【大学课件】应用数理统计
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应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第二章
（ξ1,ξ2,..,ξn), 则（ξ1,ξ2,…,ξn)的联合分布函
数为： F ( x1 , x2 ,L , xn )
= P { ξ1 < x1 , ξ 2 < x2 , ..., ξ n < xn }
= P { ξ1 < x1}P{ ξ 2 < x2 } ⋅ ... ⋅ P{ ξ n < xn }
（2）χ2 分布（Chi-square distribution）
χ 2 ～χ 2 (n)
{ } p分位点：χ p2 (n ) 满足P
χ
2
<
χ
2 p
(n)
=p
p53（9 347）表 4
χ
2 0.95
(9
)
=
16.91（9
p540)
表p 4 χ2 分布分位数表
n
p
8
9
0 ．90 13．362 14．684
又如：α = 0.1，uα = u0.1 = ? (表中没有)
u0.1 = −u1−0.1 = −u0.9 = −1.282
对称性(symmetricy)：
0.1
uα = −u1−α
α = 0.1
u0.1
u1− 0.1
习题或附表中α通常是指分位点之外的概率（面积）
单侧分位点：α放在分位点u1−α的一侧 双侧分位点: α分割放在正负对称的
2 +L +
)
m
1
9
二. t 分布 (t distribution)
Definition: 若ξ～N(0,1), η～χ2(n)且相互独立,
则有
t=
ξ η
～ t (n )
数理统计基础及应用概述PPT课件( 56页)
二、控制图法
控制图是通过对过程中各特性值进行测定、记录、 评估和监察过程是否处于控制状态的一种用统计方 法设计的图。
在控制图中有两条平行的上下控制界限和中心线， 并有按时间序列排列的样本统计量数值的描点序列。
如果控制图中描点落在控制界限之内，则表明过程 正常；
若控制图中描点落在控制界限之外或描点序列在界 限之间有某一种或几种不正常的趋势，则表明过程 异常。
（1）这种误差与某一因素有明显的相关关系， 可能是某一因素的函数，也可能是一个常 数。
（2）如果重复测量某一相同质量特征值，系 统误差可能重复出现，且正负号不变。
（3）测量的结果经过修正后，可接近实际值。
6.可避免因素评论
这种质量误差与某一因素有明显的相关关系，用数 理统计的方法进行分析，可以很快找出原因，加以 纠正，使误差值控制在要求的范围内。但是，既是 误差并不超出允许的范围，这种误差也有可能存在， 也应找出原因加以纠正。
Rxmaxxmin
（4）标准偏差：反映质量数据分散程度。
S
1 n1(xi
x)2
（5）变异系数：表示数据相对波动大小的指标，Cv
值越小表示离散性越小，则均匀性越好。
Cv S *100% x
例2.1
四、数据的分布特征
质量数据具有一定的规律性，这种规律 性一般用概率分布来描述。
• 正态分布
根据它的特征用数学表达式来表示，是正态分布函 数，这种误差在工程中是不可避免的，只要质量波 动在允许的范围内，就不必纠正，是生产过程中的 正常现象。
在一定的科学技术条件下，要强行消除这类因素， 不仅在技术上难以达到，而且也不经济。
6.可避免因素
称为系统性因素或非偶然因素，其对质量特 征值的影响具有以下特征：
第四章应用数理统计
⎛ y11 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ y12 ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎜ y13 ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟=⎜ ⎜ y21 ⎟ ⎜ 1 ⎜ y22 ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎜ y ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ ⎝ 23 ⎠ ⎝ 1 1 1 0 0 0 ⎞ ⎛ θ 0 ⎞ ⎛ ε 11 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ α 1 ⎟ ⎜ ε 12 ⎟ 1 ⎟ ⎜ α 2 ⎟ ⎜ ε 13 ⎟ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ β 1 ⎟ ⎜ ε 21 ⎟ 0 ⎟ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ ε 22 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 0 1 ⎟ ⎜ β 3 ⎟ ⎜ ε 23 ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
一般为了便于分析，还做如下假定：
∑α = ∑ β
i =1 i j =1
r
s
j
= 0 = ∑ γ ij = ∑ γ ij
i =1 j =1
r
s
双因素方差分析需要讨论： 1. 因子的主效应是否显著；即检验： H01：α1=α2=…=αr ，以及H02：β1=β2=…=βs 2. 交互效应是否显著： H03： γ11 = γ12 =…= γrs 与单因素方差分析不同的是，如果 拒绝了 H03 ，还应该寻找最佳搭配。
组内平均
y1 y2
r
yr1
yr
影响 y 的只有一个因素，它有 r 个水平(组)， 在第 i 个水平下针对 y 做了ni 次试验或观察， 得到因变量的观察数据为 yi1，…， yi ni 。 可以假定： yij = βi + εij ，1 ≤j ≤ ni 、 1 ≤i ≤ r 这里 εij 对所有i、j 都独立同分布于N (0,σ2 ) 单因素方差分析的主要任务： 1. 检验假设：H0： β1 = β2 = … = βr ； 2. 作出未知参数 β1 ，…， βr 以及 σ2 的估计
一般为了便于分析，还做如下假定：
∑α = ∑ β
i =1 i j =1
r
s
j
= 0 = ∑ γ ij = ∑ γ ij
i =1 j =1
r
s
双因素方差分析需要讨论： 1. 因子的主效应是否显著；即检验： H01：α1=α2=…=αr ，以及H02：β1=β2=…=βs 2. 交互效应是否显著： H03： γ11 = γ12 =…= γrs 与单因素方差分析不同的是，如果 拒绝了 H03 ，还应该寻找最佳搭配。
组内平均
y1 y2
r
yr1
yr
影响 y 的只有一个因素，它有 r 个水平(组)， 在第 i 个水平下针对 y 做了ni 次试验或观察， 得到因变量的观察数据为 yi1，…， yi ni 。 可以假定： yij = βi + εij ，1 ≤j ≤ ni 、 1 ≤i ≤ r 这里 εij 对所有i、j 都独立同分布于N (0,σ2 ) 单因素方差分析的主要任务： 1. 检验假设：H0： β1 = β2 = … = βr ； 2. 作出未知参数 β1 ，…， βr 以及 σ2 的估计
应用数理统计(基于MATLAB实现)第1章 数理统计的基本概念
应用数理统计
第1章 数理统计的基本概念
数理统计的基本概念
目录 contents
1 总体与样本 2 样本经验分布函数 3 统计量与估计量 4 抽样分布
2024/4/19
PART 1
总体与样本
前言 数理统计学是探讨随机现象 统计规律性 的一门学科,它以概率论为理论基础， 研究如何以有效的方式收集、整理和分析 随机数据 ，从而对所研究对象进行 统计推断。
2024/4/19
1.2 从样本认识总体的方法 1 频数表
2 直方图
2024/4/19
1.2 从样本认识总体的方法
例3. 由于随机因素的影响，某铅球运动员的铅球出手高度可看成一个随机变量，现有一组出手高度的 统计数据（单位：cm）如下：
200
195
210
211
201
205
185
197
183
177
2024/4/19
引例
引例1：研究一批灯泡的寿命分布，需明确该批灯泡中每个灯泡的寿命长短。 引例2：研究某一湖泊的深度，需测量湖面上每处到湖底的深度。 总体：在数理统计中，我们把研究对象的全体所构成的集合称为总体，而把组成总体的每个元素称为个
体，总体中所包含个体的个数称为总体的容量．
这两张图是大家再熟悉不过的两个成语了：一叶知秋、盲人摸象。
参数
分布的数 字特征
某事件的 概率等
参数
2024/4/19
PART 3
样本的经验分布函数
3 样本经验分布函数 1 经验分布函数的定义
2024/4/19
3 样本经验分布函数 2 例题 例1.2.5
某食品厂生产午餐肉罐头,从生产线上随机抽取5只罐头,称其净重(单位:g)为: 351, 347, 355, 344, 351
第1章 数理统计的基本概念
数理统计的基本概念
目录 contents
1 总体与样本 2 样本经验分布函数 3 统计量与估计量 4 抽样分布
2024/4/19
PART 1
总体与样本
前言 数理统计学是探讨随机现象 统计规律性 的一门学科,它以概率论为理论基础， 研究如何以有效的方式收集、整理和分析 随机数据 ，从而对所研究对象进行 统计推断。
2024/4/19
1.2 从样本认识总体的方法 1 频数表
2 直方图
2024/4/19
1.2 从样本认识总体的方法
例3. 由于随机因素的影响，某铅球运动员的铅球出手高度可看成一个随机变量，现有一组出手高度的 统计数据（单位：cm）如下：
200
195
210
211
201
205
185
197
183
177
2024/4/19
引例
引例1：研究一批灯泡的寿命分布，需明确该批灯泡中每个灯泡的寿命长短。 引例2：研究某一湖泊的深度，需测量湖面上每处到湖底的深度。 总体：在数理统计中，我们把研究对象的全体所构成的集合称为总体，而把组成总体的每个元素称为个
体，总体中所包含个体的个数称为总体的容量．
这两张图是大家再熟悉不过的两个成语了：一叶知秋、盲人摸象。
参数
分布的数 字特征
某事件的 概率等
参数
2024/4/19
PART 3
样本的经验分布函数
3 样本经验分布函数 1 经验分布函数的定义
2024/4/19
3 样本经验分布函数 2 例题 例1.2.5
某食品厂生产午餐肉罐头,从生产线上随机抽取5只罐头,称其净重(单位:g)为: 351, 347, 355, 344, 351
应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第六章1
3各自的样本：ξ11=μ1+ε11,…, ξ17=μ1+ε17ξ21=μ2+ε21,…, ξ25=μ2+ε25ξ31=μ3+ε31,…, ξ38=μ3+ε38ξ41=μ4+ε41,…, ξ46=μ4+ε46理论上总平均：μ= （7μ1+5μ2+8μ3+6μ4）A 1的效应α1=μ1－μ，A 2的效应α2=μ2－μ，A 3的效应α3=μ3－μ，A 4的效应α4=μ4－μ，4个样本：单因素4水平的统计模型261（双下标71637.3076168016621636.251568.33168016801680168016801680 16801662 1662 1662166216621636.251636.251636.251636.251636.251636.251636.251636.251568.331568.331568.331568.331568.331568.33A 1A 2A 3A 41 2 3 4 5 6 7 8 寿命灯ξij 泡灯丝ξξi8（A 的）组间偏差平方和：2)(∑∑−=ijiA S ξξ(纵向偏差=灯丝不同带来误差+试验误差)2()ri i in ξξ=−∑222)1680(...)1680()1680(ξξξ−++−+−=(7项22)1662(...)1662(ξξ−++−+（522)25.1636(...)25.1636(ξξ−++−+（822)3.1568(...)3.1568(ξξ−++−+（（抹平了横向波动，只剩下纵向波动）10Theorem 2.在一个因素的方差分析模型中，有E (S A ) = (r －1)σ2+ ∑n i αi 2 E (S e ) = (n －r)σ2Theorem 3.在一个因素的方差分析中，组内误差与总体方差之比服从χ2 分布，即S e / σ2～χ2(n －r )Theorem 4.在一个因素的方差分析中，当假设H 0 成立时有：(1) S A/σ2～χ2 (r －1)(2) S e 与S A 相互独立，因而)()1(r n S r S F e A −−=～F (r －1, n －r )13eA S S F =AT e S S S −=rn −rn S e−方差来源平方和S自由度ƒ均方和F 值显著性因素A误差e总和表6-3 一个因素差分析表(394页)∑=•−=ri i iA n TT n S 12211−r S Ar －1∑∑−=i jij T n TS 22ξn －1∑∑∑===•==rin j ri n j ji iji T T 111,ξξ其中14表6-4 例1 的计算表（p395)灯丝使用寿命T i•T 2i•A 1A 2A 3A 416001610 1650 1680 1700 1720 18001580 1640 1640 1700 175014601550 1600 1620 1640 1740 1660 18201510 1520 1530 1570 1680 16001176083101309094101382976006905610017134810088548100,4=r 126,rii n n===∑∑∑===ri n j iji112;69895900ξ()2212941013090831011760261.1+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑=ri i T n n T ()==2642570269700188.461554.19571146.6970018869895900 =−=T S 7.44360 46.697001882.69744549 46.69700188 1 14122241=−=−=−=∑∑=••=i i ii i i A T n nTT n S 8. 151350=−=A T e S S S ()().15.222/8.1513503/7.44360/1/==−−=r n S r S F e A 0.10,F α=查分布表得()()(),22 ,3 35.215.2 35.222 ,3 ,1 10.0110.0111−−−−=<===−−=F F F r n r F F a α16在这个问题中，四个总体均值的点估计分别为：1680ˆ11==ξμ1662ˆ22==ξμ25.1636ˆ33==ξμ1568ˆ44==ξμ习题六---4, 5; Prep: §6.2将上述计算结果列成方差分析表：表6-5 例1的方差分析表方差来源平方和S 自由度ƒ均方和F 值显著性因素A 影响误差e 44360.7151350.832214786.96879．592．15(F 1−α=2.35)无显著影响195711.5425总和似乎配方1好，但方差分析表明各方案差别不算大.17。
应用数理统计讲义(PPT77张)
i 1 n
则 称 X , ,X 是 相 互 独 立 的 。 1 n
定 理 1 如 果 ｛ X i ,i=1, ,n｝ 是 一 族 独 立 的 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 P ( X t1 x1 , , X tn x n )
P(X
i 1
n
ti
xi ) , n.
其 中 x i 是 X ti 的 任 意 可 能 值 ， i 1, 则 f ( x1 , , xn )
Chapter 1 预备知识
§1 概率空间
一、随机试验
具有下列三个特征的试验称为随机试验： (1)可以在相同条件下重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且 预先知道所有可能的结果。称所有可能 的结果组成的集合为样本空间，记作Ω； (3)每次试验前不能确定那个结果会出现。
二、随机事件
样本空间Ω的元素称为基本事件或样 本点，Ω的子集称为事件。
2
, E Y ,则
2 2 2 2
[E ( X Y )] E X E Y 7 .单 调 收 敛 定 理 若 0 X n X ,则 lim E X n E X .
n
§4 常用分布族
一 、 分 布 族 定 义1 若 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 函 数 为 1 x x e , x 0, f ( x ; , ) ( ) 0 , x 0.
二、分布函数的性质
(1)F(x)↗； (2)F(－∞)=0，F(∞)=1，F(X)∈[0,1]； (3) F(x)右连续，即F(X＋0)＝F(x)。
三、n维随机变量
定义 2 设 ( ,F ,P )为概率空间， X ( ) （ X 1 ( ),
则 称 X , ,X 是 相 互 独 立 的 。 1 n
定 理 1 如 果 ｛ X i ,i=1, ,n｝ 是 一 族 独 立 的 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 P ( X t1 x1 , , X tn x n )
P(X
i 1
n
ti
xi ) , n.
其 中 x i 是 X ti 的 任 意 可 能 值 ， i 1, 则 f ( x1 , , xn )
Chapter 1 预备知识
§1 概率空间
一、随机试验
具有下列三个特征的试验称为随机试验： (1)可以在相同条件下重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且 预先知道所有可能的结果。称所有可能 的结果组成的集合为样本空间，记作Ω； (3)每次试验前不能确定那个结果会出现。
二、随机事件
样本空间Ω的元素称为基本事件或样 本点，Ω的子集称为事件。
2
, E Y ,则
2 2 2 2
[E ( X Y )] E X E Y 7 .单 调 收 敛 定 理 若 0 X n X ,则 lim E X n E X .
n
§4 常用分布族
一 、 分 布 族 定 义1 若 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 函 数 为 1 x x e , x 0, f ( x ; , ) ( ) 0 , x 0.
二、分布函数的性质
(1)F(x)↗； (2)F(－∞)=0，F(∞)=1，F(X)∈[0,1]； (3) F(x)右连续，即F(X＋0)＝F(x)。
三、n维随机变量
定义 2 设 ( ,F ,P )为概率空间， X ( ) （ X 1 ( ),
南京理工大学应用数理统计PPT(第八章 正交实验设计)
15
即对于在 A1下的四次试验和 A下2 的四次试验来说，
虽然其它条件（B、C、D）在变动，但这种变动是
“平等的”，所以 A和1 A2之间差异反映了A的两
个水平的不同，由于
A1 A2 91.5 89.5 2 0
所以说因子A 取 A1 时平均收率较高。 同样可以比较因子B、C、D的两个水平的好坏， 各项计算都可以在正交表上进行，十分简便。
6
多因子试验的分类。 在考查A，B，C，D，…等n个因子对指标y的
作用时，若每个因子都取两个水平，则称为 2 n
因子试验问题。
若被考查的n个因子都取三个水平，则称为 3n
因子试验问题。
若被考查的因子有n+m个，其中，其中n个因子
取两水平，m个因子取三水平，则称为 2n 3m
因子试验问题。
7
§8.2 正交表
正交表是试验设计中合理安排试验，并对数据 进行统计分析的主要工具。
正交表用符号 Lp (nm ) 表示。
“ L ”代表正交表， “ p ”表示表中的行数，即要作的试验次数， “ m ”表示表中有m列，即最多允许安排的因 子个数， “ n ”表示水平数。
可以证明：n，m，p满足 m(n 1) p 1
A×C B×C D
试验
结果
yi
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
86
1
1
1
2
2
2
2
16
表头 A
B
C
D
试验
设计
结果
列号
试验 1
2
3
4
应用数理统计回归分析课件
(xi ? x)( yi ? y) ?
n
xi yi ? nx y
i?1
i?1
n
n
? ? Sxx ? (xi ? x)2 ? xi2 ? nx 2
i?1
i?1
则
? ?
b?
?
?
S xy S xx
? ?
a?
?
y?
xb?
12
最小二乘估计
所求线性回归方程为 y? ? a? ? b?x 由 a? ? y ? xb? 知 y ? a? ? b?x 所以 y? ? y ? b?(x ? x)
(n? 2)??2 ?2
(n
?
2)
?
b?? b
??
Sxx ~t(n? 2)
18
线性假设的显著性检验
在H0成立时，取统计量为
T
?
b?
??2
S xx ~ t(n ? 2)
给定显著性水平? ，H0的拒绝域为
b?
t ? ??2
S xx ? t? (n ? 2) 2
计算出|t|的值，查出 t? (n ? 2) 2
19
线性假设的显著性检验
若
t
?
t?
2
(，n ?则2)拒绝H0；否则就接受
H0 。拒绝H0，意味着回归效果是显
著的。在回归效果显著的情况下，
对回归系数作区间估计，可得出b的
置信度为1-? 的置信区间为
? ? (b,
b
)
?
???b??
t? 2
(n
?
2)
?
? , b?? t? (n ? 2)
S xx
2
? ??
称为一元正态线性回归模型。
n
xi yi ? nx y
i?1
i?1
n
n
? ? Sxx ? (xi ? x)2 ? xi2 ? nx 2
i?1
i?1
则
? ?
b?
?
?
S xy S xx
? ?
a?
?
y?
xb?
12
最小二乘估计
所求线性回归方程为 y? ? a? ? b?x 由 a? ? y ? xb? 知 y ? a? ? b?x 所以 y? ? y ? b?(x ? x)
(n? 2)??2 ?2
(n
?
2)
?
b?? b
??
Sxx ~t(n? 2)
18
线性假设的显著性检验
在H0成立时，取统计量为
T
?
b?
??2
S xx ~ t(n ? 2)
给定显著性水平? ，H0的拒绝域为
b?
t ? ??2
S xx ? t? (n ? 2) 2
计算出|t|的值，查出 t? (n ? 2) 2
19
线性假设的显著性检验
若
t
?
t?
2
(，n ?则2)拒绝H0；否则就接受
H0 。拒绝H0，意味着回归效果是显
著的。在回归效果显著的情况下，
对回归系数作区间估计，可得出b的
置信度为1-? 的置信区间为
? ? (b,
b
)
?
???b??
t? 2
(n
?
2)
?
? , b?? t? (n ? 2)
S xx
2
? ??
称为一元正态线性回归模型。
应用数理统计课件
证明 不妨设A，B独立,则
P( AB ) P( A B ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A )P( B ) P( A )(1 P( B )) P( A )P( B )
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法:
① 由定义判断,是否满足公式;
② 由问题的性质从直观上去判断.
P ( A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 乘法公式一般用于计算n个事件同时发生的概率 19
3. 全概率公式 设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An
满足：
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)
i 1
Ai
, P( Ai )
A是B的子集,表示若事件A发生,事件B一定发生.
(2) A B(A B),
A与B的并(和).表示事件A,B至少有一个发生.
(3) A B(AB), A与B的交(积).表示事件A和B同时发生.
(4) A B , 表示事件A和B不能同时发生,称A与B互斥 （或互不相容）.
(5) A B ,且A B .
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)
i 1
Ai
, P( Ai )
0(i
1,2,, n)
则 对于任何一个正概率事件B，有
P(Aj | B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
( j 1,2,..., n)
注：
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
1.以上两个公式中的A1,A2,...,An可以看作是导致事件B
0(i
1,2,, n)
则 对于任何一个事件B，有
P( AB ) P( A B ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A )P( B ) P( A )(1 P( B )) P( A )P( B )
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法:
① 由定义判断,是否满足公式;
② 由问题的性质从直观上去判断.
P ( A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 乘法公式一般用于计算n个事件同时发生的概率 19
3. 全概率公式 设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An
满足：
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)
i 1
Ai
, P( Ai )
A是B的子集,表示若事件A发生,事件B一定发生.
(2) A B(A B),
A与B的并(和).表示事件A,B至少有一个发生.
(3) A B(AB), A与B的交(积).表示事件A和B同时发生.
(4) A B , 表示事件A和B不能同时发生,称A与B互斥 （或互不相容）.
(5) A B ,且A B .
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)
i 1
Ai
, P( Ai )
0(i
1,2,, n)
则 对于任何一个正概率事件B，有
P(Aj | B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
( j 1,2,..., n)
注：
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
1.以上两个公式中的A1,A2,...,An可以看作是导致事件B
0(i
1,2,, n)
则 对于任何一个事件B，有
应用数理统计课件
SPSS在统计中的应用
数据输入与管理
SPSS提供了数据编辑器，方便用户输入和 管理数据。
描述性统计
SPSS可以进行描述性统计，包括频数、均 值、标准差等计算。
高级统计分析
SPSS支持多种高级统计分析方法，如回归 分析、因子分析、聚类分析等。
报告生成
SPSS可以将分析结果导出为各种格式的报 告，方便用户进行汇报和交流。
季节性指数
计算时间序列的季节性指数，通过比较不同时间段的数据，了解季 节性变化对整个序列的影响程度。
季节性图
绘制时间序列的季节性图，直观地展示时间序列的季节性规律和变 化趋势。
08 统计软件应用
Excel在统计中的应用
描述性统计
Excel提供了丰富的函数和工具，可以 进行平均数、中位数、众数、方差、标
应用数理统计课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 概率论基础 • 统计推断 • 回归分析 • 方差分析 • 多元统计分析 • 时间序列分析 • 统计软件应用
01 引言
什么是应用数理统计
定义
应用数理统计是一门将数学原理和统 计方法应用于实际问题求解的学科。 它利用概率论和数理统计的理论，通 过对数据的收集、整理、分析和推断 ，为决策提供依据。
03 统计推断
点估计
总结词
点估计是一种用确定的数值对未知参数进行估计的方法。
详细描述
点估计的基本思想是用一个数值来近似表示未知参数的值。常见的点估计方法包括最大似然估计和最小二乘估计 等。这些方法通过构造适当的统计量，使得估计的参数值尽可能地接近真实值。
区间估计
总结词
区间估计是一种给出未知参数可能取值范围的方法。
核心概念
大学应用统计学经典——统计数据的整理和显示PPT幻灯片
定义3.8
根据统计研究的需要，将原始数据按某种标准划分成不同的组别，称 为数据分组。
定义3.9
分组后的数据称为分组数据。
定义3.10
把一个变量值作为一组，称为单变量值分组。
定义3.11
将全部变量值依次划分为若干个区间，并将这一区间的变量值作为一 组，称为组距分组。
64
定义3.12
在组距分组中，一个组的最小值，称为下限（low limit）；一个组的 最大值，称为上限（upper limit）。
定义3.13
一个组的上限值与下限值之差，称为组距。
定义3.14
在 组距分组时，如果各组的组距相等，称为等距分组。
定义3.15
在 组距分组时，如果各组的组距不相等，称为不等距分组。
定义3.16
每一组的下限和上限之间的中点值，称为中值。
65
66
最大值 最小值 最大值
67
68
例：以生产零件个数为变量。
144
145
146
120
键入坐标名
121
122
雷达图的制作
123
124
从图中读出 什么信息?
125
126
127
例3.7
128
129
130
分类
131
132
去掉网络线
133
134
135
从图中读出 什么信息?
136
137
138
139
140
141
142
143
When, Where, What
40
注意：此处 应该是频数
41
42
43
44
45
46
根据统计研究的需要，将原始数据按某种标准划分成不同的组别，称 为数据分组。
定义3.9
分组后的数据称为分组数据。
定义3.10
把一个变量值作为一组，称为单变量值分组。
定义3.11
将全部变量值依次划分为若干个区间，并将这一区间的变量值作为一 组，称为组距分组。
64
定义3.12
在组距分组中，一个组的最小值，称为下限（low limit）；一个组的 最大值，称为上限（upper limit）。
定义3.13
一个组的上限值与下限值之差，称为组距。
定义3.14
在 组距分组时，如果各组的组距相等，称为等距分组。
定义3.15
在 组距分组时，如果各组的组距不相等，称为不等距分组。
定义3.16
每一组的下限和上限之间的中点值，称为中值。
65
66
最大值 最小值 最大值
67
68
例：以生产零件个数为变量。
144
145
146
120
键入坐标名
121
122
雷达图的制作
123
124
从图中读出 什么信息?
125
126
127
例3.7
128
129
130
分类
131
132
去掉网络线
133
134
135
从图中读出 什么信息?
136
137
138
139
140
141
142
143
When, Where, What
40
注意：此处 应该是频数
41
42
43
44
45
46
应用数理统计课件第一章
1. SPSS
Statistical Package for the Social Science (社会科学统计软件包) Statistical Product and Service Solutions (统计产品与服务解决方案) 用户遍布于通讯、医疗、银行、证券、 保险、制造、商业、市场研究、科研教育 等多个领域和行业，是世界上应用最广泛 的专业统计软件。
《应用数理统计》
孙 平 东北大学数学系
plsun@
1. 预 备 知 识
2.参数 估计
4.方差 分析
3.假设 检验
5.回归 分析
第1章 预备知识
第1.1节 基本概念与主要内容 第1.2节 概率论基础 第1.3节 统计量与抽样分布
统计学 ( Statistics ) 是一门收集与分析数据， 并且根据数据进行推断的艺术与科学。 ———— 《大英百科全书》 统计学理论主要包含三个部分： 1.数据收集，2.数据分析，3.由数据做出决策。
0， x ≤ x(1) k — ， x(k) ＜ x ≤ x(k+1) n 1， x ＞ x(n)
这个函数实际上是观察值 x1，…，xn中 小于 x 的频率，即 Fn (x) = { x1，…，xn中小于 x 的个数} / n
y
…
2/n 1/n O ○ x(1) x(2) x(3) x ○
可以证明，经验分布函数 Fn (x) 将依概率、 甚至是几乎处处收敛到 F (x) 。
回归与相关分析
数理统计学重要应用之一
讨论数值变量之间的效应关系问题 一元线性回归 比如说，想了解儿子身高与父亲身高之间的关系。 在每个被调查的家庭中同时获得这两个变量的 观察值，分析它们是否有某种(函数)关系，… 多元线性回归 例如，钢的去碳量与不同矿石、融化时间、 炼钢炉体积等等是否有关？关系如何？…
应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第三章2
§3.2 估 计 量 评 价 的 标 准 Goodness Standard of Estimators
一、无偏性(unbiased)
总体 ξ ，待估计参数θ， 样本（ξ1 , ξ2 ,…, ξn）
估计量 :
θˆ = T (ξ1,ξ2 ,Lξn )
无偏估计量 （unbiased estimator）： θˆ
= ES
2 = E ⎜⎛ 1 ∑
⎝n
ξ −ξ i
2 ⎟⎞ ⎠
=
E ⎜⎛ 1 ⎝n
∑ξ2 i
−ξ
2 ⎟⎞ ⎠
= 1 ∑ Eξ 2 − Eξ 2
n
= E ξ 2 − E (ξ 2 )
[ ] = D ξ + ( E ξ ) 2 − D ξ + ( E ξ ) 2
= Dξ − Dξ = Dξ − Dξ = n −1Dξ ≠ Dξ
相合估计量) 相合性的判定（Theorem 4）：
估计量θˆn = Tn (ξ1, ξ2 L , ξn )
Condition:
1)
lim
n→∞
Eθˆn
=θ
2)
lim
n→∞
D
θˆ n
=0
Conclusion：θˆn是θ 的相合统计量 .
Assignments: 小p194大p115---习题3：9, 12, 13, 16
Eθˆ = θ
Example 2. Prove：对任何总体 ξ ，设 (ξ1 ,ξ 2 ,L ξ n )
为其样本，若 Dξ 存在，则样本的二阶中心矩 S 2
是总体的二阶中心矩 D ξ 的有偏估计量.
1
( ) Proof： DDˆ ξξ
( ) = S 2 =
一、无偏性(unbiased)
总体 ξ ，待估计参数θ， 样本（ξ1 , ξ2 ,…, ξn）
估计量 :
θˆ = T (ξ1,ξ2 ,Lξn )
无偏估计量 （unbiased estimator）： θˆ
= ES
2 = E ⎜⎛ 1 ∑
⎝n
ξ −ξ i
2 ⎟⎞ ⎠
=
E ⎜⎛ 1 ⎝n
∑ξ2 i
−ξ
2 ⎟⎞ ⎠
= 1 ∑ Eξ 2 − Eξ 2
n
= E ξ 2 − E (ξ 2 )
[ ] = D ξ + ( E ξ ) 2 − D ξ + ( E ξ ) 2
= Dξ − Dξ = Dξ − Dξ = n −1Dξ ≠ Dξ
相合估计量) 相合性的判定（Theorem 4）：
估计量θˆn = Tn (ξ1, ξ2 L , ξn )
Condition:
1)
lim
n→∞
Eθˆn
=θ
2)
lim
n→∞
D
θˆ n
=0
Conclusion：θˆn是θ 的相合统计量 .
Assignments: 小p194大p115---习题3：9, 12, 13, 16
Eθˆ = θ
Example 2. Prove：对任何总体 ξ ，设 (ξ1 ,ξ 2 ,L ξ n )
为其样本，若 Dξ 存在，则样本的二阶中心矩 S 2
是总体的二阶中心矩 D ξ 的有偏估计量.
1
( ) Proof： DDˆ ξξ
( ) = S 2 =
应用数理统计课件
应用数理统计课件
目录
• 引言 • 基础知识 • 描述性统计方法 • 推断性统计方法 • 实验设计与数据分析案例
目录
• 质量控制与可靠性评估方法 • 总结与展望
01
引言
数理统计简介
01
定义
数理统计是应用概率论对数据 进行收集、整理、分析和推断
的数学学科。
02
发展历程
介绍数理统计的历史背景、发 展过程和重要里程碑。
假设检验原理及应用举例
01
原假设与备择假设
明确待检验的假设，设定原假设 和备择假设。
03
拒绝域与显著性水平
设定拒绝域和显著性水平，判断 原假设是否成立。
02
检验统计量
根据原假设选择合适的检验统计 量，如Z检验、t检验、χ²检验等
。
04
应用举例
通过实际案例展示假设检验的应 用，如检验两种不同教学方法的
01
数据清洗
去除异常值、缺失值和重复值，确 保数据质量。
推论性统计
运用假设检验、方差分析等方法， 推断实验结果的可靠性和有效性。
03
02
描述性统计
计算均值、中位数、标准差等指标 ，以描述数据的基本特征。
可视化展示
利用图表直观展示数据分布和趋势 ，便于理解和分析。
04
实际案例展示与讨论
案例一
某种新药的临床试验。通过 随机双盲对照实验，比较新 药与安慰剂对病患的疗效差 异，并运用统计方法进行数
效果是否有显著差异。
方差分析与回归分析简介
01
方差分析
02
回归分析
研究不同因素对观测变量影响的显著性，判断因素之间是否存在交互 作用。例如，分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响。
目录
• 引言 • 基础知识 • 描述性统计方法 • 推断性统计方法 • 实验设计与数据分析案例
目录
• 质量控制与可靠性评估方法 • 总结与展望
01
引言
数理统计简介
01
定义
数理统计是应用概率论对数据 进行收集、整理、分析和推断
的数学学科。
02
发展历程
介绍数理统计的历史背景、发 展过程和重要里程碑。
假设检验原理及应用举例
01
原假设与备择假设
明确待检验的假设，设定原假设 和备择假设。
03
拒绝域与显著性水平
设定拒绝域和显著性水平，判断 原假设是否成立。
02
检验统计量
根据原假设选择合适的检验统计 量，如Z检验、t检验、χ²检验等
。
04
应用举例
通过实际案例展示假设检验的应 用，如检验两种不同教学方法的
01
数据清洗
去除异常值、缺失值和重复值，确 保数据质量。
推论性统计
运用假设检验、方差分析等方法， 推断实验结果的可靠性和有效性。
03
02
描述性统计
计算均值、中位数、标准差等指标 ，以描述数据的基本特征。
可视化展示
利用图表直观展示数据分布和趋势 ，便于理解和分析。
04
实际案例展示与讨论
案例一
某种新药的临床试验。通过 随机双盲对照实验，比较新 药与安慰剂对病患的疗效差 异，并运用统计方法进行数
效果是否有显著差异。
方差分析与回归分析简介
01
方差分析
02
回归分析
研究不同因素对观测变量影响的显著性，判断因素之间是否存在交互 作用。例如，分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响。
应用数理统计课件第5章(1)
相关系数(意义)
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例：不良贷款，各项贷款余额，累计应收贷款， 贷款项目个数，固定资产投资额之间的相关系数
(三) 相关关系的显著性检验(t 检验) 1、目的：检验两个变量之间是否存在线性相 关关系 相关 2、R.A.Fisher提出的 t 检验步骤 (1) 提出假设：H0： ；H1： 0 (2) 检验的统计量：
1、原模型： y 与 x1 , x2, … xp 的真实关系
y =f(x1 , x2, … xp ) + e * f(x1 , x2, … xp )反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化； • 误差项 e 是随机变量，反映了除 x 和 y 之间的 关系之外的随机因素对 y 的影响，是不能由 x 和 y 之间的关系所解释的变异性
n 2 n
ˆx －残差 ˆb ˆ i yi ei yi y i
i 1 i 1
ˆx ˆ b ˆ i yi Q yi y i
＊Q的计算 Q
n
2
－残差平方和
＊残差及其平方和，其意义是 y 不被 x 解释的那一部份
ˆx ) b ˆx Q yi ( y b i Q yi y
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
(2)相关系数（测度变量之间的线性关系）
相关主题
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应用数理统计
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.
课程概述
概率论与数理统计是一门研 究随机现象量的规律性的数学学 科，又称“机会的数学”，即用 确切的数字来体现偶然性，研究 这样做引发的概念和理论问题。
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.
课程意义
对偶然性的认识以及统计 的思维方法，就像读和写的能力 一样，是现代人知识结构中应具 备的成分。
<< 上一页 28 上一页 >>
.
(8) 完备事件组
如果事件 A,A,,A为两两互不
1
2
n
相容的事件,并且
AA A ,
1
2
n
则称 A,A,,A构成一个完备事件
1
2
n
组。
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.
第二节
概率
<< 上一页 30 上一页 >>
.
一 频数与频率
(1) 频数：m (2) 频率：m/n
事件有
n
n
P(A)P(A)
i1 i
i1
i
35
.
3.若n个事件 A1,A2,,An 构成
一 个完备事件组，则有
n
P(A) 1
i1
i
<< 上一页 36 上一页 >>
.
4. 若 BA,则
P ( B A ) P ( B ) P ( A )
37
.
5.广义加法公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B） －P（AB）
<< 上一页 8 上一页 >>
.
课程简介
本学期要向大家介绍8章内容： （第五 、六、十章不讲）
9
.
概率论有四章的内容： 第一章～第四章
10
.
数理统计有四章的内容： 第七章～第九章及第十一章
11
.
课程时间安排：
一学期，48学时 （周3学时），16次课
12
.
概率论估计需要：24学时 数理统计估计需要：24学时
<< 上一页 31 上一页 >>
.
二 概率的定义及性质
概率的定义：
在不变的条件下，重复进行n次
试验，事件A发生的频率稳定在
某常数p附近。随着n的增大，振 幅变小，称常数p为事件A的概率， 记作P（A）
（概率的英译为probability）
<< 上一页 32 上一页 >>
.
概率应满足的三条公理
公理1 对于任何事件A，有P(A)≥0;
.
(6) 互不相容事件
事件A与B不能同时发生,即
AB=
.
,则称事件A与B互不相容,
又称事件A与B互斥。
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.
(7) 对立事件
事件A不出现,即事件“非A”,则 称为A的对立事件,又称为A的逆 事件,因此A与互为对立事件.对
立事件满足下列关系式:
A A ,A A ,A A ,A A
<< 上一页 3 上一页 >>
.
Байду номын сангаас
课程的组成
该课程主要由： 概率论和数理统计两部分组成。
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.
概率论
概率论属于理论基础，包括： 概率论的基本概念； 概率论的基本定理、性质、公式； 概率论常见的分布。
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.
数理统计
数理统计是概率论的应用， 即把收集的数据加以统计和分析， 包括： 数理统计的一些基本概念； 数理统计的基本理论和方法 。
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.
三 样本空间
(1) 样本点（单点集） (2) 样本空间
<< 上一页 21 上一页 >>
.
四 事件间的关系及其运算
(1)事件的包含
如果事件A发生必然导致事 件B发生，即A 为B的子集，则称 事件B包含事件A，记作B A 或
A B。对于任何事件A，有 A
成立。
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.
(4)事件的积（交）
两个事件A与B同时发生，即 “A且B”，是一个事件，则称为 事件A与B的积（交），记作AB或 A B 。
<< 上一页 25 上一页 >>
.
(5) 事件的差
事件A发生而事件B不发生， 是一个事件，则称为事件A与B的 差，记作A-B。
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公理2 对于必然事件样本空间，
P(Ω)=1;
公理3 对于任意可列个互不相容事件
A1 ,A2 , … , An ,有
P(A)P(A)
i1 i
i1
i
<< 上一页 33 上一页 >>
.
概率的性质
1.不可能事件的概率为0，
即 P()0
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.
2.概率的有限可加性（加法公式）
有限个两两互不相容
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.
(2)事件的相等
如果事件A包含事件B，而 且事件B也包含事件A，则称事件 A与B相等，或称A与B等价，记作 A=B。
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.
(3)事件的和（并）
两个事件A，B中至少有一个 发生，即“A或B”，是一个事件， 则称为事件A与B的和（并），记 作A＋B或A B。
为在事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率（即在“事件 A已经发生”的条件下事件B发
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.
教学目的
概率论与数理统计是财经类 专业核心课程之一，是现代经济 理论的应用与研究的重要数学工 具。
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.
该课程着重于基本知识的介 绍和统计观点的培养，使学生掌 握概率与统计的基本概念、基本 性质、基本方法，从而使学生提 高逻辑思维能力、分析和解决问 题的能力、统计的思维方法等， 为今后专业课的学习打下基础。
13
.
指定教材
高等学校文科教材，经济应 用数学基础（三）——《概 率论与数理统计》、袁荫棠 编（修订本）、中国人民大 学出版社。
14
.
参考资料
1 同名的财经类教材。 2 相关的辅导资料。
15
.
作业安排
1 本学期要交4次作业；
2 交满4次作业方可参加考试；
3 作业中有考试题（原形和变 形）；
4 概率论的作业2次，数理统 计的作业2次。
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.
第一章 随机事件及其概率
17
.
第一节
随机事件
<< 上一页 18 上一页 >>
.
一 随机试验的特点
(1) 重 复 性 (2) 明 确 性 (3) 随 机 性
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.
二 随机事件的基本概念
(1) 事件 (2) 随机事件 (3) 基本事件 (4) 必然事件 (5) 不可能事件
38
.
三 古典概型(等可能概型)
39
.
古典概型的特点
1.有限性 2.等可能性
40
.
古典概型概率的公式：
P(A)=m/n
41
.
补充内容
1.排列 2.组合
42
.
第三节
条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
43
.
一 条件概率
对于两个事件A与B，若P(A)>0, 则称 P(B|A)=P(AB)/P(A)
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.
课程概述
概率论与数理统计是一门研 究随机现象量的规律性的数学学 科，又称“机会的数学”，即用 确切的数字来体现偶然性，研究 这样做引发的概念和理论问题。
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.
课程意义
对偶然性的认识以及统计 的思维方法，就像读和写的能力 一样，是现代人知识结构中应具 备的成分。
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.
(8) 完备事件组
如果事件 A,A,,A为两两互不
1
2
n
相容的事件,并且
AA A ,
1
2
n
则称 A,A,,A构成一个完备事件
1
2
n
组。
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.
第二节
概率
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.
一 频数与频率
(1) 频数：m (2) 频率：m/n
事件有
n
n
P(A)P(A)
i1 i
i1
i
35
.
3.若n个事件 A1,A2,,An 构成
一 个完备事件组，则有
n
P(A) 1
i1
i
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.
4. 若 BA,则
P ( B A ) P ( B ) P ( A )
37
.
5.广义加法公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B） －P（AB）
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.
课程简介
本学期要向大家介绍8章内容： （第五 、六、十章不讲）
9
.
概率论有四章的内容： 第一章～第四章
10
.
数理统计有四章的内容： 第七章～第九章及第十一章
11
.
课程时间安排：
一学期，48学时 （周3学时），16次课
12
.
概率论估计需要：24学时 数理统计估计需要：24学时
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.
二 概率的定义及性质
概率的定义：
在不变的条件下，重复进行n次
试验，事件A发生的频率稳定在
某常数p附近。随着n的增大，振 幅变小，称常数p为事件A的概率， 记作P（A）
（概率的英译为probability）
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.
概率应满足的三条公理
公理1 对于任何事件A，有P(A)≥0;
.
(6) 互不相容事件
事件A与B不能同时发生,即
AB=
.
,则称事件A与B互不相容,
又称事件A与B互斥。
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.
(7) 对立事件
事件A不出现,即事件“非A”,则 称为A的对立事件,又称为A的逆 事件,因此A与互为对立事件.对
立事件满足下列关系式:
A A ,A A ,A A ,A A
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Байду номын сангаас
课程的组成
该课程主要由： 概率论和数理统计两部分组成。
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概率论
概率论属于理论基础，包括： 概率论的基本概念； 概率论的基本定理、性质、公式； 概率论常见的分布。
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数理统计
数理统计是概率论的应用， 即把收集的数据加以统计和分析， 包括： 数理统计的一些基本概念； 数理统计的基本理论和方法 。
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三 样本空间
(1) 样本点（单点集） (2) 样本空间
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四 事件间的关系及其运算
(1)事件的包含
如果事件A发生必然导致事 件B发生，即A 为B的子集，则称 事件B包含事件A，记作B A 或
A B。对于任何事件A，有 A
成立。
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(4)事件的积（交）
两个事件A与B同时发生，即 “A且B”，是一个事件，则称为 事件A与B的积（交），记作AB或 A B 。
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(5) 事件的差
事件A发生而事件B不发生， 是一个事件，则称为事件A与B的 差，记作A-B。
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公理2 对于必然事件样本空间，
P(Ω)=1;
公理3 对于任意可列个互不相容事件
A1 ,A2 , … , An ,有
P(A)P(A)
i1 i
i1
i
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概率的性质
1.不可能事件的概率为0，
即 P()0
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2.概率的有限可加性（加法公式）
有限个两两互不相容
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(2)事件的相等
如果事件A包含事件B，而 且事件B也包含事件A，则称事件 A与B相等，或称A与B等价，记作 A=B。
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(3)事件的和（并）
两个事件A，B中至少有一个 发生，即“A或B”，是一个事件， 则称为事件A与B的和（并），记 作A＋B或A B。
为在事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率（即在“事件 A已经发生”的条件下事件B发
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教学目的
概率论与数理统计是财经类 专业核心课程之一，是现代经济 理论的应用与研究的重要数学工 具。
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该课程着重于基本知识的介 绍和统计观点的培养，使学生掌 握概率与统计的基本概念、基本 性质、基本方法，从而使学生提 高逻辑思维能力、分析和解决问 题的能力、统计的思维方法等， 为今后专业课的学习打下基础。
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指定教材
高等学校文科教材，经济应 用数学基础（三）——《概 率论与数理统计》、袁荫棠 编（修订本）、中国人民大 学出版社。
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参考资料
1 同名的财经类教材。 2 相关的辅导资料。
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作业安排
1 本学期要交4次作业；
2 交满4次作业方可参加考试；
3 作业中有考试题（原形和变 形）；
4 概率论的作业2次，数理统 计的作业2次。
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第一章 随机事件及其概率
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第一节
随机事件
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一 随机试验的特点
(1) 重 复 性 (2) 明 确 性 (3) 随 机 性
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二 随机事件的基本概念
(1) 事件 (2) 随机事件 (3) 基本事件 (4) 必然事件 (5) 不可能事件
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三 古典概型(等可能概型)
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古典概型的特点
1.有限性 2.等可能性
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古典概型概率的公式：
P(A)=m/n
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补充内容
1.排列 2.组合
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第三节
条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
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一 条件概率
对于两个事件A与B，若P(A)>0, 则称 P(B|A)=P(AB)/P(A)