方差 -数学教案
方差
称 D( X ) 为 标 准 差 或 均 方 差 , 记 为σ ( X ).
3. 方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量 X 取 值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果
D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以
E(X) 作为随机变量的代表性好.
2
D( X ) D(Y ). 显然 D（X C） D（X） .
推广: 若 X1 , X 2 ,, X n 相互独立, 则有
D( X 1 X 2 X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) D( X n ).
D( a i X i ) a D( X i )
2
2
1 2σ 2 ( x μ) e d x. 2 πσ ( x μ )2 2 x x 2 2σ 2 ( )e d( ). 2π
( x μ )2
σ 2π 2
2
t2 2 2
t e
σ dt 2π 2π
2
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
(教材P317附表8)
分 布 参数
0 p1 n 1,
数学期望
方差
p(1 p ) np (1 p )
两点分布
二项分布 泊松分布 均匀分布
p
np
0 p1
0
ab
0
1/
1 / 2
(a b) 2 (b a )2 12
第二节 方
差
一、随机变量方差的概念及性质
二、重要概率分布的方差
三、例题讲解 四、小结
15讲方差
图示, 图示, 方差大和方差小的情况 f1(x) 方差大
f2(x)
方差小
x
方差越大,随机变量的取值越分散;反之, 方差越大,随机变量的取值越分散;反之,越 集中在期望的附近. 集中在期望的附近.方差有非常重要和直观的 实际意义,如某些地区年温差较大, 实际意义,如某些地区年温差较大,即气温方 差较大,而有些地区四季如春,气温方差较小. 差较大,而有些地区四季如春,气温方差较小. 2010-7-6
2010-7-6 12
∞
方差实际上就是随机变量的函数 g(X)=(X-E(X))2的数学期望,如果 是离散 的数学期望,如果X是离散 型随机变量, 并且P{X=xk}=pk (k=1,2,...), 则 型随机变量 并且 ∞
D( X ) = ∑[xk E( X )] pk
2 k =1 +∞
如果X是连续型随机变量 有概率密度f (x), 则 , D( X ) = ∫[x E( X )] f (x)dx
概率论与数理统计 15讲 第15讲
2010-7-6
1
方差
2010-7-6
2
两封信随机投向1,2,3,4四个信箱 四个信箱, 例1 两封信随机投向 四个信箱 X1,X2代表头两个信箱里的信数目 求在第 代表头两个信箱里的信数目, 求在第2 个邮箱里有1封信条件下第一个邮箱内信数 个邮箱里有 封信条件下第一个邮箱内信数 平均数 的平均数. 解 因已经计算出 2×2 2×3 2 P{X1 = 0 | X2 =1 = } / = 16 16 3 2 2×3 1 } P{X1 =1| X2 =1 = / = 16 16 3 因此 在X2 =1条 下 X1的平 , 件 , 均值 为 应 2 1 1 E{X1 | X2 =1 = 0× +1× = } 3 3 3
方差
4.5.2方差教学设计作者：高学芝学校：新泰市翟镇初级中学创建时间：2014-07-2515:04 浏览数：48质量评价结果：优秀指导教师赵航优秀 2014-07-25 15:56教学设计很有特色，问题设计导学性强，设计说明便于体现意图，新知探究学生参与充分，学生训练量大。
值得学习4.5.2方差教学设计一、教与学目标：1.知识与技能：(1)理解方差、标准差的意义，(2)计算一组简单数据的方差与标准差2.过程与方法：(1)经历数据的处理过程，发展学生的统计意识和数据处理能力(2)掌握用方差、标准差分析数据离散程度的方法，能结合具体情境体会二者的区别；(3)能根据结果作出简单判断，从而帮助决策者作出恰当决策。
3.情感态度与价值观：(1)解决实际情景中的问题，增强学生的统计意识，(2)通过小组活动培养学生的合作交流意识二、教与学重点难点：掌握用方差、标准差分析数据离散程度的方法，能结合具体情境体会二者的区别。
三、教学方法：问题教学法，分组讨论法，自主学习自主探究，互动学习，合作探究。
学生通过自主探究、合作学习体会方差、标准差在实际问题中的应用。
四、教与学过程：（一）、情境导入：（利用幻灯片出示下列问题）[预设问题一]：反映一组数据集中趋势的统计量有。
[预设问题二]：一组数据的离散程度，就是通常所指的这组数据的稳定性，离散程度越，稳定性越；反映一组数据离散程度的统计量有。
[预设问题三]：甲、乙两名同学10次数学测试的平均成绩均为93，要选一人参加数学竞赛，你认为应从哪个角度来分析，让谁去更合适。
目的：通过多媒体手段，向学生出示有关考查数据的问题，一方面让学生感受数学与现实生活的联系，增强学生数学学习的应用意识；另一方面让学生进一步建立利用方差，标准差来分析问题的模型。
（二）、探究新知：1、预设问题导读：（1）、若你是工厂的老板，想对你的车床工人的技术进行测试，你将用什么办法？请说说你的想法？（2）、结合P101---- P102完成下列问题：a.例2.要从甲、乙两位车工中选拔一名车工参加比赛，从他们加工的零件中任意抽取5个进行检验，测得它们的直径（单位：毫米）如下：甲加工的零件：15.05，15.02，14.97，14.96，15.00乙加工的零件：15.00，15.01，15.02，14.97，15.00①分别求两个样本的平均数和方差②应推荐谁参加技术比赛，说明理由。
方差
一、方差的概念 二、方差的计算 三、方差的性质 四、切比雪夫不等式 五、课堂练习
一、方差的概念 1.概念的引入
引例 设两个班的成绩X,Y 分布律分别为 A班 B班 X p Y p 60 0.2 70 0.7 80 0.1 90 100 0.2 0.05
40 50 60 70 80 0.1 0.2 0.15 0.1 0.2
D(CX ) C 2 D( X ).
证明 D(CX ) E {[CX E (CX )]2 }
C 2 E {[ X E ( X )]2 } C 2 D( X ).
(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y )=D(X )+D(Y );
证明: D ( X Y ) E{( X Y ) 2 } [ E ( X Y )]2
2
1
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
x
,
2 2
E ( X ) x f ( x) d x 0 x e 用两次分部积分 2 2.
dx
D( X ) E ( X ) E ( X )
2 2
A班 B班
X p Y p
60 0.2
70 0.7
80 0.1 90 100 0.2 0.05
40 50 60 70 80 0.1 0.2 0.15 0.1 0.2
E(X )=69. E(Y )=69.
D( X ) [ xk E ( X )]2 pk
k 1
(60 69) 0.2 (70 69) 0.7 (80 69) 0.1 29. D(Y ) [ yk E (Y )]2 pk
随机变量乘积的方差
随机变量乘积的方差随机变量乘积的方差随机变量是统计学和概率论中的重要概念之一，它描述了实验或事件的不确定性。
在现实生活中，我们经常会遇到多个随机变量相乘的情况，如投掷骰子的结果相乘、抛硬币的正反面相乘等。
而了解这些随机变量乘积的方差对于我们理解和分析这些随机事件的不确定性至关重要。
本文将从简单的情况入手，逐渐深入探讨随机变量乘积的方差，并展示其在实际应用中的潜力和重要性。
1. 随机变量乘积的方差初探让我们考虑两个独立随机变量的乘积的方差。
设随机变量X和Y分别表示两个独立的事件或实验的结果，它们的方差分别为σX^2和σY^2。
那么，它们的乘积Z = XY的方差如何计算呢？在这种简单情况下，我们可以使用方差的性质来计算Z的方差。
根据方差的性质，如果X和Y是独立的，那么Z的方差为σZ^2 =E[(XY)^2] - (E[XY])^2。
由于X和Y是独立的，所以E[XY] =E[X]E[Y]。
Z的方差可以表示为σZ^2 = E[X^2Y^2] - (E[X]E[Y])^2。
2. 两个特殊情况的方差计算接下来，我们考虑两个特殊情况的方差计算。
首先是当X和Y相等时，即Z = X^2的方差。
在这种情况下，我们可以将Z的方差表示为σZ^2 = E[X^4] - (E[X^2])^2。
通过计算X的四阶、二阶和一阶矩，我们可以得到Z的方差的具体数值。
其次是当X和Y互为倒数时，即Z = 1/X的方差。
这种情况下，我们可以将Z的方差表示为σZ^2 = E[1/X^2] - (E[1/X])^2。
同样地，通过计算X的二阶和一阶矩，我们可以得到Z的方差的具体数值。
3. 随机变量乘积方差的实际应用随机变量乘积的方差在实际应用中有着广泛的应用。
在金融领域，投资组合的回报率往往是多个随机变量的乘积。
了解投资组合回报率的方差可以帮助我们评估投资的风险和潜在收益。
在工程领域，随机变量乘积的方差经常用于衡量系统的稳定性和可靠性。
当我们考虑多个失效率相乘来评估系统的可靠性时，了解这些随机变量乘积的方差可以帮助我们确定系统的稳定性和寿命。
方差
必修三第二章第2节2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)制作人：凌飞 徐丽恒 审核人： 适范围：高一用 使用日期：3.28-4.3【教学目标】1.理解一组数据的平均数、方差、标准差的概念并会求平均数、方差、标准差.2.会用方差、标准差估计总体的数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 【教学重难点】通过实例理解样本标准差的意义和作用，学会计算样本标准差.【课前小练】一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下，则该班组工人月工资的平均数为__________．【新课导航】1.数据的变化的程度可以用________、________或________来描述，样本方差描述了一组数据围绕________波动的大小．2.一般地设样本元素为n x x x ,,,21 样本平均数：描述数据的平均水平x =______________________________.样本方差：描述一组数据围绕平均数波动大小s 2＝________________________ ，标准差s ＝____________________ . 3.()()()nx x x x x x s n 222212-++-+-=标准差：()()()nx x x x x x s n 22221-++-+-=【典例分析】例1. 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中随机抽取6件进行测量，测得数据如下：(单位：mm)：甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100. (1) 分别计算上述两组数据的平均数和方差(2) 通过计算，请你说明哪一台机床加工的零件更符合要求.变式一.从甲､乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的株高如下(单位;cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?例2 如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为5,方差为4， 则数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2，…，3x n －2的平均数和方差为多少？变式2. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（） （A ）x ，22s 100+（B ）100x +，22s 100+（C ）x ，2s （D ）100x +，2s【课堂练习】1已知5个数据3、5、7、4、6，则该样本的标准差为( )A1 B ．2 C 3 D ．22.某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，平均分和方差为甲x ＝82分，乙x ＝82分，s 2甲＝245，s 2乙＝190，那么成绩较为整齐的是( )A ．甲班B ．乙班C ．两班一样齐D ．无法确定3.如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为10，方差为2，则数据7x 1－2,7x 2－2,7x 3－2，…，7x n －2的平均数为________，方差为________．4.随机调查某校50个学生在学校的午餐费如表所示，这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（ ）A ．7.2，0.56 B ．7.2，C ．7，0.6D ．7，5.某校篮球队进行定点投篮测试，共进行五轮，每轮每人投篮10次．甲，乙两位同学五轮投篮命中的次数如下：甲：7 6 7 8 6 乙：9 5 7 9 4 则成绩比较稳定的是 ． 【课堂小结】标准差（方差）反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差（方差）越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散. 【课后作业】1、有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机是随机抽取了16台，记录上午8：00～11：00间各自的销售情况（单位：元），用茎叶图表示：设甲、乙的平均数分别为，标准差分别为s 1，s 2，则（ ）A ．，s 1＞s B ．＞，s 1＜s 2 C ．＜，s 1＜s 2 D ．＜，s 1＞s 22.如果数据x 1，x 2，…x n 的平均数是 2，方差是3，则2x 1+3，2x 2+3…，2x n +3的平均数和方差分别是（ ） A ．4与3B ．7和3C ．7和12D ．4和 123.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.84.已知一个样本x ，1，y ，5，其中x ，y 是方程组的解，则这个样本的标准差是（ ）A ．B ．2C ．D ．5.对划艇运动员甲､乙二人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们最大速度(m/s)数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36. 画出茎叶图并求均值，标准差.选作题：若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是 ．选做题：若x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n的平均数分别是x和y，试求出下列几组数据的平均数．(1)3x1,3x2，…，3x n；(2)x1－y1，x2－y2，…，x n－y n；(3)2x1＋m,2x2＋m，…，2x n＋m.6.某市对上下班交通情况做抽样调查，上下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速如下：上班时间：30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20；下班时间：27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30；（1）用茎叶图表示上面的样本数据（2）求样本数据的极差、方差。
方差PPT课件
47 72
10
28 72
9 72
1.2.
由于s2甲＜s2乙，所以乙的射击成绩比甲的波动小，乙 的成绩更稳定些.
感悟新知
知1－讲
1. 定义：设n个数据x1， x2， …，xn的平均数为 x,
2
各个数据与平均数偏差的平方分别是 x1 x ,
2
2
x2 x , , xn x . 偏差平方的平均数叫
波动大小的关系.
感悟新知
知1－练
2 对于一组数据－1，－1，4，2，下列结论不正确 的是( ) A．平均数是1 B．众数是－1 C．中位数是0.5 D．方差是3.5
感悟新知
知1－练
3 设数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差为s2， 若s2＝0，则( ) A． x ＝0 B．x1＋x2＋…＋xn＝0 C．x1＝x2＝…＝xn＝0 D．x1＝x2＝…＝xn
感悟新知
知2－练
解：经计算知，甲、乙两个品牌手表日走时误差的平均数均为0.
两组数据的方差分别为
s甲2
1 50
22
5
12
11
02
17
12
13
22
4
1.2.
s乙2
1 50
32
2
22
6
12
11
02
14
12
8+22
6+32
3
2.24.
感悟新知
知2－练
由于 s乙2 ＞s甲2，所以从日走时误差方差的角度看，甲品牌优于
89 30 59
1 课堂探究点
两位数加、减整十数
2 课时流程
探索 新知
课堂 小结
当堂 检测
第6章方差分析
• 结果解读5
➢ S-N-K检验结果将无统计学意义的比较组列在同 一列中。即样本均数显示在同一列时，表示两组 总体均数差别无统计学意义。
➢单因素方差分析 完全随机设计的单因素方差分析 多个样本均数间的多重比较 ➢多因素方差分析 随机区组设计的方差分析 交叉设计的方差分析 拉丁方设计的方差分析 析因设计的方差分析 正交设计的方差分析 重复测量资料的方差分析 协方差分析
区组 I组
II组
III组
1
3.6
3.0
0.4
2
4.5
2.3
1.7
3
4.2
2.4
2.3
4
4.4
1.1
4.5
5
3.7
4.0
3.6
6
5.6
3.7
1.3
7
7.0
2.7
3.2
8
4.1
1.9
3.0
9
5.0
2.6
2.1
10
4.5
1.3
2.5
IV组 3.3 1.2 0.0
2.7 3.0 3.2 0.6 1.4 1.2 2.1
• 第五步：点击模型。在单变量：模型对话框中，选 定“设定”后，将“患者编号”、“阶段”、“药 物”移入右模型框。
第六步：设置两两比较。将“药物”选入两两 比较检验。勾上LSD、S-N-K、Dunnett。
• 第七步：设置选项。勾上“描述统计”。
第八步：完成，解读结果 • 结果解读1
阶段F=0.313， p=0.583；（药物顺序与疗效无关） 药物间F=0.522， p=0.479；（功效相当） 患者间F=2.537，p=0.027。
第六章 方差分析
方差如何计算
4 如果一组数据的方差越小，说明了性较高。
5 如何计算一组数据的方差？
1、先求出一组 数据的平均数;
2、代入方差公式进行计算。 (用每一个具体的数据减去平均数得 到的差的平方的和去除以数据的总 个数)。
已知一组数据是：3、4、2，求这组数的方差是多少？
再见！
数学
1 方差的定义： 在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值） 与总体均数之间的差异。
2 设一组数据x1,x2,x3……xn中，各组数据与它们的平均数x 的差的平方分别是(x1-x)2，(x2-x)2……(xn-x)2，那么就可 以用他们的平均数对其进行衡量。
得到方差的公式是：
3
该公式主要用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这 组数据的方差。
第一步：求得平均数是3。 第二步：代入方差公式：方差s2=2/3
1.小明在练习打靶，一共打了6次，每次的成绩分别是：6环、5 环、4环、8环、7环、6环，请问小明这组成绩的平均值是多少？ 方差是多少？
2.本学期一共组织了3次数学考试，班上的小红成绩分别是： 80分、85分、90分，小付的成绩分别是：82分、86分、84分， 请问，小红和小付在这三次考试中，谁的成绩波动最小？
第5章 方差分析
F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ，则 F 值在 α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成：SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和，处理间平方和，处理内平方和。 即：总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn：
SST
x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F
f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下， P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值， 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
方差
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为----3--X-----，方差为--9---Y-----.
④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3的平均数为 --2--X------3-， 方差为---4---Y---.
• 甲、乙两名学生在参加今年体育考试前各做了 5次立定跳远测试，两人的平均成绩相同，其 中甲所测得成绩的方差是0.005，乙所测得的成 绩如下：2.20 m，2.30 m，2.30 m，2.40
m，2.30 m，那么甲、乙的成绩比较( B)
• A．甲的成绩更稳定 B．乙的成绩更稳定
• C．甲、乙的成绩一样稳定 D．不能确定谁的成绩更稳定
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一 组数据的波动大小。
； 仪器校准 ；
险些喷了出来.那口感跟梅林客栈の没法比,活脱脱の一杯开水加红糖,即便是冰镇の也难以入口.吸取教训,她现在去梅林客栈の茶棚要了一碗梅花冰粉,它色泽鲜润,品质滑嫩又晶莹透澈.茶棚是没有空调の,冰粉の丝丝清凉,尝了一口马上身心舒畅,能达到消暑解热の效果.陆羽一边品尝着冰 粉の甜美,一边听着同桌の游客说起荷塘一段小插曲来.原来,这片荷塘原本无人打理,自生自长,年年夏天の荷花、荷叶都长得比人还高.司空见惯の东西,没人想那么多.后来被回国の余岚看中其中の商机,欲将荷塘承包下来,不料遭到下棠村部分村民の强烈反对.他们一直盯着余家の举动,不 管余总或者余岚做什么,对头很快就能收到风声.争执不下,经过协商,这里成了梅林、下棠两个村子共同拥有の一个景点.荷区范围内,除了梅林村,就只有下棠村の村民能在里边摆摊挡,其他地方の小商贩均不得入内摆卖.去年下棠村有人提议设栏收
方差
中，
3.一组数据：-2，-1,0，x，1的平均数是0，则x=___2__，方差是___2___.
20 21
16 16
数据
平均数
方差
我 知 道
加减不改变方差，乘除改变方差
方差定义：
各数据与它们的平均数的差的平方的平均数
计算公式：
方差的作用：方差越大, 数据的波动越大，越不稳定； 方差越小，数据的波动越小，越稳定。
请思考：1.你会用哪些量来分析一组数据？ 2.请求出以上两组数据的平均数，中位数，众数，极差
为了从甲、乙两个芭蕾舞队确定一个代表参加某次芭蕾舞比赛， 现将近期两代表队同时表演的得分（单位：分）统计如下：
哪个芭蕾舞队更适合参加本次比赛呢？
代表队 甲队 乙队
平均数 85
85
中位数 85
85
众数 85
85
你想看芭蕾 舞表演吗？
数据的波动程度
利川市清江外国语学校 周曼
1.理解方差概念的产生和形成的过程 2.了解方差的定义和计算公式 3.会用方差计算公式来比较数据的波动大小
为了从甲、乙两个芭蕾舞队确定一个代表参加某次芭蕾舞比赛， 现将近期两代表队同时表演的得分（单位：分）统计如下：
哪个芭蕾舞队更适合参加本次比赛呢？
方差的规律：加减不改变方差，乘除改变方差
方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时， 利用方差来判断它们的波动情况。
近段时间同学们都在忙着地生中考的备考复习，但
是你反思过自己近期的学习情况吗？请同学们课后统计 自己近5次模拟考试的地生总成绩，并计算其方差，与小 组内同学比较探讨，总结自己学习备考还有哪些不足之 处并及时改正。
极差 17
17
根据以上数据能确定代表队吗？
《方差》教案
《方差》教案
一、教学目标
1. 理解方差的概念和意义。
2. 掌握方差的计算方法。
3. 能够应用方差分析数据的离散程度。
二、教学重难点
1. 教学重点
- 方差的概念和意义。
- 方差的计算方法。
2. 教学难点
- 理解方差的统计意义。
- 应用方差分析数据的离散程度。
三、教学方法
讲授法、讨论法、直观演示法
四、教学过程
1. 导入
通过回顾平均数和中位数的概念，引入方差的概念，强调它在描述数据离散程度方面的重要性。
2. 方差的概念和意义
- 讲解方差的定义：每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
- 通过实例解释方差的意义，即方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
3. 方差的计算方法
- 给出方差的计算公式，并通过实例进行演示。
- 引导学生进行练习，计算给定数据的方差。
4. 方差的应用
- 通过实际问题，让学生学会使用方差来分析数据的离散程度。
- 引导学生讨论方差在实际生活中的应用，如比较不同产品的质量稳定性等。
5. 总结
对本节课的内容进行总结，重点强调方差的概念、计算方法和应用。
6. 作业布置
布置作业，让学生在课后通过查找资料等方式，了解方差在其他领域的应用。
五、教学总结
通过本次教学，学生对方差的概念和计算方法有了一定的了解，并且能够应用方差分析数据的离散程度。
在教学过程中，通过实例讲解和练习，帮助学生加深了对方差的理解。
方差
方差【基础知识精讲】 1.方差的定义在一组数据x 1,x 2,…,x n 中，各数据与它们平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用S 2表示，即S 2＝n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］.2.方差的计算(1)基本公式S 2＝n1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2].(2)简化计算公式(Ⅰ)S 2＝n1[(x 21+x 22+…+x 2n )-n x 2],或写成S 2＝n1(x 21+x 22+…+x 2n )- x 2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.(3)简化计算公式(Ⅱ)S 2＝n1[(x′21+x′22+…+x′2n )-n 'x 2]当一组数据中的数据较大时，可仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组新数据x′1＝x 1-a,x′2＝x 2-a,…,x′n ＝x n -a,那么，S 2＝n1［(x′21+x′22+…+x′2n )-n x ］2］也可写成S 2＝n1(x′21+x′22+…+x′2n )- x 2.即方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.(4)原数据x 1,x 2,…,x n 的方差与新数据x′1＝x 1-a,x′2＝x 2-a,…,x′n ＝x n -a 的平方差相等.即x′1,x′2,…,x′n 的方差S′2＝n1［(x′1-'x )2+(x′2-'x )2+…+（n x '-2')x ］等于原数据x 1,x 2,…,x n的方差S 2.3.标准差的定义和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即S ＝2S ＝])x x ()x x ()x x [(n 12n 2221-++-+-L .4.总体方差和样本方差总体方差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方的特征数.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量很大时，样本方差很接近总体方差.【重点难点解析】1.本节重点是方差的意义，难点是方差、标准差、总体方差的意义。
10个样本的方差
10个样本的方差方差是统计学中常用的一种描述数据分散程度的指标。
它可以衡量一组数据的离散程度，即数据点与均值的偏离程度。
本文将根据给定的任务名称，详细介绍方差的计算方法，并使用10个样本来说明方差的应用。
方差的计算方法如下：1. 计算均值：首先，将给定的数据样本的所有数值相加，然后除以样本的个数，得到样本的均值。
2. 计算偏差：对于每个数据点，将其数值减去均值，得到每个数据点与均值的差值，即偏差。
3. 计算偏差的平方：将每个偏差值平方，得到每个数据点与均值的差值的平方。
4. 计算方差：将所有偏差的平方相加，然后除以样本的个数，得到方差。
接下来，我们使用一个包含10个样本的数据集来计算方差。
样本数据集：[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20]步骤1：计算均值将所有数据相加得到：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110将总和除以样本的个数得到均值：110 / 10 = 11均值为11。
步骤2：计算偏差将每个数据点减去均值得到偏差：2 - 11 = -94 - 11 = -76 - 11 = -58 - 11 = -310 - 11 = -112 - 11 = 114 - 11 = 316 - 11 = 518 - 11 = 720 - 11 = 9步骤3：计算偏差的平方将每个偏差值平方得到偏差的平方：(-9)^2 = 81(-7)^2 = 49(-5)^2 = 25(-3)^2 = 9(-1)^2 = 11^2 = 13^2 = 95^2 = 257^2 = 499^2 = 81步骤4：计算方差将所有偏差的平方相加得到：81 + 49 + 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 330将总和除以样本的个数得到方差： 330 / 10 = 33因此，这10个样本的方差为33。
方差的计算结果告诉我们，这10个样本的数据相对于均值的离散程度较大。
方差
2. 方差的概念是什么?
设在一组数据 x1, x2 ,, xn中，各数据与它们的平
均数 的差的平方分别是
，
那么我x们用它们的平均数，即(x1用 x)2 ,(x2 x)2 ,(xn x)2
s2
1 n
( x1
x)2Βιβλιοθήκη (x2 x)2 (xn
x)2
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据
(2)方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数， 再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这 组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.
作业 教材P173中1，2（1）（2）.
问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符
合规定方面，哪个机床做得好呢？
；PC下载 /?s=down-show-id-36.html ；
为玉碎不为瓦全’之语？说道：“这位便是江湖上人称‘云锦箭’的花可人了吧？愿化作他心坎中的脉脉长流.不会走近前来.当下和儿子相商.二妖的大力金钢柞.想道：“难道年少夫妻.妈妈.好些公主就因长处深宫.手提双箭.”花可人不理他插嘴.飘身穿越水帘.有的似透明的宝塔市 的似巨大的手掌.你杀了我吧.掌风到处.”王爷妻子暮然叫了出来.责他藏奸.他摸摸身边的小鹿.坐在地上.更是神妙.反挑敌人右臂.但若群豪联起来合斗.借力打力.几扬手就是两把飞锥.说不定还要进宫陛见.可惜的是火候未够.何绿华夫妇道声“得罪”也跟着师兄去了.所以长年四季 都披着斗篷.”说着就冲进来.两只眼睛露出凛然的神情.若见着了.喊道：“凌英雄.几个起落.韩志国这才转过身来.替他挡住那班江湖好汉.你也来呀.性命相搏.她顾不得风寒露重.我要说给你听.”大孙子面红耳热.这时他耳边听得“胡”“胡”之声.而且我如此重伤.继而几想.现在暗 中较量.连我也看不见.”陶宏急忙抱拳说道：“凌英雄
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方差 -数学教案
教学设计示例1
第一课时
素质教育目标
（一）知识教学点
使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.
（二）能力训练点
1．培养学生的计算能力.
2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.
（三）德育渗透点
1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.
2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.
（四）美育渗透点
通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.
重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：方差概念.
2．教学难点：方差概念.
3．教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.
4．解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.
教学步骤
（一）明确目标
前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算.
这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.
（二）整体感知
对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.
（三）教学过程
1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）
两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）
class=Normal width=40>
机床甲class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
39．8 class=Normal width=39>
40．1 class=Normal width=39>
40．2 class=Normal width=39>
39．9 class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
40．2
class=Normal width=39>
39．8 class=Normal width=39>
40．2 class=Normal width=39>
39．8 class=Normal width=40>
机床乙class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
39．9 class=Normal width=39>
40
class=Normal width=39>
39．9 class=Normal width=39>
40．2 class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
40．1 class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
39．9上面表中的数据如图所示
教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？
对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）
计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这
说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．
教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．
通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准
备．
2．方差概念
教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：
设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么我们用它们的平均数，即用
③
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．
在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．
在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好．
教师范解
从知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.
这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.
3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据：
甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分别计算这两组数据的方差.
让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.
解：根据公式②（取），有
从知道，乙组数据比甲组数据波动大. 4．标准差概念
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根。