固体物理总结能带理论完全版

固体物理总结能带理论完全版

目录

一、本章难易及掌握要求 (1)

二、基本内容 (1)

1、三种近似 (1)

2、周期场中的布洛赫定理 (2)

1)定理的两种描述 (2)

2)证明过程: (2)

3) 波矢k的取值及其物理意义 (3)

3、近自由电子近似 (3)

A、非简并情况下 (4)

B、简并情况下 (5)

C、能带的性质 (6)

4、紧束缚近似 (6)

5、赝势 (9)

6、三种方法的比较 (10)

7、布里渊区与能带 (11)

8、能态密度及费米面 (11)

三、常见习题 (14)

简答题部分 (14)

计算题部分 (15)

一、本章难易及掌握要求

要求重点掌握:

1)理解能带理论的基本假设与出发点;

2)布洛赫定理的描述及证明;

3)一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论,明白

三维近自由电子近似的思想;

4)紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算;

5)明白简约布里渊区的概念与能带的意义及应用;

6)会计算能态密度及明白费米面的概念。

本章难点:

1)对能带理论的思想理解,以及由它衍生出来的的模型的应

用。比如将能带理论应用于区分绝缘体,导体,半导体; 2)对三种模型的证明推导。

了解内容:

1)能带的成因及对称性;

2)费米面的构造;

3)赝势方法;

4)旺尼尔函数概念;

5)波函数的对称性。

二、基本内容

1、三种近似

在模型中它用到已经下假设:

1)绝热近似:由于电子质量远小于离子质量,电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子,可认为离子不动,或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。

2)平均场近似:在上述多电子系统中,可把多电子中的每一个电子,瞧作就是在离子场及其它电子产生的平均场中运动,这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。

3)周期场近似:假定所有离子产生的势场与其它电子的平均势场就是周期势场,其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理

1)定理的两种描述

当晶体势场具有晶格周期性时,电子波动方程的解具有以下性质:

形式一:()()n

ik R n r R e r ψψ⋅+=r u u r r v u u v ,亦称布洛赫定理,反映了相邻原包之间的波

函数相位差

形式二:()()ik r

r e u r ψ⋅=r r r r ,亦称布洛赫函数,反映了周期场的波函数可

用受)(r u k ϖ

调制的平面波表示、其中()()n u r u r R =+r v u u v ,n

R ρ取布拉 菲格子的所有格矢成立。 2)证明过程:

a 、 定义平移算符µT ,)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m ϖϖϖϖ=

b. 证明µT 与ˆH

的对易性。ααHT H T =

c 、代入周期边界条件,求出µT 在µT 与ˆH

共同本征态下的本征值

λ。即⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=)()(

()()

()(332211a N r r a N r r a N r r ϖϖϖϖϖϖϖϖϖψψψψψψ3

2

1

321,,a k i a k i a k i e

e

e

ϖϖϖϖϖ

ϖ⋅⋅⋅===λλλ

d 、 将λ代入µT 的本征方程中,注意µ

T 定义,可得布洛赫定理。

)()(3

21321r R r m m m m ϖϖϖψλλλψ=+)()(332211r e

a m a m a m k i ϖϖϖϖϖψ++⋅=)()(r u e r k r

k i ϖϖϖ

ϖ⋅=！

3) 波矢k 的取值及其物理意义

333222111b N l b N l b N l k ϖϖϖϖ++= (2)

2j

j j N l N ≤<-,k 就是第一布里渊区

的波失,称简约波矢。其就是平移算符本征值量子数,而

)()()(m m R r r R T ϖϖϖϖ+=ψψ)

(r e m

R k i ϖϖϖψ⋅=反映了原胞之间电子波函数位相的变

化。同时也可以得出如果一个势场就是周期场,那么可以把其波函数设为布洛赫函数。 3、 近自由电子近似

1)思想:假设将周期场的周期起伏瞧作自由电子稳定势场的微扰 2)条件要求:原子的动能大于势能以使电子可以自由运动,势函数的的起伏很小,以满足微扰论适用,外层电子以满足电子可以自由运动。

3)模型建立过程:

首先,在零级近似下,考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值,推出了能量的准连续性;

其次,由于考虑到二级微扰,而推出能量在布区边界处分裂,且发生了能级间的“排斥作用”,于就是形成能带与带隙。

A 、非简并情况下

1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量与薛定谔方程:

'0H H H +=,V dx d m H +-=2

2

202η,

微扰项:

V V x V H ∆=-=)(',满足的方程式: ψψE H =、

2)利用微扰论方法有设:.

)2()1(0Λ+++=k k k k E E E E ,

其中:

V m k E k +=2220

η,0|'|)1(>==<='

'02

)2(|'|'k k k k E E k H k E (K K ≠') 设:.)()()()1(0Λ++=x x x k k k ψψψ 其中:

ikx k e L

x 1)(0

=

ψ, 0

''

0'

0)1(|'|'k k k k k E E k H k ψψ∑

-><= (K K ≠')

4)结论:

能量本征值:∑+-++=n

n k a

n k k m V V m k E ])2([2'2222

2

220

πηη 波函数:x

a

n

i n

n

ikx

ikx

k e

a

n

k k m V e

L

e

L

x ππψ2222

])2([211)(∑+-+

=

η

5)波函数的意义:

第一项就是波矢为k 的前进的平面波,第二项就是平面波受到周期性势场作用产生的散射波 再令x

a

n

i n

n

k e a

n

k k m V x u ππ2222

])2([21)(∑

+-+=η,则有)(1)(x u e L

x k ikx k =

ψ

具有布洛赫函数形式,其中用到)()(x u ma x u k k =+

B 、简并情况下