矩阵的秩及应用_国慧

一般 矩 阵的 情形 定理 矩 阵 的 秩是 的充分 必 要条件 是 矩
设 为 行 组成 的矩 阵 , 有
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一 , 则 一“ 。
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阵 中有一个 级子式不为零 , 同时所有的 级子 式全 为零 。 以上 给 出 了 矩 阵的秩 与行 列 式的 关系 ,
中图分类号 文献标识码 文章编 号 一 一 一
矩 阵 的秩 的基础 理 论 矩 阵秋 的相 关定 义
定义 向量 组 的极 大无 关组 所含 向量 的个 数 称 为这 个 向量组 的秩 。 定义 矩 阵 列 向量 组 的秩称 为 矩 阵 的列 秩 , 矩 阵行 向量组 的秩 称为 矩 阵的行 秩 。
矩 阵 的情 形 定理 矩 阵 的行 列 式为零 的充 分必 要 条 件 的秩小 于 。 通 过 定理 的 陈述 可 以得 到否命 题 , 即 矩阵 的秩等于 的充分 必要条件是 的行列式 不为零 。 从而有以下一些等价条件
时结论 成 立 。 今设结论对 成立 , 由
以
十
参考文献
只 刁 月 气 故有
王朝瑞 图论网 北京 北京理工大学出 版社 , 」 张先 城 李正 良 图 论及 其应用网 北京 高等教育出 版社 , 涂俊明 图论 及 其应用网 北京 中国禾 附 支 大学出 版社 ,
歹 二
一 艺久 气
与 的长为 。 一 的途 径 的数 。 , 于是 为 阶单位 矩 阵 , 已知 一 , 试判断 的 列 向量组是 否线 性无 关 解 因为 秩 秩 一秩 一 , 又 为 矩阵 , , 所 以秩 《 , 即 的列 向量组 的秩为 , 所 以 的列向量组线性无关 。 例题 设 为 矩阵 , 且 , 证明 不 可逆 。 证明 因为 为 为 矩阵, 《秩
一 。 ① 。一 上 ,
。反之 , 设
任取 任 , 有 中的元素 口 , 使得 一 口 。 由直和 的定 义知存 在 口、 任 和 任 一 上 , 使得 口一 口、 。 于是 有 一 口 一 口、, 即 一任
。 任 。 , 故 。 任 。 , 显然 。 样 。 一。 , 即。 任 。 。 任 。 。这
后 , 就能建立由数域 上的线性变换到数域 上 的 矩阵的 一 对应 。 线性变换的和对应矩阵 的和 , 线性变换的乘积对应矩阵的乘积 , 可逆的线 性 变换对应可逆的矩阵 , 且逆变换和逆矩阵对应 。 同样线性 变换的秩对应矩阵的秩 , 这 样 就把 一个 抽 象 的 问题 转换 为 具体 问题 , 从而使 问题 得 到简 化 。 例题 设 为线性空间 的线性变换 。关于 某组基 的矩阵 , 求证 仁 。 当且仅 当
第
卷 年
第 月
期
邢 台学 院学报
人 」 工 【 山
,
头 巨阵的铁 及 应 用
国 慧
河北师范大学数信 学院 , 河北石家庄
摘 要 利用矩 阵的秋 的 相 关定理及 重要 结论 , 阐述矩阵的秋在数学知识的学 习 研 究中所起 的作用 , 总结 了一些矩 阵的 秋的重要性质 , 将代数 内容的学习融入具体 问题的证明中 ,将知识 紧密的联 系 在一起 , 为以后相 关知识 的学习莫定基础 。 关键词 矩 阵的秋 基础解 系 增 广矩 阵 维数
阶矩 阵 , 又 秩
, 即秩 , 所 以 不可逆 。 本 文介 绍 了矩 阵 的 秩 的 相 关 知 识 , 包 括 矩
阵的秩的相 关定义及相 关性质 等基础 内容 , 着 重 介 绍 了矩 阵 的 秩 与 代 数 各 方 面 内 容 的联 系 及 应 用 , 加深对矩阵的秩的理解 。
一般 矩 阵的秩 与行 列 式的 关系 。 矩 阵 的秩在 解 方程组 中的应 用 相 关理论知 识 定理 齐次 线 性方 程组 一。 有 非零解 的充 分 必 要条件 是 它 的系数 矩 阵 的秩小 于 。 定理 线性方 程组 有解 判别 定理 线性 方 程组 有解 的充 分 必要条 件是 它的 系数 矩 阵 与增广矩阵万 有相同的秩 。 定义 齐次 线性 方程 组 一 的一组 解 门、, 门, , …门 ,称 为 , 的 一个基 础解 系 , 如 果 的任 意 一个解都 能够表 示成 门 、 , 门,, … 门, 的线 性组 合 的形 式 。 。、, 。, , … 。 , 线性 无 关 。 定理 在齐次 线性方 程组有 非零解 的情况下 ,
矩 阵的秩的两个等价定义 矩阵行秩等于矩阵列秩 , 统称为矩阵的秩 。 矩阵中最大阶非零子式的阶 数称为矩阵的秩 。 矩 阵的秩 记为 秩 或 。 矩 阵秋 的相 关性质 设矩 阵 和 分别是 和 矩阵, , 为 矩阵 , 则 一 《 , , 特 别 的若 , , 则 一 若 一。 ,则
《 。 《 , 一 一 。
。 ① 。一 上 。
证明 设 二 , 二 , …, 。 是 的一组基 , 在 这组基下的矩阵为 , 则线性变换 在这组基下的 矩 阵为 , 且 一 、 , ,, 二, 其中 。 上 , , …, , 。 , …, 二
。 。 是 的一组基 。 于是 。设 , 一
, 心 … ,
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邢台学院学报
矩阵 的行列式的秩等于 。 的行 列式不 为零 。 矩 阵 是 可逆 矩 阵 。 齐 次 线性方 程组 一 只 有零解 。 矩阵 能表示成一些初等矩 阵的乘积 的形 式, 即 一 上 …二 矩 阵 的所有特征值均不为零 。 有 了这些等价条件 , 在解决一些具体 问题 的时 候 是 十分方 便 的 。
矩 阵的秋 在 线性 变换 中的应用 为 了讨论矩阵的秩在线性空间中的应用 , 首先 引入 一个 重要 的概 念 。 定义 设 是 数域 上 维 线性 空间 , 上 ,
定义 如果在线性空间 中有 个线性无关的 向量 , 但是 没有更 多数 目的线性无关 的向量 , 那么 就称 为 维的 如果在 中可以找到任意多个线性 无关的 向量 , 那 么 就称 为无 限维 的 。 定义 在 维线性空间 中 , 个线性无关 的 向量 上 , ,, 二, 称为 的一组基 。设 是 中任一向量 , 于是 、 , , …, 。 , 线性相 关 , 因 此 可以 被基 、 , , …, 线性表 出 一 、。上 , , … , 其 中系数 , , …, 是被 向量 和基 上 , , , 二, 唯一确定的 , 这组数就称为 在基 、, 。 , , 二 , 下 的 坐标 , 记 为
矩 阵 的秩 与行列 式
收稿 日期 一 一
等于 的列数 一 。
,
它有基础解系 , 并且基础解系所含解的个数等于 , 这里 是齐次线性方程组中未知量的个数 , 表
作者 简介 国
慧
一 , 女 , 河 北邢 台市 人 , 研 究生 , 主 要 从事基 础 数学 的研 究
一
。 引
邢台学院学报
年第
期
示系数矩阵的秩 , 一 就是 自由未知量的个数 。 拒 阵的 秋在 解 方程 组 中的应 用 利用矩阵的秩判断方程个数等于未知量个数的 线性方程组解的情况十分简单易行的 , 方法是首先 判断线性方程组的系数矩阵 的行列式 是否 为零 , 如果 ` , 则利用克拉默法则进行求 解 如果 一 , 利 用 定理 的 结论 , 即看 是否等于 , 来判别方程组是否有解 。 例题 设 、 、 是 三个 阶方 阵 , 求证 若 一 ,则 一 。 证明 设方程组 一 。 与方 程 组 二 的解 空间分 别为 上 , , 因为方 程 组 一 。 的解
从 二砚 , 上 一 一秩 , ,一 。 由于秩 由此 可知 一秩 , 所以 、一 , 即 上 二 。 齐次 方程组 二 与 一。同解 。
、二 , 所 以 、 二 也 就是 一 与方 程组
二 。
、也是 方 程组 二 的 一 。, 所 以方 程 组 二 有相 同的解 , 从
矩 阵 的秩在 线性 空 间及线 性 变换 中 的应用 头 巨 阵的秋 在 线性 空 间中的 应用
」 ,则
分别是
《
设矩阵
,
,
。
矩 阵, 则
时
矩阵,
一 一 一 。 , 一 时 。其中 是 的伴随矩阵 。 若 一 与 一 同解 , 则 一 。 一 一 一 ,其中 为 为 的转 置 。 一 , , 是 阶方 阵 。
《 , ,
' 一,当
一 时
'一,
一 ,这 里
、
分别是
和
一
矩阵 。
。
若 为列满秩矩阵 为行 满秩矩 阵 , 则 一
元 素。 尸等 于 中 联 结 ,和巧 的 长 为 的 途 径 的
数 目。
广 , 图论 中的基础知识 , 又是工程实际中经常用到 的 。 数学归纳法在结论以及命题的证明过程中起 了画 龙点睛的作用 , 是其 它证 明方法所不可代 替的 。
证明 对 用 归纳法 。 当 时才 为 价 单位 矩 阵 。从 任 一顶 点 到 自身 有 一条长 为 。的途 径 , 任何 两个 不 同 的顶 点 间没有长 为 途径 , 故 当
哟 表 示 由经 过 一 条 到, 再 经 过 一 条 长 为
由归纳法原理知 , 对任何 几 , 结论成立 。 对两 点 的道路 长进 行 归纳 例 设 是 的邻接矩阵 , 证明 才 的 户
、
引
。 `凡 卜 叹
的途 径 的数 目 。 由归纳法 原理 , 结论 得证 。 图论这 门学科 的 内容十分 丰富 , 涉及 的面也 比较
上 , 则 解, 即
而
一 ,且 , 山, 为 上 的 一组基 。 在线性空间中 , 齐次线性方程组的全部解 向量 组 成 一个 子 空 间 , 这 个 子空 间 叫做齐 次 线性方 程 组 的解空间 , 解空间的墓就是方程组的基础解系 , 它 的维数等于 一 , 其中 为系数矩阵的秩 。 例题 设方 阵 与 的秩相等 , 证明 元 齐 次方 程组 二 与 一 。同解 。 上 , 证明 设 一 与 一 。的解 空间分别 为 此即 丫 秩 的 , 因为 一 。 的解 一定是