(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题的常用方法总结2.docx

高中数学讲义

排列组合问题的常用方法总

结 2

知识内容

1．基本计数原理

⑴加法原理

分数原理：做一件事，完成它有n 法，在第一法中有m1种不同的方法，在第二法中

有 m2种方法，⋯⋯，在第 n 法中有 m n种不同的方法．那么完成件事共有N m1 m2 L m n种不同的方法．又称加法原理．

⑴乘法原理

分步数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步，做第一个步有 m1种不同的方法，做第二个步有 m2种不同方法，⋯⋯，做第 n 个步有 m n种不同的方法．那么完成件事共有

N m1 m2 L m n种不同的方法．又称乘法原理．

⑴加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的

基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2．排列与组合

⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取m(m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：从 n 个不同的元素中取出m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 A m n表示．

排列数公式： A m n 全排列：一般地，n的阶乘：正整数由

n(n 1)(n 2) L (n m 1) ， m，n N，并且 m ≤ n ．

n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n! 表示．规定： 0! 1 ．

⑴组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出 m (m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取

思维的发掘能力的飞跃1

高中数学讲义

m个元素的一个组合．

组合数：从 n 个不同元素中，任意取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号C n m表示．

组合数公式： C n m n( n1)(n 2)L( n m1)n!， m,n N ，并且m≤n．

m!( n m)!

m!

组合数的两个性质：性质

m n m m m m 10

1：C n C n；性质 2：C n 1C n C n．（规定 C n 1 ）

⑴排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：

1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6．插板法：n个相同元素，分成 m(m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排，从 n 1个空中选 m 1 个空，各插一个隔板，有C n m11．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均

分成 n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！

8．错位法：编号为 1 至n的n个小球放入编号为 1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、 3 个、 4 个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；⑴位置分析法：

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条

件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2思维的发掘能力的飞跃

高中数学讲义

2．具体的解题策略有：

⑴对特殊元素进行优先安排；

⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；

⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典例分析

挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）

【例 1】某市植物园要在30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园30 天内不同的安排

方法有种．

【例 2】某校准备组建一个由12 人组成篮球队，这12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种．

【例 3】 a b c d 15有多少项？

【例 4】有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？

思维的发掘能力的飞跃3