固体物理总结能带理论完全版

固体物理总结能带理论完全版目录一、本章难易及掌握要求 (1)二、基本内容 (1)1、三种近似 (1)2、周期场中的布洛赫定理 (2)1)定理的两种描述 (2)2)证明过程: (2)3) 波矢k的取值及其物理意义 (3)3、近自由电子近似 (3)A、非简并情况下 (4)B、简并情况下 (5)C、能带的性质 (6)4、紧束缚近似 (6)5、赝势 (9)6、三种方法的比较 (10)7、布里渊区与能带 (11)8、能态密度及费米面 (11)三、常见习题 (14)简答题部分 (14)计算题部分 (15)一、本章难易及掌握要求要求重点掌握:1)理解能带理论的基本假设与出发点;2)布洛赫定理的描述及证明;3)一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论,明白三维近自由电子近似的思想;4)紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算;5)明白简约布里渊区的概念与能带的意义及应用;6)会计算能态密度及明白费米面的概念。

本章难点:1)对能带理论的思想理解,以及由它衍生出来的的模型的应用。

比如将能带理论应用于区分绝缘体,导体,半导体; 2)对三种模型的证明推导。

了解内容:1)能带的成因及对称性;2)费米面的构造;3)赝势方法;4)旺尼尔函数概念;5)波函数的对称性。

二、基本内容1、三种近似在模型中它用到已经下假设:1)绝热近似:由于电子质量远小于离子质量,电子的运动速度就比离子要大得多。

故相对于电子,可认为离子不动,或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。

多体问题化为了多电子问题。

2)平均场近似:在上述多电子系统中,可把多电子中的每一个电子,瞧作就是在离子场及其它电子产生的平均场中运动,这种考虑叫平均场近似。

多电子问题化为单电子问题。

3)周期场近似:假定所有离子产生的势场与其它电子的平均势场就是周期势场,其周期为晶格所具有的周期。

单电子在周期性场中。

2、周期场中的布洛赫定理1)定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时,电子波动方程的解具有以下性质:形式一:()()nik R n r R e r ψψ⋅+=r u u r r v u u v ,亦称布洛赫定理,反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二:()()ik rr e u r ψ⋅=r r r r ,亦称布洛赫函数,反映了周期场的波函数可用受)(r u k ϖ调制的平面波表示、其中()()n u r u r R =+r v u u v ,nR ρ取布拉 菲格子的所有格矢成立。

2)证明过程:a 、 定义平移算符µT ,)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m ϖϖϖϖ=b. 证明µT 与ˆH的对易性。

ααHT H T =c 、代入周期边界条件,求出µT 在µT 与ˆH共同本征态下的本征值λ。

即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)()(()()()(332211a N r r a N r r a N r r ϖϖϖϖϖϖϖϖϖψψψψψψ321321,,a k i a k i a k i eeeϖϖϖϖϖϖ⋅⋅⋅===λλλd 、 将λ代入µT 的本征方程中,注意µT 定义,可得布洛赫定理。

)()(321321r R r m m m m ϖϖϖψλλλψ=+)()(332211r ea m a m a m k i ϖϖϖϖϖψ++⋅=)()(r u e r k rk i ϖϖϖϖ⋅=！3) 波矢k 的取值及其物理意义333222111b N l b N l b N l k ϖϖϖϖ++= (2)2jj j N l N ≤<-,k 就是第一布里渊区的波失,称简约波矢。

其就是平移算符本征值量子数,而)()()(m m R r r R T ϖϖϖϖ+=ψψ)(r e mR k i ϖϖϖψ⋅=反映了原胞之间电子波函数位相的变化。

同时也可以得出如果一个势场就是周期场,那么可以把其波函数设为布洛赫函数。

3、 近自由电子近似1)思想:假设将周期场的周期起伏瞧作自由电子稳定势场的微扰 2)条件要求:原子的动能大于势能以使电子可以自由运动,势函数的的起伏很小,以满足微扰论适用,外层电子以满足电子可以自由运动。

3)模型建立过程:首先,在零级近似下,考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值,推出了能量的准连续性;其次,由于考虑到二级微扰,而推出能量在布区边界处分裂,且发生了能级间的“排斥作用”,于就是形成能带与带隙。

A 、非简并情况下1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量与薛定谔方程:'0H H H +=,V dx d m H +-=22202η,微扰项:V V x V H ∆=-=)(',满足的方程式: ψψE H =、2)利用微扰论方法有设:.)2()1(0Λ+++=k k k k E E E E ,其中:V m k E k +=2220η,0|'|)1(>==<k H k E k ,∑-><=''02)2(|'|'k k k k E E k H k E (K K ≠') 设:.)()()()1(0Λ++=x x x k k k ψψψ 其中:ikx k e Lx 1)(0=ψ, 0''0'0)1(|'|'k k k k k E E k H k ψψ∑-><= (K K ≠')4)结论:能量本征值:∑+-++=nn k an k k m V V m k E ])2([2'22222220πηη 波函数:xani nnikxikxk eank k m V eLeLx ππψ2222])2([211)(∑+-+=η5)波函数的意义:第一项就是波矢为k 的前进的平面波,第二项就是平面波受到周期性势场作用产生的散射波 再令xani nnk e ank k m V x u ππ2222])2([21)(∑+-+=η,则有)(1)(x u e Lx k ikx k =ψ具有布洛赫函数形式,其中用到)()(x u ma x u k k =+B 、简并情况下1)n k k V E E >>-0'0此时波矢k 离an π-较远,k 状态的能量与状态k’差别较大把3*按2002'4()nk k V E E -泰勒级数展开得20'00'2000'n k k k n k k k V E E E E V E E E ±⎧+⎪-⎪=⎨⎪-⎪-⎩ 由于能级间“排斥作用”,量子力学中微扰作用下,两个相互影响的能级总就是原来较高的能量提高了,原来较低的能量降低了2)n k k V E E <<-0'0时,波矢k 非常接近an π-,k 状态的能量与k’能量差别很小按将3*式220'04)(nk k V E E -泰勒级数展开得00200''()1{2}24k k k k n nE E E E E V V ±-=+±+ 代入相应的 0k E ,0'k E 得222(1)2(1)n n n n n n n n n n T V T V T V E T V T V T V ±⎧+++∆+⎪⎪=⎨⎪+--∆-⎪⎩ 22)(2an m T n πη=可得如下结论两个相互影响的状态k 与k’微扰后,能量变为E+与E-,原来能量高的状态能量提高,原来能量低的状态能量降低。

周期性 ()()n n n E k E k G =+r r r[周期为 倒格矢,由晶格平移对称性决定]反演对称性 ()()n n E k E k =-r r[()n E k r就是个偶函数 ] 宏观对称性 ()()n n E k E k α=r r[ α为晶体的一个点群对称操作]C 、能带的性质简约波矢的取值被限制在简约布里渊区,要标志一个状态需要表明:1)它属于哪一个能带(能带标号) 2)它的简约波矢 k 就是什么？3) 能带底部,能量向上弯曲;能带顶部,能量向下弯曲 2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处 3) 禁带的宽度n g V V V V E 2,2,2,2321Λ=4)各能带之间就是禁带, 在完整的晶体中,禁带内没有允许的能级5)计入自旋,每个能带中包含2N 个量子态 4、紧束缚近似1)紧束缚近似的假设:电子在原子附近,主要受该原子势场作用,其它原子势场视为微扰作用。

故此时不能用自由电子波函数,而用所有原子的同一电子波函数的线性组合来表示。

不考虑不同原子态间的作用。

它一般要求原子之间的距离较大。

2)模型实现对于简单格子电子在格矢332211a m a m a m R m ϖϖϖρ++=处原子附近运动)(r ϖψ满足的薛定谔方程:)()()](2[22r E r r U mϖϖϖηψψ=+∇- )(r U ϖ就是晶体的周期性势场___所有原子的势 场之与。

对方程进行变换有)()()]()([)()](2[22r E r R r V r U r R r V m m m ϖϖϖϖϖϖϖϖηψψψ=--+-+∇-)()(m R r V r U ϖϖϖ--即就是微扰作用。

设晶体中电子的波函数∑-=mm i m R r a r )()(ϖϖϖϕψ(此法的本质),代入上得:∑∑-=---+mm i m mm i m i m R r a E R r R r V r U a )()()]()([ϖϖϖϖϖϖϖϕϕε考虑到当原子间距比原子半径大时,不同格点的)(m i R r ϖϖ-ϕ重叠很有 ,nm n i m ir d R r R r δϕϕ=--⎰ϖϖϖϖϖ)()(*用)(*n iR r ϖϖ-ϕ左乘上面方程5*,得到 ∑⎰-=----mn i m im n i m a E r d R r R r V r U R r a )()()]()()[(*εϕϕϖϖϖϖϖϖϖϖ)()()]()()][([*m n i m n iR R J d V U R R ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ--=---⎰ξξϕξξξϕ则得∑-=--mn i m n m a E R R J a )()(εϖϖ,考虑到周期性的势场,应有mR k i m Cea ϖϖ⋅=,(kϖ就是任意常数矢量),则有∑⋅--=-sR k i s i seR J E ϖϖϖ)(ε,m n s R R R ϖϖϖ-= 利用归一化条件则得:晶体中电子的波函数∑-=⋅mm i R k i k R r eNr m)(1)(ϖϖϖϖϖϕψ考虑用简约波失表示有])([1)()(∑-=-⋅-⋅mm i R r k i r k i k R r e e N r m ϖϖϖϖϖϖϖϖϕψ,由此可得 对于确定k ϖ,∑⋅--=sRk i s i s e R J k E ϖϖϖϖ)()(ε,而且实现了N 个晶体中的电子波函数与束缚态的波函数的幺正变换换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅)()()(,,,12121222121211121N ii i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i R k i k k k R r R r R r ee ee e e ee e N NN N N NN NϖϖM ϖϖϖϖΛM M ΛΛM ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϕϕϕψψψ 3)模型简化:考虑ξξϕξξξϕϖϖϖϖϖϖϖd V U R R J i s i s })()]()()[()(*⎰--=-的化简:当)()(*ξϕξϕϖϖϖi s iR 和-有重叠时,积分不为0。