【大学课件】应用数理统计

应用数理统计
<< 上一页 1 上一页 >>
.
课程概述
概率论与数理统计是一门研 究随机现象量的规律性的数学学 科，又称“机会的数学”，即用 确切的数字来体现偶然性，研究 这样做引发的概念和理论问题。
<< 上一页 2 上一页 >>
.
课程意义
对偶然性的认识以及统计 的思维方法，就像读和写的能力 一样，是现代人知识结构中应具 备的成分。
.
(6) 互不相容事件
事件A与B不能同时发生,即
AB=
.
,则称事件A与B互不相容,
又称事件A与B互斥。
<< 上一页 27 上一页 >>
.
(7) 对立事件
事件A不出现,即事件“非A”,则 称为A的对立事件,又称为A的逆 事件,因此A与互为对立事件.对
立事件满足下列关系式:
A A ,A A ,A A ,A A
<< 上一页 24 上一页 >>
.
(4)事件的积（交）
两个事件A与B同时发生，即 “A且B”，是一个事件，则称为 事件A与B的积（交），记作AB或 A B 。
<< 上一页 25 上一页 >>
.
(5) 事件的差
事件A发生而事件B不发生， 是一个事件，则称为事件A与B的 差，记作A-B。
<< 上一页 26 上一页 >>
70
.
p 1
2.
n1
n
71
.
几个简单的分布
72
.
1. 两点分布
两点分布概率分布表
X
x1
x2
P
p
1
p2
<< 上一页 73 上一页 >>
.
2. 0－1分布
0－1分布概率分布表
X
1
0
P
1- p
p
<< 上一页 74 上一页 >>
.
3. 均匀分布
均匀分布概率分布表
X x1 x2
P1
1
n
n
x ... n
84
.
f(x) 称 为 X 的 概 率 分 布 密 度
函数，简称概率密度,简记
为X～f(x).
85
.
概率密度具有下列性质; 1. f(x)0 ;
86
.
2.
f(x)dx1
3. P (xXx)F(x)F(x)
1
2
2
1
;
xx 12f(x)d(x1x)
87
.
4.若f(x)在点x处连续，则
有 F (x)f(x).
81
.
4．F（x ）至多有可列个间
断点，在间断点处是右连续
的[F(x+0)=F(x)].
82
.
分布函数与概率分布 满足下列关系式：
F(x)p
xnx
n
83
.
三 连续型随机变量的分布
若对于随机变量X的分布
ຫໍສະໝຸດ Baidu
函数F（x）,存在非负函数
f(x),使对于任意实数x
有 F(x) xf(t)dt
,
则称X为连续型随机变量
P (A|B )P (A )P ;(A|B)P (A ).
55
.
4.若事件 A,A, ,A相互独
1
2
n
立，则有
P (A A A ) nP (A )
12
n
i 1
i
56
.
5.若事件 A,A,A相互
1
2
n
独立，则有
P ( n A ) 1 n P (A )
i 1 t
i 1
i
57
.
注意：
1.独立与互不相容无必然 的联系。
<< 上一页 20 上一页 >>
.
三 样本空间
(1) 样本点（单点集） (2) 样本空间
<< 上一页 21 上一页 >>
.
四 事件间的关系及其运算
(1)事件的包含
如果事件A发生必然导致事 件B发生，即A 为B的子集，则称 事件B包含事件A，记作B A 或
A B。对于任何事件A，有 A
成立。
<< 上一页 22 上一页 >>
.
(2)事件的相等
如果事件A包含事件B，而 且事件B也包含事件A，则称事件 A与B相等，或称A与B等价，记作 A=B。
<< 上一页 23 上一页 >>
.
(3)事件的和（并）
两个事件A，B中至少有一个 发生，即“A或B”，是一个事件， 则称为事件A与B的和（并），记 作A＋B或A B。
<< 上一页 3 上一页 >>
.
课程的组成
该课程主要由： 概率论和数理统计两部分组成。
<< 上一页 4 上一页 >>
.
概率论
概率论属于理论基础，包括： 概率论的基本概念； 概率论的基本定理、性质、公式； 概率论常见的分布。
<< 上一页 5 上一页 >>
.
数理统计
数理统计是概率论的应用， 即把收集的数据加以统计和分析， 包括： 数理统计的一些基本概念； 数理统计的基本理论和方法 。
F (x ) P (X x )
成立，则称为随机变量X的 分布函数。
78
.
随机变量的分布函数性质
1．0 F (x ) 1 ,x R
79
.
2．F(x)为x的不减函数（既可
以是递增函数，也可以是水
平不变函数），即
当x x ． 有 F ( x ) F ( x )
2
1
2
1
80
.
3．F () 0 ,F () 1
1
2
n
个完备事件组，且P( A )>0， i
i=1,2, n,则对于任何一个事
件B，有
P(B)=
n
P(A)P(B| A)
i1
i
i
46
.
四 贝叶斯公式 (有称假设概率公式)
设事件 A1,A2,,An构成一个 完备事件组，P(A) ，0i=1,2,
i
, n,对于任何一个事件B，若
P(B)>0,有
P (A )P (B |A )
64
.
二 随机变量的特点
随机变量作为样本点 的函数，有两个基本特点： 一是变异性；二是随机性。
65
.
随机变量的分类
随机变量按其取值情况 分为两大类：离散型随机变 量和非离散型随机变量（主 要研究连续型随机变量）。
66
.
第二节 随机变量的分布
67
.
一 离散型随机变量的分布
离散型随机变量的定义
若随机变量X只可能取有
公理2 对于必然事件样本空间，
P(Ω)=1;
公理3 对于任意可列个互不相容事件
A1 ,A2 , … , An ,有
P(A)P(A)
i1 i
i1
i
<< 上一页 33 上一页 >>
.
概率的性质
1.不可能事件的概率为0，
即 P()0
<< 上一页 34 上一页 >>
.
2.概率的有限可加性（加法公式）
有限个两两互不相容
限个或至多可列个值，则称
X为离散型随机变量。
68
.
概率分布的定义
设X为离散型随机变量，它的
一切可能取值为 x1,x2,,xn,,记
p P { X x}(n , 1 ,2 , )
n
n
此式称为X的概率函数，又称概率
分布，简称分布。
<< 上一页 69 上一页 >>
.
离散型随机变量 概率分布基本性质
1 . p 0 (n 1 ,2 , ) n
88
.
第三节
二维随机变量及其分布
89
.
一 二维随机变量的概念
设随机试验的样本空间为
S={e},X=X(e) 和 Y=Y （ e ） 是 定 义在S上的随机变量，由它们构 成的一个向量（X，Y）称为二
P (A |B ) m
m
m
nP (A )P (B |A )
i 1
i
i
m 1 ,2 , ,n
47
.
第四节
独立性与独立试验序 列
48
.
一 随机事件的独立性
事件独立的三种定义方式
49
.
1. 两 个 事 件 A 与 B ， 若 其
中任何一个事件发生的概率 不受另外一个事件发生与否 的影响，则称事件A与B是相 互独立的，简称A与B独立。
<< 上一页 31 上一页 >>
.
二 概率的定义及性质
概率的定义：
在不变的条件下，重复进行n次
试验，事件A发生的频率稳定在
某常数p附近。随着n的增大，振 幅变小，称常数p为事件A的概率， 记作P（A）
（概率的英译为probability）
<< 上一页 32 上一页 >>
.
概率应满足的三条公理
公理1 对于任何事件A，有P(A)≥0;
<< 上一页 28 上一页 >>
.
(8) 完备事件组
如果事件 A,A,,A为两两互不
1
2
n
相容的事件,并且
AA A ,
1
2
n
则称 A,A,,A构成一个完备事件
1
2
n
组。
<< 上一页 29 上一页 >>
.
第二节
概率
<< 上一页 30 上一页 >>
.
一 频数与频率
(1) 频数：m (2) 频率：m/n
2.n个事件独立与两两独立
不是同一概念 。
58
.
二 独立试验序列概型
在概率论中，把在同样 条件下重复进行试验的数学 模型称为独立试验序列概型。
59
.
二项概率公式 （即贝努里定理）
设在独立试验序列中事
件A的概率为p,则在n次试验
中事件A恰发生m次的概率为
p ( m ) C m p m q n m , ( q 1 p ) m , 0 , 1 , , n
<< 上一页 8 上一页 >>
.
课程简介
本学期要向大家介绍8章内容： （第五 、六、十章不讲）
9
.
概率论有四章的内容： 第一章～第四章
10
.
数理统计有四章的内容： 第七章～第九章及第十一章
11
.
课程时间安排：
一学期，48学时 （周3学时），16次课
12
.
概率论估计需要：24学时 数理统计估计需要：24学时
...
1
n
<< 上一页 75 上一页 >>
.
4. 几何分布
几何分布概率分布表
X 12 3
P
p p(1-p) p(1-
p)2
...
...
i
... p(1-
...
p)i-1
76
.
5. 退化分布
退化分布概率分布表
X
c
P
1
<< 上一页 77 上一页 >>
.
二 随机变量的分布函数
若X为一个随机变量,对 于任何实数x,有
n
n
60
.
第二章
随机变量及其分布
61
.
第一节 随机变量的概念
62
.
一 随机变量的定义
设E为随机试验，它的样本 空间S＝{e}.若对于每一个样本 点eS，有一个实数X（e）与之 对应，这样就得到一个定义在S 上的单值实值函数X＝X（e）,
则称X为随机变量
63
.
样本点与随机变量的函 数关系为：
e X X(e)
13
.
指定教材
高等学校文科教材，经济应 用数学基础（三）——《概 率论与数理统计》、袁荫棠 编（修订本）、中国人民大 学出版社。
14
.
参考资料
1 同名的财经类教材。 2 相关的辅导资料。
15
.
作业安排
1 本学期要交4次作业；
2 交满4次作业方可参加考试；
3 作业中有考试题（原形和变 形）；
4 概率论的作业2次，数理统 计的作业2次。
为在事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率（即在“事件 A已经发生”的条件下事件B发
生的概率）。
44
.
二 乘法公式
对于两个事件A与B，若 P(A)>0,则有
P(AB)=P(A)P(B|A);
若P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B).
45
.
三 全概率公式
若事件 A,A, ,A构成一
50
.
2. 若 两 个 事 件 A 与 B ， P(B)>0 ， 且 P(A|B)=P(A) ，
则称事件A与事件B相互独立。
51
.
3. 若 两 个 事 件 A 与 B 满 足 等式P(AB)=P(A)P(B)，则称
事件A与B相互独立。此定义
可以推广到有限个事件。
52
.
事件独立性的五个结论
1. 事 件 A 与 B 独 立 的 充 分
必要条件是
P(AB)=P(A)P(B).
53
.
2.设事件A与B，则下列 四对事件：A与B；
A 与 B ； A 与 B ； A 与 B中， 只要有一对事件独立，其余 三对也独立。
54
.
3.设两个事件A与B的概率都大于0且
小于1，则下面等式等价，即其中任何一 个成立，其它三个也一定成立：
P (B|A )P (B )P ;(B|A )P (B );
<< 上一页 16 上一页 >>
.
第一章 随机事件及其概率
17
.
第一节
随机事件
<< 上一页 18 上一页 >>
.
一 随机试验的特点
(1) 重 复 性 (2) 明 确 性 (3) 随 机 性
<< 上一页 19 上一页 >>
.
二 随机事件的基本概念
(1) 事件 (2) 随机事件 (3) 基本事件 (4) 必然事件 (5) 不可能事件
事件有
n
n
P(A)P(A)
i1 i
i1
i
35
.
3.若n个事件 A1,A2,,An 构成
一 个完备事件组，则有
n
P(A) 1
i1
i
<< 上一页 36 上一页 >>
.
4. 若 BA,则
P ( B A ) P ( B ) P ( A )
37
.
5.广义加法公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B） －P（AB）
38
.
三 古典概型(等可能概型)
39
.
古典概型的特点
1.有限性 2.等可能性
40
.
古典概型概率的公式：
P(A)=m/n
41
.
补充内容
1.排列 2.组合
42
.
第三节
条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
43
.
一 条件概率
对于两个事件A与B，若P(A)>0, 则称 P(B|A)=P(AB)/P(A)
<< 上一页 6 上一页 >>
.
教学目的
概率论与数理统计是财经类 专业核心课程之一，是现代经济 理论的应用与研究的重要数学工 具。
<< 上一页 7 上一页 >>
.
该课程着重于基本知识的介 绍和统计观点的培养，使学生掌 握概率与统计的基本概念、基本 性质、基本方法，从而使学生提 高逻辑思维能力、分析和解决问 题的能力、统计的思维方法等， 为今后专业课的学习打下基础。