压力容器应力分析-典型圆平板分析
08_压力容器应力分析_典型圆平板分析
3 ( 3 + μ ) pR 2 pR 2 σ r r =0 = σ θ r =0 = ≈ 1.238 2 2 t t 8 2 2 pR pR 3 σ θ r = R = (1 μ ) 2 ≈ 0.525 2 , σ r r = R = 0 t t 4
周边固支和周边简支对圆平板刚度和强度的影响 ① 对挠度的影响 两种支承条件下,板内最大挠度的比值为
2.4 平板应力分析
求解思路:
2.4.3 圆平板中的应力
2.4.3 圆平板中的应力
d 1 d dw Qr r dr r dr = D′ dr Solution of Qr = Qr (r) Boundary Conditions for Circular Plate
dw w = w(r ) → = → ( M θ , M r ) → (σ θ , σ r ) dr → (σ θ max , σ r max )
2.4.3 圆平板中的应力
弯矩在板内的分布如图所示
r = R, pR 2 M θ = -μ 8 pR 2 M r = 8
最大周向弯矩出现在板的中央处,而最大径向弯 矩出现在板的边缘处.此外,弯矩为负的含义表明其 方向与当初规定的方向相反(见图2-29).
2.4 平板应力分析
应力分布公式为
② 周边简支时,挠度方程为 P 3+ μ 2 2 r 2 w= R r + 2r ln R 16π D′ 1 + μ
(
)
wmax
3 + μ PR 2 r =0 = 1 + μ 16π D′
2.4 平板应力分析
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力 中心开有圆形孔的圆平板称为"环板".以周边 简支,内周边承受均布力矩的环板分析为例.
第2章 压力容器应力分析
郑州大学化工与能源学院
过程设备设计
2.2.5 回转薄壳的不连续分析
图2-12 组合壳
图2-13 连接边缘的变形
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2.2.5 回转薄壳的不连续分析
w1 w2
1 2
Q M 0 w1p w1 0 w1M 0 w2p wQ2 w2 0 Q M 1p 1Q 1M 2p 2 2
图2-11 储存液体的球壳
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2.2.4 无力矩理论的应用
三、无力矩理论的 应用条件 为保证回转薄壳处于薄膜状态，壳体形状、 加载方式及支承一般应满足如下条件： 1、几何形状、载荷、材料连续； 2、壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭 矩作用。 3、壳体的边界处的约束沿经线的切线方向， 不得限制边界处的扭角与挠度。
第2章 压力容器应力分析
第2.2节
回转薄壳应力分析
过程设备设计
第2-2节 回转薄壳应力分析
压力容器的各种壳体，多属于回转薄壳。 壳体—以两个曲面为界，且曲面之间的距 离远比其他方向尺寸小得多的构件。 壳体的厚度—两曲面之间的距离，用“t或 δ”表示。 壳体的中面—与壳体内、外两个曲面等距 离的曲面。
过程设备设计
第2章
压力容器应力分析
第2章 压力容器应力分析
第2.1节 载荷分析
过程设备设计
第2-1节 载荷分析
载荷：能够在压力容器上产生应力、 应变的 因素，如：压力、风载荷、地震载荷等。 2.1.1 载荷分类：压力载荷和非压力载荷。 1、压力载荷：它是压力容器承受的基本载荷。 一般采用表压。 压力容器中的压力载荷主要来源有： ①泵或压缩机； ②液体膨胀或汽化； ③饱和蒸汽压。 (另外，液体重量产生液体静压力) 压力容器上的压力，可能是内压、外压或两 者都有。
第二章压力容器应力分析
《过程设备设计基础》教案2—压力容器应力分析课程名称：过程设备设计基础专业：过程装备与控制工程任课教师：第2章 压力容器应力分析§2-1 回转薄壳应力分析一、回转薄壳的概念薄壳：（t/R ）≤0.1 R----中间面曲率半径 薄壁圆筒：（D 0/D i ）max ≤1.1~1.2 二、薄壁圆筒的应力图2-1、图2-2 材料力学的“截面法”三、回转薄壳的无力矩理论1、回转薄壳的几何要素（1）回转曲面、回转壳体、中间面、壳体厚度 * 对于薄壳，可用中间面表示壳体的几何特性。
tpD td pR tpD Dt D p i 22sin 24422====⨯⎰θπθϕϕσσαασπσπ（2）母线、经线、法线、纬线、平行圆（3）第一曲率半径R1、第二曲率半径R2、平行圆半径r（4）周向坐标和经向坐标2、无力矩理论和有力矩理论（1）轴对称问题轴对称几何形状----回转壳体载荷----气压或液压应力和变形----对称于回转轴（2）无力矩理论和有力矩理论a、外力（载荷）----主要指沿壳体表面连续分布的、垂直于壳体表面的压力，如气压、液压等。
P Z= P Z（φ）b、内力薄膜内力----Nφ、Nθ（沿壳体厚度均匀分布）弯曲内力---- Qφ、Mφ、Mθ（沿壳体厚度非均匀分布）c、无力矩理论和有力矩理论有力矩理论（弯曲理论）----考虑上述全部内力无力矩理论（薄膜理论）----略去弯曲内力，只考虑薄膜内力●在壳体很薄，形状和载荷连续的情况下，弯曲应力和薄膜应力相比很小，可以忽略，即可采用无力矩理论。
●无力矩理论是一种近似理论，采用无力矩理论可是壳地应力分析大为简化，薄壁容器的应力分析和计算均以无力矩理论为基础。
在无力矩状态下，应力沿厚度均匀分布，壳体材料强度可以得到合理的利用，是最理想的应力状态。
（3）无力矩理论的基本方程a、无力矩理论的基本假设小位移假设----壳体受载后，壳体中各点的位移远小于壁厚。
考虑变形后的平衡状态时壳用变形前的尺寸代替变形后的尺寸直法线假设----变形前垂直于中面的直线变形后仍为直线，且垂直于变形后的中面。
2.2.1 圆平板中的应力-I 均布载荷下的应力
2-65
22- 89 64
3 pr M r D 2 1 C 2 16 D 1 3 pr 2 M D 2 1 C 2 16 D pr Qr以自由转动，因而不 存在弯矩，即：
当r R时，w 0 M r 0
3＋ pR 2 C2＝－ 1 32 D 4 5＋ pR C4＝－ 1 64 D
2 - 92
2.2.1 圆平板中的应力-I 均布载荷下的应力
2 - 90 2-66
2.2.1 圆平板中的应力-I 均布载荷下的应力
20
第二节 圆平板中的应力
三、受均布载荷的圆平板中的应力
(二)周边固支的圆板： 在板中心(r=0),弯矩为：
M r M 1 pR 2 16
第二节 圆平板中的应力
三、受均布载荷的圆平板中的应力
(二)周边固支的圆板： 圆板的挠度： 2 p w R2 r 2 64 D 最大挠度：在板中心，r=0处，有：
wmax wr 0
pR 4 3 1 2 4 pR 64 D 16 Et 3
(2-75) 2 - 99
A点和B点分别转过 和+d
2 - 83
2.2.1 圆平板中的应力-I 均布载荷下的应力 图2-28 圆板对称弯曲的变形关系
2 - 84
7
第二节 圆平板中的应力
二、基本方程
(3)几何方程：
对于小挠度：
z d z d z dr dr 2r z 2r z 2r r r
改变材料并不能获得有利的应力状态。
5 pR 4 3 1 5 4 wmax wr 0 pR 3 1 64 D 16 Et
压力容器应力分析-厚壁圆筒应力分析
• 位移
•周向位移为零，只有径向位移和轴向位移
• 应变
•径向应变、轴向应变和周向应变
•分析方 法
•8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定 问题，需平衡、几何、物理等方程联立求解 。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•2.3.1 弹性应力
•p0
•研究在内压 、外压作用下 ，厚壁圆筒中 的应力。
•图2-15 厚壁圆筒中的应力
•一、压力载荷引起的弹性应力 • 1、轴向（经向）应力
•对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所 以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
•＝ A •（2-25）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
• 2、周向应力与径向应力 •由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体 着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
•表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•图2-21 厚壁筒内的综合应力 •（a）内加热情况；(b)外加热情况
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•由图可见
•内加热——内壁应力叠加后得到改善，
•
外壁应力有所恶化。
•外加热——则相反，内壁应力恶化，
•
外壁应力得到很大改善。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•筒体内外壁的温差，
•厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， • 表中
•厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•表2-2 厚壁圆筒中的热应 力
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布
•（a）内部加热
(b)外部加热
•2.3 厚壁圆筒应力分析
压力容器应力分析平板应力分析
C1
pR2 8D
,
C3
pR 4 64 D
代入式（2-63）
得周边固支平板的 斜率和挠度方程
dw pr R 2 r 2
dr 16D
w p R 2 r 2 2 64 D
（2-64）
压力容器应力分析平板应力分析
25
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）， 便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
（2-66）
26
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。
最大应力在板边缘上下表面，即 rmax34ptR22
图2-34a周边固支圆平压板力容的器弯应力曲分析应平力板应分力分布析 （板下表面） 27
2.4 .3 圆平板中的应力
2. 周边简p支圆平板
28
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
弯矩表达式：
Mr
p 3 R2
16
r2
M
p R23r213
16
（2-68）
应力表达式：
r
3 p3R2
8t2
r2
（2-69）
3 p 8t2
R23r213
压力容器应力分析平板应力分析
29
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 r 0 处，
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ、z 圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
压力容器应力分析
影响因素：结构、厚度、载荷、温度和材料
2.不连续应力的基本分析方法
薄膜解： 一次应力 外载荷 有矩解： 二次应力 边缘力和边缘弯矩
3.不连续应力的特点
Δσ是以Pa为假想载荷，按弹性规律确定的应力值。
c. 内压Pi作用下产生的应力
合成应力： b和c项的叠加
例题：一自增强厚壁圆筒，承受内压p＝250MPa．圆筒内
外直径Di＝300mm，Do＝500mm，材料为Ni-Cr-Mo高强度 钢，σs＝750MPa， σb＝900MPa，试求：(1)按Mises屈 服条件，计算当Rc＝200mm时的自增强压力pf；(2)在内 压p作用后Rc处的环向合成应力。
(
d )
dr
d
dr
(r )d rd
rd
r
d
dr
1 r
(
r
) 2
物理方程（应力与应变）
r
1 E
[ r
(
z )]
1 E
[
( r
z )]
r
1 E
( r
预应力：内层 残余压应力
+ 外层 残余拉应力
工作压力下引起的应力
合成应力
（均化了沿壁厚的应力分布）
自增强压力计算（通常按Mises屈服条件确定）
pa
s
3
(1
第二章压力容器应力分析24
dw ?
dr
?
dd2rw2 ????
过程设备设计
（2-57）
17
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr 和 M? 表
示成 ? 的形式。由式（2-57）可见，? r 和? ? 沿着厚度（即
?
dw ??
dr
，带入以上两式，
过程设备设计
应变与挠度关系 的几何方程
?r
?
?
z
d2 dr
w
2
??
?
?
z dw r dr
（2-55）
15
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
（3）物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
?r
?
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
8
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
pz
t/2 t/2
z
a.
R
d?
r
r+dr
r
d?
o y
z
d?
Qr+
dQr dr
dr
P M?
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr M?
t
Qr dr
c.
P M?
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr
Mr+
07_压力容器应力分析_平板应力分析
2.4.1 概述
2.4.1 概述
（1）板与壳
[qiào]
板与壳具有相同的特征：某一方向的尺寸(厚度)较 其它两个方向的尺寸小的多。但是，板和壳的不同点在 于，其初始形状分别为平板和曲面。板壳结构是工程中 最常用的结构之一，圆平板是容器封头的形式之一。
（2）板的分类 ① 按形状分
石油化工设 备中，圆平板使 用场合较多。
互不挤压假设 － 薄板的各层纵向纤维变形前后均互 不挤压。（这样，在分析过程中可忽却薄板内的法向应力，
ϭz =0）
上述假设，又称为 Kirchoff 假设,是下面对圆薄板 进行力学分析的基础。
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 在弹性力学里，对于静不定问题，通过位移法，由 平衡方程、几何方程和物理方程，推导出以挠度位移w 为自变量的园平板弯曲变形微分方程 w f (r ) 。 （1）平衡方程 微元体的取出：一对相距 dr 的圆柱面；一对相差 dθ 的经向截面；一对圆板的上下表面（厚度为 t ）。 微元体的受力分析：微元体所受内力中，只有弯矩和 剪力；根据轴对称性，只有剪力Qr存在， Qr 对应的剪 应力为 rz ；此外，微元表面有外力 pz。 上述内力(弯矩及剪力)均为单位长度上的内力， 其单位可表示为 N· M / M和N / M， pz单位为MPa。
12M r z r 3 t 12M z 3 t
显然上式中， z
(2 59)
t 时，弯曲应力最大。 2
(2-58)式是由几何方程和物理方程得到的，将 (2-58)式代入平衡方程(2-54)式，整理得
2.4 平板应力分析
2 压力容器应力分析5
σ cr < σ tp 适用条件： 适用条件：
河北科技大学装控系
14
二.受均布周向外压的短圆筒的临界压力
考虑端部约束或筒体上刚性构件的支持作用
3 Et E t 2 2n2 −1− µ + pcr = (n −1) + 2 2 2 2 nL 12(1− µ ) R nL 1+ R(n2 −1) 1+ πR πR
河北科技大学装控系
10
一.受均布周向外压的长圆筒的临界压力
通过推导圆环临界压力，变换周向抗弯刚度， 通过推导圆环临界压力，变换周向抗弯刚度，即可导出长圆筒的
a、圆环的挠曲微分方程：见图（2-39） a、圆环的挠曲微分方程：见图（2-39）
d 2w w M + 2 =− 圆环挠度曲线微分方程： 圆环挠度曲线微分方程： 2 ds R EJ
3.失稳现象 3.失稳现象
承受外压载荷的壳体，当外压载荷增大到某一值时，壳 承受外压载荷的壳体，当外压载荷增大到某一值时， 体会突然失去原来的形状，被压扁或出现波纹， 体会突然失去原来的形状，被压扁或出现波纹，载荷卸 去后，壳体不能恢复原状， 去后，壳体不能恢复原状，这种现象称为外压壳体的屈 buckling）或失稳（instability）。 曲（buckling）或失稳（instability）。
p cr
代替D 用DO代替D 钢质圆筒（ 钢质圆筒（µ=0.3）： ）
p cr
t = 2 .2 E D 0
3
临界应力（ 临界应力（临界压力在圆筒 σ cr = pcr D0 = 1.1E t （2-93） ） 2t 壁中引起的周向压缩应力） 壁中引起的周向压缩应力）： D0
第二章 压力容器应力分析2.1-2.2
2.2 回转薄壳应力分析
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.1 薄壁圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
过程设备设计
40
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.3 无力矩理论的基本方程
过程设备设计
求解思路
制造安装 正常操作
开停工 压力试验
检修 等等
正常操作工况 特殊载荷工况 意外载荷工况
根据不同载荷工况，分别计算载荷
21
2.1 载荷分析
过程设备设计
1、正常操作工况
载荷
设计压力 液体静压力 重力载荷 风载荷 地震载荷 其他载荷
隔热材料、衬里、内件、物 料、平台、梯子、管系、支 承在容器上的其他设备重量 等
绝对压力
以绝对真空为 基准测得的压 力。 通常用于过程 工艺计算。
表压
以大气压为基准 测得的压力。 压力容器机械设 计中，一般采用 表压。
8
2.1 载荷分析
压力容器中的压力来源
过程设备设计
1
流体经泵或压 缩机，通过与 容器相连接的 管道，输入容 器内而产生压 力，如氨合成 塔、尿素储罐 等。
2
3
加热盛装液体 的密闭容器， 液体膨胀或汽 化后使容器内 压力升高，如 人造水晶釜。
30
2.2 回转薄壳应力分析
过程设备设计
B点受力分析
B点
内压P
轴向：经向应力或轴向应力σφ 圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr
σθ 、σφ ＞＞σr 三向应力状态
二向应力状态
31
2.2 回转薄壳应力分析
圆板受力分析[策划]
![圆板受力分析[策划]](https://img.taocdn.com/s3/m/7e38f483dc88d0d233d4b14e852458fb770b38ba.png)
第10章压力容器的弯曲应力和二次应力本章重点内容及对学生的要求：（1）掌握圆平板受均布载荷时的弯曲应力的分布规律以及对弯曲应力的限制；（2）了解边界应力的产生原因和性质以及对二次应力的限制。
第一节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、承受均布载荷圆形平板的变形承受均布载荷的圆形平板变形后的宏观示意图如图1所示。
图1 承受均布载荷的圆平板变形2、径向弯曲应力与环向弯曲应力的分布规律及最大值当板的上表面承受均布载荷时，板下表面所产生的最大弯曲应力沿半径的变化情况如图2所示。
周边简支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的中心处，其值为：2max ,0,023(3)()()8M r r M r pR θμσσσδ==+===（1）对于化工用钢，0.3μ=，则：2max 21.24pR σδ= （2）对于周边固支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的四周，其值为：2max 20.75pR σδ=± （3）上述公式中的“—”代表圆板上表面的应力，带“＋”表示的是下表面的应力。
3、弯曲应力与薄膜应力的比较与结论上面两个式（1）与（3）可以统一为：2max 2pD Kσδ= （4）其中K 为系数，对于周边简支圆平板：0.31K =；对于周边固支圆平板：0.188K =。
为了与同直径，同厚度的圆柱形壳体所产生的薄膜应力进行比较，将（4）写成：max 222D pD DK Kθσσδδδ==（5）可见圆平板的应力是圆柱体的2DKδ倍，此值非常大。
第二节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、边界应力产生的原因当设备相邻两段性能不同，或所受温度或压力不同，导致两部分变形量不同，但又相互约束，从而产生较大的剪力与弯矩。
以筒体与封头联接为例（图3），圆柱筒身与较厚的平板封头相连接在一起，承受内压时筒身要向外胀大，而平板型封头对其有一个约束作用，平板在内压下发生的是弯曲变形，直径不会增大，所以筒体与封头在连接处所出现的这种自由变形的不一致，必然导致在这个局部的边界地区产生相互约束的附加内力，即边界应力。
压力容器的应力分析
按应用情况
反应压力容器（Ｒ）完成物理、化学反应，如反应器、反应釜、分解锅、聚合釜、变换炉等； 换热压力容器（Ｅ）热量交换，如热交换器、管壳式余热锅炉、冷却器、冷凝器、蒸发器等； 分离压力容器（Ｓ）流体压力平衡缓冲和气体净化分离，如分离器、过滤器、缓冲器、吸收塔、干燥塔等； 储存压力容器：（Ｃ，球罐为Ｂ）储存、盛装气体、液体、液化气体等介质，如各种形式的贮罐、贮槽、高位槽、计量槽、槽车等。
图片
压力容器的结构图
零部件的二个基本参数：公称直径DN
对于用钢板卷制的容器筒体而言，其公称直径的数值等于筒体内径。 当容器筒体直径较小时，可直接采用无缝钢管制作时，这时容器的公称直径等于钢管的外径。 管子的公称直径（通径）既不是管子的内径也不是管子的外径，而是一个略小于外径的数值。 见P181 表14-1压力容器的公称直径DN
球形壳体
球壳R1＝R2=D/2，得： 直径与内压相同，球壳内应力仅是圆筒形壳体环向应力的一半，即球形壳体的厚度仅需圆筒容器厚度的一半。 当容器容积相同时，球表面积最小，故大型贮罐制成球形较为经济。
圆锥形壳体
圆锥形壳半锥角为a，A点处半径为r，厚度为d，则在A点处：
圆锥形壳体
锥形壳体环向应力是经向应力两倍，随半锥角a的增大而增大；a角要选择合适，不宜太大。 在锥形壳体大端r=R时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因此，一般在锥顶开孔。
工程上常用的应力分析方法：
有力矩理沦：不仅承受拉应力，还承受弯矩和弯曲应力； 无力矩理沦：只承受拉压应力，不能承受力矩的作用 无力矩理沦有近似性和局限性，其误差在工程计算允许的范围内，计算方法大大简化，该方法常被采用。 应用条件：
圆筒的应力计算
作用力： 由内压作用在端盖上产生轴向拉应力 ，称为经向应力或轴向应力； 由内压作用使圆筒向外均匀膨胀，在圆周切线方向所产生的拉力称为环形应力或周向应力，用表示 常为薄壁容器，筒壁较薄， 可认为 是均匀分布的，径向应力 可忽略不计
第二章第二节圆平板中的应力
(σ )
f r max
3 pR 2 = 4t 2
（2-78） ）
(σ )
s r max
µ ≈ 0 .3
s (σ r )max f (σ r )max
=
3. 3 = 1.65 2
这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。 这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。
第二章 中低压容器的规则设计
（2-72）
最大应力： 最大应力： 在r=0处 处
（2-73）
第二章 中低压容器的规则设计
Et 3 D= 12 1 − µ 2
(
)
注意：最大挠度和最大应力与圆板的材料、 注意：最大挠度和最大应力与圆板的材料、半 厚度有关，因此，若构成板的材料和载荷一定， 径、厚度有关，因此，若构成板的材料和载荷一定，减 小半径或增加厚度都可以减小挠度和最大正应力。 小半径或增加厚度都可以减小挠度和最大正应力。当圆 板的几何尺寸和载荷一定，则选用E、 较大的材料可 板的几何尺寸和载荷一定，则选用 、µ较大的材料可 减小最大挠度值，然而最大应力只与（ 减小最大挠度值，然而最大应力只与（3+µ）成正比， ）成正比， 无关， 与E无关，故改变材料并不能获得有利的应力状态。 无关 故改变材料并不能获得有利的应力状态。
s wmax
(5 + µ ) pR 4 = （2-68） ） (1 + µ ) 64 D
f wmax
pR 4 = 64 D
（2-75） ）
s wmax 5 + 0.3 = = 4.08 f wmax 1 + 0.3
(钢材：µ = 0.3)
这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。 这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。
2、压力容器应力分析
2.5 R 与R相比是很小
的。
31
2、自限性
压力容器应力分析
边缘应力是由于相连接的两种几何壳体的自由变形不一
致，相互间存在弹性约束力所引起的，对于塑性较好的材料，
当边缘应力达到屈服极限时会发生塑性变形，使弹性约束缓 解，变形趋于协调，边缘应力自行受到限制。因此，实际中 更为常见的是只计算薄膜应力，不计算边缘应力，在设计时 对个别情况作局部结构处理。但是对于脆性材料壳体、经受
23
p0
t
σφ
R
σφ
径向朝外的p0相互抵消，产生ζθ而与ζθ无关，朝下的p0由筒底承担，
筒底将力又传给支座和基础，朝上的p0与ζθ相平衡：
2πRtζθ=πR2p0
则 p0R 2t
24
若容器上方是开口的，或无气体压力（p0=0）时，ζθ=0
b. 球形壳体
压力容器应力分析
注：充满液体
任一点M：p=ρgR(1-cosθ)
图a： D i 2 p Dt pD
4 4t
图b： D i Lp 2tL pD
2t
5
2.1.2 回转薄壳的无力矩理论
压力容器应力分析
6
压力容器应力分析 OA、OA′——母线、经线；
OO′——回转轴；
O（中面与回转轴交点）——极点； 纬线——正交圆锥面（母线k2B）与回转曲面截交所得圆；
同时考虑薄膜内力和弯曲内力，适用
于抗弯刚度大、曲率变化大 只考虑薄膜内力、不考虑弯曲内力，
适用于抗弯刚度小、曲率变化小
承受轴对称载荷的回转薄壳，仅有径向力 Nθ与环向力Nθ、无弯曲内力的应力状态
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（1）承受均布载荷时圆平板中的应力
板内剪力求解：
如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r
2
2()2r r r r Q p r
pr Q Q r ππ⋅=⋅==()r r Q Q r =注意：
根据图2-29(c)来确定
右图中剪力的符号。
将上述边界条件代入（2－63）式中，求得
)µ+
最大周向弯矩出现在板的中央处，而最大径向弯矩出现在板的边缘处。
此外，弯矩为负的含义表明其方向与当初规定的方向相反（见图2-29）。
类似于上述方法，可得到挠度方程
板的上(负号)、下(正号)表面的应力分布如下
()()()222222338(269)
33(13)8r p R r t p R r t θσµσµµ⎧=+−⎪⎪−⎨⎪⎡⎤=+−+⎣⎦⎪⎩∓∓可见，板内
最大拉应力在板
的下表面中央部
位处。
薄圆平板应力特点
①
板内为两向纯弯曲应力，忽略z 方向的应力σz 和剪力Q r 引起的剪应力τ。
②板内的弯曲应力沿径向的分布形式与周边支承形式有关，工程实际中的支承形式介于固支和简支之间。
③在同等条件下，板内的最大应力要远大于薄壳内
的应力，故板的厚度要比薄壳厚度大。
（2）承受集中载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：
如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r
2()2r r r r Q P
P Q Q r r
ππ⋅===()r r Q Q r =
中心开有圆形孔的圆平板称为“环板”。
以周边简支，内周边承受均布力矩的环板分析为例。
122123()0
102ln 4r r Q Q r d d dw r dr r dr dr C C dw r dr r C r w r C C R ϕ==⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦
⎧=−=+⎪⎪⎨⎪=−−+⎪⎩
2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
如图所示环板，须注意与上述例子的不同在于，只是边界条件有所不同。
11
,,00
r r r R M M r R M and w ==−===Boundary Conditions:
这样，我们就可以对许多类似的问题进行求解。
下面举二例，并给出答案，由同学课下去做。
工程应用中的圆板受力要复杂的多，我们在解决这类实际问题时往往采用线性叠加的方法。
当然，这种线性叠加的前提是圆板受力在线弹性范围内。
2.3.5 圆板承受复杂受力求解思路
例1 周边简支内周边固支
且承受集中力P
()11
01
1220r R r R P Q R πϕϕϕ====+=
由(b)、(c)两种情形分别求出，根据其和为零，得到弯矩。
这样由
(b)、
(c)两种典型解的线性叠加，得到(a)的复杂解。
12,ϕϕ1M 例2 周边简支并承受均布载荷的环板(a)看做由(b)和(c)叠加而成，下面求M r 和Q r 。
这样，叠加图中的弯矩和剪力方向与此正好相反。
2
11
1
122122
By Eq.(2-68), when ,we find
(3)()16r r r R Q p R pR Q r R p
M R R ππµ====+−
最终的叠加方案如下图所示。
2.3 平板应力分析 2.
3.5 圆板承受复杂受力求解思路例3 法兰盘开孔接管结构。