历年数学高考试题

高考理科数学

第一部分（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(2

2=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ） A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y x

C ．5)2()2(2

2

=+++y x

D ．5)2(2

2=++y x

2．2005

11i i +⎛⎫= ⎪

-⎝⎭

（ ）

A ．i

B ．－i

C ．20052

D ．－20052

3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得

0)(

A ．)2,(-∞

B ．),2(+∞

C ．),2()2,(+∞--∞

D ．（－2，2）

4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与DA 的夹角

为（ ）

A ．

54arccos 2-π

B ．5

4

arccos C ．)5

4

arccos(-

D ．－)5

4

arccos(-

5．若x ，y 是正数，则22)21

()21(x y y x +++

的最小值是（ ） A ．3 B ．

2

7 C ．4

D ．

2

9 6．已知α、β均为锐角，若q p q p 是则,2

:),sin(sin :π

βαβαα<++<的

（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；

③α内有不共线的三点到β的距离相等；

④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

8．若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41

x

项的系数之比为－5，则n 等于 （ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

9．若动点（y x ,）在曲线

)0(1422

2>=+b b

y x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ）

A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)

4(2),40(44

2

b b b b

B ．⎪⎩

⎪⎨⎧≥<<+)

2(2),20(44

2

b b b b

C ．44

2

+b

D ．2b

10．如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD

上分别取点E 、F 、G ， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O —BCD 的体积等于 （ ）

A ．91

B ．81

C ． 71

D ．4

1

第二部分（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2

R| }2|2|<-x ，则B A = .

12．曲线)0)(,(3

3≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为

a 则,6

1

= 13．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+=

14．n n n n n 231

233

232lim +-+∞→= 15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能

的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为

16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）

若函数)2

cos(2sin )

2

sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=

ππ

的最大值为2，试确定常数a 的值.

18．（本小题满分13分） 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

（Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE

19．（本小题满分13分）

已知R a ∈，讨论函数)1()(2

+++=a ax x e x f x 的极值点的个数

20．（本小题满分13分） 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3

π

，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；

（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值.

1

1

1