自振周期及地震作用计算讲义

n
i
根据能量守恒原理：
g

m
i 1 n i
n
i
Xi
T1
2 i
2
m
i 1
X
1
2
m X
i i 1 n
n
2 i
g
m X
i i 1
2
i
G X
i
n
2 i
G X
i i 1
i 1 n
i
一般假定：将结构重力荷载当成水平荷载作用于质点上 所得的结构弹性曲线为结构的基本振型。
T 1 max 1 2

n
i 1
m i ( 1 x i )
2
mN
xn
M
eq
xm
单质点体系的最大动能为
T 2 max 1 M 2
eq
xm xn
m1 x1
( 1 x m ) 2
x m ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；
T1max
1 n mi (1xi )2 2 i1
ห้องสมุดไป่ตู้
竖向地震作用，烟囱上 抛后下落错位。
9
德阳利森水泥厂生料均化库，受到 竖向地震作用，塔筒上抛后下落。
底部框架底层为薄弱层， 底层墙体叠合塌落。 （9度 区）
10
底部框架结构底层框架叠合塌落（北川11度区）。
中间层叠合塌落（日本阪神大地震）。
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中间层水平裂缝 中间层水平裂缝。
3.6.1高耸结构及高层建筑的竖向地震作用
台湾省漳化县富贵 名门大楼，16层钢筋混 凝土住宅楼，平面为C 型, 平面不规整，单排 柱框架，柱子间距太大， 数量偏少。
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3.6竖向地震作用
抗震设计中，一般不考虑竖向地震作用的影响震害表明： （1）在高烈度区，竖向地面运动的影响是明显的。 （2）竖向地震作用对高层建筑、高耸及大跨结构影响显 著。 我国抗震设计《规范》规定，对下列建筑应考虑竖向地 震作用的不利影响： （1）8度和9度时的大跨度结构、长悬臂结构； （2）8度和9度时烟囱和类似的高耸结构； （3）9度时的高层建筑。
F Vi 0 . 1 G i ( 8 度）
FVi 0 . 2 G i ( 9 度）
设计基本地震加速度为0.30g时，可取该结构构件重力荷 载代表值的15%。
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3.7 时程分析法
1.简介 反应谱法，是将地震对结构的作用用等效荷载来表示，并 利用静力学分析的方法分析结构的地震作用及其效应。 利用静力学分析的方法分析结构的地震作用及其效应 优点：计算简便， 缺点：不能反映地震作用下的反应过程，尤其是在强烈 地震作用下结构进入塑性状态时，基于弹性分析的反应谱 法就不能得到真正的地震反应。 时程分析法：直接对结构的运动微分方程进行积分，当 g (t ) x 确定了地震时的地面运动加速度曲线 时 可以求得 时，可以求得 地震过程中每一时刻的结构地震反应。 时程分析法可以跟踪结构在地震时的整个反应过程，并 能适用于结构的弹塑性地震反应分析。
分析结果表明：高耸结构和高层建筑竖向第一振型的数 值大致呈倒三角形式；高耸结构和高层建筑竖向地震作用 可按与底部剪力法类似的方法计算。 （1）竖向反应谱及竖向振动周期 竖向地震反应谱:与水平地震反应谱的形状相差不大，竖 向反应谱的加速度峰值约为水平反应谱的1/2至2/3。 可利用水平地震反应 谱进行分析。
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3.6.2大跨度结构的竖向地震作用
大跨度结构：跨度大于24m的钢屋架和预应力混凝土屋架， 各类网架和悬索屋盖 《抗震规范》：大跨度结构的竖向地震作用取其重力荷载 代表值GE和竖向地震作用系数λv的乘积
FEVk vG E
结构类型
平板型网架 钢屋架 钢筋混凝土 屋架 8 9 8 9
G
E
---重力荷载代表值。 ---竖向地震作用系数，按表采用；
例.已知： G1 400 kN , G 2 300 kN
k1 14280 kN/m , k 2 10720 kN/m
求结构的基本周期。 解: （1）计算各层层间剪力 V 1 400 300 700 00 kN k
V 2 300 kN
G2 G1
k1
k2
G2
u2 u1
G1
T 1 0 . 33 0 . 00069 H
2
/
3
B
（3）高度低于50m的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期
T 1 0 . 04 0 . 038 H /
3
B
自振周期的经验公式
在实测统计基础上，再忽略房屋宽度和层高的影响等， 有下列更粗略的公式 （1）钢筋混凝土框架结构
T 1 ( 0 . 08 ~ 0 . 10 ) N
场地类别

Ⅰ
v
烈 度
Ⅱ 0.08(0.12) 0.15 0.13(0.19) 0.25
Ⅲ Ⅳ Ⅲ、Ⅳ
可不计算（0.10)
0.10(0.15) 0.20 0.13(0.19) 0.25
0.15 0.10(0.15) 0.20
3.6.3悬臂结构的竖向地震作用
悬臂结构地震作用估算: 《抗震规范》： 长悬臂和其它大跨度结构的竖向地震作用标准值，8度和9 度可分别取该结构、构件重力荷载代表值的10%和20%
1 Tmax ω2 2
m1
x1 ( t )
m X
i i 1
n
n
2 i
当体系振动达到振幅最大值时，体系动能为零， 位能达到最大值Umax
U max 1 2
m gX
i i 1
i
1
n 1 Tmax ω2 mi X i2 2 i 1

Umax
Tmax＝Umax
1 2
m gX
i i 1
T 1 ( 0 . 08 ~ 0 . 12 ) N
6
3.5结构的扭转地震效应
产生扭转地震反应的原因： 结构质心与刚心的偏离,考虑； 地震地面运动扭转分量,不考虑。 不考虑 主要原因：结构质量中心与刚度 中心不重合 质心：在水平地震作用下， 惯性力的合力中心 刚心：在水平地震作用下， 结构抗侧力的合力中心
V max 0.65 H max
竖向地震作用计算----底部剪力法
F EVK V max G eq
V max 0 . 65 H max
质点i的竖向地震作用标准值。
G eq 0 . 75 G i
FVi
GiH i
G
j 1
n
F EVK
j
j
H
规范要求：9度时，高层建筑楼层的竖向地震作用效应应乘 以1.5的增大系数。
V 0 . 65
平均反应谱。
H
Ⅰ类场地的竖向和水平
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3.6.1高耸结构及高层建筑的竖向地震作用
竖向振动周期： 计算结果表明 高耸结构和高层建筑竖向振动周期较短 计算结果表明：高耸结构和高层建筑竖向振动周期较短， 基本周期在0.1～0.2s范围内，小于场地的特征周期Tg 《建筑抗震规范》直接取竖向地震影响系数：
T 1 1 . 78 l 2
m / EI
2 t Ti
EI
振型 重力作为水平荷载所引起的位移为
u T ql
q mg
4
/ 8 EI
m 8 uT EI gl 4
T1 1 . 6
uT
4
(2)体系按剪切振动时 框架结构可近似视为剪切型杆。 无限自由度体系，剪切杆的的运动方程为
GA
y y m 0 x 2 t 2
3.7.1 时程分析法的 基本思路
方法的基本思路：将地震作用的整个过程划分为很 多个小的微时段，对每一时段中结构的特性(如结构是 处于弹性、弹塑性或塑性阶段)可以通过前面时段的结 果来确定，并对结构在这一时段中的反应规律作数值 上的假设，从而使计算简化，并求出该时段末时的结 构反应，作为下一时段结构反应计算的基础。 较常用的时程分析法有：线性加速度法 威尔逊 较常用的时程分析法有：线性加速度法、威尔逊 (Wilson)
3.4结构自振周期及振型的实用计算方法
3.4.1能量法 能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导出的，适 用用求结构的基本频率，此方法常用于求解以剪切型为主的 框架结构。 设体系作自由振动，任一质点i的位移：
mn
x n (t )
x i ( t ) X i sin( t )
x 2 (t )
（2）计算各楼层处的水平位移
u 1 V 1 / k 1 700 / 14280 0 . 049 m u 2 V 1 / k 1 V 2 / k 2 0 . 049 300 / 10720 0 . 077 m
（3）计算基本周期
T1 2

n

i 1 n i 1
G i u i2 G iu i
N---结构总层数。
（2）钢筋混凝土框架-抗震墙或钢筋混凝土框架-筒体结构
T 1 ( 0 . 06 ~ 0 . 08 ) N
（3）钢筋混凝土抗震墙或筒中筒结构
T 1 ( 0 . 04 ~ 0 . 05 ) N
（4）钢-钢筋混凝土混合结构
T 1 ( 0 . 06 ~ 0 . 08 ) N
（5）高层钢结构
2
400 0 . 049 2 300 0 . 077 400 0 . 049 300 0 . 077
2
0 . 508 s
2
3.4.2折算质量法（等效质量法）
基本原理：将多质点体系用单质点体系代替。 使单质点体系的自振频率和原体系的基本频率相等或相近 等效原则：两个体系的动能相等 多质点体系的最大动能为
速度为：
(t ) X i cos(t ) x
m1
x1 ( t )
位移： 速度：
xi (t ) X i sin( t )
mn
x n (t )
(t) Xi cos( x t )
x 2 (t )
当体系振动达到平衡位置时，体系变形 位能为零，体系动能达到最大值Tmax
m
ug (t)
质心 刚心
扭转作用会加重结构的震害，《规范》规定对质量和刚度明 显不均匀、不对称结构应考虑水平地震作用的扭转效应。
（2）刚度中心和质量中心应一致 房屋刚度中心和质量中心不重合会产生扭转效应，使远离 刚度中心的构件产生较大应力而严重破坏。 刚度偏心的建筑，有的建筑虽然外形规则对称，但抗侧力系 统不对称 如将抗侧刚度很大的钢筋混凝土芯筒或钢筋混凝土 统不对称，如将抗侧刚度很大的钢筋混凝土芯筒或钢筋混凝土 墙偏设，造成刚心偏离质心，产生扭转破坏。
(b):弯曲型(c):剪切型(d):弯剪型
对于顶点位移容易估算的建筑结构，可直接由顶点位移估计基本周期。 (1)体系按弯曲振动时 抗震墙结构可视为弯曲型杆。 无限自由度体系 弯曲振动的运动方程为 无限自由度体系，弯曲振动的运动方程为
4y 2y EI m 0 x 4 t 2
m q
uT
悬臂杆的特解为 y i ( x , t ) X i ( x ) sin 基本周期为
2 m uT GA gl 2
基本周期为
T1 4 l
m / GA
T1 1 . 8
uT
3.4.3顶点位移法
抗震墙结构可视为弯曲型杆，即弯曲型结构。
Tb 1 . 6 b
框架结构可近似视为剪切型杆。
Ts 1.8 s
框架-抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。
T 1.7 bs
本方法适用于质量及刚 度沿高度分布比较均匀 的任何体系结构。
5
补充：自振周期的经验公式
根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初 步设计时可按下列公式估算
（1）高度低于25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期
T 1 0 . 22 0 . 35 H /
3
B
H---房屋总高度；B---所考虑方向房屋总宽度。 （2）高度低于50m的钢筋混凝土框架-抗震墙结构的基本周期
T2 max
1 M eq ( 1 x m ) 2 2
T1 max T 2 max
M
eq


n
i 1
m i x i2
2 xm
1
1 M
eq

T1 2 M eq
---单位水平力作用下顶点位移。
3
3.4.3顶点位移法
顶点位移法是根据在重力荷载水平作用时算得 的顶点位移来求解基本频率的一种方法
马那瓜中央银行大厦
马那瓜美洲银行大厦
7
1972年2月23日尼加拉瓜首都马那瓜地震，地震烈度为8度， 1万多栋楼房夷为平地，死亡5000多人。其中两幢相距不远的 高层建筑，一幢为15层高的中央银行大厦，震后拆除；另一幢 为18层高的美洲银行大厦。轻微损坏。 美洲银行：结构平面布置是均匀对称的，基本的抗侧力体 系包括4个L形的筒体。 中央银行：平面不规则，4个楼梯间偏置塔楼西端，西端 有填充墙，结构一端刚度大，另一端刚度小。
2 2
uT
m
q
GA
悬臂杆的特解为
振型 重力作为水平荷载所引起的位移为
y i ( x , t ) X i ( x ) sin
2 t Ti ( 2 i 1 ) x X i ( x ) sin 2l
4l Ti 2i 1 m / GA
u T ql
2
/ 2 GA
q mg