 图
。衡平持保置位平水在能仍子箱其及板 BA �后板 BA 开离球圆当�是的讶惊人令更。了开推球圆把就地易轻然竟�球圆下一了推右向 轻轻棒魔用师术魔 。示所 3 图如�衡平持保以可仍统系�置位间中的板 BA 在定固子箱把又 师术魔后然。 ?为角夹线垂与线连的 B 点触接和 O 心圆且�衡平持保以可都球圆和板�上球圆 在置 q 放平水 BA 板性刚把先首师术魔。上面平水的性刚在放� 3M 为量质�球性刚的 R 为径 半是具道个一后最�动转铰 A 的滑光绕可� 2M 为量质�BA 板性刚质均的 L 为长是具道个一 另� 1M 为量质�子箱体方立明透不的 a 为长边是具道个一中其。目节个一演表要师术魔 �分 52�演表的师术魔、三 台舞新的儿特模 2 图
第7届周培源全国大学生力学竞赛题参考解答
第七届全国周培源大学生力学竞赛评分标准一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm ，其质量m 1=0.3 kg ，杯底座半径R =5 cm ，厚度不计，杯脚高度h =10 cm 。
如果有一个质量1.02=m kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。
已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数f s = 0.5。
试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。
解： （1）分析杯子滑动情况设杯子不动，小球在杯子未运动前不脱离杯子。
取小球为研究对象，受力如图所示，应用动能定理有（2分）即由牛顿运动定理有ϕcos .2122g m F rv m −= （2分）解得（1分） 取杯子为研究对象，受力如图所示，0=∑x F ，0sin 1=−′F F ϕ0=∑y F ，ϕcos 11F g m F N ′−−=0 （2分）解得（1分）最大静滑动摩擦力N s F f F .max =，而=−F F mam 1.5)2sin cos 1(22ϕϕ−+g m ≥0由于max F F ≤，所以杯子不滑动。
（2分）A2ϕcos gr 0m 21222m v =−ϕϕ221N 2gcos 3m g 2sin g m 23+==m F F ϕcos 2gr v 2=′ϕgcos3m 21=F（2）分析杯子侧倾（一侧翘起）情况杯子处于侧倾的临界平衡状态时，0=x（2分）得 0cos 3sin cos 12=−ϕϕϕ＋ （2分）解得 °==63.3 , 45.0cos &&ϕϕ；°==45 ,22cos ϕϕ。
即°=63.3 ϕ时，杯子倾侧（一侧翘起）。
（2分）通过以上分析得知，当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角°=63.3 ϕ时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）。
周培源力学竞赛试题与解答)
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间 3 小时，满分 120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图 1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m 。
为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图 1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35 分）有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有6 条等长的桌腿（图 2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
图 2 模特儿的新舞台三、魔术师的表演（25分）魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；另一个道具是长为L的均质刚性板 AB，质量为 M2 ，可绕光滑的 A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。
全国大学生周培源力学竞赛模拟试题及答案-江苏大学
题（3） 一、简答题1、在有输送热气管道的工厂里，你可以看到管道不是笔直铺设的。
每隔一段距离，管道就弯成一个门框似的(见图)。
你考虑一下，这种做法有什么力学意义?2、如图所示，木栓阻止着上下两块木板相对沿移，因而在截面力AB 上直接受到剪力作用。
但当P 力逐渐加大时，木栓最后却沿着纹理方向CD 破裂。
你能解释这种现象吗？3、中国古代木结构建筑中，在上梁与柱子(图a)的连接处，往往采用一种独具风格的斗拱结构(示意如图b)。
试从材料力学的观点分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。
4、建筑工程中常用的钢筋混凝土结构，在设计上布置钢筋承受拉力、混凝土承受压力，这有什么好处？今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，如图所示。
在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。
有人说：这好办，只要中间部位再加一个桥墩就行了。
试分析一下这个方案是否可行?为什么?并请你提出一个可行的方案来。
题（1）题（2）题（4）5、有人作过计算，钢制潜艇在安全的极限潜水深度下，它的浮力要减小3％左右。
这是什么缘故?从材料力学的角度来说，在潜艇的设计中，除了强度和稳定性问题外，还有什么重要问题需要考虑？6、如果你开始学习空手道(气功)，有一件事看来是有趣的。
用赤手空拳作一次击断木板的表演，这牵涉到肌肉强度、打击速度、木材强度以及技术的水平和观众的注意、……等等许多问题。
从材料力学的观点，有一个问题似乎是基本的。
应该对单块木板还是对一叠木板(两者总厚相同，见图)作练功表演呢? 当然，所比较的这两种方案中除单块与层叠这点不同之外，其他条件完全相同。
此外，假定观众离你只有3m ，因而不易受骗，所以你在采用某种巧妙的方案时，还要注意不致露出破绽。
二、计算题7、公元前221—205年，古埃及一个君主下令首席工程师Belisatius 设计一艘特大的战舰。
舰长128m ，宽18．3m ，一个桨就要40个人来划。
显然，在当时这只是一种幻想。
第六届全国周培源力学竞赛试题答案
5
三、顾此失彼的挑战者（30 分）
（1）如果把滚轴 D 安装在 AB 板的 B 处，此时 AB 板由于自重所导致 的最大挠度在何处？ 板的自重影响为 本小问 9 分
w( x) =
约束的影响为
qx 2 ( x 2 + 6l 2 − 4lx) qx( x 2 + 3l 2 − 3lx) ， θ ( x) = 24 EI 6 EI N D x 2 (3l − x) N x(2l − x) , θ 2 ( x) = − D 6 EI 2 EI
1 2 2 mv y = mgH
D
小球落地时速度大小为 v y =
2 Hg 。碰撞后 y 方向上的速度大小
2
为 v y ' = ei 2 Hg ，再利用上式，得反弹的最大高度为 ei H 。所以
ei2 H =
2 6 2 = = e6 H ， ei = 3 9 3
（小球的号码为 6）
小球号码 3 分
由于落下的时间 t1 =
弯矩 M y = Tx Lj ， M z = Ty Hk ，合弯矩 M yz 与 z 轴角度为
D2
O
D1
My
Mz ϕ
M yz
z
力对 O 点力矩 3 分； 确定合弯矩 2 分 可代入具体数值
tan ϕ = M y / M z = tan θ
扭转应力在边缘最大， 因此最危险点可能在与 最危险，所以最危险点坐标为 ( 0,
强度表达式 1 分 可代入具体数值
f (θ ) = σ 1 − σ 3 ≈
μG1 L 1 + cos 2 θ (cos θ + μ sin θ ) W
μ G1 L df (sin θ − 2μ cos θ ) = 2 2 dθ (cos θ + μ sin θ ) 1 + cos θ W
周培源力学竞赛参考答案
周培源力学竞赛参考答案周培源力学竞赛参考答案周培源力学竞赛是一项全国性的力学竞赛，旨在选拔和培养优秀的力学学生。
参加这项竞赛需要对力学的基本概念和原理有深入的理解，并能够熟练运用这些知识解决实际问题。
下面将给出一些参考答案，帮助大家更好地准备和应对周培源力学竞赛。
第一题：质点在水平地面上做直线运动，已知质点的速度随时间的变化规律为v(t)=5t+2，其中v(t)为质点的速度，t为时间（s）。
求质点在t=3s时的位移。
解答：根据速度与位移的关系，可得位移与速度的关系为s(t)=∫v(t)dt，其中s(t)为质点的位移。
将速度函数代入，得到s(t)=∫(5t+2)dt=2.5t^2+2t+C。
由于在t=0时，质点的位移为0，所以C=0。
代入t=3s，可得质点在t=3s时的位移为s(3)=2.5*(3^2)+2*3=27.5m。
第二题：一个质量为m的物体沿着光滑的斜面自由下滑，斜面的倾角为θ。
已知物体在斜面上的加速度为a，求物体下滑的时间。
解答：根据斜面上的受力分析，物体在斜面上的合力为mg*sinθ，其中m为物体的质量，g为重力加速度。
根据牛顿第二定律，物体在斜面上的加速度为a=mg*sinθ/m=g*sinθ。
根据加速度与时间的关系，可得物体下滑的时间t=a/g*sinθ。
第三题：一个质点在水平地面上做匀速圆周运动，已知质点的半径为r，角速度为ω，求质点的线速度。
解答：质点的线速度v与角速度ω的关系为v=r*ω，其中v为质点的线速度，r 为质点的半径，ω为质点的角速度。
根据题意，已知质点的半径为r，角速度为ω，所以质点的线速度为v=r*ω。
第四题：一个质点在竖直向上的弹簧上做简谐振动，已知质点的振幅为A，周期为T，求质点的最大速度。
解答：简谐振动的速度与位移的关系为v(t)=Aω*cos(ωt+φ)，其中v(t)为质点的速度，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
根据题意，已知质点的周期为T，所以角频率为ω=2π/T。
十四届周培源力学竞赛题解
十四届周培源力学竞赛题解本文将对第十四届周培源力学竞赛的各个题目进行解答和分析。
通过深入思考和推理，我们将为您呈现详细的解题步骤和解题思路，帮助您更好地理解和掌握力学知识。
题目一：弹簧振子题目描述：一个弹簧挂在支架上，两边分别连接一个质点。
求弹簧的劲度系数 k。
解题思路：首先，我们可以根据胡克定律得出弹簧的劲度系数与振动频率之间的关系公式：ω = √(k/m)，其中ω是振动频率，k是劲度系数，m是质点的质量。
然后，我们需要测量振动频率ω。
将质点从平衡位置稍微偏离一定角度，释放后进行简谐振动，并用计时器记录振动的时间t，然后根据t计算振动周期T = 2t。
根据上述公式，我们可以将问题转化为求解频率ω，从而得到劲度系数k。
首先需要测量振动周期T，然后根据T计算出频率ω。
最后，带入已知条件并计算得到劲度系数k的值。
题目二：斜面上滑动的物体题目描述：一个物体沿着光滑斜面下滑，求在斜面上的摩擦系数μ。
解题思路：设物体在斜面上的重力为mg，斜面的倾角为θ，物体与斜面的接触面上有一个摩擦力f。
首先，我们可以根据斜面上物体的受力分析得到以下公式：mg*sinθ - f = ma，其中m是物体的质量，a是物体在斜面上的加速度。
然后，根据物体在斜面上的运动状态可知，摩擦力f的最大值为f_max = μN，其中μ是摩擦系数，N是物体在斜面上的法向压力。
在物体沿着斜面下滑的情况下，摩擦力与法向压力的关系为f = μN。
根据上述公式，我们可以将问题转化为求解摩擦系数μ。
通过分析物体在斜面上的受力关系，可以得到摩擦系数μ与其他已知量之间的关系，从而求解得到μ的值。
综上所述，通过运用力学知识和问题分析，我们可以解答第十四届周培源力学竞赛中的各个题目。
通过深入的思考和扎实的计算，我们能够得出正确的解题结果，并深入理解力学理论和应用。
力学竞赛不仅考验我们的知识积累，更培养了我们的分析和解决问题的能力，希望本文的解题思路能为您提供帮助和启发。
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解上述六个方程�由于桌腿不能提供拉力�令 Ni>0(i=1,„„,6)�得到不等式 |3x±4y|<2a
得到解的区域为菱形 BCHI�不含边界��其中 B 点坐标为 下面设模特儿位于桌面第一象�限讨论其他几种情形。
�b�五腿受力�设腿 1 不受力�令 N1=0 �舍去方程(5)�求得均自然满足�根据
�2�如果 a �求空隙的函数表达式 0 > Γ a �并画出示意图。 Γ 0 与 Γ a 有何关系� 设 AB 与 yz 平面的交点是 P � BP 的长度为 ξ 。则根据几何关系� P 点的坐标为
消去参变量 ξ �有
所以 点的轨迹是抛物线�的一部分��这也就是空隙的方程。而曲线 Γ 0 是 Γ a 的渐进线。
第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛�样题�
时间 3 小时�满分 120 分
一、奇怪的独木桥�25 分� 一位游客在某处发现有座独木桥�上面写着�禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都
是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪�为什么 2 个人可以过桥 而 1 个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试�结果没走到半程�就把独木桥压断了 而掉入水中。
�3�当 时�设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点�当 P 点位于 AB 杆中点且时�如果要求 P 点 的速度和加速度�你如何考虑�如果取
速度和加速度是多少� 思路�采用点的复合运动关系�以 p 为动点� AB 杆为动系。相对运动沿 AB 杆�牵连运动作定 轴转动�绝对运动是在 yz 平面内的抛物线上运动。 当 P 为 AB 杆中点时�设 P 点的坐标为 (xp,yp , zp) � B 点的坐标为(xB,yB ,zB ) ∠BOC= θ 。 其中
�3�模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来�请在长方形舞台上确定各区域的边界并 画出示意图�然后在该区域内写上亮灯的数目�提示�亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、 1�。
设模特儿重量为 P�所在 A 点的坐标为( x,y) 。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压� 下面就分析桌腿的受力。 �a�设六条腿的受力分别是 Ni(i=1,„„,6)�有平衡方程
�1�如果 a=0�求空隙的函数表达式 Γ 0 �并画出示意图。 �2�如果 a >0�求空隙的函数表达式 Γ a �并画出示意图。 Γ 0 与 Γ a 有何关系� �3�当 a >0 时�设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点�当 P 点位于 AB 杆中点且时�如果 要求 点的速度和加速度�你如何考虑�取 速度和加速度是多少�
可以看出�如果
B 处的约束反力就为零�由于转子的转动与电流有关�而 ε 是常数�因此事先设计好电流的 大小即可��这时撤去 B 处的约束不影响 板的平衡。 AB 在表演魔术时�可以让 B 点与圆球接 触时不通电�而圆球离开时通电。 四、出人意料的交线 �1�如果 a �求空隙的函数表达式 0 = 0 Γ �并画出示意图。 容易看出� 时 0 a = AB 杆在一个圆锥上运动�圆锥与 平面的交线为 yz
�f�一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性�即可作出整个桌面的亮 灯数目区域图。 �本题改写自�陈嘉�《力学与实践》小问题第 29 题�1982�No.3�秦寿珪�《力学与实践》 小问题第 100 题�1985�No.4�
三、魔术师的表演
�1�为什么在 AB 板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去�而魔术师用很小的力却可以推开圆 球�这其中涉及了什么力学内容� 关键词�摩擦�自锁。 当 AB 板压在圆球上时�圆球在自重�地面反力和 B 处反力作用下平衡。这时圆球处于摩擦自
均自然满足�根据
得
这两个不等式�加上 BC�即得五腿受力区为三角形 BCD�包含 BC�但不包含边界 BD 和 CD��
其中 D 点坐标为 �c�四腿受力有两种情况�第一种情况是 2、3、5、6 腿受力。舍去方程(5)、(6)�并令 N1=N4=0 � 再令 N2>0�得 -x-y+a>0 即知三角形 BDF 为四腿(2�3�5�6)受力区�包含 BD�但不包含边界 DF� �其中 F 点的坐 标为(a,0)。
图 2 模特儿的新舞台 三、魔术师的表演�25 分�
魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为 a 的不透明立方体箱子�质量为 M1 �另 一个道具是长为 L 的均质刚性板 AB�质量为 M2 �可绕光滑的 A 铰转动�最后一个道具是半 径为 R 的刚性球�质量为 M3 �放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板 AB 水平放 q 置在 圆球上�板和圆球都可以保持平衡�且圆心 O 和接触点 B 的连线与垂线夹角为? 。然后魔术师 又把箱子固定在 AB 板的中间位置�系统仍可以保持平衡�如图 3 所示。 魔术师用魔棒轻轻 向右推了一下圆球�竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是�当圆球离开 AB 板后� AB 板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。
其中
由于 点在 平面内运动�因此有
�ii�加速度分析�
其中
因此 由于 p 点在 yz 平面内运动�因此有 代入数据�有
第六届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校�清华大学
满分�120 分 时间�3 小时
一、声东击西的射击手�30 分�
射击的最高境界�不仅是指哪打哪�还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里�共有 10 个小球 Pi�号码从 0 到 9� �你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上�然后静止释放小球即可。
锁�再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时�这时圆球从受三个力 变为受四个力。如果摩擦力已达最大值�水平力虽然很小�仍可破坏圆球的平衡。
�2�根据上述介绍�你能否求出 AB 杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系� 利用三力平衡条件�圆球受力如图。
利用几何法�有
�由于 B R 要在摩擦角 θ 内�有
根据事后他的调查�小河宽 4 米�独木桥长 6 米�如图 1 所示横跨在小河上�支撑点可 以认为是铰链约束�。独木桥采用当地的轻质木材做成�等截面�允许最大弯矩为[M]=600N.m 。 为方便假设每人的体重均为 800N�而独木桥的重量不计。请你分析一下� �1�本问题与力学中的什么内容有关系� �2�如果一个人想过桥�最多能走多远� �3�当地居民过桥时两人需要进行配合�你认为两人应如何配合才能安全过桥�
图 1 奇怪的独木桥
二、模特儿与新型舞台�35 分� 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。该舞台类似长方形桌子�长为 �宽为 �有 6
条等长的桌腿�图 2�。每条桌腿都与水平地面有接触开关�如果接触处有压力就会使对应的 一盏灯亮起来。该模特儿发现�站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来�如图 2�她站 在舞台右上角附近时�左下角的灯就不亮。 如果把模特儿的重量认为是集中载荷�把舞台认为是刚体且不计质量�则 �1�本问题与力学中的什么内容有关系� �2�如果模特儿站在舞台的正中央�会有几盏灯亮起来� �3�模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来�请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图�然后在该区域内写上亮灯的数目�提示�亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1�。
四、出人意料的交线�35 分� 设 Oxy 是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成�初始时刻 CD 杆沿 轴�OB 杆长
为 �沿 x 轴正方向�AB 杆长为 l�开始时先与 轴平行�绕 x 轴负方向转动 β 角后�把这三 根杆件焊成一个整体�如图 4 所示。
假设在 平面内有一张纸存在�为了能让系统持续地绕 轴以匀角速度 yz z ω 转动�需要 在纸上挖出某种形状的空隙让 AB 杆通过�这里只考虑 AB 杆�。
欲要安全通过�要求 � M1≤ [M] M2 ≤[M] �代如数据得 欲使上式恒成立�则需 解得 0.536 ≤x1 ≤ 7.46 考虑到 M1≤ [M] �得 x1≤ 7.5m 所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为(0.536-0.75)m 之间时�另一人可安全通过独 木桥。通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为( 0.536-0.75)m 之间�另一个人亦可 安全通过。 �本题改写自�周道祥�《力学与实践》小问题第 120 题�1986�No.3� 二、模特儿与新型舞台 �1�本问题与力学中的什么内容有关系� 关键词�受力平衡�变形的协调条件。 �2�如果模特儿站在舞台的正中央�会有几盏灯亮起来� 利用对称性及反证法。设坐标系及各灯的标号如下。由于结构与载荷对称�如果 1 灯不亮� 则根据左右�y 轴�对称�3 灯也不会亮。又根据上下�x 轴�对称�4 灯和 6 灯不亮。所以 1、 3、4、6 灯的状态总是相同的�而 2 与 5 灯的状态也相同。 灯亮表示对应的桌腿受压�长度变短�而灯不亮表示对应的桌腿不受压�长度不变。如果假设 有部分灯亮�另一部分灯不亮�就会引起矛盾。=P(L-x)/ L 根据允许最大弯矩为[M] 600N m �有 P(L-x)x/L≤ M 代入数据�解出 x ≤1� x ≥3 即一个人最远可以向前走 1 米�另一解略去�。 �3�当地居民过桥时两人需要进行配合�你认为两人应如何配合才能安全过桥�
若两人同时上桥�一人在右侧外伸段距右端支座为 x1 处�另一个人在桥上�行至离左端支座 x2 处�其弯矩如图所示。这时支座的反力为 RA=P(L-x1-x2)/L, RB=P(L+x1+x2)/L 弯矩极大值为 M1=Px1,M2=P(L-x1-x1)x1/L
图 3 魔术师的箱子 �1�为什么在 AB 板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去�而魔术师用很小的力却可以推 开圆球�这其中涉及了什么力学内容� �2�根据上述介绍�你能否求出 AB 板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系� �3� AB 板只在 A 处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查�证明这 时平板有且只有 A 点与地面接触�排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗� 请指出其中可能涉及的奥秘�并分析其中可能涉及的参数。